投影矩阵的求法
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江苏匡立柱
投影变换是六个基本变换之一，也是近年来高考考察的一个热点，但是教材4—2的第25页的介绍却很简单，特别是例5和例6只是简单指出⎢
⎣
⎡
1
1
⎥
⎦
⎤
和
⎢
⎣
⎡
-
2
1
2
1
⎥
⎦
⎤
-
2
1
2
1
是投影矩阵，这让学生很迷惑。下面的例子将帮助学生走出迷惑。
例1、求与直线x
y=垂直的投影矩阵。
解法一：设平面内任意的一个点)
,
(
y
x
P，在投影矩阵的作用下得到的点)
,
(y
x
P'
'
'，就是直线x
y=与过点P且与其垂直的直线)
(
x
x
y
y-
-
=
-的交点。找到)
,
(
y
x
P和)
,
(y
x
P'
'
'两个点的关系，然后写成矩阵相乘的形式就得到了所求投影矩阵。
()
⎩
⎨
⎧
-'
-
=
-'
'
=
'
x
x
y
y
x
y
⎩
⎨
⎧
+
='
+
='
⇒
)
(
)
(
2
1
2
1
y
x
y
y
x
x
⎢
⎣
⎡
⇒
2
1
2
1
⎥
⎦
⎤
2
1
2
1
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
y
x
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
'
'
y
x
，所求矩阵⎢
⎣
⎡
2
1
2
1
⎥
⎦
⎤
2
1
2
1点评：解法一也可以适用于“求与x轴垂直投影到直线x
y=的矩阵”，“求与y轴垂直投影到直线x
y=的矩阵”。
解法二：在与直线x
y=垂直的直线x
y-
=上取特殊点)1
,1(-，⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
⎩
⎨
⎧
-
=
=
y
x
x
y
x
y
，设投影矩阵⎢
⎣
⎡
=
c
a
A⎥
⎦
⎤
d
b
，所以⎢
⎣
⎡
c
a
⎥
⎦
⎤
d
b
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
-1
1
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
同理：在直线1
+
-
=x
y上特殊点)0,1(，
⎩
⎨
⎧
=
=
⇒
⎩
⎨
⎧
+
-
=
=
2
1
2
1
1y
x
x
y
x
y
，所以
⎢
⎣
⎡
c
a
⎥
⎦
⎤
d
b
⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1
=⎥
⎦
⎤
⎢
⎣
⎡
1
2
1
，
2
1
2
1,=
=c
a，0
,0=
-
=
-d
c
b
a，得到
2
1
2
1,=
=d
b，
所求矩阵⎢
⎣
⎡
2
1
1
⎥
⎦
⎤
2
1
1
。
点评：解法二的两条直线选取有任意性，只要能得到两次矩阵变换，四个方程解出d
c
b
a,
,
,即可。
邮编222111