角的相关计算和证明习题及答案

角的相关计算和证明习

题及答案

集团标准化工作小组 [Q8QX9QT-X8QQB8Q8-NQ8QJ8-M8QMN]

角的相关计算和证明（习题）

例题示范

例1：已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC 交BC 于点D ，AE ⊥BC 于点E ．若∠

ADE =80°，∠EAC =20°，则 ∠B =_______． 思路分析 ①读题标注： ②梳理思路：

从条件出发，看到AE ⊥BC 想到直角三角形两锐角互余，再结合已知的角度可求出∠

DAE =10°，∠C =70°； 由AD 平分∠BAC 可知∠BAC =60°； 把∠B 看作△ABC 的一个内角，则∠B °-60°-70°=50°．

（思路不唯一，也可将∠B 看作△ABD 的一个内角，则∠ADE 是△ABD 的一个外角，利用三角形的外角定理进行求解．） 巩固练习

1. 已知：如图，AB ⊥BD 于点B ，ED ⊥BD 于点D ，C 是线段BD 上一点．若AC ⊥CE ，∠

A =30°，则∠E =______．

第1题图 第2题图

2. 已知：如图，△ABC 为直角三角形，∠C =90°，若沿图中虚线剪去∠C ，则∠1+∠

2=____________．

3. 已知：如图，∠A =32°，∠B =45°，∠C =38°，则∠DFE =（ ）

A ．120°

B ．115°

C ．110°

D ．105°

第3题图 第4题图

4. 已知：如图，在△ABC 中，∠A :∠B =1:2，DE ⊥AB 于E ，且∠FCD =60°，则∠D =

（ ） A ．50° B ．60° C ．70°

D ．80°

5. 已知：如图，在△ABC 中，∠B =∠ACB ，CD ⊥AB ，垂足为D ．

求证：∠A =2∠BCD ． 证明：如图， 设∠BCD =α

∵CD ⊥AB （已知） ∴∠BDC =90°

（垂直的定义）

∴∠BCD +_____=90° （_________________________） ∴2α+2∠B=180° （等量代换）

80°20°

A

C E

D B B D

E C A

∵_____________________（_________________________） ∵∠B =∠ACB （已知） ∴∠A+2∠B =180° （等量代换）

∴∠A=2α （同角的补角相等）

即∠A =2∠BCD

6. 已知：如图，AB ∥DE ，∠1=∠ACB ，AC 平分∠BAD ．

求证：AD ∥BC ．

7. 如图，在△ABC 中，AD 是∠BAC 的平分线，E 为AD 上一点，且EF ⊥BC 于F ．若∠

B =30°，∠

C =70°，求 ∠DEF 的度数．

8. 已知：如图，在△ABC 中，AD 平分∠BAC ，EF ⊥AD 于点P ，交BC 延长线于点M ．已知

∠ACB =70°，∠B =40°，求∠M 的度数． 思考小结

1. 我们在做几何证明题的时候，可以从已知出发，看条件如何用，比如看到平行线，考虑___________________________，看到垂直考虑______________________，_________________

_________；也可以从目标出发，根据目标倒推，比如把角看作什么角，看作三角形

的一个内角考虑__________________，看作外角考虑_______________________________________． 2. 阅读材料

我们是怎么做几何题的

例1：已知：如图，DE ∥BC ，EF ∥AB ，∠DEF =50°，∠C =70°，求∠A 的度数．

第一步：读题标注，把题目信息转移到图形上；（请把条件标注图上）

第二步：走通思路，要求∠A 的度数，怎么想

要求∠A ，可以把∠A 看作△ABC 的一个内角，∠C 度数已知，只需求出∠B 的度数即可；

结合题中的条件，由DE ∥BC ，∠DEF =50°得∠EFC =∠DEF =50°，再由EF ∥AB 得∠B =∠EFC =50°；

最后，利用三角形的内角和等于180°， 得∠A =180°-∠B -∠C =180°-50°-70°=60°．

第三步：规划过程 过程分成三块：

①由DE ∥BC ，∠DEF =50°得∠EFC =∠DEF =50°； ②由EF ∥AB 得∠B =∠EFC =50°； ③利用三角形内角和定理求∠A ． 第四步：书写过程

A B C D E F A

F M

C

D

P

E

B 解：如图， ∵DE ∥B

C （已知） ∴∠EFC =∠DEF （两直线平行，内错角相等） ∵EF ∥AB （已知） ∴∠B =∠EFC （两直线平行，同位角相等） 在△ABC 中，∠C =70°，∠B =50°（已知） ∴∠A =180°-∠B -∠C F E

D C

B A

【参考答案】

巩固练习

1.60°

2.270°

3.B

4.A

5.证明：如图，

设∠BCD=α

∵CD⊥AB（已知）

∴∠BDC=90° （垂直的定义）

∴∠BCD+∠B=90°（直角三角形两锐角互余）

∴2α+2∠B=180°（等量代换）

∵∠A+∠B+∠ACB =180°（三角形的内角和等于180°）∵∠B=∠ACB（已知）

∴∠A+2∠B=180°（等量代换）

∴∠A=2α（同角的补角相等）

即∠A=2∠BCD

6.证明：如图，

∵AB∥DE（已知）

∴∠1=∠BAC（两直线平行，同位角相等）

∵AC平分∠BAD（已知）

∴∠DAC=∠BAC（角平分线的定义）

∴∠1=∠DAC（等量代换）

∵∠1=∠ACB（已知）

∴∠DAC=∠ACB（等量代换）

∴AD∥BC（内错角相等，两直线平行）

7.解：如图，

在△ABC中，∠B=30°，∠C=70°（已知）

∴∠BAC=180°-∠B-∠C

=180°-30°-70°

=80°（三角形的内角和等于180°）

∵AD平分∠BAC（已知）

∴∠BAD=1

2

∠BAC

=

1

2

×80°

=40°（角平分线的定义）

∴∠EDF=∠B+∠BAD（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和）