第七讲谓词逻辑的性质及前束范式

第七讲

谓词逻辑的性质及前束范式

1.在命题逻辑中成立的基本等价式（详见第三讲）可以推广到谓词逻辑中：例如：

幂等律在谓词逻辑中表述为：

∃x A（x）∧∃x A（x）⇔∃x A（x）

蕴涵律在谓词逻辑中表述为：

∀x（ A（x）→B）⇔∀x（┓A（x）∨B）

2.量词和否定的交换：

┓∀x A（x）⇔∃x ┓A（x）

┓∃x A（x）⇔∀x ┓A（x）

3.量词辖域的扩张和收缩

【这里注意∀x（A（x）→B）和∀xA（x）→B 的区别：

比如A（x）: x遵纪守法 B：社会和谐

∀xA（x）→B表述为：只要人人遵纪守法，社会就会和谐

∀x（A（x）→B）表述为：对于每一人，只要他遵纪守法，社会就会和谐】以下是等价公式：

（1）∀x（A（x）∨B）⇔∀xA（x）∨B

（2）∀x（A（x）∧B）⇔∀xA（x）∧B

（3）∃x（A（x）∨B）⇔∃xA（x）∨B

（4）∃x（A（x）∧B）⇔∃xA（x）∧B

（5）∀x（A（x）→B）⇔∃xA（x）→B

该公式看上去难以理解，所以证明如下：

∀x（A（x）→B）⇔∀x（┓A（x）∨B）蕴涵律

⇔∀x┓A（x）∨B

⇔┓∃xA（x）∨B 否定的交换

⇔∃xA（x）→B 蕴涵律

（6）∀x（B→A（x））⇔ B→∀xA（x）

（7）∃x（A（x）→B）⇔∀xA（x）→B （证明类似公式（5））

（8）∃x（B→A（x））⇔ B→∃xA（x）

4.量词和联结词的关系的等值式

∀xA（x）∧∀xB（x）⇔∀x(A（x）∧B（x）)

∃xA（x）∨∃xB（x）⇔∃x(A（x）∨B（x）)

5.量词和联结词的重言蕴含式

∀xA（x）∨∀xB（x）⇒∀x（A（x）∨ B（x））

∃x（A（x）∧ B（x））⇒∃xA（x）∧∃x B（x）

后者是不能推出前者的，比如对于第一个公式：

x有两个取值，x取0时，A（x）为True, B（x）为False; x取0时，A（x）为False, B（x）为True. 此时，前者能推出后者，后者不能推出前者。

利用以上规则及前面命题逻辑中相应的公式，我们可以进行公式的等价性证明.

举例来说：

证明┓∀x∀y（F（x）∧G(y) → H(x,y)）⇔∃x∃y（F（x）∧G(y) ∧┓H(x,y)）

证：┓∀x∀y（F（x）∧G(y) → H(x,y)）

⇔∃x ┓（∀y（┓（F（x）∧G(y)）∨ H(x,y)））

⇔∃x∃y┓（┓（F（x）∧G(y)）∨ H(x,y)）

⇔∃x∃y（F（x）∧G(y) ∧┓H(x,y)）

6.前束范式

所谓前束范式，通俗来讲，就是将命题公式中所有的量词提到最前面。

举例来说：

∀x F（x）∧┓∃x G(x)

化为前束范式：∀x F（x）∧┓∃x G(x)

⇔∀x F（x）∧∀x ┓G(x)

⇔∀x （F（x）∧┓G(x)）

有时，我们需要变换变元的名称：

比如：(∀x F（x，y）→∃yG(y)) →∀x H（x，y）

⇔(∀x F（x，y）→∃zG(z)) →∀t H（t，y）

⇔(┓∀x F（x，y）∨∃zG(z)) →∀t H（t，y）

⇔┓(┓∀x F（x，y）∨∃zG(z)) ∨∀t H（t，y）

⇔(∀x F（x，y）∧┓∃zG(z)) ∨∀t H（t，y）

⇔(∀x F（x，y）∧∀z┓G(z)) ∨∀t H（t，y）

⇔∀x∀z ∀t (( F（x，y）∧┓G(z)) ∨ H（t，y）)

这里需要注意：我们看到在∀x F（x，y）→∃yG(y) 中，量词的作用范围只局限在其后面一个谓词，所以尽管后面∃yG(y)含有y,但此y不是F（x，y）中的y. 所以∃yG(y)可以变为∃zG(z)；但是∀x H（x，y）中的y,由于前面没有量词来约束y,所以此y和F（x，y）中的y是同一个y.