《MATLAB程序设计教程(第二版)》第7章 MATLAB数值积分与数值微分
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例7-2 分别用quad函数和quadl函数求的近似值，并 在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。 调用函数quad求定积分： format long fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10) I= 0.285794442547663 n= 65
MATLAB程序设计教程（第二版）
刘卫国 主编
中国水利水电出版社
第7章 MATLAB数值积分与数值微分
MATLAB数值积分 MATLAB数值微分
7.1 数值积分
7.1.1 数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形 法、辛普生(Simpson)• 、牛顿－柯特斯(Newton法 Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想 都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]， i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题 就分解为求和问题。
7.2 数值微分
Fra Baidu bibliotek
7.2.1 数值差分与差商
7.2.2 数值微分的实现 在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只 有计算向前差分的函数diff，其调用格式为： DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)X(i)，i=1,2,…,n-1。 DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如， diff(X,2)=diff(diff(X))。 DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺 省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。
例7-5 计算二重定积分 （1）建立一个函数文件fxy.m：
function f=fxy(x,y) global ki; ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数 f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
（2）调用dblquad函数求解。
global ki; ki=0; I=dblquad(@fxy,-2,2,-1,1) ki I= 1.5745 ki = 1038
例7-3 求定积分。
(1) 被积函数文件fx.m。
function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x)); (2) 调用函数quad8求定积分。 I=quad8('fx',0,pi)
I=
2.4674
3．梯形积分法 在科学实验和工程应用中，函数关系往往是不知道 的，只有实验测定的一组样本点和样本值，这时， 人们就无法使用quad等函数计算其定积分。在 MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求 定积分问题用梯形积分函数trapz。该函数调用格 式如下： I=trapz(X,Y) 其中，向量X，Y定义函数关系Y = f(X)。
调用函数quadl求定积分： format long fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quadl(fx,1,2.5,1e-10) I= 0.285794442548811 n= 18 format short
2．高斯-克朗罗德法 MATLAB提供了基于自适应高斯-克朗罗德法的 quadgk函数来求振荡函数的定积分。该函数的调 用格式为 [I,err]=quadgk(@fname,a,b) 其中，err返回近似误差范围，其他参数的含义和用 法与quad函数相同。积分上下限可以是−Inf或Inf， 也可以是复数。如果积分上下限是复数，则 quadgk在复平面上求积分。
7.1.2 数值积分的实现方法
1．变步长辛普生法
基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数和 quadl函数来求定积分。函数的调用格式为： [I,n]=quad(@fname,a,b,tol,trace) [I,n]=quadl(@fname,a,b,tol,trace) 其中，fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限 和上限。tol用来控制积分精度，默认时取tol=10-6。 trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过 程，取0则不展现，默认时取trace=0。返回参数I即 定积分值，n为被积函数的调用次数。
例7-7 生成以向量V=[1,2,3,4,5,6]为基础的范得蒙矩 阵，按列进行差分运算。
命令如下：
V=vander(1:6)
DV=diff(V) %计算V的一阶差分
例7-8 用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同 一个坐标系中做出f'(x)的图像。 程序如下：
f=inline('sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2'); g=inline('(3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5'); x=-3:0.01:3; p=polyfit(x,f(x),5); %用5次多项式p拟合f(x) dp=polyder(p); %对拟合多项式p求导数dp dpx=polyval(dp,x); %求dp在假设点的函数值 dx=diff(f([x,3.01]))/0.01; %直接对f(x)求数值导数 gx=g(x); %求函数f的导函数g在假设点的导数 plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-'); %作图
例7-1 求定积分。
(1) 建立被积函数文件fesin.m。
function f=fesin(x)
f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 调用数值积分函数quad求定积分。
[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)
S= 0.9008 n= 77
也可不建立关于被积函数的函数文件，而使用语句函数 （内联函数）求解，命令如下： g=inline('exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6)'); %定义一个语句函数 [S,n]=quad(g,0,3*pi) %注意函数名不加@号 S= 0.9008 n=
例7-4 用trapz函数计算定积分。 命令如下： X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量 trapz(X,Y) ans = 0.2858
7.1.3 多重定积分的数值求解
MATLAB提供的dblquad函数用于求二重积分的数值 解，triplequad函数用于求三重积分的数值解。函 数的调用格式为 dblquad(@fun,a,b,c,d,tol) triplequad(@fun,a,b,c,d,e,f,tol) 其中，fun为被积函数，[a，b]为x的积分区域，[c， d]为y的积分区域，[e，f ]为z的积分区域，参数tol 的用法与函数quad完全相同。
如果使用inline函数，则命令如下： f=inline('exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)','x','y'); I=dblquad(f,-2,2,-1,1) I= 1.5745
例7-6 计算三重定积分 命令如下： fxyz=inline('4*x.*z.*exp(-z.*z.*y-x.*x)','x','y','z'); triplequad(fxyz,0,pi,0,pi,0,1,1e-7) ans= 1.7328
例7-2 分别用quad函数和quadl函数求的近似值，并 在相同的积分精度下，比较函数的调用次数。 调用函数quad求定积分： format long fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quad(fx,1,2.5,1e-10) I= 0.285794442547663 n= 65
MATLAB程序设计教程（第二版）
刘卫国 主编
中国水利水电出版社
第7章 MATLAB数值积分与数值微分
MATLAB数值积分 MATLAB数值微分
7.1 数值积分
7.1.1 数值积分基本原理 求解定积分的数值方法多种多样，如简单的梯形 法、辛普生(Simpson)• 、牛顿－柯特斯(Newton法 Cotes)法等都是经常采用的方法。它们的基本思想 都是将整个积分区间[a,b]分成n个子区间[xi,xi+1]， i=1,2,…,n，其中x1=a，xn+1=b。这样求定积分问题 就分解为求和问题。
7.2 数值微分
Fra Baidu bibliotek
7.2.1 数值差分与差商
7.2.2 数值微分的实现 在MATLAB中，没有直接提供求数值导数的函数，只 有计算向前差分的函数diff，其调用格式为： DX=diff(X)：计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)X(i)，i=1,2,…,n-1。 DX=diff(X,n)：计算X的n阶向前差分。例如， diff(X,2)=diff(diff(X))。 DX=diff(A,n,dim)：计算矩阵A的n阶差分，dim=1时(缺 省状态)，按列计算差分；dim=2，按行计算差分。
例7-5 计算二重定积分 （1）建立一个函数文件fxy.m：
function f=fxy(x,y) global ki; ki=ki+1; %ki用于统计被积函数的调用次数 f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
（2）调用dblquad函数求解。
global ki; ki=0; I=dblquad(@fxy,-2,2,-1,1) ki I= 1.5745 ki = 1038
例7-3 求定积分。
(1) 被积函数文件fx.m。
function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x)); (2) 调用函数quad8求定积分。 I=quad8('fx',0,pi)
I=
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3．梯形积分法 在科学实验和工程应用中，函数关系往往是不知道 的，只有实验测定的一组样本点和样本值，这时， 人们就无法使用quad等函数计算其定积分。在 MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求 定积分问题用梯形积分函数trapz。该函数调用格 式如下： I=trapz(X,Y) 其中，向量X，Y定义函数关系Y = f(X)。
调用函数quadl求定积分： format long fx=inline('exp(-x)'); [I,n]=quadl(fx,1,2.5,1e-10) I= 0.285794442548811 n= 18 format short
2．高斯-克朗罗德法 MATLAB提供了基于自适应高斯-克朗罗德法的 quadgk函数来求振荡函数的定积分。该函数的调 用格式为 [I,err]=quadgk(@fname,a,b) 其中，err返回近似误差范围，其他参数的含义和用 法与quad函数相同。积分上下限可以是−Inf或Inf， 也可以是复数。如果积分上下限是复数，则 quadgk在复平面上求积分。
7.1.2 数值积分的实现方法
1．变步长辛普生法
基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数和 quadl函数来求定积分。函数的调用格式为： [I,n]=quad(@fname,a,b,tol,trace) [I,n]=quadl(@fname,a,b,tol,trace) 其中，fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限 和上限。tol用来控制积分精度，默认时取tol=10-6。 trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过 程，取0则不展现，默认时取trace=0。返回参数I即 定积分值，n为被积函数的调用次数。
例7-7 生成以向量V=[1,2,3,4,5,6]为基础的范得蒙矩 阵，按列进行差分运算。
命令如下：
V=vander(1:6)
DV=diff(V) %计算V的一阶差分
例7-8 用不同的方法求函数f(x)的数值导数，并在同 一个坐标系中做出f'(x)的图像。 程序如下：
f=inline('sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2'); g=inline('(3*x.^2+4*x-1)./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)/2+1/6./(x+5).^(5/6)+5'); x=-3:0.01:3; p=polyfit(x,f(x),5); %用5次多项式p拟合f(x) dp=polyder(p); %对拟合多项式p求导数dp dpx=polyval(dp,x); %求dp在假设点的函数值 dx=diff(f([x,3.01]))/0.01; %直接对f(x)求数值导数 gx=g(x); %求函数f的导函数g在假设点的导数 plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-'); %作图
例7-1 求定积分。
(1) 建立被积函数文件fesin.m。
function f=fesin(x)
f=exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6); (2) 调用数值积分函数quad求定积分。
[S,n]=quad('fesin',0,3*pi)
S= 0.9008 n= 77
也可不建立关于被积函数的函数文件，而使用语句函数 （内联函数）求解，命令如下： g=inline('exp(-0.5*x).*sin(x+pi/6)'); %定义一个语句函数 [S,n]=quad(g,0,3*pi) %注意函数名不加@号 S= 0.9008 n=
例7-4 用trapz函数计算定积分。 命令如下： X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); %生成函数关系数据向量 trapz(X,Y) ans = 0.2858
7.1.3 多重定积分的数值求解
MATLAB提供的dblquad函数用于求二重积分的数值 解，triplequad函数用于求三重积分的数值解。函 数的调用格式为 dblquad(@fun,a,b,c,d,tol) triplequad(@fun,a,b,c,d,e,f,tol) 其中，fun为被积函数，[a，b]为x的积分区域，[c， d]为y的积分区域，[e，f ]为z的积分区域，参数tol 的用法与函数quad完全相同。
如果使用inline函数，则命令如下： f=inline('exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y)','x','y'); I=dblquad(f,-2,2,-1,1) I= 1.5745
例7-6 计算三重定积分 命令如下： fxyz=inline('4*x.*z.*exp(-z.*z.*y-x.*x)','x','y','z'); triplequad(fxyz,0,pi,0,pi,0,1,1e-7) ans= 1.7328