z变换与拉氏变换的关系

X
s e st ds
2pj - j
当把x(t)以等间隔T抽样后：
xnT 1
j
X
s e snT ds
n 0,1,2,
2pj - j
其z变换为：X z xnz -n
n0
n0
1
2pj
j
X
- j
s e snT dsz -n
1
j
Xs
e sT z -1 nds
离散序列z变换式的关系式。
该积分式当然也可以用留数定理来计算。即：
X z
Re
s
zX z-
s
e sT
X(s)的诸极点
例如：当X(s)有一单阶极点s1时
Re
s
zX z-
s e sT
ss1
z
s - s1 X z - e sT
s
k1z k1z
s s1
z - e s1T
z - z1
以上从拉氏逆变换式出发推证了拉氏变换式 与z变换式的关系式。 下面把信号按部分分式分解进行讨论 若连续时间信号xˆ(t)由N项指数信号相加组合而成
xˆ t xˆ 1 t xˆ 2 t xˆ n t
N
N
xˆ i t Ai e pitut
i1
i 1
N
容易求得，它的拉式变换为 L xˆ t
Ai
i1 s - pi
若序列X(nT)由N项指数序列相加组合而成
xnT x1nT x2 nT xN nT
N
N
xi nT Ai e pinT u nT
i 1
i 1
它的z变换为 Z x nT
N i 1
Ai 1 - e piT
z -1
借助模拟滤波器 设计数字滤波器
注意：连续时间信号的突变点函数值与对应的序列 样值有区别。
返回
一．z平面与s平面的映射关系
在引入z变换的定义时，引入符号z=esT
s(直角坐标): s=+j
z, s关系
j
s
j
j0
代入
z esT
O
0
s平面
z(极坐标)：z r ej
比较
z e j T e T e j T
jIm( z)
r0
z r ej
0
O
Re(z)
2p
所以
半径：r = e T= e s
jImz
1
o Rez
z=1
（2）s平面上的虚轴（ =0，s =j）映射到z平面是单位圆； s平面的左半平面（ < 0）映射到z平面是单位圆的圆内；
s平面的右半平面（ >0）映射到z平面是单位圆的圆外； 平行于虚轴的直线（ 常数）映射到z平面是圆。
s平面(s= +j
j
虚轴
=0, s=j)
0
z平面(z= rej
2pj - j
n0
此式的收敛条件是：|z|>|esT|，当符合这一条件时
e sT z -1 n
1
n0
1 - e sT z -1
X z 1 j X s
ds 1
j zX s ds
2pj - j 1 - e sT z -1
2pj - j z - e sT
这就是直接由连续函数的拉氏变换式求抽样后的
幅角: =T=2p
s
z平面 式中T是序列的时间间隔，重复频率s=2p/ T
s~z平面映射关系
这两个等式表明：z的模r仅对应于s的实部 ；
z的幅角仅对应于s的虚部 。
（1）s平面的原点
，== 00
z平面
r
=，= 10即z=1。
s平面(s= +j
j
原点
= 0, = 0)
o
z平面(z= rej
任意）
（3）s平面上的实轴（ =0，s = ）映射到z平面是正实轴；
平行于实轴的直线（ 常数）映射到z平面是始于原点的
辐射线；
通过jks/2(k= +1,+3,…)而平行于实轴的直线映射到z平面
是负实轴。
s平面(s= +j
j
实轴
=0, s= )
0
平行于实轴 的直线
（ 常数）
j1 j
0
-j2
通过+ jks/2
§8.6 z变换与拉普拉斯变换的关系
至此，我们已经讨论了三种变换方法，即：傅立 叶变换、拉普拉斯变换和z变换。这些变换并不是孤立 的，它们之间有着密切联系，并在一定条件下可以互 相转化。
在第四章讨论过傅立叶变换与拉普拉斯变换的关 系，现在研究z变换与拉普拉斯变换的关系。
一．z平面与s平面的映射关系
二．z变换与拉氏变换表达式之对应
例如，阶跃信号u(t)在t=0点定义为1/2; 阶跃序列u(n)在点n=0定义为1。
注意跳变值
例8-6-1 例8-6-2
返回
注意跳变值
0
xˆ i
t
Ai 2
Ai e pit
t < 0 t 0 t > 0
0
xi
nT
Ai
Ai
e
pi nt
t < 0 t 0 t > 0
按抽样规律建立二者联系时必须在0点补足 Ai 2 ,即
xi
nT un
xˆ i
xˆ
i
t ut
t
t ut
t
nT nT
Ai 2
当n 0 当n 0
返回
例8-6-1
已知指数函数e-atu(t)的拉式变换为
1，
sa
求抽样序列e-anTu(nT)的z变换。
解： xt e-at ut
X s 1
sa X(s)只有一个一阶级点s=-a， 可以直接求出e-anTu(nT)的z变换为
由-p~ p， 幅度旋转了一周，映射到了整个z平面。
因此 每增加一个 s2p/T，就相应增加2p，也就重复
旋转一周，z平面就重叠一次。 所以，z~s映射不是单值的。下图说明了上述映射关系。
j s/2
jImz
0
-s/2 j s/2
0
-s/2
0 1Rez jImz
0 1 Rez
j s/2
0
-s/2 s/2 j
平行于实轴 的直线
（k1,3...）
js/2 j
0
-js/2
z平面(z= rej
jImz 0 Rez
正实轴
（ =0，
r任意）
jImz
1T
0 Rez -2T
始于原点的
辐射线
（ =常数，
r任意）
jImz 0 Rez
负实轴
（ =p，
r任意）
（4）由于z=rej是T的周期函数，因此当 由-p/T~ p/T时，
jImz 0 1 Rez
jImz
0 0
0
1 Rez
-s/2 j
jImz
s/2
0
-s/2
1 Rez
掌握了s~z平面映射规律之后，容易利用类似在连续时间
系统分析中的方法，研究离散时间系统函数z平面特性与系统
时域特性、频响特性以及稳定性的关系。
返回
二．z变换与拉氏变换表达式之对应
我们知道：
xt 1
j
jImz
单位圆
0 1 Rez （r=1, 任意）
左半平面
（ < 0）
j
0
jImz
单位圆内
0 1 Rez （r<1, 任意）
右半平面
（ > 0）
j
0
jImz
单位圆外
0 1Rez （Biblioteka Baidu>1, 任意）
平行于虚轴 的直线
（ 常数:
- ）
j
0
jImz
圆
（ > 0 ，r>1
0
< 0 ，r<1
Rez r为常数:0