投资学 第五讲 投资组合理论

投资者的选择——市场资产组合

如果投资者选择市场组合，其资产组合为 1+δ的市场组合以及-δ的无风险资产，组合 的收益和风险分别为

rM+δ(rM-rf) σ2=(1+δ)2σ2M=σ2M+(2δ+δ2)σ2M ≈ σ2M+2δσ2M

增加的风险溢价和增加的风险之间的关系，即 边际风险价格，为：

p

( x1 1 x 2 2 )
2
x1 1 x 2 2
当 0， 表 明 两 种 证 券 的 收 益 完 全 无 关

p

x1 1 x 2 2
2 2 2
2
当 1， 表 明 两 种 证 券 的 收 益 完 全 正 相 关

p

( x1 1 x 2 2 )
2 p


i 1
N
_
_
_ 2
xi
N
ri
x1
r1 x r2
x i x j x1 1 x 2
2 2 2 2 2

cov
i 1 j 1
N
ij
2 x 1 x 2 12 1
2
不同相关系数下的组合的标准差
当 1， 表 明 两 种 证 券 的 收 益 完 全 负 相 关
一、单个投资者的最优组合决定

上一节的分析都是假设证券具有风险。从另一个角 度考虑，投资者可以将一个风险投资与无风险证券 （如国库券）构成组合。 在允许卖空的条件下，投资者可以通过卖空无风险 资产而将所得资金投资于风险资产。 这些增加的投资机会大大改变了原有的有效边界， 从而使投资者的最优组合发生改变。

增加的风险溢价和增加的风险之间的关系，即 边际风险价格，为：
（三）允许无风险借贷条件下的有效边界 及最佳投资组合的决定
在允许无风险借贷 rp 的条件下，风险资产 组合边界及其右侧的 任何一点与A点的连 线均对应着一条资本 配置线，它们构成了 r 新的可行域。 r A（0， f ） AMB的斜率是所有 资本配置线中的最大 者，构成了新的有效 o 边界。这条线又称为 资本市场线
第五章 投资组合理论
1. Markowitz的证券组合理论 2.资本资产定价模型 （CAPM） 3.套利定价模型
认识投资组合（portfolio）

凡是由一种以上的证券或资产所构成的集合，即可 成为投资组合。
100万
60万 房地产 20万 政府公债 20万 股票
第一节 Markowitz的证券组合理 论
ij
反映了两种证券的收益 关程度。 协方差与相关系数 cov
ij
在一个共同周期中变动
存在下列关系：
ij i
j
当 i j 时，cov
ij
i
2
2 j
，即 ij 1
三、分散原理—为什么通过构建组合可以
分散和降低风险？ 1、当组合中只有两种证券（N=2）时
_
rp

一、组合的预期收益

组合的预期收益是组合中各种证券的预期收益的加权平
均数。其中每一证券的权重等于该证券在整个组合中所 占的投资比例。
_
rp


i 1
N
_
x i ri
二、组合的风险

2 p

cov
i 1 j 1
N
N
ij
xi x j 表示证券 i 证券 j 的收益的协方差， 的相
其中当 i j 时，cov

CAPM的假设条件
1、所有投资者处于同一投资期，不考虑投资决策对后期的影响；
2、市场上存在一种收益大于0的无风险资产；
3、所有投资者均可以按照该无风险资产的收益率进行任何数量的资金借贷，从 事证券买卖； 4、没有税负、没有交易成本； 5、每个资产均可无限可分，投资者可以买卖单位资产或组合的任一部分； 6、投资者遵循马可维兹的组合理论，用预期收益率和标准差来选择投资组合； 7、投资者永不满足：当面临其他相同的两种组合时，他们将选择具有较高预期 收益率的组合； 8、投资者风险厌恶：当面临其他条件相同的两种组合时，选择标准差较小的组 合； 9、市场是完全竞争的：存在大量的投资者，每个投资者的财富在所有投资者财 富总和中只占很小的比重，是价格的接受者； 10、证券市场有效。投资者对风险资产及其组合的预期收益率、标准差以及协方 差有一致的看法。
ij
组合中证券数量
四、有效组合与有效边界

有效组合（efficient set）,就是按照既定收益 下风险最小或既定风险下收益最大的原则建立 起来的证券组合。 有效边界（efficient frontier）,就是在坐标轴上 将有效组合的预期收益和风险的组合连接而成 的轨迹。

1、二元证券组合（A，B）下的有效边界
组合预期收益
AB 1
0.25 0.215 D （1/3,2/3） C
A（1，0）
F
G
AB 0
x
AB 1
E
0.18 0.02
B（0，1） 0.045 0.06 0.08 组合标准差
2.三种证券组合的可行域（不允许 卖空）


一般地，当资产数量增加时，要保证资产之 间两两完全正（负）相关是不可能的； 一般假设两种资产之间是不完全相关（一般 形态）
风险的市场价格

市场资产组合的期望收益为E(rM)，风险 为σ2M，市场资产组合的风险溢价为 E(rM)-rf，则承担单位市场风险的报酬为
E(r M ) - rf
2 σM

这一报酬风险比率就是风险的市场价格
投资者的选择

假定某代表市场平均情况的投资者投资 于市场资产组合的比例为100%，现在 打算通过借入无风险贷款的方式增加比 例为δ的市场资产组合或者某一特定股 票，投资者将如何选择？
可行域
0

p
5、最佳投资组合的确定
投资者效用无差异曲线和有效边界的切点A
就是多元证券组合的最佳组合点。
_
I3
I
2
rp
I1
A
0

p
第二节 资本资产定价模型 （CAPM）

Markowitz的证券组合理论指出了如何通过选择风险资产 建立资产组合，从而降低风险，它是一种规范性（ normative）的研究，即告诉投资者应该如何进行投资选 择。当投资者都采用Markowitz的组合理论选择最优的资 产组合，那么资产的均衡价格将如何在收益和风险的权 衡中形成？ CAPM阐述了当投资者都采用Markowitz的理论进行投资 管理的条件下市场均衡状态的形成，把资产的预期收益 和预期风险之间的理论关系用一个简单的线性方程表达 出来了。
f
0
rm ，
m
风 险 资 产 组 合 m的 预 期 收 益 率 和 标 准 差
为 无 风 险 资 产 和 风 险 资 产 组 合 m 的 相 关 系 数 （ 假 设 为 0）
Leabharlann Baidu
（二）资本配置线（CAL）

将前面公式（1）、（2）联立 ，可以推出资本配置线的函数 表达式 _
_ _
_
0 . 02
0 . 001 AB 0 . 06 ； 0 . 045 ；
p
当 AB 1时， 当 AB 0 时，
p
p
当 AB 1时，
0 . 02 ；
2、组合中证券种类N大于2时
cov
i 1 j 1 N N N


2 p

N
ij
_
p
允许无风险借贷下的有效边界
I3
B
I2 I1
风险资产组 合有效边界
m

B’’ B’


p
二、资本市场均衡的实现
（一）分离定律

根据假定，投资者对风险资产的预期收益率、标准差 和协方差有着相同的看法，这意味着线性有效集对所有的 投资者来说都是相同的。每个投资者的投资组合中都将包 括一个无风险资产和相同的风资产组合m，因此，剩下的 唯一决策就是怎样筹集投资于m的资金，这取决于投资者 回避风险的程度，厌恶风险程度高者将分配一定比例的资 金于无风险资产，厌恶风险程度低者将卖空无风险资产更 多的投资于风险资产组合m。
Er A
B C σ
3. n种证券或资产

类似于3种资产构成组合的算法，我们可 以得到一个月牙型的区域为n种资产构成 的组合的可行集。
收益rp
风险σp
4、多元证券组合下的有效边界（N>2）
有效边界
_
rp
MV
rA
0 . 25 , r
B 1 2 1 2
0 . 18 , 时,
_
A
0 . 08 ,
B
0 . 04
当xA xB
_
rp


p

1 2
_
rA
x A
2 2

2 A
rB
2 2
0 . 215
2 B
x B
2 x A x B A B AB
0 . 04


（一）允许无风险借贷条件下的风险与收 益的衡量
_ _
rp

2 p
r f (1 ) r ................................(1) m
2 2 f
(1 ) m 2 (1 ) f
2 2
m
(1 ) m
E r
2

E(r M ) - rf 2σ M
2
投资者的选择——某一股票A

如果投资者选择股票A ，其资产组合为1的市 场组合，δ的股票以及-δ的无风险资产，组 合的收益和风险分别为

rM+δ(rA-rf) σ2=σ2M+δ2σ2A+2 δcov(rA,rM） ≈ σ2M+2δ cov(rA,rM）

现代证券组合理论（Modern Portfolio Theory）是关于在 收益不确定条件下投资行为的理论，它由美国经济学家哈
里·马科维兹在1952年率先提出。

该理论为那些想增加个人财富，但又不甘冒风险的投资者
指明了一个获得最佳投资决策的方向。
基本假设
1、投资者期望获得最大收益，但是是风险的厌恶者； 2、证券收益率是服从正态分布的随机变量； 3、用预期收益率衡量投资的效用大小，用方差（或标准差 ）来衡量证券的风险大小； 4、投资者建立证券组合的依据：在既定的收益水平下，使 风险最小； 5、风险与收益相伴而生。即投资者追求高收益则可能面临 高风险。投资者大多采用组合投资以便降低风险。但是， 分散化投资在降低风险的同时，也可能降低收益。 Markowitz的证券组合理论就是针对风险和收益这一 矛盾而提出的。
2
x1 1 x 2 2
由此可见，当相关系数从-1变化到1时，证券组合的风险逐渐增大。 除非相关系数等于1，二元证券投资组合的风险始终小于单独投资这两种 证券的风险的加权平均数，即通过证券组合，可以降低投资风险。
例题

假定投资者选择了A和B两个公司的股票作为组合对象，有 关数据如下：
_ _
2 2
p
(1 ) m .......................................( 2 )
投 资 者 在 组 合 P中 无 风 险 证 券 的 投 资 比 例 0 ,表 示 投 资 者 卖 空 无 风 险 资 产
rf ,
_ f
无风险资产的收益率和标准差，显然
rp
_
B M 风险报酬
rp
rf
rm r f

m

rm
p
r A点表示全部投资无风险 A（0， f ） 资产；M点表示全部投资于 风险资产组合m；AM段表示 分别投资于无风险资产和风 o 险组合m；MB段表示卖空无 风险资产增加风险资产的投 资比例。
无风险报酬

m

p
CAL描述了引入无风险借贷后，将一定的资本在某一特定的风险资 产组合m与无风险资产之间分配，从而得到所有可能的新的组合的预期 收益与风险之间的关系。
xi x j
N

p
非系统性风险
ij

i 1
xi
2
2 i

cov
i 1 j 1 i j
xi x j
( 如果等权重投资
)

i 1
N
(
1 N
___
)
2
2 i


i 1 j 1 i j
N
N
(
1 N
) cov
2
ij
总风险
系统性风险

i N
1
2

N 1 N
______
cov
把关于投资与融资分离的决策理论被称之为分离定律
不同投资者最佳组合的决定
投资者的 最佳风险资产 组合m，可以 在并不知晓投 资者对风险和 收益的偏好时 就加以确定。
B
_
rp
M
r A（0， f ）
o

p
（二）市场资产组合

当把所有投资者的资产组合加总时，借 与贷互相抵消（因为每个借入者都有一 个对应的贷出者），加总的风险资产组 合价值等于整个经济中的全部财富价值 。这个加总的风险资产组合就是市场资 产组合（以M表示）。根据前面的组合 知识，所有的投资者都会持有相同的风 险资产组合，不同的投资者的区别是持 有风险资产组合的比例不同。