楂树腑鏁板

n
(3)求和:
曲边梯形的面积近A 似li为m 0 i1
f
(xi )Dxi
;.
(4)取极限: 设max{Dx1, Dx2,, Dxn}, 曲边梯形的面积为
n
A
lim
0 i1
f
(xi )Dxi
.
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2.变速直线运动的路程
已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且
f(x)dx ——被积表达式,
x ————积分变量,
a ————积分下限,
b ————积分上限,
[a, b]———积分区间，
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二、定积分定义
❖定积分的定义
b
a
n
f (x)dx lim 0 i1
f (xi)Dxi
.
根据定积分的定义,
曲边梯形的面积为
A
b
a
f
(x)dx
.
变速直线运动的路程为
间[a, b]上可积. •定理1
如果函数f(x)在区间[a, b]上连续, 则函数f(x)在区间[a, b]
上可积.
•定理2
如果函数f(x)在区间[a, b]上有界, 且只有有限个间断点,
则函数f(x)在区间[a, b]上可积.
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•定积分的几何意义
当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直
解:
取分点为
Dxi
1 n
(i1,
2,
,
n1),
则
xi
i n
(i1,
2,
,
n).
在第i
个小区间上取右端点 x i
xi
i n
(i1,
2,
,
n).
于是
1e xdx lim
n
i
en
1
lim
1
(e
1 n
e
2 n
e
n n
)
0
n i1 n n n
1
1
1
lim
1 e n [1(e n
)n ] lim
e n [1e]
n
S v( i )Dti ;
i 1
(4)取极限: 记max{Dt1, Dt2,, Dtn}, 物体所经过的路程为
n
S
lim
0
i
1
v(
i
)Dt
i
.
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二、定积分定义
❖定积分的定义
设函数f(x)在区间[a, b]上有界.
•在区间[a, b]内插入分点: ax0<x1<x2< <xn1<xnb;
01(1 x)dx
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.
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三、定积分的性质
❖两点规定
(1)当 ab 时,
b
a
f
(x)dx
0
;
(2)当 ab 时,
b
a
f
(x)dx ba
f
(x)dx
.
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三、定积分的性质
性 •性质质11
ab[
f
(x)
g
(x)]dx
b
a
f
(x)dx
abg(x)dx
记Dxixixi1 (i1, 2,, n), max{Dx1, Dx2,,Dxn};
•在小区间[xi1, xi]上任取一点xi (i1, 2,, n), 作和n f (xi)Dxi ;
•如果当0时, 上述和式的极限存在, 且极限值与i1区间[a, b]
的分法和xi的取法无关, 则称此极限为函数f(x)在区间[a, b]上
S
T2v(t)dt
T1
.
说明：
定积分的值只与被积函数及积分区间有关, 而与积分变
量的记法无关, 即
b
a
f
(x)dx
b
a
f
(t)dt
b
a
f
(u)du
.
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二、定积分定义
❖定积分的定义
❖函数的可积性
b
a
n
f (x)dx lim 0 i1
f (xi)Dxi
.
如果函数f(x)在区间[a, b]上的定积分存在, 则称f(x)在区
v(t)0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S.
(1)分割: T1t0<t1<t2< <tn1<tnT2, Dtititi1;
(2)近似代替: 物体在时间段[ti1, ti]内所经过的路程近似为
DSiv(i)Dti ( ti1< i<ti );
(3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
定积分概念与性质
一、定积分问题举例 二、定积分定义 三、定积分的性质
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一、定积分问题举例
1.曲边梯形的面积
•曲边梯形 设函数yf(x)在区间[a, b]上非负、连续. 由直线xa、xb、
y0及曲线yf (x)所围成的图形称为曲边梯形, 其中曲线弧称 为曲边.
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•观察与思考 在曲边梯形内摆满小的矩形, 当小矩形的宽度减少时,
小矩形面积之和与曲边梯形面积之间的误差将如何变化? 怎样求曲边梯形的面积？
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•求曲边梯形的面积
(1)分割: ax0< x1< x2< < xn1< xn b, Dxixixi1;
(2)近似代替: 小曲边梯形的面积近似为f(xi)Dxi (xi1<xi<xi);
e 1
n n
1
1e n
n
1
n(1e n )
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•利用几何意义求定积分
例例22 用定积分的几何意义求01(1 x)dx .
解 函数 y1x在区间[0, 1]上的定积分是以y1x为曲边,
以区间[0, 1]为底的曲边梯形的面积.
因为以y1x为曲边, 以区间[0, 1]为底的曲边梯形是一个 直角三角形, 其底边长及高均为1, 所以
线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积. 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示曲边梯形面积的
负值. 一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x)
及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.
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•利用定义计算定积分
例1 利用定积分定义计算 01e xdx .
的定积分,
记为
b
a
f
(
x)dx
,
即
b
a
n
f (x)dx lim 0 i1
f (xi)Dxi
.
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二、定积分定义
❖定积分的定义
b
a
n
f
(x)dx
lim
0 i1
f
(xi
)Dxi
.
•定积分各部分的名称 ————积分符号,
n
f
(xi )Dxi
———积分和.
f(x) ———被积函数, i1
.
这是因为
abab[[ff((xx))gg((xx))]]ddxx
nn
lliimm00ii11[[ff((xxii))gg((xxii))]]DDxxii
线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.
当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示曲边梯形面积的
负值.
这是因为
b
a
f
n
(x)dx lim 0 i1
f
n
(xi
)Dxi
lim
0
[
i 1
f
(xi )]Dxi
ab[
f
(x)]dx
.
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•定积分的几何意义 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直