平均变化率

o1
32 34 t (d)
平均变化率
视觉化 数量化
曲线陡峭程度
思想方法：数形结合
苏教版选修1-1 平均变化率
[例1]某婴儿从出生到第12个月的体重变化如图所示，试分 别计算从出生到第3个月与第6个月到第12个月该婴儿体重 的平均变化率。
W(千克)
11 8.6 6.5
3.5
o 36
解： 从出生到第3个月，婴儿体重的
计算第一个10s内V的平均变化率。
解：在第一个10秒内，体积V的平
均变化率为 V (10) V (0)
10 0
甲
2.5 5 0.25(cm3 / s) 10
即第一个10s内容器甲中水的体积V
乙
的平均变化率为 - 0.25(cm 3 / s) 。
[思考] 容器甲中水的体积V的平均变化率是一个负数, 它 的实际意义是什么？
苏教版选修1-1 平均变化率
世界充满着变化，有些变化几乎 不被人们察觉，而有些变化却让人 们感叹与惊讶!
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[情境1]下图是一段登山路线。 [问题1] 同样是登山，但是从A处到B处会感觉比较轻松，而 从B处到C处会感觉比较吃力。你能结合生活实际，解释其 中的原因吗？
Y（m） yC
平均变化率为 6.5 3.5 =1（千克/月）;
30
从第6个月到第12个月，婴儿体重 12 T(月)的平均变化率为
11 8.6 =0.4（千克/月）
12 6
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[练习1] 如图，水经过虹吸管从容器甲流向容器乙，t s后
容器甲中水的体积V（ｔ）＝5 20.1（t 单位：cm3 ），试
33.4
化曲为直 B(32,18.6) 18.6
A(1,3.5) 3.5
气温曲线
yC-yB xC-xB
o1
32 34 t (d)
[问题2] 你能用 数学语言来解
释BC段曲线的
陡峭程度吗？
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y
f(34)
A
f(1)
o1
y=f(x)
34-1
f(34) - f(1)
C
[问题3]如果将上述气温
容器甲中水在减少
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[例2] 已知函数f（x）=2x+1，g（x）= -2 x，分别计 算在区间[-3，-1]，[0，5]上函数f（x）及g（x）的平 均变化率。
[练习2]若函数f (x) = 3 x + 1 ,试求f (x) 在区间 [ a , b ] 上的平均变化率。
[想一想]从上述例、习题的求解中，你能发现一次函 数y = kx + b在区间[p ,q]上的平均变化率有什么规律 吗？ [结论]：一次函数y = kx + b在区间[p , q]上的平均变
曲线看成是函数y = f(x)
的图象, 则Baidu Nhomakorabea数y = f(x)
在区间[1，34]上的平均 变化率为 f (34) f (1)
34 1
34 x
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y
f(34)
f(x1) A
f(1)
o1
y=f(x)
x1
[问题3]如果将上述气温
C
曲线看成是函数y = f(x)
的图象, 则函数y = f(x)
[问题3]如果将上述气温
曲线看成是函数y = f(x)
的图象, 则函数y = f(x)
在区间[1，34]上的平均 变化率为 f (34) f (1)
34 1 在区间[1， x1]上的平均
x 变化率为 f (x1) f (1) x1 1
在区间[x2，34]上的平 均变化率为 f (34) f (x2 )
苏教版选修1-1 平均变化率
在区间[1，34]上的平均 变化率为 f (34) f (1)
34 1 在区间[1， x1]上的平均
34 x 变化率为 f (x1) f (1) x1 1
苏教版选修1-1 平均变化率
y
C
f(34)
f(x2)
f(x1) A
f(1)
o1
y=f(x)
x1
x2 34
你能否归纳出 “函数
f(x)在区间[x1,x2]上的平均 变化率”的一般性定义吗？
化率为直线的斜率 k 。
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[例3] 已知函数 f ( x) x2 ，分别计算它在下列区间上 的平均变化率:(1) [1，3]； (2) [1，2]；
(3) [1，1. 1]； (4) [1，1. 01]。
[思考]当x0逼近1的时候，f(x)=x2在区间[1， x0]上的平均 变化率呈现什么样的变化？ 答案：逼近2
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[问题4] 如图，请分别计算气温在区间[1，32]和区间
[32，34]上的平均变化率。
T(℃) 33.4
C(34,33.4)
气温在区间[1，32] 上
18.6
A(1,3.5) 3.5
B(32,18.6) 气温曲线
的平均变化率约为0.5；
气温在区间 [32，34]上 的平均变化率为7.4。
34 x2
1、平均变化率
一般的，函数 f (x)在区间上 [ x1, x2 ]的平均变化率为
f (x1) f (x2 )
x1 x2
２、平均变化率是曲线陡峭程度的“数量化”，曲线陡峭 程
度平是均平变均化变率化量率化“一视觉段化曲”线．的陡峭程度是“粗糙 不精确的”，但应注意当x2—x1很小时，这种量化便 由“粗糙”逼近“精确”。
yB
登山路线
B
C
yC-yB
xC-xB
A (o)
xB xC X（m）
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[情境2] 某市 2004年3月18 日到4月20日 期间的日最高 气温记载.
时间 3月18日 4月18日 4月20日 日最高气温 3.5℃ 18.6℃ 33.4℃
温差15.1℃ 温差14.8℃
T(oC) C(34,33.4)
回顾小结
本节课学习的数学知识有： 平均变化率的定义及应用 ；
本节课涉及的数学思想方法有：
数形结合、化曲为直
。
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随堂作业
1.必做题 第59页练习2，3，4题
2.思考题 曲线越陡峭,则曲线在该区间上 平均变化率是否也越大?
3.选做题 在高台跳水运动中,运动员相对于水面的
高度h(单位：米)与起跳后的时间t（单位:秒） 近似存在函数关系 h(t) 5t 2 7t 10 .能否粗略 地描述运动员在0到0.5秒和1到2秒内的运动状 态?
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课堂练习
甲、乙两人投入相同的资金经营某商 品中，甲用5年时间挣到10万元，乙用5个 月挣到2万元，如何比较和评价甲，乙两人 的经营成果？
分别计算甲、乙获利的平均变化率， 可知10/(5*12)<2/5。由于甲、乙投入相 同的资金，所以乙的经营成果好。
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