北邮通信原理习题集电子版第02章

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《通信原理习题选》
解：设 m ( t ) 的傅氏变换为 M ( f (1) x1 ( t ) 的频谱为
)
f <0 f >0
⎧ M ( f + fc ) ⎪ 1 ⎪ 2 X1 ( f ) = ⎡ M f f M f f − + + ⎤ = ( ) ( ) ⎨ c c ⎣ ⎦ 2 ⎪ M ( f − fc ) ⎪ 2 ⎩ ˆ 因此其 Hilbert 变换 x1 ( t ) 的频谱为 ⎧ M ( f + fc ) j ⎪ ⎪ 2 ˆ X1 ( f ) = ⎨ ⎪− j M ( f − f c ) ⎪ 2 ⎩
∑ δ ( t − nT ) =
1 T2
∞
∞
Px ( f ) =
m =−∞
f− ⎟ ∑δ⎜ T⎠ ⎝
⎛
m⎞
⎛ fT ⎞ g ( t ) 的傅氏变换是 G ( f ) = sinc ⎜ ⎟ ，因此 ⎝ 2 ⎠ 1 ∞ m⎞ ⎛m⎞ ⎛ Ps ( f ) = 2 ∑ sinc 2 ⎜ ⎟ δ ⎜ f − ⎟ T m =−∞ T⎠ ⎝2⎠ ⎝ 1 1 ∞ 4 2k − 1 ⎞ ⎛ = 2 δ ( f )+ 2 ∑ δ⎜f − ⎟ 2 2 T T k =−∞ ( 2k − 1) π ⎝ T ⎠
=∫
−∞ −∞ ∞
∫
S1∗ ( f ) S 2 ( u ) δ ( f − u ) dudf
= ∫ S1∗ ( f ) S 2 ( f ) df
−∞
注：Paserval 定理的一般形式是 其中 s1 ( t ) , s2 ( t ) 是任意的复信号， S1 ( f ) , S 2 ( f ) 分别是 s1 ( t ) , s2 ( t ) 的傅氏变换。 它的一个特例是 s1 ( t ) = s2 ( t ) = s ( t ) ，此时
−∞
U ( f ) = S( f )S( f ) = S( f )
6．证明
k =−∞
∑ sinc ( k + ε ) = 1 ，其中 0 ≤ ε < 1 。
k + ε = kTs + ε 时刻进行理想采样，得 fs
∞
证：对直流信号 m ( t ) 以 f s = 1Hz 的采样速率在 t = 到的采样信号是
ˆ (t ) ； (2) x2 ( t ) = m ( t ) + jm ˆ ( t ) sin 2π f c t ； (3) x3 ( t ) = m ( t ) cos 2π f c t − m
t ⎛ ⎞ f c t + K ∫ m (τ ) dτ ⎟ ⎫ ⎧ ⎪ j 2π ⎜ −∞ ⎝ ⎠⎪ (4) x4 ( t ) = Re ⎨ Ae ⎬。 ⎪ ⎪ ⎩ ⎭
4 ． 对 任 意 实 信 号 g1 ( t ) , g 2 ( t ) ，
( −∞ < t < ∞ )
， 令 u ( t ) = g1 ( t ) + g 2 ( t ) 、
v ( t ) = g1 ( t ) − g 2 ( t ) 。求 u ( t ) 与 v ( t ) 正交的条件。
解：
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∞
证：
∞ * ⎡ ∞ S ( f ) e j 2π ft df ⎤ ⎡ ∞ S ( u ) e j 2π ut du ⎤ dt s t s t dt = ( ) ( ) 1 2 ∫−∞ ∫−∞ ⎣ ⎢ ∫−∞ 1 ⎥ ⎣ ⎢ ∫−∞ 2 ⎥ ⎦ ⎦ ∞ ∗
=∫
∞
−∞ ∞
∫
∞ S1∗ ( f ) S 2 ( u ) ⎡ ∫ e − j 2π ft + j 2π ut dt ⎤ dudf ⎢ −∞ ⎥ −∞ ⎣ ⎦ ∞ ∞
也即
f <0 f >0
ˆ ( f ) = j M ( f + fc ) − j M ( f − fc ) X 1 2 2
做傅氏反变换得
j j m ( t ) e− j 2π fct − m ( t ) e j 2π fct = m ( t ) sin 2π f c t 2 2 ∗ ˆ (t ) = m ˆ2 ( t ) = m ˆ ( t ) + jm ˆ ˆ ( t ) − jm ( t ) = − jx2 (2) x (t ) ˆ1 ( t ) = x
∞
s (t ) =
k =−∞
∑
m ( kTs + ε ) δ ( t − kTs − ε ) =
k =−∞
∑ δ ( t − kT
∞
∞
s
−ε )
再将 s ( t ) 通过一个带宽为
fs = 0.5Hz 的理想低通滤波器，则输出还是直流 m ( t ) = 1 。 2
k =−∞
另外，此理想低通的冲激响应是 sinc ( t ) ，因此滤波器输出是 并考虑到 sinc ( x ) 是偶函数，得
o
s ( t ) = m1 ( t ) cos ( 2π f ct − ϕ ) − m2 ( t ) sin ( 2π f c t − ϕ ) = Re sL ( t ) e j 2π fct
{
}
其中基带信号 m1 ( t ) 和 m2 ( t ) 的带宽都是 W 且 W << f c ， sL ( t ) 是 s ( t ) 的复包络。 (1)求出 sL ( t ) 的实部 mo ( t ) = Re sL ( t )
解： s ( t ) 可看成是冲激序列 x ( t ) = 输出。将 x ( t ) 展成傅氏级数，得
n =−∞
∑ δ ( t − nT ) 通过一个冲激响应为 g ( t ) 的线性系统的
m t 1 ∞ j 2π T e ∑ T m =−∞
∞
x (t ) =
所以 x ( t ) 的功率谱密度为
n =−∞
−∞
∞
∞
∫
∞
−∞
sinc ( t − y ) sinc ( y ) dy = ?
解：令 s ( t ) = sinc ( t ) ，则其傅氏变换是
⎧ ⎪1 S( f )=⎨ ⎪ ⎩0
∞
f ≤
1 2 esle
以 u ( t ) 的傅氏变换是 因此 u ( t ) = sinc ( t )
u ( t ) = ∫ sinc ( t − y ) sinc ( y ) dy 是 sinc ( t ) 和 sinc ( t ) 的卷积。时域卷积对应频域乘积，所
πt
πt
πt
g ′ ( t ) 的傅氏变换为
⎞ ⎟。 ⎟ ⎠
G ′ ( f ) = Ts sinc ( fTs )
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《通信原理习题选》
因此 g ( t ) 的傅氏变换为
⎡ 1⎞ 1 ⎞⎤ ⎛ ⎛ sin π ⎜ fTs + ⎟ sin π ⎜ fTs − ⎟ ⎥ ⎢ ⎡ ⎤ ⎛ ⎛ 1 1 ⎞ 1 ⎞ Ts 2⎠ 2⎠ ⎝ ⎝ ⎥ + G ( f ) = ⎢G ′ ⎜ f − ⎟ + G′ ⎜ f + ⎟⎥ = ⎢ 1⎞ 1⎞ ⎥ 2⎣ ⎝ 2Ts ⎠ 2Ts ⎠ ⎦ 2 ⎢ ⎛ ⎛ ⎝ π ⎜ fTs + ⎟ π ⎜ fTs − ⎟ ⎢ ⎥ 2⎠ 2⎠ ⎦ ⎝ ⎝ ⎣ ⎡ ⎤ ⎢ cos π fTs cos π fTs ⎥ T T cos π fTs 1 ⎥=− s = s⎢ − × 1 2 1⎞ 1⎞ 2⎢ ⎛ 2π ⎛ ( fTs ) − π ⎜ fTs + ⎟ π ⎜ fTs − ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ 4 2⎠ 2 ⎠⎦ ⎝ ⎣ ⎝ 2Ts cos π fTs = π (1 − 4 f 2Ts2 )
−
Ts T ≤t < s 2 2 else
∫
∞
−∞
G ( f ) df = ? 。
2
解：(1)令
T T ⎧ ⎪1 − s ≤ t < s g′ (t ) = ⎨ 2 2 ⎪ else ⎩0
则
−j g ′ ( t ) ⎛ j Ts T g ( t ) = g ′ ( t ) cos = ⎜e + e s 2 ⎜ Ts ⎝
(2) s ( t ) 的频谱在 f < f c 范围内是 0， 说明 sL ( t ) 只具有正频率分量， 也即 m1 ( t ) + jm2 ( t ) 只 具有正频率分量。满足这种情况的情形是： m2 ( t ) 是 m1 ( t ) 的 Hilbert 变换，此时由于
m1 ( t ) + jm2 ( t ) 是解析信号，所以只有正频率分量。
∫
∞
−∞
* s1 ( t ) s2 ( t ) dt = ∫ S1* ( f ) S2 ( f ) df ， −∞
∞
其中 S ( f ) 是 s ( t ) 的傅氏变换。 2．已 ) dt = ∫
2
∞
−∞
S ( f ) df
2
(1)求其傅氏变换 G ( f ) ； (2)
⎧ πt ⎪cos Ts g (t ) = ⎨ ⎪ 0 ⎩
ˆ3 ( t ) = m ( t ) sin 2π f c t + m ˆ ( t ) cos 2π f c t (3) x
(4)
t ⎛ ⎞ ⎧ f c t + K ∫ m (τ ) dτ ⎟ ⎫ ⎪ j 2π ⎜ −∞ ⎝ ⎠⎪ x4 ( t ) = Re ⎨ Ae ⎬ ⎪ ⎪ ⎩ ⎭ t = A cos ⎡ 2π f c t + 2π K ∫ m (τ ) dτ ⎤ ⎢ ⎥ −∞ ⎣ ⎦
《通信原理习题选》
因此， u ( t ) 与 v ( t ) 正交的条件就是 g1 ( t ) 和 g 2 ( t ) 等能量。 5．
⎡ g1 ( t ) + g 2 ( t ) ⎦ ⎤⎣ ⎡ g1 ( t ) − g 2 ( t ) ⎦ ⎤ dt ⎣ ∫−∞ u ( t ) v ( t ) dt = ∫−∞ ∞ 2 2 =∫ ⎡ ⎣ g1 ( t ) − g 2 ( t ) ⎤ ⎦ dt = E1 − E2