信号与系统教案第3章

ε (k)
1 -1 o1 2 3 … k
1.4 阶跃函数和冲激函数
1, k 0 (k ) 0, k 0
def
1, k i (k i ) 0, k i
3、ε(k)与δ(k)的关系 δ(k) = ε(k) –ε(k –1)
(k )
或
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i 1
n
k i
Cxi由yx(k)的初始条件yx(0)~yx(n-1)求得
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信号与系统 电子教案 2、零状态响应yf(k) yf(–1) = yf(–2) = … = yf(–n) = 0 yf(k)由原差分方程求得
y f (k ) y fh (k ) y fp (k )
令 k 0 : y f (0) 2 y f ( 1) 20
f (k ) 2k
y f (0) 1 2 y f ( 1) 1
n阶差分方程需n个初始条件
上例为1阶需1个
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信号与系统 电子教案
3.1
LTI离散系统的响应
例：若描述某离散系统的差分方程为 y(k) + 3y(k –1) + 2y(k –2) = f(k) 已知激励 f(k)=2k , k≥0，初始状态 y(–1)=0, y(–2)=1/2, 求系统的零输入响应、零状态响应和全响应。
齐次解
n i 1
Fra Baidu bibliotek
特解
y fh (k ) C fi k i
Cfi由yf(k)的初始条件yf(0)~yf(n-1)求得
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信号与系统 电子教案 初始条件的求解方法 1）零输入响应yx(0)~yx(n-1) 因为 y(j) = yx(j) + yf(j) , j = 0, ±1 , ± 2, … yf(–1) = yf(–2) = … = yf(–n) = 0 所以 yx(–1)= y(–1) , yx(–2)= y(–2),…，yx(–n)= y(–n)
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（ 1）
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解：（1）yx(k)满足方程 yx(k) + 3yx(k –1)+ 2yx(k –2)= 0 其初始状态yx(–1)= y(–1)= 0, yx(–2) = y(–2) = 1/2 首先递推求出初始值yx(0), yx(1), yx(k)= – 3yx(k –1) –2yx(k –2) yx(0)= –3yx(–1) –2yx(–2)= –1 , yx(1)= –3yx(0) –2yx(–1)=3 方程的特征根为λ1= –1 ，λ2= – 2 ， 其解为 yx(k)=Cx1(– 1)k+Cx2(–2)k 将初始值代入 并解得 Cx1=1 , Cx2= – 2 所以 yx(k)=(– 1)k – 2(– 2)k , k≥0
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3.1
LTI离散系统的响应
三、零输入响应和零状态响应
y(k) = yx(k) + yf(k) , 也可以分别用经典法求解。
1、零输入响应yx(k)
y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = 0
y x ( k ) C xi
齐次方程： y(k) + an-1y(k-1) + … + a0y(k-n) = 0 特征方程： λ0 + an-1λ– 1 + … + a0λ– n = 0 ， 即：λ n + an-1λn– 1 + … + a0 = 0 有n个根( λ1，λ2，…，λn)称为差分方程的特征根。 齐次解的形式取决于特征根。 当特征根λ为单根时，齐次解yn(k)形式为： Cλk 当特征根λ为r重根时，齐次解yn(k)形式为： (Cr-1kr-1+ Cr-2kr-2+…+ C1k+C0)λk
信号与系统 电子教案
3.1
LTI离散系统的响应
例：若描述某系统的差分方程为 y(k)+ 4y(k – 1) + 4y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0，y(1)= – 1；激励f(k)=2k，k≥0。 求方程的全解。 解： 特征方程为 λ2 + 4λ+ 4=0 可解得特征根λ1=λ2= – 2，其齐次解 yh(k)=(C1k +C2) (– 2)k 特解为 yp(k)=P (2)k , k≥0 代入差分方程得 P(2)k+4P(2)k –1+4P(2)k–2= f(k) = 2k ， 解得 P=1/4 所以得特解： yp(k)=2k–2 , k≥0 故全解为 y(k)= yh+yp = (C1k +C2) (– 2)k + 2k–2 , k≥0 代入初始条件解得 C1=1 , C2= – 1/4
f ( k ) ( k 2) ( k 1) k ( k ) ( k 1) ( k 2)
f(k)δ(k) = f(0)δ(k)
取样性质：
f(k)δ(k –k0) = f(k0)δ(k –k0)
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信号与系统 电子教案 2、单位阶跃序列ε(k)
迭代法 y x (1), y x (2),....., y x ( n) y x (0), y x (1),....., y x (n - 1) 代入齐次方程 初始状态 初始条件
例
y x (k ) 2 y x (k 1) 2 y x (k 2) 0
令 k 0 : y x (0) 2 y x (1) 2 y x (2) 0 y x (0) k 1 : y x (1) 2 y x (0) 2 y x (1) 0 y x (1)
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信号与系统 电子教案
3.1
LTI离散系统的响应
（2）零状态响应yf(k) 满足 yf(k) + 3yf(k –1) + 2yf(k –2) = f(k) 初始状态yf(–1)= yf(–2) = 0 递推求初始值 yf(0), yf(1)， yf(k) = – 3yf(k –1) – 2yf(k –2) + 2k , k≥0 yf(0) = – 3yf(–1) – 2yf(–2) + 1 = 1 yf(1) = – 3yf(0) – 2yf(–1) + 2 = – 1 分别求出齐次解和特解，得 yf(k) = Cf1(–1)k + Cf2(–2)k + yp(k) = Cf1(– 1)k + Cf2(– 2)k + (1/3)2k 代入初始值求得 Cf1= – 1/3 , Cf2=1 所以 yf(k)= – (– 1)k/3+ (– 2)k + (1/3)2k , k≥0
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3.1
LTI离散系统的响应
差分方程本质上是递推的代数方程，若已知初始条 件和激励，利用迭代法可求得其数值解。 例：若描述某系统的差分方程为 y(k) + 3y(k – 1) + 2y(k – 2) = f(k) 已知初始条件y(0)=0,y(1)=2,激励f(k)=2kε(k),求y(k)。 解： y(k) = – 3y(k – 1) – 2y(k – 2) + f(k) k=2: y(2)= – 3y(1) – 2y(0) + f(2) = – 2 k=3: y(3)= – 3y(2) – 2y(1) + f(3) = 10 …… 一般不易得到解析形式的(闭合)解。
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3.1 LTI离散系统的响应 信号与系统 电子教案 2. 特解yp(k) 特解的形式与激励的形式雷同(r≥1）
（1） 激励f(k)=km (m≥0） ①λ均不等于1时： yp(k)=Pmkm+…+P1k+P0 ②有r重λ等于1： yp(k)=kr[Pmkm+…+P1k+P0] （2） 激励f(k)=ak ①λ均不等于a时： yp(k)=Pak ②r重λ等于 a时： yp(k)=（Prkr+Pr-1kr-1+…+P1k+P0)ak （3）f(k)=cos(βk)或sin(βk) λ均不等于e±jβ ： yp(k)=Pcos(βk)+Qsin(βk) 将yp(k)代入原差分方程，确定yp(k)中得待定系数
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信号与系统 电子教案 3. 全解y (k)
y ( k ) C i k y p ( k )
i 1
n
将初始条件代入全解y (k)中求Ci
初始状态：y(-1),y(-2),…..,y(-n)
初始条件：y(0),y(1),…..,y(n-1)
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，进入相关章节
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第三章 离散系统的时域分析
3.1
LTI离散系统的响应
一、差分与差分方程
设有序列f(k)，则…，f(k+2)，f(k+1)，…，f(k-1)， f(k-2)…等称为f(k)的移位序列。 仿照连续信号的微分运算，定义离散信号的 差分运算。 包含未知序列y(k)及其各阶差分的方程式称为差 分方程。将差分展开为移位序列，得一般形式 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m) 本书主要用后向差分，简称为差分
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信号与系统 电子教案
2）零状态响应yf(0)~yf(n-1)
y f ( 1), y f ( 2),....., y f ( n) 迭代法
初始状态全为0
代入原差分方程
y f (0), y f (1),....., y f ( n - 1)
初始条件
例
y f (k ) 2 y f (k 1) f (k )
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信号与系统 电子教案
3.1
LTI离散系统的响应
二、差分方程的经典解
n阶 y(k) + an-1y(k-1) +…+ a0y(k-n) = bmf(k)+…+ b0f(k-m)
全解：y(k) = yh(k) + yp(k) 1. 齐次解yh(k) （P86表3-1）
h(1) h(2) ....... h( n) 0 迭代 激励 ( k ) 0 非0初始条件 h(0), h(1),...,h( n 1) 不全为
k0
进入零输入响应
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信号与系统 电子教案 例1 已知某系统的差分方程为 y(k) -y(k-1)-2y(k-2)= f(k) 求单位序列响应h(k)。 解 根据h(k)的定义 有 h(k) – h(k –1) – 2h(k –2) = δ(k) h(–1) = h(–2) = 0 （1）递推求初始值h(0)和h(1)。 方程（1）移项写为 h(k)= h(k –1) + 2h(k –2) +δ(k) h(0)= h(–1) + 2h(–2) + δ(0) = 1 h(1)= h(0) + 2h(–1) + δ(1) = 1
信号与系统 电子教案 3.1
第三章 离散系统的时域分析
LTI离散系统的响应
一、差分与差分方程 二、差分方程的经典解 三、零输入响应和零状态响应
3.2
单位序列响应和阶跃响应
一、单位序列和单位阶跃序列 二、单位序列响应和阶跃响应
3.3
卷积和
一、卷积和 二、卷积和的图示 三、卷积和的性质 点击目录
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i
(i )
j 0
k
(k ) (k j )
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ε(k) = δ(k)+ δ(k –1)+…
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3.2 单位序列响应和阶跃响应
二、单位序列响应和阶跃响应
1、单位序列响应h(k)
由单位序列δ(k)所引起的零状态响应称为单位序列响 应或单位样值响应或单位取样响应，或简称单位响应，记 为h(k)。h(k)=T[{0},δ(k)] 求h(k)的方法 零状态：
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3.2
def
单位序列和单位序列响应
δ (k)
1 -1 o 1 k
一、单位序列和单位阶跃序列
1、单位(样值)序列δ(k)
1, k 0 (k ) 0, k 0
f (k )
( k 2)
1
0
2
k
1
- 2 -1 0 1 2