三角形的中位线知识讲解.doc

三角形中位线定理

【学习目标】

1.理解三角形的中位线的概念，掌握三角形的中位线定理．

2.掌握中点四边形的形成规律 .

【要点梳理】

要点一、三角形的中位线

1．连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线.

2．定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半.

要点诠释：（ 1）三角形有三条中位线，每一条与第三边都有相应的位置关系与数量关系.

（ 2）三角形的三条中位线把原三角形分成可全等的 4 个小三角形 . 因而每个

小三角形的周长为原三角形周长的1

，每个小三角形的面积为原三角形2

1

面积的.

（ 3）三角形的中位线不同于三角形的中线.

要点二、顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形的形状

顺次连接任意四边形各边中点得到的四边形是平行四边形.

【典型例题】

类型一、三角形的中位线

1、如图，已知P、 R 分别是长方形ABCD的边 BC、 CD上的点， E、 F 分别是 PA、PR 的中点，点P 在 BC上从 B 向 C 移动，点R不动，那么下列结论成立的是（）

A．线段

C．线段【答案】 C；EF 的长逐渐增

大 EF 的长不变

B．线段 EF的长逐渐变小

D．无法确定

【解析】连 AR，由E、 F 分别为PA，PR的中点

知EF为△ PAR的中位

线

, 则 EF

1 AR，而

2

AR长不变，

故

EF 大小不变.

【总结升华】当条件中含有中点的时候，要将它与中位线联系起来，

辅助线，构造中位线图形．

进行联想，必要时添加举一反三：

【变式】（ 2015 秋?青岛校级月考）在△ ABC 中，中线 BE、 CF交于点 O， M、 N 分别是 BO、CO 中点，则四边形 MNEF是什么特殊四边形？并说明理由．

【答案】 5；

解：四边形 MNEF 是平行四边形．

理由如下：∵ BE 、 CF 是中线， ∴E 、 F 分别是 AC 、 AB 的中点，

∴ E F 是△ ABC 的中位线，

∴ E F ∥BC 且 EF= BC ，

∵M 、 N 分别是 BO 、 CO 中点， ∴MN 是△ OBC 的中位线，

∴MN ∥BC 且 MN= BC ，

∴ E F ∥MN 且 EF=MN ，

∴四边形 MNEF 是平行四边形．

2、如图，△ ABC 中， D 、E 分别是 BC 、 AC 的中点， BF 平分∠ ABC ，交 DE 于点 F ，若 BC ＝6，则 DF 的长是（ ）

A ．2

B

．3

C.

5 2

D ． 4

【思路点拨】 利用中位线定理，得到 DE ∥AB ，根据平行线的性质，可得∠ EDC ＝∠ ABC ，再

利用角平分线的性质和三角形内角外角的关系，得到 DF ＝ DB ，进而求出 DF 的长．

【答案解析】

解：在△ ABC 中， D 、 E 分别是 BC 、 AC 的中点

∴DE ∥AB

∴∠ EDC ＝∠ ABC ∵ B F 平分∠ ABC ∴∠ EDC ＝2∠FBD

在△ BDF 中，∠ EDC ＝∠ FBD ＋∠ BFD

∴∠ DBF ＝∠ DFB

∴ F D ＝ BD ＝ 1 BC ＝ 1

×6＝ 3．

2 2

【总结升华】三角形的中位线平行于第三边，当出现角平分线，平行线时，一般可构造等腰

三角形，进而利用等腰三角形的性质解题．

3、如图所示，在△ABC中， M为 BC的中点， AD为∠ BAC的平分线， BD⊥AD于 D， AB ＝12， AC＝18，求 MD的长．

【思路点拨】本题中所求线段 MD与已知线段 AB、 AC之间没有什么联系，但由 M为 BC的中点

联想到中位线，另有 AD为角平分线和垂线，根据等腰三角形“三线合一”构造等腰三角

形 ABN， D为 BN的中点， DM即为中位线，不难求出 MD的长

度．【答案与解析】

解：延长BD交 AC于点 N．

∵AD 为∠ BAC的角平分线，且 AD⊥ BN，

∴ ∠BAD＝∠ NAD，∠ ADB＝∠ ADN＝

90°，在△ ABD和△ AND中，

BAD ＝NAD

AD =AD

ADB ＝ADN

∴△ABD≌△ AND(ASA)

∴AN ＝ AB＝ 12， BD＝ DN．

∵AC ＝ 18，∴ NC ＝ AC－AN＝ 18－12＝ 6，

∵ D 、 M分别为 BN、 BC的中点，

∴ DM＝1

CN＝

1

6＝3．2 2

【总结升华】当条件中含有中点的时候，可以将它与等腰三角形的“三线合一” 、三角形的中线、中位线等联系起来，进行联想，必要时添加辅助线，构造中位线等图形．

举一反三：

【变式】（ 2015 春?泗洪县校级期中）如图，BE，CF是△ ABC的角平分线， AN⊥BE 于 N，AM⊥CF于 M，求证： MN∥BC．

【答案】

证明：延长AN、 AM分别交 BC于点 D、 G．

∵BE 为∠ ABC的角平分线， BE⊥AG，

∴∠ BAG=∠BGA，

∴△ ABG为等腰三角形，

∴BN也为等腰三角形的中线，即AN=GN．

同理 AM=DM，

∴MN为△ ADG的中位线，

∴MN∥BC．

4、（鞍山一模）（1）如图 1，在四边形 ABCD中， E、 F 分别是 BC、 AD的中点，连接 EF 并延长，分别与BA、CD的延长线交于点M、N，则∠BME=∠CNE，求证：AB=CD．（提示取BD 的中点 H，连接 FH，HE作辅助线）

（2）如图 2，在△ ABC 中，且 O是 BC边的中点， D 是 AC边上一点， E 是 AD的中点，直线

OE交 BA 的延长线于点 G，若 AB=DC=5，∠ OEC=60°，求 OE的长度．

【思路点拨】

（1）连结 BD，取 DB的中点 H，连结 EH、 FH，证明出 EH∥AB， EH= AB，FH∥CD， FH= CD，

证出 HE=HF，进而证出AB=CD；

（2）连结 BD，取 DB的中点 H，连结 EH、OH，证明出 EH=OH，可证明证出△ OEH 是等边三角形，进而求出 OE= ．

【答案与解析】

（1）证明：连结 BD，取 DB的中点 H，连结 EH、

FH．∵E、 F 分别是 BC、 AD的中点，

∴EH∥AB， EH= AB，FH∥CD， FH= CD，

∵∠ BME=∠CNE，

∴H E=HF，

∴A B=CD；