数学竞赛中的数论问题

数学竞赛中的数论问题 罗增儒

引言

数论的认识：数论是关于数的学问，主要研究整数，重点对象是正整数，对中学生可以说，数论是研究正整数的一个数学分支．

什么是正整数呢？人们借助于“集合”和“后继”关系给正整数（当时也即自然数）作过本质的描述，正整数1，2，3，…是这样一个集合N +：

（1）有一个最小的数1．

（2）每一个数a 的后面都有且只有一个后继数/

a ；除1之外，每一个数的都是且只是一个数的后继数．

这个结构很像数学归纳法，事实上，有这样的归纳公理：

（3）对N +的子集M ，若1M ∈，且当a M ∈时，有后继数/

a M ∈，则M N +=．

就是这么一个简单的数集，里面却有无穷无尽的奥秘，有的奥秘甚至使得人们怀疑：人类的智慧还没有成熟到解决它的程度．比如，哥德巴赫猜想：

1742年6月7日，普鲁士派往俄国的一位公使哥德巴赫写信给欧拉，提出“任何偶数，由4开始，都可以表示为两个素数和的形式，任何奇数，由7开始，都可以表示为三个素数的和．后者是前者的推论，也可独立证明（已解决）．“表示为两个素数和的形式”就是著名的哥德巴赫猜想，简称1+1．

欧拉认为这是对的，但证不出来．

1900年希尔伯特将其归入23个问题中的第8个问题． 1966年陈景润证得：一个素数+素数⨯素数（1+2），至今仍无人超越． ●陈景润的数学教师沈元很重视利用名人、名言、名事去激励学生，他曾多次在开讲时，说过这样的话:“自然科学的皇后是数学，数学的皇冠是数论，哥德巴赫猜想则是皇冠上的明珠．……”陈景润就是由此而受到了启示和激励，展开了艰苦卓绝的终生奋斗和灿烂辉煌的奋斗终生，离摘取“皇冠上的明珠”仅一步之遥．

●数论题涉及的知识不是很多，但用不多的知识来解决问题往往就需要较强的能力和精明多的技巧，有人说：用以发现数学人才，在初等数学中再也没有比数论教材更好的课程了．任何学生如能把当今一本数论教材中的练习做出，就应当受到鼓励，劝他（她）将来去从事数学方面的工作（U ．Dudley 《数论基础》前言）．下面，是一个有趣的故事．

当代最高产的数学家厄尔多斯听说一个叫波萨（匈牙利，1948）的小男孩很聪明，就问了他一个问题加以考察（1959）：如果你手头上有1n +个正整数，这些正整数小于或等于2n ，那么你一定有一对整数是互素的，你知道这是什么原因吗？

不到12岁的波萨只用了1分半钟，就给出了问题的解答．他将1～2n 分成（1，2），（3，4），…，（21,2n n -）共n 个抽屉，手头的1n +个正整数一定有两个属于同一抽屉，这两个数是相邻的正整数，必定互素．

通过这个问题，厄尔多斯认定波萨是个难得的英才，就精心加以培养，不到两年，14岁的波萨就发表了图论中“波萨定理”．

●重视数学能力的数学竞赛，已经广泛采用数论题目，是数学竞赛四大支柱之一，四大

支柱是：代数，几何，初等数论，组合初步（俗称代数题、几何题、算术题和智力题）．高中竞赛加试四道题正好是四大模块各一题，分别是几何题、代数题、数论题、组合题，一试中也会有数论题．数论受到数学竞赛的青睐可能还有一个技术上的原因，就是它能方便地提供从小学到大学各个层面的、新鲜而有趣的题目．

数论题的主要类型：在初中竞赛大纲中，数论的内容列有：十进制整数及表示方法；整除性，被2、3、4、5、8、9、11等数整除的判定；素数和合数，最大公约数与最小公倍数；奇数和偶数，奇偶性分析；带余除法和利用余数分类；完全平方数；因数分解的表示法，约数个数的计算；简单的一次不定方程．

在高中竞赛大纲中，数论的内容列有：同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法，

欧拉定理*，孙子定理*．

根据已出现的试题统计，中学数学竞赛中的数论问题的主要有8个重点类型：

（1）奇数与偶数（奇偶分析法、01法）；

（2）约数与倍数、素数与合数；

（3）平方数；

（4）整除；

（5）同余；

（6）不定方程；

ϕ欧拉函数；

（7）数论函数、[]x高斯函数、()n

（8）进位制（十进制、二进制）．

下面，我们首先介绍数论题的基本内容（10个定义、18条定理），然后，对数学竞赛中的数论问题作分类讲解．

第一讲 数论题的基本内容

中学数学竞赛中的数论问题涉及的数论内容主要有10个定义、18条定理． 首先约定，本文中的字母均表示整数．

定义1 （带余除法）给定整数,,0,a b b ≠如果有整数()

,0q r r b ≤<满足 a qb r =+，

则q 和r 分别称为a 除以b 的商和余数．特别的，0r =时，则称a 被b 整除，记作b a ，或者说a 是b 的倍数，而b 是a 的约数．（,q r 的存在性由定理1证明）

定义2 （最大公约数）设整数12,,

,n a a a 中至少有一个不等于零，这n 个数的最大

公约数是能整除其中每一个整数的最大正整数，记作()12,,

,n a a a ．

()12,,

,n a a a 中的i a 没有顺序，最大公约数也称最大公因数．

简单性质：()()1212,,

,,,

,n n a a a a a a =．

一个功能：可以把对整数的研究转化为对非负整数的研究． 定义3 （最小公倍数）非零整数12,,

,n a a a 的最小公倍数是能被其中每一个

()1i a i n ≤≤所整除的最小正整数，记作[]12,,,n a a a ．

简单性质：如果k 是正整数,a b 的公倍数，则存在正整数m 使[],k m a b =

证明 若不然，有[],k m a b r =+（[]0,r a b <<），由[],

,k a b 都是,a b 的公倍数得r

也是,a b 的公倍数，但[]0,r a b <<，与[],a b 的最小性矛盾．故[],k m

a b =．

定义4 如果整数,a b 满足(),1a b =，则称a 与b 是互素的（也称互质）．

定义5 大于1且除1及其自身外没有别的正整数因子的正整数，称为素数（也称质数）．其余大于1的正整数称为合数；数1既不是素数也不是合数．

定理1 若,a b 是两个整数，0b >，则存在两个实数,q r ，使()0a qb r r b =+≤<，并且,q r 是唯一性．

证明1 先证存在性．作序列

,3.2,,0,,2,3,

b b b b b b ---

则a 必在上述序列的某两项之间，从而存在一个整数q ，使

()1qb a q b ≤<+，