不定积分求解方法-有理函数积分

2 2
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1 dx (a b 0) . 例9. 求 2 (a sin x b cos x)
解法 1 原式
dx
(a tan x b) 2 cos 2 x
令 t tan x
1 dt C 2 a ( a t b) ( a t b) cos x C a(a sin x b cos x)
3
dx sin x cos x cos x 2. 原式 dx 3 dx 3 sin x cos x sin x cos x sin x 1 1 d sin x d tan x C 3 ln tan x 2 2 sin x tan x sin x
2 2
1
2 d(1 2 x) 1 d(1 x 2 ) 1 dx 原式 2 5 1 2x 5 1 x2 5 1 x 2 1 1 2 ln 1 2 x ln (1 x ) arctan x C 5 5 5
例1(3)
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例3. 求 解: 原式
1 x 2x 2
2
C
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dx 例6. 求 4 x 1 1 ( x 2 1) ( x 2 1) 解: 原式 dx 4 2 x 1
1 2
1 x2 2 x 12 x
1
1 dx 2
1 x2 2 x 12 x
1
注意本题技巧
例1. 将下列真分式分解为部分分式 :
解: (1) 用拼凑法
x ( x 1) 2 x( x 1) x( x 1) 2
1
1 2 ( x 1) x( x 1)
1
x ( x 1) 2 x( x 1) ( x 1) 1 1 1 2 x 1 x ( x 1)
a0 x n a1x n1 an
为真分式
m n 时,
有理函数
为假分式; m n 时,
相除 分解
多项式 + 真分 式
若干部分分式之和
其中部分分式的形式为
A ( x a)
; k
MxN ( x p x q)
2 k
( k N , p 2 4q 0 )
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x1 2 x
二 、可化为有理函数的积分举例
1. 三角函数有理式的积分 （P251） 设
表示三角函数有理式 , 则
R(sin x , cos x) dx
x 令 t tan 2
万能代换
t 的有理函数的积分
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1 sin x dx . 例7. 求 sin x(1 cos x) x 解: 令 t tan , 则 2 x x x 2 sin 2 cos 2 2 tan 2 2t sin x 2 x x x sin 2 cos 2 2 1 tan 2 2 1 t 2
dx
按常规方法较繁
1 1 2 ( x 1 )2 2 2 ( x 1 )2 2
x x
d( x 1 ) x
d( x 1 ) x
(见P399公式9、10)

1 2 2
arctan
x1 x
1 1 C ln 2 22 2 x1 2 x
常规 目录 上页 下页 返回 结束

1
2t
2t 1t 2
1t 2 ) 2 (1 1t 1t 2
22 1 t
1 1 dt t 2 2 t
dt
1 1 2 t 2t ln t C 2 2
1 2x x x 1 tan tan ln tan C 4 2 2 2 2
1 4 2x 1 原式 = 5 1 2x 1 x2
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2 B 5 1 C 5
四种典型部分分式的积分: （P247-P248）
A 1. dx A ln x a C xa A A ( x a )1n C (n 1) 2. dx n 1 n ( x a)
R( x , n ax b ) dx , 令 t n a x b

n a x b ) dx , R( x , c x d
令 t
n a x b c xd
R( x , n ax b , m ax b ) dx ,
令 t p a x b , p 为m , n 的最小公倍数 .
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备用题 1. 求不定积分
1 解： t , 则 令 x
1
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(2) 用赋值法
x3 A B 2 x 5 x 6 ( x 2)( x 3) x 2 x 3
x3
x3 A (x 2) 原式 5 x 2 x 3 x 2 x3 6 B (x 3) 原式 x 3 x2 x 3
2
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例12. 求 解: 为去掉被积函数分母中的根式 , 取根指数 2 , 3 的
最小公倍数 6 , 令 x t , 则有
6
6 t 5 dt 原式 3 t t 2
1 6 (t t 1 ) dt 1 t
2
6
1t 3 3
1t 2 2
t ln 1 t C
Mx N 3. 2 dx x px q Mx N 4. 2 dx n ( x p x q)
变分子为
M 2
(2 x p) N
Mp 2
再分项积分
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例2. 求 解: 已知
1 4 2x 1 2 2 (1 2 x)(1 x ) 5 1 2 x 1 x 1 x 2
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dx . 例11. 求 3 1 x 2
u 3 x2 , 则 解: 令
(u 2 1) 1 3u du 3 原式 1 u du 1 u 1 3 ( u 1 ) du 1 u 1 u2 3 2 u ln 1 u C
1 ( 2 x 2) 3 2
x 2x 3
2
2
dx
d( x 1) 1 d( x 2 x 3) 3 2 2 x 2x 3 ( x 1) 2 ( 2 ) 2 3 x 1 1 2 arctan C ln x 2 x 3 2 2 2
第四章 第四节 几种特殊类型函数的积分 • 基本积分法 : 直接积分法 ; 换元积分法 ; 分部积分法
• 初等函数
求导
积分
初等函数
本节内容: 一、有理函数的积分 二、可化为有理函数的积分举例
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一、 有理函数的积分 （P244）
有理函数:
P( x) R( x) Q( x)
解: 因被积函数关于 cos x 为奇函数, 可令 t sin x , 原式
(cos 2 x 2) cos x dx
1 sin x sin x
2 4
2

(sin 2 x 1) d sin x 1 sin 2 x sin 4 x
d(t 1 ) t (t
思考: 如何求
提示: 变形方法同例3, 并利用 ？？？ .
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说明: 将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,
但不一定简便 , 因此要注意根据被积函数的结构寻求 简便的方法. 例4. 求
解:
2 x 5x 2x 5 I 4 dx 4 dx 2 2 x 5x 4 x 5x 4
1. 可积函数的特殊类型
有理函数
分解
万能代换
根式代换
三角函数有理式
三角代换
多项式及部分分式之和
简单无理函数
2. 特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出, 但不一定 简便 , 要注意综合使用基本积分法 , 简便计算 .
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思考与练习
如何求下列积分更简便 ?
1 dx 1 x 33 a 33 1 x a 解: 1. 原式 3 2 33ln 33 33 C ln C 3 2 3 (a ) ( x ) 6a 6a x a x a
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1 dx (ab 0) 例9. 求 2 (a sin x b cos x)
解法 2 令
a
2 2
a b a b 1 dx 原式 2 2 a b cos 2 ( x ) 1 2 tan( x ) C 2 a b
2
sin ,
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例8. 求
1
解: 原式
cos x
2
dx
2
a tan x b
2 2
1 d tan x 2 a tan 2 x ( b ) 2 a
1 a arctan( tan x ) C ab b
说明: 通常求含 sin x , cos x 及 sin x cos x 的有理式 的积分时, 用代换 t tan x 往往更方便 .
x x x cos 2 2 sin 2 2 1 tan 2 2 1 t 2 cos x 2 x cos 2 x 1 tan 2 x sin 2 1 t 2 2 2 2 dx dt 1 t 2
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1 sin x sin x(1 cos x) dx
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例5. 求
( x 2 x 2) (2 x 2) dx 解: 原式 2 2 ( x 2 x 2)
2
dx d( x 2 2 x 2) 2 2 ( x 1) 1 ( x 2 x 2) 2
arctan(x 1)
3 2
( x 2 1) ( x 2 4) 1 d( x 4 5 x 2 5) dx 4 2 2 2 2 x 5x 4 ( x 1)( x 4) 1 1 x 4 2 ln x 5 x 4 arctan arctan x C 2 2 2
1) 2 t
Байду номын сангаас
(t 1) dt 1 t2 t4 t 1 1 arctan t C 3 3 2 1 cos x arctan C 3 3 sin x
3
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2. 简单无理函数的积分 （P255-P257）
被积函数为简单根式的有理式 , 可通过根式代换 化为有理函数的积分. 例如:
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1 1 x 例13. 求 dx . x x 1 x ,则 解: 令 t x
2t dt 原式 (t 1) t 2 2 (t 1)
2
t 1 2 2 dt 2 t ln C t 1 t 1
t
2
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内容小结
b
2
cos
a sin x b cos x cos sin 2 2 1 a ab sinarctan ) C cos x a b tan( x x 2 2 2 a 2 b2 b ab b 2 a
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cos 3 x 2 cos x dx . 例10. 求 2 4 1 sin x sin x
故
5 6 原式 x2 x3
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(3) 混合法
Bx C A 2 (1 2 x)(1 x ) 1 2 x 1 x 2
1
4 A (1 2 x) 原式 1 x 2 5 4 1 C 5 1 4 BC 6 15 2