积分变换法
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F ( λ ) = F [ f ( t )] =
1 ⎡ f ( x0 + 0 ) + f ( x0 − 0 ) ⎤ . ⎦ 2⎣
7
δ 函数的 Fourier 变换
F (ω ) = F ⎡δ ( x ) ⎤ = ⎣ ⎦
∞
高维 Fourier 变换
1 . 2π
1 2π
∫
∞
−∞
δ ( x ) e − iω x dx =
F ( p) 称为 f ( x) 的象函数或象, f ( x) 称为 F ( p) 的原象。
1 2
Fourier 变换及其逆变换
1 F (ω ) = F ⎡ f ( x ) ⎤ ≡ ⎣ ⎦ 2π
在这种变换下，原来的偏微分方程的自变量个数 减少，原来的常微分方程可以变成代数方程。通过求 解变换后的方程然后再对其解进行逆变换，就可以得 到原问题的解。
3. 延迟性质 设 x0 为任意常数, 则
F ⎡ f ( x − x0 ) ⎤ = e − iω x0 F (ω ) . ⎣ ⎦
4. 相似性质 设 a 为不为零的常数, 则
dn n F ⎡ f ( x ) ⎤ = F ⎡ ( −ix ) f ( x ) ⎤ . ⎦ ⎣ ⎦ dω n ⎣
∞
8. 卷积性质 F [ f1 ∗ f 2 ] = 2π F [ f1 ] F [ f 2 ] , 其中卷积定义为:
r rr f ( x ) eiλ ⋅x dx1 L dxn ,
⇒ δ ( x) =
1 2π
∫
∞
−∞
cos ω xd ω =
1 2π
∫
∞
−∞
e − iω x d ω.
r f (x) =
∫
rr r ∞ L∫ F λ e − iλ ⋅ x d λ1 L d λn . −∞
( )
9
10
例 13.2 求解无限长细杆的热传导问题
3） L ⎡ t
Γ ( n + 1) dt = , Re p > 0. p n +1
L ⎡ f ( t − τ ) ⎤ = e − pτ L ( p ) . ⎣ ⎦
4. 相似性质 设 a > 0 , 则
[补充] :
p n! π 1 L[cos at ] = 2 , L ⎡t n ⎤ = , L ⎡ t −1 2 ⎤ = , L [1] = . ⎦ a + p 2 ⎣ ⎦ p n +1 ⎣ p p
∫
∞ −∞
∞
−∞
f ( x ) e − iω x dx ,
f ( x ) = F −1 ⎡ F (ω ) ⎤ = ∫ F (ω ) eiω x d ω. ⎣ ⎦
F (ω ) = F ⎡ f ( x ) ⎤ 称 为 函 数 f ( x ) 的 Fourier 变 换 , ⎣ ⎦
f ( x ) = F −1 ⎡ F (ω ) ⎤ 称为 F (ω ) 的 Fourier 逆变换. ⎣ ⎦
这个常微分方程的初值问题的解是： U
⎧utt = a 2u xx ( −∞ < x < ∞, t > 0 ) , ⎪ ⎨u ( x, 0 ) = ϕ ( x )( −∞ < x < ∞ ) , ⎪ ⎩ut ( x, 0 ) = 0 ( −∞ < x < ∞ ) .
求解弦振动的 Cauchy 问题
( t , λ ) = Φ ( λ ) e− λ a t .
2. 位移性质 设 ω0 为任意常数, 则
F ⎡ f ' ( x ) ⎤ = iω F ⎡ f ( x ) ⎤ , ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ LL
6. 积分性质 F ⎡ 7. 象的导数性质
F ⎡e ⎣
iω0 x
f ⎤ = F (ω − ω0 ) . ⎦
⎢ ∫ x0 ⎣
x
1 f ( x ' ) dx ' ⎤ = F⎡f x ⎤ . ⎥ iω ⎣ ( ) ⎦ ⎦
σ 0t
[Laplace 变换的存在定理] 如果函数 f (t ) 满足条 A,则它的 Lapalace 变换在半平面 Re ( p ) = σ > σ 0 内有意义,且是 p 的解 析函数。
。
[Laplace 变换的反演定理] 如果函数 L( p ) 是 f (t ) 的像, 则
∫
∞
0
f ( t ) e− pt dt 为函数 f ( t ) 的 Laplace 变
解: 由Fourier变换的定义有：
∫
∞
−∞
f ( x ) dx < +∞ 。
f ( x) =
在 f ( x ) 的连续点成立，且在第一类间断点 x0 积分收敛于
1 2π
∫ ⎡∫ ⎢ ⎣
∞ −∞
∞
−∞
f (ξ ) e − iλξ d ξ ⎤eiλ x d λ ⎥ ⎦
1 ∞ − iλ t f ( t ) e dt 2π ∫−∞ 1 ∞ − ( β + iλ ) t 1 β − iλ = e dt = . 2π ∫0 2π β 2 + λ 2
19
L ⎡ f ( at ) ⎤ = ⎣ ⎦
1 ⎛ p⎞ L⎜ ⎟ . a ⎝a⎠
20
5. 微分性质
L ⎡ f ' ( t ) ⎤ = pL ⎡ f ( t ) ⎤ − f ( 0 ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ L ⎡ f '' ( t ) ⎤ = p 2 L ⎡ f ( t ) ⎤ − pf ( 0 ) − f ' ( 0 ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ L ⎡ f ( n ) ( t ) ⎤ = p n L ⎡ f ( t ) ⎤ − p n −1 f ( 0 ) − p n − 2 f ' ( 0 ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −L − f
3
Fourier变换的性质
1. 线性性质 若 α , β 为任意常数,则对任意两个函数 f1 , f 2 有
5. 微分性质
若 x → ∞ 时, f ( x ) → 0, f
( n −1)
( x ) → 0 ,则有
F [α f1 + β f 2 ] = α F [ f1 ] + β F [ f 2 ] .
2 2
2 2
对U进行Fourier逆变换即得原问题的解为：
( x −ζ ) ⎡ 1 − u ( x , t ) = ∫ ϕ (ζ ) ⎢ e 4a t −∞ ⎢ 2a π t ⎣
∞
⎤ ⎥ dζ . ⎥ ⎦
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12
2
2013/11/1
解：对泛定方程及定解条件作关于x的Fourier变换，并记
F ⎡ u ( x, t ) ⎤ = U ( λ , t ) , F ⎡ u ( x,0 ) ⎤ = Φ ( λ ) ，有： ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
u ( x, t ) = F −1 ⎡U ( λ , t ) ⎤ ⎣ ⎦ = F −1 ⎡ Φ ( λ ) cos λ at ⎤ ⎣ ⎦ = ∫ Φ ( λ ) cos λ ateiλ x d λ
−∞ ∞
=
1 ⎡ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) ⎦ . ⎤ 2⎣
13
对函数进行Fourier变换的时候，要求函数满足 Dirichlet条件并且在整个实轴上绝对可积。这些条 件 是很严 苛的， 如常见 的多项 式函数 、三角 函数 等都不能进行Fourier变换；此外，Fourier变换还要 求进行变换的函数在整个实轴上有定义，这无疑极 大地限制了Fourier变换的使用范围。 为了解决上述问题，人们对Fourier变换加以改 造，提出了Laplace变换。
L ⎡ e p0t f ⎤ = L ( p − p0 ) . ⎣ ⎦
2） L
[sin at ] = ∫0 sin ate− pt dt =
⎣ ⎤ = ∫0 t e ⎦
n ∞ n − pt
a , Re p > 0. ; a + p2
2
2. 位移性质 设 p0 为任意常数, 则 3. 延迟性质 设 τ > 0 , 则
2013/11/1
求解数学物理方程还有一种常用的方法—积分变 换方法。本章介绍的 Fourier 变换和 Laplace 变换是 两种最常用积分变换方法。
第十三章 积分变换方法
积分变换方法的基本思想是：把某函数类 A 中的 函数 f (x) 经过某种可逆的积分手续变成另一函数类 B 中的F(p).
F ( p ) = ∫ k ( x, p ) f ( x ) dx .
λ = ( λ1 , λ2 , λ3 ,L, λn ) , x = ( x1 , x2 , x3 ,L, xn )
n r ⎛ 1 ⎞ F λ =⎜ ⎟
r
r
1 δ ( x ) = ∫ F (ω ) eiω x d ω = −∞ 2π
∫
∞
−∞
eiω x d ω.
( )
⎝ 2π ⎠
∞ −∞
∫
∞
−∞
L∫
∞
−∞
αt
3) f ( t ) = t .
n
Laplace变换的性质
1. 线性性质
解:
1） L ⎡ e
⎣
αt
∞ 1 ⎤ = ∫ eα t e − pt dt = ， p > Re a ; Re ⎦ 0 p −α ∞
α , β 为任意常数,对任意两个函数 f1 , f 2 有 L [α f1 + β f 2 ] = α L [ f1 ] + β L [ f 2 ] .
而当 t < 0 时，有
逆变换。函数 f (t ) 和 L( p ) 称为 Laplace 变换的原函数和像函数。
1 σ +i∞ L ( p ) e pt dp = 0 . 2π i ∫σ −i∞
18
17
3
2013/11/1
例 13.5 求下列函数的 Lapalace 变换。 1) f (t ) = e , (α ∈ C ) . 2) f ( t ) = sin at ( a ∈ R ) .
15
为了扩大积分变换方法的应用范围,人们首先用对时间变量的 积分变换取代对空间变量的积分变换;其次,在对函数 f ( t ) 进行积 分变换之前，先乘以一个指数衰减函数，然后再进行 Fourier 变换：
g ( t ) = e −σ t f ( t ) , σ > 0 F ( λ ) = F ⎡ g ( t )⎤ = ∫ ⎣ ⎦
∞ −∞
f ( t ) e −σ t − iλt dt = ∫ f ( t ) e
0
∞
− ( σ + iλ ) t
dt.
这样，由于指数衰减因子的作用，对 f ( t ) 绝对可积的要求大大放 宽，其次函数也不再需要定义在整个实轴上。
16
[Laplace 变换] 设函数 f (t ) 满足下条件（记为条件 A）: （1） f (t ) 和 f '(t ) 在 t ≥ 0 除掉有限个第一类间断点外连续； （2） t < 0 时， f (t ) = 0 ； （3）总可以找到常数 σ 0 ≥ 0，M > 0 ，使得 f ( t ) ≤ Me 则称 F ( p ) = L ⎡ f ( t ) ⎤ = ⎣ ⎦
⎧U '' = − a 2 λ 2U , ⎪ ⎨U ( λ , 0 ) = Φ ( λ ) , ⎪ ⎩U ' ( λ , 0 ) = 0. 该问题的解为 U ( λ , t ) = Φ ( λ ) cos λ at. 原定解问题的解为：
例 13.4 求解无限长细杆的有源热传导问题
⎧ut − a 2u xx = f ( x, t ) =0 = ϕ ( x ) . ⎩
解:
⎧ut − a 2u xx = 0, ( −∞ < x < ∞ ) ⎪ ⎨ ⎪u t =0 = ϕ ( x ) . ⎩ 对方程作Fourier变换， 并设 F ⎡u ( x, t ) , x → λ ⎤ = U ( λ, t ) ⎣ ⎦
例 13.3
⎧U ' + λ 2 a 2U = 0, F ⎡ϕ ( x ) ⎤ = Φ ( λ ) ,原问题变为： ⎨ 原问题变为 ⎣ ⎦ ⎩U t = 0 = Φ ( λ ) .
t > 0 时,在 f (t ) 的每一个连续点有
f (t ) = 1 σ +i∞ L ( p ) e pt dp , 2π i ∫σ −i∞
换，而称 f ( t ) = L ⎡ L ( p ) ⎤ = ⎣ ⎦ 2π i
−1
1
∫σ
σ +i∞
−i∞
L ( p ) e pt dp 为 L( p) 的 Laplace
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1
2013/11/1
Fourier 积分定理
设 f ( x ) 在 ( −∞, ∞ ) 上有定义且, (1) 在任意有限区间上满足 Dirichlet条件； (2) 在整个实轴上绝对可积： 则 F i 积分公式 Fourier
⎧0, t < 0 例13.1 求指数衰减函数 f ( t ) = ⎨ − β t 的 Fourier 变换. ⎩e , t ≥ 0
1 ⎛ω ⎞ F ⎡ f ( ax ) ⎤ = F ⎜ ⎟ . ⎣ ⎦ a ⎝a⎠
5
f1 ( x ) ∗ f 2 ( x ) = ∫
−∞
f1 ( x ' ) f 2 ( x − x ' ) dx ' .
9. 像函数的卷积定理 F [ f1 f 2 ] = F [ f1 ] ∗ F [ f 2 ] .
1 ⎡ f ( x0 + 0 ) + f ( x0 − 0 ) ⎤ . ⎦ 2⎣
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δ 函数的 Fourier 变换
F (ω ) = F ⎡δ ( x ) ⎤ = ⎣ ⎦
∞
高维 Fourier 变换
1 . 2π
1 2π
∫
∞
−∞
δ ( x ) e − iω x dx =
F ( p) 称为 f ( x) 的象函数或象, f ( x) 称为 F ( p) 的原象。
1 2
Fourier 变换及其逆变换
1 F (ω ) = F ⎡ f ( x ) ⎤ ≡ ⎣ ⎦ 2π
在这种变换下，原来的偏微分方程的自变量个数 减少，原来的常微分方程可以变成代数方程。通过求 解变换后的方程然后再对其解进行逆变换，就可以得 到原问题的解。
3. 延迟性质 设 x0 为任意常数, 则
F ⎡ f ( x − x0 ) ⎤ = e − iω x0 F (ω ) . ⎣ ⎦
4. 相似性质 设 a 为不为零的常数, 则
dn n F ⎡ f ( x ) ⎤ = F ⎡ ( −ix ) f ( x ) ⎤ . ⎦ ⎣ ⎦ dω n ⎣
∞
8. 卷积性质 F [ f1 ∗ f 2 ] = 2π F [ f1 ] F [ f 2 ] , 其中卷积定义为:
r rr f ( x ) eiλ ⋅x dx1 L dxn ,
⇒ δ ( x) =
1 2π
∫
∞
−∞
cos ω xd ω =
1 2π
∫
∞
−∞
e − iω x d ω.
r f (x) =
∫
rr r ∞ L∫ F λ e − iλ ⋅ x d λ1 L d λn . −∞
( )
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例 13.2 求解无限长细杆的热传导问题
3） L ⎡ t
Γ ( n + 1) dt = , Re p > 0. p n +1
L ⎡ f ( t − τ ) ⎤ = e − pτ L ( p ) . ⎣ ⎦
4. 相似性质 设 a > 0 , 则
[补充] :
p n! π 1 L[cos at ] = 2 , L ⎡t n ⎤ = , L ⎡ t −1 2 ⎤ = , L [1] = . ⎦ a + p 2 ⎣ ⎦ p n +1 ⎣ p p
∫
∞ −∞
∞
−∞
f ( x ) e − iω x dx ,
f ( x ) = F −1 ⎡ F (ω ) ⎤ = ∫ F (ω ) eiω x d ω. ⎣ ⎦
F (ω ) = F ⎡ f ( x ) ⎤ 称 为 函 数 f ( x ) 的 Fourier 变 换 , ⎣ ⎦
f ( x ) = F −1 ⎡ F (ω ) ⎤ 称为 F (ω ) 的 Fourier 逆变换. ⎣ ⎦
这个常微分方程的初值问题的解是： U
⎧utt = a 2u xx ( −∞ < x < ∞, t > 0 ) , ⎪ ⎨u ( x, 0 ) = ϕ ( x )( −∞ < x < ∞ ) , ⎪ ⎩ut ( x, 0 ) = 0 ( −∞ < x < ∞ ) .
求解弦振动的 Cauchy 问题
( t , λ ) = Φ ( λ ) e− λ a t .
2. 位移性质 设 ω0 为任意常数, 则
F ⎡ f ' ( x ) ⎤ = iω F ⎡ f ( x ) ⎤ , ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ LL
6. 积分性质 F ⎡ 7. 象的导数性质
F ⎡e ⎣
iω0 x
f ⎤ = F (ω − ω0 ) . ⎦
⎢ ∫ x0 ⎣
x
1 f ( x ' ) dx ' ⎤ = F⎡f x ⎤ . ⎥ iω ⎣ ( ) ⎦ ⎦
σ 0t
[Laplace 变换的存在定理] 如果函数 f (t ) 满足条 A,则它的 Lapalace 变换在半平面 Re ( p ) = σ > σ 0 内有意义,且是 p 的解 析函数。
。
[Laplace 变换的反演定理] 如果函数 L( p ) 是 f (t ) 的像, 则
∫
∞
0
f ( t ) e− pt dt 为函数 f ( t ) 的 Laplace 变
解: 由Fourier变换的定义有：
∫
∞
−∞
f ( x ) dx < +∞ 。
f ( x) =
在 f ( x ) 的连续点成立，且在第一类间断点 x0 积分收敛于
1 2π
∫ ⎡∫ ⎢ ⎣
∞ −∞
∞
−∞
f (ξ ) e − iλξ d ξ ⎤eiλ x d λ ⎥ ⎦
1 ∞ − iλ t f ( t ) e dt 2π ∫−∞ 1 ∞ − ( β + iλ ) t 1 β − iλ = e dt = . 2π ∫0 2π β 2 + λ 2
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L ⎡ f ( at ) ⎤ = ⎣ ⎦
1 ⎛ p⎞ L⎜ ⎟ . a ⎝a⎠
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5. 微分性质
L ⎡ f ' ( t ) ⎤ = pL ⎡ f ( t ) ⎤ − f ( 0 ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ L ⎡ f '' ( t ) ⎤ = p 2 L ⎡ f ( t ) ⎤ − pf ( 0 ) − f ' ( 0 ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ L ⎡ f ( n ) ( t ) ⎤ = p n L ⎡ f ( t ) ⎤ − p n −1 f ( 0 ) − p n − 2 f ' ( 0 ) ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ −L − f
3
Fourier变换的性质
1. 线性性质 若 α , β 为任意常数,则对任意两个函数 f1 , f 2 有
5. 微分性质
若 x → ∞ 时, f ( x ) → 0, f
( n −1)
( x ) → 0 ,则有
F [α f1 + β f 2 ] = α F [ f1 ] + β F [ f 2 ] .
2 2
2 2
对U进行Fourier逆变换即得原问题的解为：
( x −ζ ) ⎡ 1 − u ( x , t ) = ∫ ϕ (ζ ) ⎢ e 4a t −∞ ⎢ 2a π t ⎣
∞
⎤ ⎥ dζ . ⎥ ⎦
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解：对泛定方程及定解条件作关于x的Fourier变换，并记
F ⎡ u ( x, t ) ⎤ = U ( λ , t ) , F ⎡ u ( x,0 ) ⎤ = Φ ( λ ) ，有： ⎣ ⎦ ⎣ ⎦
u ( x, t ) = F −1 ⎡U ( λ , t ) ⎤ ⎣ ⎦ = F −1 ⎡ Φ ( λ ) cos λ at ⎤ ⎣ ⎦ = ∫ Φ ( λ ) cos λ ateiλ x d λ
−∞ ∞
=
1 ⎡ϕ ( x + at ) + ϕ ( x − at ) ⎦ . ⎤ 2⎣
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对函数进行Fourier变换的时候，要求函数满足 Dirichlet条件并且在整个实轴上绝对可积。这些条 件 是很严 苛的， 如常见 的多项 式函数 、三角 函数 等都不能进行Fourier变换；此外，Fourier变换还要 求进行变换的函数在整个实轴上有定义，这无疑极 大地限制了Fourier变换的使用范围。 为了解决上述问题，人们对Fourier变换加以改 造，提出了Laplace变换。
L ⎡ e p0t f ⎤ = L ( p − p0 ) . ⎣ ⎦
2） L
[sin at ] = ∫0 sin ate− pt dt =
⎣ ⎤ = ∫0 t e ⎦
n ∞ n − pt
a , Re p > 0. ; a + p2
2
2. 位移性质 设 p0 为任意常数, 则 3. 延迟性质 设 τ > 0 , 则
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求解数学物理方程还有一种常用的方法—积分变 换方法。本章介绍的 Fourier 变换和 Laplace 变换是 两种最常用积分变换方法。
第十三章 积分变换方法
积分变换方法的基本思想是：把某函数类 A 中的 函数 f (x) 经过某种可逆的积分手续变成另一函数类 B 中的F(p).
F ( p ) = ∫ k ( x, p ) f ( x ) dx .
λ = ( λ1 , λ2 , λ3 ,L, λn ) , x = ( x1 , x2 , x3 ,L, xn )
n r ⎛ 1 ⎞ F λ =⎜ ⎟
r
r
1 δ ( x ) = ∫ F (ω ) eiω x d ω = −∞ 2π
∫
∞
−∞
eiω x d ω.
( )
⎝ 2π ⎠
∞ −∞
∫
∞
−∞
L∫
∞
−∞
αt
3) f ( t ) = t .
n
Laplace变换的性质
1. 线性性质
解:
1） L ⎡ e
⎣
αt
∞ 1 ⎤ = ∫ eα t e − pt dt = ， p > Re a ; Re ⎦ 0 p −α ∞
α , β 为任意常数,对任意两个函数 f1 , f 2 有 L [α f1 + β f 2 ] = α L [ f1 ] + β L [ f 2 ] .
而当 t < 0 时，有
逆变换。函数 f (t ) 和 L( p ) 称为 Laplace 变换的原函数和像函数。
1 σ +i∞ L ( p ) e pt dp = 0 . 2π i ∫σ −i∞
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例 13.5 求下列函数的 Lapalace 变换。 1) f (t ) = e , (α ∈ C ) . 2) f ( t ) = sin at ( a ∈ R ) .
15
为了扩大积分变换方法的应用范围,人们首先用对时间变量的 积分变换取代对空间变量的积分变换;其次,在对函数 f ( t ) 进行积 分变换之前，先乘以一个指数衰减函数，然后再进行 Fourier 变换：
g ( t ) = e −σ t f ( t ) , σ > 0 F ( λ ) = F ⎡ g ( t )⎤ = ∫ ⎣ ⎦
∞ −∞
f ( t ) e −σ t − iλt dt = ∫ f ( t ) e
0
∞
− ( σ + iλ ) t
dt.
这样，由于指数衰减因子的作用，对 f ( t ) 绝对可积的要求大大放 宽，其次函数也不再需要定义在整个实轴上。
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[Laplace 变换] 设函数 f (t ) 满足下条件（记为条件 A）: （1） f (t ) 和 f '(t ) 在 t ≥ 0 除掉有限个第一类间断点外连续； （2） t < 0 时， f (t ) = 0 ； （3）总可以找到常数 σ 0 ≥ 0，M > 0 ，使得 f ( t ) ≤ Me 则称 F ( p ) = L ⎡ f ( t ) ⎤ = ⎣ ⎦
⎧U '' = − a 2 λ 2U , ⎪ ⎨U ( λ , 0 ) = Φ ( λ ) , ⎪ ⎩U ' ( λ , 0 ) = 0. 该问题的解为 U ( λ , t ) = Φ ( λ ) cos λ at. 原定解问题的解为：
例 13.4 求解无限长细杆的有源热传导问题
⎧ut − a 2u xx = f ( x, t ) =0 = ϕ ( x ) . ⎩
解:
⎧ut − a 2u xx = 0, ( −∞ < x < ∞ ) ⎪ ⎨ ⎪u t =0 = ϕ ( x ) . ⎩ 对方程作Fourier变换， 并设 F ⎡u ( x, t ) , x → λ ⎤ = U ( λ, t ) ⎣ ⎦
例 13.3
⎧U ' + λ 2 a 2U = 0, F ⎡ϕ ( x ) ⎤ = Φ ( λ ) ,原问题变为： ⎨ 原问题变为 ⎣ ⎦ ⎩U t = 0 = Φ ( λ ) .
t > 0 时,在 f (t ) 的每一个连续点有
f (t ) = 1 σ +i∞ L ( p ) e pt dp , 2π i ∫σ −i∞
换，而称 f ( t ) = L ⎡ L ( p ) ⎤ = ⎣ ⎦ 2π i
−1
1
∫σ
σ +i∞
−i∞
L ( p ) e pt dp 为 L( p) 的 Laplace
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Fourier 积分定理
设 f ( x ) 在 ( −∞, ∞ ) 上有定义且, (1) 在任意有限区间上满足 Dirichlet条件； (2) 在整个实轴上绝对可积： 则 F i 积分公式 Fourier
⎧0, t < 0 例13.1 求指数衰减函数 f ( t ) = ⎨ − β t 的 Fourier 变换. ⎩e , t ≥ 0
1 ⎛ω ⎞ F ⎡ f ( ax ) ⎤ = F ⎜ ⎟ . ⎣ ⎦ a ⎝a⎠
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f1 ( x ) ∗ f 2 ( x ) = ∫
−∞
f1 ( x ' ) f 2 ( x − x ' ) dx ' .
9. 像函数的卷积定理 F [ f1 f 2 ] = F [ f1 ] ∗ F [ f 2 ] .