第6讲 平行、垂直的综合问题

第6讲 平行、垂直的综合问题

空间中的证明与计算问题(师生共研)

如图，在四棱锥P -ABCD 中，AB ∥CD ，且∠BAP ＝∠CDP ＝90°.

(1)证明：平面P AB ⊥平面P AD ；

(2)若P A ＝PD ＝AB ＝DC ，∠APD ＝90°，且四棱锥P ­ABCD 的体积为8

3，求该四棱锥

的侧面积．

【解】 (1)证明：由已知∠BAP ＝∠CDP ＝90°， 得AB ⊥AP ，CD ⊥PD .

由于AB ∥CD ，故AB ⊥PD ，从而AB ⊥平面P AD . 又AB ⊂平面P AB ，所以平面P AB ⊥平面P AD .

(2)在平面P AD 内作PE ⊥AD ，垂足为E . 由(1)知，AB ⊥平面P AD ， 故AB ⊥PE ， 可得PE ⊥平面ABCD .

设AB ＝x ，则由已知可得AD ＝2x ，PE ＝2

2

x . 故四棱锥P -ABCD 的体积 V P ­ABCD ＝13AB ·AD ·PE ＝1

3x 3.

由题设得13x 3＝8

3

，故x ＝2.

从而P A ＝PD ＝2，AD ＝BC ＝22，PB ＝PC ＝2 2.

可得四棱锥P -ABCD 的侧面积为

12P A ·PD ＋12P A ·AB ＋12PD ·DC ＋12

BC 2sin 60°＝6＋2 3.

(1)几何体的体积 柱体的体积V ＝S 底·h . 锥体的体积V ＝1

3S 底·h .

(2)几何体的表面积

直棱柱的侧面积S 侧＝C 底·l ，其他几何体一般要对各个侧面、底面逐个分析求解面积，最后求和．

(3)计算几何体体积的关键及注意点

计算几何体的体积时，关键是确定几何体的高，若是不方便求，要注意进行体积的转化．

(2020·重庆市学业质量调研)如图所示，在四棱锥P -ABCD 中，∠CAD

＝∠ABC ＝90°，∠BAC ＝∠ADC ＝30°，P A ⊥平面ABCD ，E 为PD 的中点，AC ＝2.

(1)求证：AE ∥平面PBC ； (2)若四面体P ABC 的体积为

3

3

，求△PCD 的面积． 解：(1)证明：如图，取CD 的中点F ，连接EF ，AF ，

则EF ∥PC ，

又易知∠BCD ＝∠AFD ＝120°，所以AF ∥BC ，

又EF ∩AF ＝F ，PC ∩BC ＝C ，所以平面AEF ∥平面PBC . 又AE ⊂平面AEF ，所以AE ∥平面PBC .

(2)由已知得，V四面体P ABC＝1

3·

1

2AB·BC·P A＝

3

3，可得P A＝2.

过点A作AQ⊥CD于点Q，连接PQ，在△ACD中，

AC＝2，∠CAD＝90°，∠ADC＝30°，

所以CD＝4，AQ＝2×23

4

＝3，

则PQ＝22＋3＝7.

因为P A⊥平面ABCD，所以P A⊥CD.

又AQ∩P A＝A，

所以CD⊥平面P AQ，CD⊥PQ.

所以S△PCD＝1

2×4×7＝27.

空间中的翻折问题(师生共研)

(2019·高考全国卷Ⅲ)图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°.将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2.

(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；

(2)求图2中的四边形ACGD的面积．

【解】(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，

所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，

从而A，C，G，D四点共面．

由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，故AB⊥平面BCGE.

又因为AB⊂平面ABC，

所以平面ABC⊥平面BCGE.

(2)如图，取CG的中点M，连接EM，DM.

因为AB∥DE，AB⊥平面BCGE，

所以DE⊥平面BCGE，故DE⊥CG.

由已知，四边形BCGE是菱形，

且∠EBC＝60°得EM⊥CG，

故CG⊥平面DEM.

因此DM⊥CG.

在Rt△DEM中，DE＝1，EM＝3，故DM＝2.

所以四边形ACGD的面积为4.

解决此类问题的关键就是根据折痕，准确把握平面图形翻折前后的两个“不变关系”：

(1)与折痕垂直的线段，翻折前后垂直关系不改变；

(2)与折痕平行的线段，翻折前后平行关系不改变.

其步骤为：

第一步—确定折叠前后的各量之间的关系，搞清折叠前后的变化量和不变量↓

第二步—在折叠后的图形中确定线和面的位置关系，明确需要用到的线面↓

第三步—利用判定定理或性质定理进行证明

(2020·济南市模拟考试)如图1所示，在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，∠BAD＝45°，AB＝2CD＝4，点E为AB的中点．将△ADE沿DE折起，使点A到达P的位置，得到如图2所示的四棱锥P-EBCD，点M为棱PB的中点．

(1)求证：PD∥平面MCE；

(2)若平面PDE⊥平面EBCD，求三棱锥M-BCE的体积．

解：(1)证明：在题图1中，

因为BE＝1

2AB＝CD且BE∥CD，

所以四边形EBCD是平行四边形．

如图，连接BD，交CE于点O，连接OM，

所以点O是BD的中点，

又点M为棱PB的中点，

所以OM∥PD，

因为PD⊄平面MCE，OM⊂平面MCE，

所以PD∥平面MCE.

(2)在题图1中，

因为EBCD是平行四边形，所以DE＝BC，

因为四边形ABCD是等腰梯形，

所以AD＝BC，所以AD＝DE，

因为∠BAD＝45°，

所以AD⊥DE.

所以PD⊥DE，

又平面PDE⊥平面EBCD，且平面PDE∩平面EBCD＝DE，所以PD⊥平面EBCD.

由(1)知OM∥PD，所以OM⊥平面EBCD，