直线与平面的位置关系知识点归纳

P

·

α

L

β

D C

B

A

α

第二章 直线与平面的位置关系

2.1空间点、直线、平面之间的位置关系 2.1.1

1 平面含义：平面是无限延展的

2 平面的画法及表示

（1）平面的画法：水平放置的平面通常画成一个平行四边形，锐角画成450

，且横边画成邻边的2倍长（如图）

（2）平面通常用希腊字母α、β、γ等表示，如平面α、平面β等，也可以用表示平面的平行四边形的四个顶点或者相对的两个顶点的大写字母来表示，如平面AC 、平面ABCD 等。 3 三个公理：

（1）公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，那么这条直线在此平面内 符号表示为

A ∈L

B ∈L => L α A ∈α B ∈α

公理1作用：判断直线是否在平面内

（2）公理2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。

符号表示为：A 、B 、C 三点不共线 => 有且只有一个平面α， 使A ∈α、B ∈α、C ∈α。

公理2作用：确定一个平面的依据。

（3）公理3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。

符号表示为：P ∈α∩β =>α∩β=L ，且P ∈L

公理3作用：判定两个平面是否相交的依据 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系

L

A

· α C

·

B ·

A

· α

1 空间的两条直线有如下三种关系：

相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； 平行直线：同一平面内，没有公共点；

异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设a 、b 、c 是三条直线

a ∥b

c ∥b

强调：公理4实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理4作用：判断空间两条直线平行的依据。

3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补

4 注意点：

① a'与b'所成的角的大小只由a 、b 的相互位置来确定，与O 的选择无关，为简便，点O 一般取在两直线中的一条上；

② 两条异面直线所成的角θ∈

(0， )； ③ 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作a ⊥b ； ④ 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形；

⑤ 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。已知两条异面直线a ，b ，经过空间任一点O 作直线'a ∥a, 'b ∥b,我们把'a 与'b 所成的锐角（或直角）叫做异面直线a 与b 所成的角。（注意：异面直线所成的角不大于90?）。 2.1.3 — 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 —— 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 —— 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 —— 没有公共点

指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用a α来表示

共面直线

=>a ∥c

2

π

a α a∩α=A a∥α

2.2.直线、平面平行的判定及其性质

2.2.1 直线与平面平行的判定

1、直线与平面平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行。

简记为：线线平行，则线面平行。

符号表示：

a α

b β => a∥α

a∥b

2.2.2 平面与平面平行的判定

1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。

符号表示：

a β

b β

a∩b = P β∥α

a∥α

b∥α

2、判断两平面平行的方法有三种：

（1）用定义；

（2）判定定理；

（3）垂直于同一条直线的两个平面平行。

2.2.3 —2.2.4直线与平面、平面与平面平行的性质

1、定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行。

简记为：线面平行则线线平行。

符号表示：

a∥α

a β a∥b

α∩β= b

作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。

2、定理：如果两个平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。

符号表示：

α∥β

α∩γ= a a∥b

β∩γ= b

作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行

2.3直线、平面垂直的判定及其性质

2.3.1直线与平面垂直的判定

1、定义

如果直线L与平面α内的任意一条直线都垂直，我们就说直线L与平面α互相垂直，记作L⊥α，直线L叫做平面α的垂线，平面α叫做直线L的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点P叫做垂足。

L

p

α

2、判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面垂直。

注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视；

b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学

思想。

2.3.2平面与平面垂直的判定

1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形

A

梭 l β

B

α

2、二面角的记法：二面角α-l-β或α-AB-β

3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。

2.3.3 —2.3.4直线与平面、平面与平面垂直的性质

1、定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。

2性质定理：两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。

本章知识结构框图

基础练习

一选择题

1.若直线a、b都和平面α平行,则直线a、b的位置关系是().

A.相交

B.平行

C.异面

D.以上三者都有可能

【解析】可以画出直线a、b的三种位置关系的图形.

【答案】D

2.给出下列结论:

①直线l平行于平面α内的无数条直线,则l∥α;②若直线a在平面α外,则a∥α;③若直线a∥b,b?α,则a∥α;④若直线a∥b,b?α,则直线a就平行于平面α内的无数条直线.其中结论正确的个数为().

A .1 B. 2 C. 3 D. 4

【解析】①直线l还可能在平面α内,所以①错误;

②直线a还可能与平面α相交,所以②错误;

③直线a还可能在平面α内,所以③错误;

④平面α内,与直线b平行的直线都与直线a平行,所以④正确.

【答案】A

3.如图所示,在三棱锥P-ABC的六条棱所在的直线中,异面直线共有().

A.1对

B.2对

C.3对

D.4对

【解析】根据异面直线的定义可知共3对,分别为AP与BC,CP与AB,BP与AC.

【答案】C

4.过一点与已知直线垂直的直线有().

A.一条

B.两条

C.无数条

D.无法确定

【解析】过一点与已知直线垂直的直线有无数条,包括相交垂直和异面垂直.

【答案】C

5.在两个平面内分别取一条直线,若这两条直线互相平行,则这两个平面的公共点个数().

A.有限个

B.无限个

C.没有

D.没有或无限个

【解析】两平面相交或者平行,因此这两个平面没有公共点或有无限个公共点.

【答案】D

6.一个平面内不共线的三点到另一个平面的距离相等且不为零,则这两个平面().

A.平行

B.相交

C.平行或重合

D.平行或相交

【解析】若三点在平面的同侧,则两平面平行;若三点在平面的异侧,则两平面相交.【答案】D

7.下列说法中,正确的个数是().

①平行于同一平面的两条直线平行.

②直线a平行于平面α内的一条直线b,那么直线a∥平面α.

③若两平行直线中的一条与平面α相交,那么另一条也与平面α相交.

④直线a与平面α内的无数条直线相交,那么直线a在平面α内.

A.0B.1C.2D.3

【解析】只有③正确.

【答案】B

8.a,b是两条直线,α是一个平面,给出下列三个命题:

①如果a∥b,b?α,那么a∥α;

②如果a∥α,b∥α,那么a∥b;

③如果a∥b,a∥α,那么b∥α.

其中真命题有().

A.0个

B.1个

C.2个

D.3个

【解析】①中,a有可能在平面α内,故①不正确;平行于同一个平面的两条直线不一定平行,故②不正确;③中,b有可能在平面α内,故③不正确.综上可知,选A.

【答案】A

9.平面α,β满足α∥β,直线a?α,下列四个命题中:

①a与β内的所有直线平行;②a与β内的无数条直线平行;③a与β内的任何一条直线都不相交;④a与β无公共点.

其中正确命题的个数是().

A.1

B.2

C.3

D.4

【解析】因为α∥β,直线a?α,所以a与β内的直线平行或异面,由此可知①错,其他均正确.

【答案】C

10.已知A、B、C、D四点不共面,且AB∥平面α,CD∥平面α,AC∩α=E,AD∩α=F,BD∩α=G,BC ∩α=H,则四边形EFGH是().

A.平行四边形

B.矩形

C.菱形

D.正方形

【答案】A

11.若平面α外的直线a与平面α所成的角为θ,则θ的取值范围是().

A.(0,)

B.[0,)

C.(0,]

D.[0,]

【解析】当a∥α时,θ=0;当a⊥α时,θ=;a和α斜交时,θ的取值范围是(0,),综上,θ的取值范围是[0,].

【答案】D

12.P为△ABC所在平面外的一点,且PA、PB、PC两两垂直,则下列命题:

①PA⊥BC;②PB⊥AC;③PC⊥AB;④AB⊥BC.

其中正确的个数是().

A.0

B.1

C.2

D.3

【解析】∵PA⊥PB,PA⊥PC,∴PA⊥平面PBC,

∴PA⊥BC,即①正确,同理可证得②③正确.

【答案】D

13.室内有一根直尺,无论怎么样放置,在地面上总有这样的直线,它与直尺所在的直线().

A.异面

B.相交

C.平行

D.垂直

【答案】D

14.若平面α、β互相垂直,则().

A.α中的任意一条直线都垂直于β

B.α中有且只有一条直线垂直于β

C.平行于α的直线垂直于β

D.α内垂直于交线的直线必垂直于β

【答案】D

15.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,底面是边长为2的正方形,高为4,则点A1到截面AB1D1的距离为().

A. B. C. D.

【解析】利用三棱锥A1-AB1D1的体积变换:=,则×2×4=×6×h,解得h=.

【答案】C

16.点P是等腰三角形ABC所在平面外一点,PA⊥平面ABC,PA=8,在△ABC中,底边BC=6,AB=5,则P到BC的距离为().

A.4

B.5

C.3

D.2

【解析】作AD⊥BC于D,连接PD,易证PD⊥BC,故PD的长即为P到BC的距离,

易求得AD=4,PD=4.

【答案】A

17.已知m,n表示两条不同的直线,α,β,γ表示三个不同的平面,给出下列三个命题:

(1)?m∥n;(2)?n∥α;(3)?m⊥n.其中推理正确的个数为().

A.0

B.1

C.2

D.3

【解析】若则m∥n,即命题(1)正确;若则n∥α或n?α,即命题(2)不正确;若则m⊥n,即命题(3)正确.故选C.

【答案】C

18.如图,平面α∩平面β=l,A∈α,B∈α,AB∩l=D,C∈β,C?l,则平面ABC与平面β的交线是().

A.直线AC

B.直线AB

C.直线CD

D.直线BC

【解析】∵D∈l,l?平面β,∴D∈平面β.

∵D∈AB,AB?平面ABC,∴D∈平面ABC,

∴D在平面ABC与平面β的交线上.

∵C∈平面ABC,且C∈平面β,∴C在平面β与平面ABC的交线上,

∴平面ABC∩平面β=CD.

【答案】C

二填空题

1.在空间四边形ABCD中,E、F分别是AB、CD的中点,且EF=5,又AD=6,BC=8,则AD与BC所成角的大小为.

【解析】取AC中点G,连接EG,FG,

在△EFG中,EG∥BC,EG=BC=4,FG∥AD,FG=AD=3,又知EF=5,

∴∠EGF=90°,∴AD与BC所成角为90°.

【答案】90°

2.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,BD和B1D1分别是正方形ABCD和A1B1C1D1的对角线.

(1)∠DBC的两边与的两边分别对应平行且方向相同;

(2)∠DBC的两边与的两边分别对应平行且方向相反.

【解析】(1)B1D1∥BD,B1C1∥BC,并且方向相同,所以∠DBC的两边与∠D1B1C1的两边分别对应平行且方向相同.

(2)D1B1∥BD,D1A1∥BC,并且方向相反,所以∠DBC的两边与∠B1D1A1的两边分别对应平行且方向相反.

【答案】(1)∠D1B1C1(2)∠B1D1A1

3.若a?α,b?β,则a与b的位置关系是.

【解析】可能异面,也可能存在平面γ,使a?γ,且b?γ,即a与b仍可以在同一平面内.

【答案】平行、相交或异面

4.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E、F分别是棱BC、C1D1的中点,则EF与平面BB1D1D的位置关系是.

【解析】如图,取D1B1的中点O,连接OF,OB.

∵OF B1C1,BE B1C1,

∴OF BE,∴四边形OFEB为平行四边形,∴EF∥BO.

∵EF?平面BB1D1D,BO?平面BB1D1D,

∴EF∥平面BB1D1D.

【答案】平行

5.平面α∥平面β,△ABC和△A'B'C'分别在平面α和平面β内,若对应顶点的连线共点,则这两个三角形.

【解析】由于对应顶点的连线共点,则AB与A'B'共面,

由面与面平行的性质知AB∥A'B',

同理AC∥A'C',BC∥B'C',故两个三角形相似.

【答案】相似

6.过平面外一点作该平面的垂线有条;垂面有个;平行线有条;平行平面有个.

【答案】一无数无数一

7.已知AH⊥Rt△HEF所在的平面,且HE⊥EF,连接AE、AF,则图中直角三角形的个数

是.

【解析】易知△AHE,△AHF,△HEF为直角三角形,又因为EF⊥HE,EF⊥AH,所以EF⊥平面AEH,所以EF⊥AE,即△AEF也是直角三角形.综上所述,图中直角三角形个数为4.

【答案】4

8.在正方体ABCD-A1B1C1D1中,直线C1D与平面B1CD所成的角为.

【解析】连接C1B交B1C于点O,根据直线C1B⊥平面B1CD,可得直线C1D与平面B1CD所成的角为∠ODC1,在Rt△ODC1中,根据DC1=2OC1,可得∠ODC1=30°,因此直线C1D与平面B1CD所成的角为30°.

【答案】30°

9.正四棱锥(顶点在底面的射影是底面正方形的中心)的体积为12,底面对角线的长为2,求侧面与底面所成的二面角.

【解析】易求得底面边长为2,高为3,tan θ=,所以θ=60°.

10.如图,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=2,点E为AD的中点,点F在CD上.若EF∥平面AB1C,则线段EF的长度等于.

【解析】由EF∥平面AB1C,可知EF∥AC,

所以EF=AC=×2=.

强化练习

一选择题

1．下列命题中，正确的有()

①如果一条直线垂直于平面内的无数条直线，那么这条直线和这个平面垂直．

②过直线l外一点P，有且仅有一个平面与l垂直．

③如果三条共点直线两两垂直，那么其中一条直线垂直于另两条直线确定的平面．

④垂直于三角形两边的直线必垂直于第三边．

⑤过点A垂直于直线a的所有直线都在过点A垂直于a的平面内．

A．2个B．3个

C．4个D．5个

[答案]C

[解析]②③④⑤正确，①中当这无数条直线都平行时，结论不成立．

2．设直线l、m，平面α、β，下列条件能得出α∥β的是()

A．l?α，m?α，且l∥β，m∥β

B．l?α，m?β，且l∥m

C．l⊥α，m⊥β，且l∥m

D．l∥α，m∥β，且l∥m

[答案]C

[解析]排除法，A可举反例，如图(1)，B可举反例如图(2)，其中l与m都平行于a，D可举反例，如图(3)，故选C.

3．(08·福建理)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则BC1与平面BB1D1D所成角的正弦值为()

A.63

B.255

C.155

D.

105

[答案] D

[解析] 取B 1D 1中点O ，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，

∵A 1B 1＝B 1C 1＝2，∴C 1O ⊥B 1D 1， 又C 1O ⊥BB 1，C 1O ⊥平面BB 1D 1D ，

∴∠C 1BO 为直线C 1B 与平面BB 1D 1D 所成的角， 在Rt △BOC 1中，C 1O ＝2，BC 1＝BC 2＋CC 21＝5，

∴sin ∠OBC 1＝

10

5

. 4．(09·四川文)如图，已知六棱锥P －ABCDEF 的底面是正六边形，P A ⊥平面ABC ，P A ＝2AB ，则下列结论正确的是( )

A ．P

B ⊥AD

B ．平面P AB ⊥平面PB

C C ．直线BC ∥平面P AE

D ．直线PD 与平面ABC 所成的角为45° [答案] D

[解析] 设AB 长为1，由P A ＝2AB 得P A ＝2， 又ABCDEF 是正六边形，所以AD 长也为2， 又P A ⊥平面ABC ，所以P A ⊥AD ， 所以△P AD 为直角三角形． ∵P A ＝AD ，∴∠PDA ＝45°，

∴PD 与平面ABC 所成的角为45°，故选D.

5．(09·湖北文)如图，在三棱柱ABC －A 1B 1C 1中，∠ACB ＝90°，∠ACC 1＝60°，∠BCC 1

＝45°，侧棱CC 1的长为1，则该三棱柱的高等于( )

A.1

2

B.22

C.3

2

D.

33

[答案] A

[解析] 作C 1O ⊥底面ABC 于O ，

作OM ⊥CB 于M ，连C 1M . 作ON ⊥AC 于N ，连C 1N .

易知ON ⊥AC ，OM ⊥BC ，

又∠ACB ＝Rt ∠，∴ONCM 为矩形，OC ＝MN ， 在Rt △CNC 1中，∠C 1CN ＝60°，CC 1＝1，∴CN ＝1

2

，

在Rt △C 1MC 中，∠C 1CM ＝45°，CC 1＝1，∴CM ＝

22

. ∴NM ＝

????122＋????222＝32，∴OC ＝32

， 在Rt △C 1OC 中，C 1O ＝1－??

??322＝1

2

， ∴三棱柱高为1

2

.

6．(09·宁夏海南文)如图，正方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的棱长为1，线段B 1D 1上有两个动点E ，F ，且EF ＝

2

2

，则下列结论中错误的是( ) A ．AC ⊥BE B ．EF ∥平面ABCD

C ．三棱锥A －BEF 的体积为定值

D ．△AEF 的面积与△BEF 的面积相等

[答案]D

[解析]由正方体ABCD－A1B1C1D1得，B1B⊥平面ABCD，∴AC⊥B1B，又∵AC⊥BD，∴AC⊥面BDD1B1，BE?面BDD1B1，

∴AC⊥BE，故A正确．

由正方体ABCD－A1B1C1D1得，B1D1∥BD，

B1D1?平面ABCD，BD?平面ABCD，

∴B1D1∥平面ABCD，

∴EF∥平面ABCD，∴B正确．

∵A到平面BDD1B1的距离d＝

2 2，

∴V A－BEF＝1

3S△BEF·d

＝1

3·

1

2S△BB1D1·d＝

1

12.

∴三棱锥A－BEF的体积为定值，故C正确．