电路课件 第七章(第五版 邱关源 高等教育出版社)

t
t0
令 =RC , 称为一阶电路的时间常数
RC
欧法
欧
库 伏
欧安伏秒
秒
=RC
t
uc U0e t 0
时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
uc
大 → 过渡过程时间长
U0
大
小 → 过渡过程时间短
0 小 t
t0
t
uc U0e
U0
U0 e -1
2
U0 e -2
3
U0 e -3
5
第七章 一阶电路的时域分析
重点
1. 动态电路方程的建立及初始条件的确定； 2. 一阶电路的零输入响应、零状态响应和
全响 应求解； 3. 一阶电路的三要素求解。
§7-1 动态电路的方程及其初始条件
一.动态电路
含有动态元件电容和电感的电路称动态电路。
1.过渡过程： 当动态电路的结构或元件的参数发生变化时，
电感的初始条件：
iL
+
u
L
-
1t
iL(t ) iL(0 ) L
u()d
0
t = 0+时刻 当u为有限值时
0
1
iL(0 ) iL(0 ) L
0 u()d
0
iL(0＋)= iL(0－) LiL L (0＋)= L (0－)
结论：
磁链守恒
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
t
uc U0e RC t 0
i1 K
5F +
uC
2 3
i2 6
－
i3
代入 U0 24V RC 5 4 20 s
t
t >0等效电路
uc 24e 20V
t0
t
i1 uC 4 6 e 20 A
5F + i1
uC 4
分流得：i3
2 3
i1
4e
t 20
A
i2
1 3
i1
2e
t 20
A
－
二. RL电路的零输入响应
支路接入或断开 电路参数变化
f (0 ) f (0 )
认为换路在 t = 0时刻进行
0－ 换路前最终时刻 0＋ 换路后最初时刻
f(t) 0－ 0 0＋
f (0 ) f (0 )
t
f (0 ) lim f (t) t0 t0
f (0 ) lim f (t) t0 t0
初始条件为 t = 0＋时u ，i 及其各阶导数的值。
3.一阶电路
动态元件：
电感： u L di dt
1t
i i(t0 ) L
u()d
t0
电容： i C du dt
1t
u(t) u(t0 ) C
i()d
t0
根据KCL、KVL、VCR建立的方程是以u 和 i 为变量的微积 分方程，无源元件均为线性、非时变。
对于只含一个储能元件 ，电路方程是一阶线性常微分方 程 ，相应的电路称为一阶电路。
换路定则：
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
uC (0+) = uC (0－)： 则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
iL(0+)= iL(0－)
换路瞬间，若电感电压保持为有限值， 则电感电流（磁链）换路前后保持不变。
注意: （1）电容电流和电感电压为有限值是换路定律成立的条件。 （2）换路定则反映了能量不能跃变。
U0 e -5
U0 0.368 U0 0.135 U0 0.05 U0 0.007 U0
：电容电压衰减到原来电压36.8%所需的时间。
工程上认为, 经过 3－5, 过渡过程结束。
（3）能量关系
电容不断释放能量被电阻吸收,
直到全部消耗完毕.
+
uC－ C R
设uC(0+)=U0
电容放出能量：
WC
1 2
iR
2 +
uR
-
K (t=0)
iC
1
2
iL
+
uC
+
uL
－
–
10A
is
iR
2 +
uR
-+
K (t=0)
-
iC
1
2
+
uC
iL
+
uL
－
–
10 is iR ic iL
t
iL
uC
iC iR
is
0- 5A 10V 0 5A 0
uL uR
0 10V
0+ 5A 10V -10A 0 15A -10V 0
例4: 求K闭合瞬间各支路电流和电感电压。
步
b.电容用电压源、电感用电流源替代。
骤
: （取0+时刻值，方向与原假定的方向相同）。
4). 由0+电路求所需各变量的0+值。
例1： 求 iC(0+)
(1) 由0－电路求 uC(0－)
+
i 10k 40k
iC
+
uC
- 10V k
-
+ 10k
40k
- 10V
uC(0－)=8V
+电
uC 容
-开
路
+ i 10k
uL(0 ) 48 212 24V
§7-2 一阶电路的零输入响应
零输入响应
换路后外加激励为零，仅由动态元件初 始储能所产生的电压和电流。
一. RC电路的零输入响应 已知 uC (0－)=U0
K(t=0) i 方程: uR uC 0
+
C uC
+
R uR
RC duC dt
uC
0
i C duC dt
2. 非独立的初始条件
除电容电压、电感电流外，其它初始条件都为非独立初始条 件，都可以跃变。根据以求得的uc（0+）和iL（0+）及KVL、 KCL求之。
求 1). 由换路前电路（一般为稳定状态）求uC(0－)和iL(0－)；
初 始
2). 由换路定则得 uC(0+) 和 iL(0+)。
值 的
3). 画0+等效电路。a. 换路后的电路
10V
+
uV
–
V RV 10k
iL
RV 10k
R=10 L=4H
iL e t/ t 0
L 4 4 104 s
R RV 10000
uV RV iL 10000e2500t
uV (0+)=－ 10000V 造成 V 损坏。
t0
iL
R
10V
L
例2: 如图，求电感电压和电流及开关两端电压u12。
1t
uC (t) uC (0 ) C
i()d
0
i+ uc- C
t = 0+时刻，当i()为有限值时 0
1
uC (0 ) uC (0 ) C
0 i()d
0
uC (0+) = uC (0－) q =C uC q (0+) = q (0－)
结论：
换路瞬间，若电容电流保持为有限值，
电荷守恒
则电容电压（电荷）换路前后保持不变。
K(t=0) 2
+1
24V
– 4
2 iL 3 4 u+L 6H
－
t >0 R
i
+
L uL
–
解:
iL(0 ) iL(0 )
24 6 2A
6
4 2 3 // 6 3 6
R 3 (2 4) // 6 6
L 6 1s
R6
iL 2e t A
uL
L diL dt
12et V
t0
动态电路的分析方法：
• 根据KVl、KCL和VCR建立微分方程： 描述动态电路的电路方程为微分方程；动态电路方程的阶数
等于电路中动态元件的个数。 • 求解微分方程：
本章采用时域分析法：经典法
工程中高阶微分方程应用计算机辅助分析求解。
二. 电路的初始条件
1.换路定则－独立初始条件的确定
电容的初始条件：
(2) 由换路定则
+
8V
Baidu Nhomakorabea
uC (0+) = uC (0－)=8V
- 10V
iC
- (3) 由0+等效电路求 iC(0+)
0+等效电路 电容用电 压源替代
10 8 iC (0 ) 10 0.2mA
iC(0－)=0 iC(0+)
例 2 t = 0时闭合开关k , 求 uL(0+)
解 先求 iL (0 )
需要经历一个变化过程才能达到新的稳定状态。这
个变化过程称为电路的过渡过程。
例
电阻电路
i
+ i R1
us
-
R2
（t=0）
i US / R2 i US (R1 R2 )
t
0 过渡期为零
电容电路
(t = 0)
i
R+
Us
K
uC C
–
K未动作前，电路处于稳定状态
i = 0 , uC = 0
K接通电源后很长时间，电容充电 完毕，电路达到新的稳定状态
t0
t
iL(t) I0e L/R t 0
uL(t)
L diL dt
t
RI0e L/ R
从以上式子可以得出：
Ri
+
L uL
–
（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
I0 iL 0
连续 函数
t
uL -RI0
t
跃变
（2）响应的衰减快慢与L/R有关；
令 = L/R , 称为一阶RL电路时间常数
u12
24
4
iL 2
24 4etV
小结:
1. 一阶电路的零输入响应是由储能元件的初值引起的 响应, 都是由初始值衰减为零的指数衰减函数。
t
f ( t ) f ( 0 )e
RC电路 uC (0+) = uC (0－) RL电路 iL(0+)= iL(0－)
2. 衰减快慢取决于时间常数 ： RC电路 = RC , RL电路 = L/R
(t →)
i
i = 0 , uC= Us
Us
R+
uC C
–
U S uc
US
R?
i
前一个稳定状态 有一过渡期
0
t1
过渡状态
新的稳定状态
t
电感电路
(t = 0)
i
R+
Us
K
uL L
–
K未动作前，电路处于稳定状态
i = 0 , uL = 0
K接通电源后很长时间，电路达到 新的稳定状态，电感视为短路
(t →)
R1 US
Ri
+
K(t=0) L uL
–
iL (0
)
iL(0 )
US R1 R
I0
方程:
di L
Ri
0
t0
dt
i(t) Ae pt
t >0
Ri
+
L uL
–
特征方程: Lp+R=0
特征根: p R L
代入初始值 i (0+)= I0
A= i(0+)= I0
得
i(t)
I0e pt
Rt
I0e L
–
i
uC R
U0 R
t
e RC
t
I0e RC
t0
或
i C duC dt
t
CU0e RC
(
1) RC
U0 R
t
e RC
从以上各式可以得出：
（1）电压、电流是随时间按同一指数规律衰减的函数；
U0 uC
连续 函数
i I0
跃变
0
t
0
t
uc U0e RC t 0
t
i I0e RC
（2）响应的衰减快慢与RC有关；
R为与动态元件相连的一端口电路的等效电阻。
3. 同一电路中所有响应具有相同的时间常数。
§7-3 一阶电路的零状态响应
零状态响应
动态元件初始能量为零，由t >0电路 中外加输入激励作用所产生的响应。
一.RC电路的零状态响应 列方程：
K(t=0) R
i
RC
duC dt
uC
US
US
+ uR –
C
uC (0－)=0
+
uC
–
非齐次线性常微分方程
其解为： uc uc' uc"
非齐次方程特解
齐次方程通解
uC
特解（强制分量，稳态分量）
RC
CU02
电阻吸收（消耗）能量：
WR
i 2 Rdt
0
(U0
e
t RC
)2
Rdt
0R
U
2 0
R
2t
e RC dt
0
U
2 0
R
(
RC 2
e
2t RC
)
|0
1 2
CU
0
2
例:
已知图示电路中的电容原本充有24V电压，求K闭合后， 电容电压和各支路电流随时间变化的规律。
解:
这是一个求一阶RC 零输 入响应问题，有：
1 4
1 4
电
+
感
K 10V
L uL
iL -
10V
短 路
0+电路 1 4
10V
2A
电感用电 流源替代
10 iL(0 ) 1 4 2A
+ uL(0 ) 0 uL(0 ) 0
uL 由换路定则:
-
iL(0+)= iL(0－) =2A
uL(0 ) 2 4 8V
例３:
10A
确定初始条件
is
2
解 由0－电路得：
+
+
K L uL
3
48V
-
iL
-
2
C
+ 2
48V iL
-
3
2
+ uC
－
由0+电路得：
i
+
+ uL iC
48V -
- 12A 2
3
+
24V
-
iL(0 ) iL(0 ) 48 / 4 12A
uC (0 ) uC (0 ) 212 24V
iC (0 ) (48 24) / 3 8A i(0 ) 12 8 20A
i
R+
Us
uL L
–
uL= 0, i=Us /R
i
US
?
US/R
UL
前一个稳定状态 0
t1
t 新的稳定状态
有一过渡期
过渡状态
过渡过程产生的原因：
电路内部含有储能元件 L 、C，电路在换路时能量发生
变化，而能量的储存和释放都需要一定的时间来完成。
p W t
t 0 p
2. 换路：
电路结构、状态发生变化 t = 0＋与t = 0－的概念
uR= Ri
–
–
uC (0 ) uC (0 ) U0
通解： uC Ae pt
特征根
p 1 RC
特征方程 RCp+1=0
则
1t
uC ( t ) Ae RC
1t
uc Ae RC
A=U0
代入初始值 uC (0+)=uC(0－)=U0
i
t
uc U0e RC t 0
+
C uC
–
+
R uR
WL
1 2
LI02
电阻吸收（消耗）能量：
WR
i 2 Rdt
0
0
(
I
0e
L
t /
R
)2
Rdt
I
2 0
R
0
e
2t L/ R
dt
I
2 0
R(
L
/
R
e
2t RC
2
) |0
1 2
LI02
例1: t=0时 , 打开开关K，求uv。电压表量程：50V
K(t=0)
解:
iL (0+) = iL(0－) = 1 A
[
]
[
L] R
亨 [欧]
[
韦 安欧
]
伏 [安
秒 欧
]
[秒]
= L/R
t
iL(t) I0e
t0
时间常数 的大小反映了电路过渡过程时间的长短
大 → 过渡过程时间长 小 → 过渡过程时间短
（3）能量关系
电感不断释放能量被电阻吸收,
Ri
+
L uL
–
直到全部消耗完毕.
设iL(0+)=I0
电感放出能量：