招式四：共线向量问题-终结圆锥曲线大题十个大招

招式四：共线向量问题

1：如图所示，已知圆M A y x C ),0,1(,8)1(:2

2

定点=++为圆上一动点，点P 在AM 上，点N 在CM 上，且满足N 点,0,2=⋅=的轨迹为曲线E.I ）求曲线E 的方程；II ）若过定点F （0，2）的直线交曲线E 于不同的两点G 、H （点G 在点F 、H 之间），且满足λ=，求λ的取值范围.

解：（1）.0,2=⋅=AM ∴NP 为AM 的垂直平分线，∴|NA|=|NM|

又.222||||,22||||>=+∴=+AN CN NM CN ∴动点N 的轨迹是以点

C （－1，0），A （1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222=a

焦距2c=2. .1,1,22

===∴b c a ∴曲线E 的方程为.12

22

=+y x （2）当直线GH 斜率存在时，设直线GH 方程为,12

,222

=++=y x kx y 代入椭圆方程

得.2

3

0.

034)2

1(22

2>>∆=+++k kx x k 得由设),,(),,(2211y x H y x G

)2(216

2

13),1(2182142

2212221k k x x k k k k x x +=+=+-=+-=

+则)2,()2,(,

2211-=-∴=y x y x λλ 又,,

2

1

21x x x x =

∴=∴λλ，)21

(332

)

21(33221)2()1(222

2+=+=++⇒k

k k λλ

.33

1

.31621

4.316

)21(3324,2

3

22<<<

++

<∴<+<∴>

λλ

λ解得k k .13

1

,10<<∴<<λλ 又

又当直线GH 斜率不存在，方程为.31,31,0==

=λx )1,3

1[,131的取值范围是即所求λλ<≤∴ 2：已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，它的一个顶点恰好是抛物线2

14

y x =

的焦点，离心率为1）求椭圆C 的标准方程；（2）过椭圆C 的右焦点作直线l 交椭圆C 于A 、B 两点，交y 轴于M 点，若1MA AF λ=，2MB BF λ= ，求证：1210λλ+=-.

解：设椭圆C 的方程为22221x y a b

+= （a ＞b ＞0）抛物线方程化为2

4x y =，其焦点为(0,1)，

则椭圆C 的一个顶点为(0,1)，即 1b =

由c e a ===，∴2

5a =，椭圆C 的方程为 2

215

x y +=（2）证明：右焦点(2,0)F ，设11220(,),(,),(0,)A x y B x y M y ，显然直线l 的斜率存在，设直线l 的方程为 (2)y k x =-，代入方程2

215x y += 并整理，得2222(15)202050k x k x k +-+-=∴21222015k x x k +=+，2122

205

15k x x k

-=+ 又110(,)MA x y y =-，220(,)MB x y y =-，11(2,)AF x y =--，22(2,)BF x y =--，

而 1MA AF λ=， 2MB BF λ=，即110111(0,)(2,)x y y x y λ--=--，220222(0,)(2,)x y y x y λ--=--

∴1112x x λ=

-，2222x x λ=-，所以 121212

12121212

2()2102242()x x x x x x x x x x x x λλ+-+=+==----++ 3、已知△OFQ 的面积S=26, 且m =•。设以O 为中心，F 为焦点的双曲线经过Q ，

2)14

6

(

,||c m c -==，当||取得最小值时，求此双曲线方程。 解：设双曲线方程为122

22=-b

y a x ， Q （x 0, y 0）。

),(00y c x FQ -= ， S △OFQ =

62||||210=y OF ，∴c

y 6

40±

=。 ),)(0,(00y c x c -=•=c(x 0－c)=c x c 4

6

)146(

02=⇒-。

,3296

832220

2

≥+=+c

c y x

当且仅当)6,6()6,6(,||,4,96

8322-==或此时最小时即Q OQ c c

c ，

所以1124.12

4161662222

222

2=-⎪⎩⎪⎨⎧==⇒⎪⎩

⎪⎨⎧=+=-y x b a b a b

a 故所求的双曲线方程为。 类型1——求待定字母的值

例1设双曲线C ：)0(12

22>=-a y a

x 与直线L ：x+y=1相交于两个不同的点A 、B ，直线L 与y 轴交于

点P ，且PA=

PB 12

5

，求a 的值 思路：设A 、B 两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求a 的值。 解：设A(x 1,y 1)，B(x 2,y 2)，P(0,1)

),1,(125)1,(,2211-=-∴y x y x PB ∴x 1=212

5x .

联立，⎪⎩⎪

⎨⎧=-=+112

22y a

x y x 消去y 并整理得，(1－a 2)x 2+2a 2x －2a 2=0 (*)

∵A 、B 是不同的两点，∴⎪⎩⎪⎨⎧>-+≠-，

，

0)1(84012242

a a a a