线性变换的定义

1）对任意的X、Y∈Mn(F)，则有σ(X+Y) = A(X+Y)B =AXB+AYB =σ(X)+ σ(Y) ; 2)对任意的k∈F，有σ(kX)= A(kX)B = k(AXB) = kσ(X) ． 所以,σ是 Mn(F )的一个线性变换.
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特别地， 若A=B', 则σ(X)=B'XB, σ是Mn(F)的一个线性变换； 若B可逆，且A=B-1, 则σ(X)=B-1XB, σ也是Mn(F)的一个线性变换.
=( x1+ y1, 3(x1+ y1)-( x2+ y2), ( x2+ y2)+( x3+ y3))
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=( x1, 3 x1- x2, x2+ x3)+( y1, 3 y1- y2, y2+ y3)
= σ(α)+ σ(β)
2)对任意数 k∈F，则有
σ(kα)=σ(kx1, kx2, kx3）
=( kx1, 3kx1- kx2, kx2+ kx3) = k(x1, 3x1-x2, x2+x3)
= kσ(α) 因此，σ是F3的一个线性变换．
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如果在F3中规定 σ(α)＝(x12, 3 x1- x2，x2+ x3）
那么σ就不是F3的线性变换. α=(1,0,0), β=(2,0,0), α+β= (3,0，,0)
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2) 定义1中的条件(1), (2)与以下条件等价： (3) 对任意的a, b∈F, α, β∈V，有 σ(aα+bβ)＝aσ(α)+bσ(β).
3）线性变换σ保持线性关系式，即对于β∈V，
若有k1, k2,…, kn∈F,及α1,α2,…,αn ∈V使得
β＝k1α1+ k2α2+…+ knαn 则 σ(β)＝k1σ(α1)+ k2σ(α2)+…+knσ(αn),
3.一些例子
例3 对F 3 的每个向量 = (x1,x2,x3)，规定 () = ( x 1 , 3 x 1 - x 2 ,x 2 + x 3 ．) σ是 F 3的一个变换，我们证明它是一个线性变换．
1）对于F 3 的任意两个向量 = (x1,x2,x3)， 与 = (y1,y2,y3)，有
σ(α+β) = σ(x1+ y1, x2+ y2, x3+ y3)
BG
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特别地，当β＝0时，有
K1σ(α1)+ k2σ(α2)+…+ knσ(αn)＝0. 若k1 ，k2，…，kn 不全为0，则得性质：
4) 线性变换把线性相关的向量组变成线性相关
的向量组.
5) 设σ是V的一个线性变换, V′是V的子空间.
V′在σ下的象集合,记作σ(V′), 即σ(V′) =
a +b ∈σ(V′), 故σ(V′)是V 的一个子空间.
特别地，σ(V)是V的子空间，称为σ的象，可用
Im(σ)表示.
BG
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6）设σ是V的一个线性变换，W′是V的一个 子空间，则W′在σ之下的原象集合 {ξ∈V｜σ（ξ）∈W′} 是V的一个子空间．
特别地，零子空间{0}在σ之下的原象集是 V的一个子空间，称为σ的核，用ker(σ) 表示.即 ker(σ)＝ξ∈V｜σ(ξ)＝0｝
个旋转变换（见图
6.1）
图 6.1
容易看出：对任意向量α,β及实数 k 均有
σ(α+β)＝σ(α)+σ(β)
σ(kα)＝kσ(α)
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例2 在 V 3 中，H是过原
点的一个平面.
令σ是对平面H
的正投影变换
（图6.2）
图6.2
容易看出：对任意向量α,β及实数 k 均有
σ(α+β)＝σ(α)+σ(β)
σ(kα)＝kσ(α)
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2.定义 定义1 设V是数域F上的一个线性空间，σ是
V的一个变换，如果它满足以下两个条件：
（1）对任意的α,β∈V，有
σ(α+β)＝σ(α)+σ (β)；
（2）对任意的k∈F，有
σ(kα)=kσ(α).
则称σ是向量空间V的一个线性变换．
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例6 在F[x]中，令D(f(x))=f '(x)． 容易验证，D是wenku.baidu.com[x]的一个线性变换，称为
F [x]的微商变换（或微分变换）.
例7 设C[a, b]是定义在[a, b]上的一切连续
函数作成的R上的线性空间. 对任意的
f(x)∈C[a,
b],
规定J(f(x))＝
x a
f
(t )dt
.
J(f(x))仍是[a, b]上的连续函数．J是C[a, b]的一个
第六章 线性变换
6.1 线性变换的定义
授课题目： 6.1 线性变换的定义
授课时数：4学时 教学目标：理解线性变换的概念，掌
握线性变换的基本性质
教学重点：线性变换的基本性质
教学难点：线性变换的象与核的求法
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一. 定义及例子
1.两个实例
例1 在二维几何空
间V
中，令σ是将每
2
个向量旋转角φ的一
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例5 设V是数域F上的一个线性空间，取定F中的 一个数k，对任意的ξ∈V，规定σ(ξ)＝kξ. σ是V的一个线性变换，叫做V的一个数乘（或 位似）变换. 当k＝1时，σ是V的恒等变换ι； 当k＝0时，σ是V的零变换θ. 因此，恒等变换及零变换都是线性变换.
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σ(α)= (1,3,0,)σ(β)= (4,6,,0)
σ(α)+σ(β)= (5,1,0而,0σ)(α+β)=
, (9,9,0)
σ(α+β) ____≠σ(α)+σ(β).
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例4 在Mn(F)中, 对任意的n阶方阵X, 规定 σ(X)=AXB，其中A和B为F上两个固定的
方阵. 由于：
{σ(ξ)｜ξ∈V′}. 则σ(V′)是V的一个子空间.
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证 对任意的 ， ∈σ(V′) 总有α, β∈V′使σ(α)
＝ ,σ(β)＝ .
由于σ是线性变换，所以，对任意的a, b∈F,
有 a +b ＝aσ(α)+ bσ(β )＝σ(aα+bβ).
但V ′是 V 的子空间，aα+ bβ∈V′, 因而
线性变换，叫做C[a, b]的积分变换.
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二. 线性变换的基本性质 1) 线性变换σ把零向量变成零向量；
把任一向量α的负向量-α变成α的象 σ(α)的负向量-σ(α).
证 任取一向量α，有 σ(0)＝σ(0α)＝0σ(α)＝0．
σ(α)+σ(-α)＝σ(α-α)＝σ(0)＝0， 所以σ(-α)＝-σ(α)