间隔排列

规律往往是事物内在的固有联系，这种联系在一定条件下，会决定事物必
然向着某种趋势发展。

规律是客观存在的，不以人的意志而转移。

但是，人们
能够通过实践认识规律、利用规律。

发现规律才能本质地认识事物及其变化的
特征，利用规律才能使事物更好地满足人们生存和发展的需要。

所以，人类自
古至今始终在探索规律、发现规律、利用规律。

学生学习数学，获得数学基础
知识和基本技能当然是重要的，但不是唯一目的。

学习数学要学会用数学的视
角看世界，用数学方法认识客观世界中各式各样的事物，学会通过数学思考去
把握千变万化的现象，用数学方法描述、交流变化中的规律。

数学课程标准十
分重视培养学生探索规律的兴趣与能力，在“数与代数”领域里设计了“探索
规律”的内容和要求。

学习数学的过程是认识数学规律的过程。

任何一个重要数学概念的形成、计
算规则的习得，都是对有关具体对象里的规律的发现、理解和掌握。

在数学教
学中凸显“探索规律”，能从根本上改善数学学习的方式，不仅提高数学知识
的学习质量，从而促进数学思考、问题解决、情感态度等方面培养目标的实现，为持续发展积聚能量。

苏教版义务教育数学教科书从三年级上册起，每册都编排一次探索规律的内容。

选择一些日常生活或数学学习中可能接触到的现象，写成教材，让学生在数学
课上探索、发现隐含在这些现象里的数学规律，并且用数学方式表达、交流，
落实课程标准在这方面的目标任务。

探索规律的教材有其特定的编写形式，一般分四块编排教学内容及其过程。

首先，呈现一种现象，引起学生注意，激发探索规律的兴趣；接着，安排观察、操作、实验等各种数学活动，帮助学生探索并找到规律；然后，采用适当方式
表达、交流发现的规律，提升数学思考的水平；最后，回顾探索规律的过程和
进行的活动，反思收获、积累经验，享受成功的喜悦。

三年级上册研究两种物体“一一间隔排列”的现象。

间隔排列在日常生活中
经常能够看到，几乎每个学生都曾经接触过，但一般不会关注和研究它。

两种
物体一一间隔排列，是最简单的间隔排列，其中的要素不多，规律比较明显，
适合三年级学生探索。

（一）引导学生观察有趣的现象，通过“看”“数”“比”“圈”等活动，由表及里逐步体验现象里的规律
规律是客观存在的，是隐含且可以发现的。

只要对丰富的具体现象进行深
入细致的研究，从感性认识到理性认识，就能发现规律。

探索规律的教学重点
在于“探索”，必须让学生经历亲自寻找规律的过程。

如果把规律直接告诉学生，就失去了探索规律的教育价值。

当然，小学生探索规律是很不容易的，经
常会遇到困难，教学应及时给予指导和帮助。

就这一次探索规律来说，教材安
排了以下一些活动。

1. 观察现象，了解其中的物体是怎样排列的。

教材呈现一幅生动的画面：许多兔子排成一行跳舞，每两只兔子之间有一
个蘑菇；
一根绳上，每两个夹子之间晾一块手帕；场地前面，每两根木桩之间有一块篱笆。

观察现象，怎样看，看什么，都很重要。

教材问学生：图中的兔子与蘑菇
的排列有什么特点？木桩与篱笆、夹子与手帕呢？这些问题引领学生把画面里
的物体分成三组，分别观察各组的两种物体是怎样排列的。

看出兔子与蘑菇一个隔一个排成一行，夹子与手帕一个隔一个排成一行，木桩与篱笆一个隔一个
排成一行。

发现每组的两种物体都是一个隔一个地排成一行，从而初步了解课
题“间隔排列”的意思。

2. 数出各种物体的个数，比较每组两种物体的个数，初步发现它们的共同点。

从数学角度观察现象，要关注现象里的数学内容。

“数”能得出物体的数量，“比”能找到相同与不同。

教材让学生在表格里填写各种物体的个数，这是从
现象中收集数学信息。

还要比较每排两种物体的数量，得出兔子比蘑菇多1个，夹子比手帕多1个，木桩比篱笆多1个，发现同组的两种物体的个数都相差1。

3. 把同组的两种物体“一对一”地圈出来，体验“相差1个”是合理的。

同组的两种物体为什么都相差1个？相差1个是不是规律？需要进一步研究。

这些思考使学生进入探索规律的状态。

教材安排，把1只兔子和1个蘑菇看成
一组，圈在一个圈里。

圈的结果是多余1只兔子，表明兔子与蘑菇像图画里那
样排列，兔子应该比蘑菇多1个。

按照圈兔子与蘑菇那样，把1个夹子和1块
手帕看成一组，圈成一圈；把1根木桩和1块篱笆看成一组，圈成一圈，能够
发现多余1个夹子或1根木桩，并且体会同组两种物体个数相差1的必然性与
合理性。

4. 放大情境，增加物体数量，体会“相差1个”是稳定的。

如果更多的兔子和蘑菇像这样排列，还会相差1个吗？如果更多的夹子和手
帕像这样排列，还会相差1个吗？教材提出问题“20只兔子站成一行，每两只
兔子中间有一个蘑菇，一共有多少个蘑菇？”由于兔子和蘑菇仍然是一一间隔
排列，所以回答这个问题，一方面可以想“兔子比蘑菇多1个”，通过20－1
＝19，算出蘑菇的个数。

另一方面可以想“如果最后多余1只兔子，那么前面
的19只兔子应该有19个蘑菇来一一对应”。

教材还问“把20块手帕像上面那样夹在绳上，一共需要多少个夹子？”回答这个问题也可以一边算“20＋1＝21”，一边想“1个夹子和1块手帕看成一组，20个夹子和20块手帕组成20组，最后还应该多余1个夹子”。

情境里的物体增加了，排列规律没有改变，学生对两种物体相差1个的规律有了更丰富的体会。

（二）创设摆学具的操作情境，安排学生继续探索间隔排列的规律，并且想
办法表达规律
1. 通过呈现规律的变式进一步丰富认识。

两种物体的一一间隔排列也有变化，主要表现在：一行物体的两端，是同一
种物体，还是两种不同物体。

前面的兔子与蘑菇排成一行，两端都是兔子；夹
子和手帕排成一行，两端都是夹子；木桩与篱笆的排列，两端都是木桩。

学生
已经探索并理解了两端是同一种物体的间隔排列规律，接着还要他们探索两端
是不同物体的间隔排列规律。

教材安排学生摆学具：如果把■与●一个隔一个地排成一行，■有10个，●最少有几个？最多有几个？这是一个开放的操作情境，其中■的个数是规定的，●的个数是不确定的。

学生一般会先把10个■摆成一行，再把●插进去。

由于问题具有挑战性，他们会思考“●怎样摆，个数最少？”“怎样摆，个数最多？”于是摆出如下三种情况：
■●■●■●■●■●■●■●■●■●■■●■●■●■●■●■●■●■●
■●■●
●■●■●■●■●■●■●■●■●■●■●
●的个数分别是9个、10个、11个。

显然●最少有9个，最多有11个。

如果深入研究为什么●的个数会不同，就能发现这两种图形一一间隔排列有三种情况。

一种是整排图形的两端都是■，●的个数最少；一种是整排图形的端
都是●，●的个数最多；一种是整排图形的一端是■，另一端是●，●的个数
不是最少，也不是最多。

分别比较这三种情况■的个数与●的个数，一种是■
比●多1个，一种是■和●的个数相同，一种是■比●少1个。

因此，三种情
况又可以分成两类，一类是两种图形相差1个，一类是两种图形个数相等。

前
一类整排图形的两端是同一种图形，后一类整排图形的两端是不同的图形。

通过上述的摆学具、找规律、想原因，比较全面地探索了两种物体一一间隔排列的规律。

这些规律以形象思维的方式保存在学生的经验里，既有比较充分
的体验，又不需要刻意去记忆。

2. 鼓励学生想办法表示规律、交流规律。

表示规律是数学化程度相当高的思维活动。

如果说，探索规律的教学重点在
于学生充分开展探索活动，那么采用适当的方式表示发现的规律，也不能忽视。

其实，探索规律的全过程包括对规律的表达与交流。

表示规律的最好形式是数
学模型，模型能够最本质、最简明、最数学化地表现规律的数学内容。

然而，
小学生还不具备利用数学模型的能力，所以应鼓励他们用自己的方式去表达。

小学生表示间隔排列的规律，最适宜采用语言描述、画图、写式子等多种形式。

能比较概括地表示当然很好，也允许比较具体地表示。

只要经历描述规律
的过程，有自己表示规律的办法，就应该得到赞赏。

（三）回顾探索规律的活动过程，交流体会、享受喜悦、保持兴趣、积累经
验回顾探索规律的过程，可以组织学生想想研究了什么现象，这种现象有什么特点，开展了哪些活动，采用了哪些方法，经历了哪些活动，发现了什么规律，怎样表示这个规律……要让学生体会自己是成功者，因为间隔排列的规律不是教
科书或老师告诉的，是他们自己发现的。

要让学生体会探索规律是数学活动的
过程，平时经常使用的数一数、比一比、画一画等方法，都可以应用于探索规律，使探索规律促进数学学习方式的改善。

要让学生体会探索规律需要科学的
态度，既要大胆猜想，又要及时验证；体会探索规律、发现规律的乐趣，虽然
过程有些艰苦，但成功的快乐暖心田……回顾和反思不要过于注重规律本身，不
要局限于是否记住规律、能否应用规律。

学生对探索规律有兴趣、有信心，品
味成功、享受快乐应该是最主要的。