(完整版)数值积分及matlab实现

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(完整版)MATLAB数值积分解读

6 MATLAB 数值积分
定积分：函数f (x)在区间[a, b]上的定积分定义为
其中
b
n
I
a
f (x)dx lim max(xi )0 i1
f (i )xi
a x0 x1 L xn b, xi xi xi1,
i (xi1 , xi ), i 1, 2,L , n
6.1 数值积分基本原理
例2 求定积分:
x sin x
dx
0 (1 cos x cos x)
(1) 被积函数文件fx.m。
function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));
(2) 调用函数quad8求定积分。
I=quad8('fx',0,pi)
例3
分别用quad函数和quad8函数求定积分
分别为x的上、下限，c,d分别为y上、下限。
例5 计算二重定积分
x2
2 1 e 2 sin( x2 y)dydx 2 1
(1) 建立一个函数文件fxy.m：
function f=fxy(x,y)
global ki;
ki=ki+1;
%ki用于统计被积函数的调用次数
f=exp(-x.^2/2).*sin(x.^2+y);
syms 符号变量名1 符号变量名2 … 符号变量名n
用这种格式定义符号变量时不要在变量名上加字符串分界符(‘)，变量间用空格而不要用逗号分隔。立符号表达式含有符号对象的表达式称为符号表达式。
建立符号表达式有以下3种方法： (1) 利用单引号来生成符号表达式。 (2) 用sym函数建立符号表达式。 (3) 使用已经定义的符号变量组成符号表达式。

数值积分的MATLAB实现

数值积分的MATLAB实现数值积分是通过数值方法计算定积分的近似值。

MATLAB是一种功能强大的数值计算软件，提供了多种函数和工具箱用于数值积分的实现。

在MATLAB中，常用的数值积分方法包括梯形法则、辛普森法则和龙贝格法。

梯形法则是最简单的数值积分方法之一、它的基本思想是将要积分的区间划分成多个小的梯形并计算每个梯形的面积，然后将这些面积相加得到最终的近似积分值。

在MATLAB中，可以使用trapz函数进行梯形法则的计算。

例如，要计算函数sin(x)在区间[0, pi]的积分，可以使用以下代码：```MATLABx = linspace(0, pi, 1000); % 在[0, pi]区间生成1000个等间隔的点y = sin(x); % 计算函数sin(x)在每个点的值integral_value = trapz(x, y) % 使用梯形法则进行数值积分```辛普森法则是一种更精确的数值积分方法，它使用二次多项式来逼近被积函数。

在MATLAB中，可以使用simpson函数进行辛普森法则的计算。

例如，上面例子中的积分可以改用辛普森法则进行计算：```MATLABintegral_value = simpson(x, y) % 使用辛普森法则进行数值积分```龙贝格法是一种高效的自适应数值积分方法，它通过逐步加密网格和逼近函数来提高积分的精度。

在MATLAB中，可以使用quad和quadl函数进行龙贝格法的计算。

例如，计算函数sin(x)在区间[0, pi]的积分：```MATLAB```除了上述方法外，MATLAB还提供了许多其他的数值积分函数和工具箱，用于处理不同类型的积分问题。

例如，int和integral函数可以用于处理多重积分和奇异积分。

Symbolic Math Toolbox中的函数可以用于计算符号积分。

需要注意的是，数值积分是一种近似方法，计算结果的误差与划分区间的精细程度有关。

数值积分matlab

数值积分matlab数值积分是一种数学方法，用于计算函数在一定区间内的定积分。

在实际应用中，很多函数的解析式难以求得，因此需要使用数值积分方法来近似计算。

Matlab是一种常用的数值计算软件，其中包含了许多数值积分的函数。

下面介绍几种常见的数值积分方法及其在Matlab中的实现。

1.矩形法矩形法是一种简单粗略的数值积分方法，它将被积函数在区间上近似为一个常数，并将该常数乘以区间长度作为近似定积分的结果。

Matlab中使用的函数为：integral(@(x)f(x),a,b)其中f(x)为被积函数，a和b为积分区间上下限。

2.梯形法梯形法将被积函数在区间上近似为一个线性函数，并将该线性函数与x轴围成的梯形面积作为近似定积分的结果。

Matlab中使用的函数为：trapz(x,y)其中x和y均为向量，表示被积函数在离散点上的取值。

3.辛普森法辛普森法将被积函数在区间上近似为一个二次函数，并将该二次函数与x轴围成的曲线面积作为近似定积分的结果。

Matlab中使用的函数为：quad(@(x)f(x),a,b)其中f(x)为被积函数，a和b为积分区间上下限。

以上三种数值积分方法都是基于离散化的思想，将连续的被积函数离散化为一组离散点上的取值，然后通过不同的近似方式计算定积分。

在实际应用中，不同的方法适用于不同类型的问题，需要根据具体情况选择合适的方法。

除了以上三种常见数值积分方法外，Matlab还提供了许多其他数值积分函数，如高斯求积、自适应辛普森法等。

在使用这些函数时，需要注意参数设置和误差控制等问题，以保证计算结果的准确性和可靠性。

总之，在进行数值计算时，数值积分是一种非常重要且常用的方法。

Matlab提供了丰富而强大的数值积分函数库，可以方便地进行各种类型问题的求解。

MATLAB数值积分及算例

6.2.3 被积函数由一个表格定义
(要求积分,但是函数没有直接给出,只是自己在做实验时得到的一组相关联的数据)
在MATLAB中，对由表格形式定义的函数关系的求定积分问题用trapz(X,Y)函数。其中向量X,Y定义函数关系Y=f(X)。
例4 用trapz函数计算定积分。
命令如下：
X=1:0.01:2.5; Y=exp(-X); trapz(X,Y)
例2 求定积分:
x sin x
dx
0 (1 cos x cos x)
(1) 被积函数文件fx.m。
function f=fx(x) f=x.*sin(x)./(1+cos(x).*cos(x));
(2) 调用函数quad8求定积分。
I=quad8('fx',0,pi)
例3
分别用quad函数和quad8函数求定积分
global ki;ki=0; I=dblquad('fxy',-2,2,-1,1) ki
6.2 数值积分的实现方法
6.2.1 变步长辛普生法
基于变步长辛普生法，MATLAB给出了quad函数来求定积分。该函数的调用格式为：
[I, n] = quad('fname', a, b, tol, trace) 其中fname是被积函数名。a和b分别是定积分的下限和上限。 tol 用来控制积分精度，缺省时取 tol=0.001。trace控制是否展现积分过程，若取非0则展现积分过程，取0则不展现，缺省时取trace=0。返回参数I即定积分值，n为被积函数的调用次数。
2.5 exdx
1
的近似值，并在相同的积分精度下，比较函数的调

三角形单元数值积分 matlab

三角形单元数值积分 matlab
在Matlab中进行三角形单元数值积分可以通过使用内置的函数
来实现。

一种常用的方法是使用`integral`函数来进行数值积分。

假设我们有一个三角形单元的函数f(x)，我们可以使用以下步骤来
进行数值积分：
步骤1，定义三角形单元的函数f(x)。

这可能涉及到使用三角
形的顶点坐标和函数值来定义一个插值函数。

步骤2：使用`integral`函数对定义的函数f(x)进行数值积分。

例如，如果我们的函数是f(x)，我们可以使用以下命令来进行数值
积分：
matlab.
integral(@(x) f(x), a, b)。

其中a和b是积分的下限和上限。

步骤3，根据需要，可以使用不同的数值积分方法，例如
'auto'（自动选择方法）、'tiled'（瓦片方法）或者
'ArrayValued'（对数组进行积分）等。

另外，如果需要对三角形单元进行数值积分，也可以考虑使用`trapz`函数进行梯形数值积分。

这可以通过将三角形边界上的点作为离散数据点来实现。

需要注意的是，在使用Matlab进行三角形单元数值积分时，需要确保对积分区域进行合适的离散化，以便进行数值计算。

同时，也需要考虑数值积分的精度和误差控制，以确保得到准确的积分结果。

总之，Matlab提供了丰富的数值积分函数和方法，可以方便地对三角形单元进行数值积分，用户可以根据具体情况选择合适的方法来进行数值积分计算。

matlab 一列点的数值求积函数

标题：Matlab中一列点的数值求积函数的实现及应用正文：1. 概述在数学和工程领域，我们经常需要对一系列点的数值进行积分。

Matlab作为一种强大的数值计算软件，提供了丰富的函数库和工具，可以方便地实现对一列点的数值进行求积。

本文将介绍如何在Matlab 中实现一列点的数值求积函数，并给出相关的应用实例。

2. 一列点的数值求积函数的基本原理在Matlab中，可以利用数值积分的方法对一列离散点进行求积。

其中，最常用的方法包括梯形法则、辛普森法则等。

这些方法基于离散点的坐标和函数值，通过数值计算得出积分值。

以梯形法则为例，其基本原理如下：假设有一列离散点(x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn)，其中xi表示横坐标，yi表示纵坐标，将这些点连接起来形成一系列梯形。

通过计算每个梯形的面积并将其累加起来，最终得到积分值。

3. Matlab中一列点的数值求积函数的实现在Matlab中，可以通过编写自定义函数来实现对一列点的数值求积。

下面是一个简单的示例代码：function result = integrate_points(x, y)n = length(x);result = 0;for i = 1:n-1result = result + (x(i+1) - x(i)) * (y(i) + y(i+1)) / 2;end```在这段代码中，我们定义了一个名为integrate_points的函数，该函数接受两个参数x和y，分别表示离散点的横纵坐标。

然后利用梯形法则对这些离散点进行数值求积，最终得到积分值。

4. 一列点的数值求积函数的应用实例下面通过一个实际的例子来展示如何利用上述的integrate_points函数对一列离散点进行求积。

假设我们有一组离散点如下：x = [0, 1, 2, 3];y = [1, 2, 3, 4];我们可以调用integrate_points函数来计算这组离散点的积分值：result = integrate_points(x, y);disp(result);```运行上述代码后，可以得到这组离散点的积分值为7.5。

演示-matlab计算数值积分

例：计算二重积分 2 1 (4xy 3x2 )dxdy 0 1 dblquad(inline('4*x.*y+3*x.^2'),-1,1,0,2)
综合示例1
综合示例2
练习
1.计算下列定积分
1 x sin x
e 2 dx 0
e x2Inxdx 1
2.计算下列二重积分
抛物线法 quad(f,a,b,tol)
f 为被积函数，字符串类型，内部运算使用点运算 [a,b] 为积分区间，tol 为计算精度，默认精度10-6
注意：quad函数的第一个参数带单引号，内部的*， /，^都需要表示为形积分域上的二重积分
例：计算二重积分 I 2 1 (4xy 3y2 )dxdy 0 1 f=inline('4*x.*y+3*y.^2'); I=dblquad(f,-1,1,0,2)
Matlab与定积分
—数值积分
习长新荆楚理工学院数理学院
本节提要
通过本节的学习，我们将了解到定积分的近似计算原理常用的近似计算函数
定积分的近似计算原理
矩形法
定积分的近似计算原理
梯形法
定积分的近似计算原理
抛
物
Pi ( xi , yi ), Pi1 ( xi1 , yi1 ), Pi2 ( xi2 , yi2 )
线
法
Matlab数值积分函数
梯形法 trapz(x,y)
x 为分割点（节点）组成的向量， y 为被积函数在节点上的函数值组成的向量。
理论值：pi/4≈0. 78539816
x=0:1/100:1; y=1./(1+x.^2); trapz(x, y)
ans ≈0.7853939967

matlab中的微分方程的数值积分

MATLAB是一种流行的数学软件，用于解决各种数学问题，包括微分方程的数值积分。

微分方程是许多科学和工程问题的数学描述方式，通过数值积分可以得到微分方程的数值解。

本文将介绍在MATLAB中如何进行微分方程的数值积分，以及一些相关的技巧和注意事项。

一、MATLAB中微分方程的数值积分的基本方法1. 常微分方程的数值积分在MATLAB中，常微分方程的数值积分可以使用ode45函数来实现。

ode45是一种常用的数值积分函数，它使用4阶和5阶Runge-Kutta 方法来求解常微分方程。

用户只需要将微分方程表示为函数的形式，并且提供初值条件，ode45就可以自动进行数值积分，并得到微分方程的数值解。

2. 偏微分方程的数值积分对于偏微分方程的数值积分，在MATLAB中可以使用pdepe函数来实现。

pdepe可以求解具有定解条件的一维和二维偏微分方程，用户只需要提供偏微分方程的形式和边界条件，pdepe就可以进行数值积分，并得到偏微分方程的数值解。

二、在MATLAB中进行微分方程数值积分的注意事项1. 数值积分的精度和稳定性在进行微分方程的数值积分时，需要注意数值积分的精度和稳定性。

如果数值积分的精度不够，可能会导致数值解的误差过大；如果数值积分的稳定性差，可能会导致数值解发散。

在选择数值积分方法时，需要根据具体的微分方程来选择合适的数值积分方法，以保证数值解的精度和稳定性。

2. 初值条件的选择初值条件对微分方程的数值解有很大的影响，因此在进行微分方程的数值积分时，需要选择合适的初值条件。

通常可以通过对微分方程进行分析，或者通过试验求解来确定合适的初值条件。

3. 数值积分的时间步长在进行微分方程的数值积分时，需要选择合适的时间步长，以保证数值积分的稳定性和效率。

选择时间步长时，可以通过试验求解来确定合适的时间步长，以得到最优的数值解。

三、MATLAB中微分方程数值积分的实例以下通过一个简单的例子来演示在MATLAB中如何进行微分方程的数值积分。

数值积分 matlab

数值积分 matlab数值积分是一种通过数值计算来求解一个函数的定积分值的方法。

其主要思想是将一个区间分成若干个小份，通过对这些小份的积分值的求和来近似求得整个区间的积分值。

Matlab是一种常见的数学软件，也提供了丰富的数值积分函数库，用于求解各种复杂的积分问题。

一、数值积分概述在对一个函数进行积分的时候，有些函数难以直接求解出其精确的积分值，或者求解出来的积分值过于复杂。

此时，我们可以使用数值积分的方法，通过计算某个函数在某个区间内的各个小矩形的面积，来近似求得这个函数在这个区间内的积分值。

在数值积分中，通常会将这个区间划分成若干个小区间，然后分别计算每个小区间内函数值的平均值，并将这些平均值相加得到整个区间的“面积”。

常见的数值积分方法包括：矩形法、梯形法、辛普森法等。

二、Matlab数值积分函数库Matlab中提供了许多数值积分函数，这些函数能够帮助我们快速地解决各种复杂的积分问题。

下面我们来介绍一下Matlab中常用的数值积分函数。

1、quad函数quad函数是Matlab中最常用的求解数值积分的函数之一，它可以求解单变量和多变量的积分问题。

该函数使用的是自适应辛普森公式，能够在保证精度的情况下尽可能快地求解出积分值。

例如：syms x f = @(x) x^2; q = quad(f, 0, 1)其中，syms x表示定义一个符号函数，在定义函数时需要用到。

f=@(x)x^2表示定义一个函数f(x)=x^2。

quad 函数的第一个参数是所要求解的函数句柄，第二个参数是积分的区间上限，第三个参数是积分的区间下限。

2、trapz函数trapz函数是Matlab中求解梯形法数值积分的函数。

该函数是模拟了一个梯形来逼近积分函数的面积，因此得名梯形法。

例如：x = [0:0.1:1]; y = sin(x); q = trapz(x, y)其中，x和y分别为积分函数在积分区间上的点序列，q为所求的积分值。

数值积分算法与MATLAB实现论文

数值积分算法与MATLAB实现论文编号：审定成绩：毕业设计（论文）设计（论文）题目：数值积分算法与MATLAB实现学院名称：数理学院学生姓名：专业：数学与应用数学班级：学号：指导教师：答辩组负责人：填表时间：年月摘要在求一些函数的定积分时，由于原函数十分复杂难以求出或用初等函数表达，导致积分很难精确求出，只能设法求其近似值，因此能够直接借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的。

数值积分就是解决此类问题的一种行之有效的方法。

积分的数值计算是数值分析的一个重要分支；因此，探讨近似计算的数值积分方法是有着明显的实际意义的。

本文从数值积分问题的产生出发，详细介绍了一些数值积分的重要方法。

本文较详细地介绍了牛顿-科特斯求积公式，以及为了提高积分计算精度的高精度数值积分公式，即龙贝格求积公式和高斯-勒让德求积公式。

除了研究这些数值积分算法的理论外，本文还将这些数值积分算法在计算机上通过MATLAB软件编程实现，并通过实例用各种求积公式进行运算，分析比较了各种求积公式的计算误差。

【关键词】数值积分牛顿-科特斯求积公式高精度求积公式MATLAB软件ABSTRACTWhen the solution of the definite integral of some function values，because the original function is very complex and difficult to find the elementary function expression, the integral is difficult to accurately calculate, only managed to find the approximate value, and the case is small that allows to direct interface with the Newton - Leibniz formula to calculate the definite integral. Numerical integration is an effective method to solve such problems. The numerical integration is an important branch of numerical analysis; therefore, exploring the approximate calculation of the numerical integration method has obvious practical significance. This article departure from the numerical integration problem, described in detail some important numerical integration methods.This paper has introduced detail the Newton - Coates quadrature formula, and in order to improve the calculation accuracy of numerical integration formulas, More precise formulas have Romberg quadrature formulas and the Gauss - Legendre quadrature formula. In addition to the study of these numerical integration algorithm theory, the article also involve what these numerical integration algorithm be programmed by matlab software on the computer, and an example is calculated with a variety of quadrature formulas, finally analysis and comparison to various quadrature formulas calculation error.【Key words】Numerical integration Newton-Cotes quadrature formulaHigh-precisionquadrature formula Matlab software目录前言 (1)第一章牛顿-科特斯求积公式 (2)第一节数值求积公式的构造 (2)第二节复化求积公式 (9)第三节本章小结 (12)第二章高精度数值积分算法 (13)第一节梯形法的递推 (13)第二节龙贝格求积公式 (14)第三节高斯求积公式 (17)第四节高斯-勒让德求积公式 (19)第五节复化两点高斯-勒让德求积公式 (22)第六节本章小结 (23)第三章各种求积公式的MATLAB编程实现与应用 (24)第一节几个低次牛顿-科特斯求积公式的MATLAB实现 (24)第二节复化求积公式的MATLAB实现 (28)第三节龙贝格求积公式的MATLAB实现 (33)第三节高斯-勒让德求积公式的MATLAB实现 (34)第五节各种求积算法的分析比较 (36)第六节本章小结 (38)结论 (39)致谢 (40)参考文献 (41)附录 (43)一、英文原文 (43)二、英文翻译 (52)前言对于定积分()ba f x dx ⎰，在求某函数的定积分时，在一定条件下，虽然有牛顿-莱布里茨公式()()()baI f x dx F b F a ==-⎰可以计算定积分的值，但在很多情况下()f x 的原函数不易求出或非常复杂。

matlab数值积分实例

数值积分 1.求积分dx e x ⎰--112，在积分区间中，点与点之间的间隔取为0.1.解：（一）用MATBLE 编写复化梯形求积函数：function I=T_quad(x,y)n=length(x);m=length(y);if n ~=merrorendh=(x(n)-x(1))/(n-1);a=[1 2*ones(1,n-2) 1];I =h/2*sum(a.*y);输入：x=-1:0.1:1;y=exp(-x.^2);I =T_quad(x,y)运行得到：I =1.4924(二)用MATBL 编写复化Simpson 求积函数：function I=S_quad(x,y);n=length(x);m=length(y);if n ~=merrorendif rem(n-1,2) ~=0I=T_quad(x,y);return;endN=(n-1)/2;h=(x(n)-x(1))/N;a=zeros(1,n);for k=1:Na(2*k-1)=a(2*k-1)+1;a(2*k)=a(2*k)+4;a(2*k+1)=a(2*k+1)+1;endI=h/6*sum(a.*y);输入：x= -1:0.1:1;y=exp(-x.^2);I= S_quad(x,y)运行得到：I =1.4936（三）用MATBL 编写复化Cotes 求积函数：function I=C_quad(x,y);n=length(x);m=length(y);if n ~=merrorendif rem(n-1,4) ~=0I=S_quad(x,y);returnendN=(n-1)/4;h=(x(n)-x(1))/N;a=zeros(1,n);for k=1:Na(4*k-3)=a(4*k-3)+7;a(4*k-2)=a(4*k-2)+32;a(4*k-1)=a(4*k-1)+12;a(4*k)=a(4*k)+32;a(4*k+1)=a(4*k+1)+7;endI=h/90*sum(a.*y);输入：x= -1:0.1:1;y=exp(-x.^2);I= C_quad(x,y)运行得：I =1.4936（四）利用trapz()函数，采用复化梯形公式求积分输入：x=-1:0.1:1;y=exp(-x.^2);I=trapz(x,y)输出：I =1.49242. 求积分dx e x ⎰--112，取精度要求510-=ε （一）用MATLAB 编写自适应步长的梯形公式function I=T_quad_iter(fun,a,b,ep)if nargin<4 ep=1e-5;endN=1;h=b-aT=h/2*(feval(fun,a)+feval(fun,b));while 1h=h/2;I=T/2;for k=1:NI=I+h*feval(fun,a+(2*k-1)*h);endif abs(I-T)<ep breakendN=2*N;T=IEnd输入：I=T_quad_iter(@(x)exp(-x.^2),-1,1)输出：I =1.4936（二）用MATLAB编写自适应步长的Simpson公式function I=S_quad_iter(fun,a,b,ep)if nargin<4 ep=1e-5endN=1;h=b-aT1=h/2*(feval(fun,a)+feval(fun,b));S0=T1;while 1h=h/2;T2=T1/2;for k=1:NT2=T2+h*feval(fun,a+(2*k-1)*h)endI=(4*T2-T1)/3;if abs(I-S0)<ep breakendN=2*N;T1=T2;S0=IEnd输入：I=S_quad_iter(@(x) exp(-x.^2),-1,-1)输出：I =1.4936（三）用quad（）函数，采用自适应步长的Simposon求积分输入：I=quad(@(x) exp(-x.^2) ,-1,1)输出：I =1.4936。

(2021年整理)数值积分用matlab实现

数值积分用matlab实现编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（数值积分用matlab实现）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。

本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为数值积分用matlab实现的全部内容。

东北大学秦皇岛分校数值计算课程设计报告数值积分及Matlab实现学院数学与统计学院专业信息与计算科学学号5133117姓名楚文玉指导教师张建波姜玉山成绩教师评语：指导教师签字：2015年07月14日1 绪论在科研计算中，经常会碰到一些很难用公式定理直接求出精确解的积分问题，对于这类问题，我们一般转化为数值积分问题，用计算机来实现求解问题． 1.1 课题的背景对于定积分()ba f x dx ⎰在求某函数的定积分时,在一定条件下，虽然有牛顿—莱布里茨公式()()()ba I f x dx Fb F a ==-⎰可以计算定积分的值，但在很多情况下的原函数()f x 不易求出或非常复杂．被积函数的原函数很难用初等函数表达出来,例如2sin (),x x f x e x-=等;有的函数()f x 的原函数()F x 存在，但其表达式太复杂，计算量太大，有的甚至无法有解析表达式．因此能够借助牛顿-莱布尼兹公式计算定积分的情形是不多的．另外,许多实际问题中的被积函数()f x 往往是列表函数或其他形式的非连续函数，对这类函数的定积分，也不能用不定积分方法求解，只能设法求其近似值．因此，探讨近似计算的数值积分方法是有明显的实际意义的，即有必要研究定积分的数值计算方法，以解决定积分的近似计算．而数值积分就是解决此类问题的一种有效的方法，它的特点是利用被积函数在一些节点上的信息求出定积分的近似值．微积分的发明是人类科学史上一项伟大的成就，在科学技术中，积分是经常遇到的一个重要计算环节数值积分是数学上重要的课题之一，是数值分析中重要的内容之一．随着计算机的出现，近几十年来,对于数值积分问题的研究已经成为一个很活跃的研究领域．现在，数值积分在计算机图形学，积分方程，工程计算，金融数学等应用科学领域都有着相当重要的应用，所以研究数值积分问题有着很重要的意义．国内外众多学者在数值积分应用领域也提出了许多新方法．在很多实际应用中,只能知道积分函数在某些特定点的取值,比如天气测量中的气温、湿度、气压等，医学测量中的血压、浓度等等．通过这个课题的研究，我们将会更好地掌握运用数值积分算法求出特殊积分函数的定积分的一些基本方法、理论基础；并且通过Matlab 软件编程的实现，应用于实际生活中． 1.2 课题的主要内容框架1。

matlab中求积分的命令

matlab中求积分的命令求积分是数学中的一个重要概念，也是数学分析中的基础内容。

在MATLAB中，我们可以使用一些特定的命令来实现对函数的积分计算，从而得到函数的解析式或数值结果。

本文将介绍一些常用的MATLAB求积分命令，并探讨其在实际问题中的应用。

一、MATLAB中的求积分命令在MATLAB中，求积分的命令主要有两种：符号积分和数值积分。

下面分别介绍这两种求积分的命令及其使用方法。

1. 符号积分命令符号积分是指对给定的函数进行解析求积分，得到一个含有未知常数的解析式。

在MATLAB中，可以使用符号积分命令'int'来进行符号积分的计算。

其基本语法为：int(f, x) 或 int(f, x, a, b)其中，f表示被积函数，x表示积分变量，a和b表示积分区间的上下限。

例如，要对函数f(x) = x^2进行符号积分，可以使用以下命令：syms xf = x^2;F = int(f, x)这样，MATLAB将输出函数F(x) = (1/3)x^3，即f(x)的积分结果。

2. 数值积分命令数值积分是指对给定的函数进行数值近似求积分，得到一个数值结果。

在MATLAB中，可以使用数值积分命令'integral'来进行数值积分的计算。

其基本语法为：Q = integral(fun, a, b)其中，fun表示被积函数的函数句柄，a和b表示积分区间的上下限。

例如，要对函数f(x) = exp(-x^2)进行数值积分，可以使用以下命令：f = @(x) exp(-x^2);Q = integral(f, -inf, inf)这样，MATLAB将输出数值结果Q，即f(x)的积分值。

二、MATLAB求积分命令的应用MATLAB中的求积分命令在工程和科学计算中有着广泛的应用。

下面将介绍两个实际问题的求解过程，以展示这些命令的应用。

1. 求解概率密度函数的积分概率密度函数是统计学中的一个重要概念，用于描述随机变量的概率分布。

数值积分matlab程序

数值积分m a t l a b程序(共7页)--本页仅作为文档封面，使用时请直接删除即可----内页可以根据需求调整合适字体及大小--第二章数值积分. 复化Simpson 公式功能：利用复化 Simpson 公式计算被积函数 f(x)在给定区间上的积分值-----------------------------------------function S=FSimpson(f,a,b,n)% f:被积函数句柄% a,b:积分区间的两个端点% n:子区间个数% S:用复化 Simpson 法求得的积分值h=(b-a)/n;fa=feval(f,a);fb=feval(f,b);S=fa+fb;x=a;fori=1:Nx=x+h/2;fx=feval(f,x);S=S+4*fx;x=x+h/2;fx=feval(f,x);S=S+2 *fx;endS=h*S/6;----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------附：函数值为向量形式的 simpson 求积法function I=simpson_h(f,h)%调用格式 I＝simpson(f,h)%f 为一向量，指定已知节点处的函数值%h 为步长n=length(f)-1;if n==1fprintf('Data has only oneinterval'),return;end;ifn==2I=(h/3)*(f(1)+4*f(2)+f(3));return;end;ifn==3I=(3*h/8)*(f(1)+3*f(2)+3*f(3)+f(4));return;end;I=0;if2*floor(n)~=n % floor is a function round towards -infI=3*(h/8)*(f(n-2)+3*f(n-1)+3*f(n)+f(n+1));m=n-3;elsem=n; end;I=I+(h/3)*(f(1)+4*sum(f(2:2:m))+f(m+1));if m>2I=I+(h/3)*2*sum(f(3:2:m));end;----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------附：函数值为向量形式的复合 simpson 求积法function I=simpson_n(fname,a,b,n)%调用格式： I=simpson_n('fname',a,b,n)%其中 a,b 为积分区间两个端点， n 为子区间数目h=(b-a)/n;x=a+(0:n)*h;f=feval(fname,x);I=simpson_h(f,h) % 调用上面编译好的 simpson_h 函数----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------. 变步长梯形法功能：利用变步长梯形法计算函数 f(x)在给定区间的积分值-----------------------------------------------------------function [T,n]=bbct(f,a,b,eps)% f:被积函数句柄% a,b:积分区间的两个端点% eps:精度% n:二分区间的次数% T:用变步长梯形法求得的积分值h=b-a;fa=feval(f,a);fb=feval(f,b);T1=h*(fa+fb)/2;T2=T1/2+h*feval(f,a +h/2)/2;n=1;%按变步长梯形法求积分值while abs(T2-T1)>=epsh=h/2;T1=T2;S=0;x=x+h/2;whilex<bfx=feval(f,x);S=S+fx;x=x+h;endT2=T1/2+S*h/2;n=n+1;endT= T2;附：函数值为向量形式的梯形求积法function I=trapez_h(f,h)%调用格式 I=trapez_h(f,h)%其中 f 为一向量，即给定的一系列纵坐标值%h 为步长I=h*(sum(f)-(f(1)+f(length(f)))/2);----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------附：函数值为向量形式的复合梯形求积法function I=trapez_n(fname,a,b,n)%调用格式 trapez_n('fname',a,b,n)%a， b 为区间的两个端点， n 为子区间个数%其中需要调用另外一个函数： trapez_h,是梯形求积法的函数，如上。

matlab数值积分的实现：时域积分和频域积分

matlab数值积分的实现:时域积分和频域积分积分操作主要有两种方法:时域积分和频域积分,积分中常见的问题就是会产生二次趋势。

关于积分的方法,在国外一个论坛上有人提出了如下说法,供参考。

Double integration of raw acceleration data is a pretty poorestimate for displacement. The reason is that at each integration, youare compounding the noise in the data.If you are dead set on working in the time-domain, the best results come from the following steps.Remove the mean from your sample (now have zero-meansample)Integrate once to get velocity using some rule (trapezoidal, etc.)Remove the mean from the velocityIntegrate again to get displacement.Remove the mean. Note, if you plot this, you will see drift over time.To eliminate (some to most) of the drift (trend), use a least squares fit (high degree depending on data) to determine polynomial coefficients.Remove the least squares polynomial function from your data.A much better way to get displacement from acceleration data is to work in the frequency domain. To do this, follow these steps...Remove the mean from the accel. dataTake the Fouriertransform (FFT) of the accel. data.Convert the transformed accel. data to displacement data by dividing each element by -omega^2, where omega is the frequency band.Now take the inverse FFT to get back to the time-domain and scale your result.This will give you a much better estimate of displacement.说到底就是频域积分要比时域积分效果更好,实际测试也发现如此。

Matlab数值积分与数值微分

Matlab数值积分与数值微分M a t l a b数值积分与数值微分Matlab数值积分1.⼀重数值积分的实现⽅法变步长⾟普森法、⾼斯-克朗罗德法、梯形积分法1.1变步长⾟普森法Matlab提供了quad函数和quadl函数⽤于实现变步长⾟普森法求数值积分.调⽤格式为:[I,n]=Quad(@fname,a,b,tol,trace)[I,n]=Quadl(@fname,a,b,tol,trace)Fname是函数⽂件名，a,b分别为积分下限、积分上限；tol为精度控制，默认为1.0×10-6，trace控制是否展开积分过程，若为0则不展开，⾮0则展开，默认不展开.返回值I为积分数值；n为调⽤函数的次数.--------------------------------------------------------------------- 例如：求∫e0.5x sin(x+π)dx3π的值.先建⽴函数⽂件fesin.mfunction f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+(pi/6));再调⽤quad函数[I,n]=quad(@fesin,0,3*pi,1e-10)I=0.9008n=365--------------------------------------------------------------------- 例如：分别⽤quad函数和quadl函数求积分∫e0.5x sin(x+π6)dx3π的近似值，⽐较函数调⽤的次数.先建⽴函数⽂件function f=fesin(x)f=exp(-0.5*x).*sin(x+(pi/6));formatlong[I,n]=quadl(@fesin,0,3*pi,1e-10)I=n=198[I,n]=quad(@fesin,0,3*pi,1e-10)I=n=365--------------------------------------------------------------------- 可以发现quadl函数调⽤原函数的次数⽐quad少，并且⽐quad函数求得的数值解更精确.1.2⾼斯-克朗罗德法Matlab提供了⾃适应⾼斯-克朗罗德法的quadgk函数来求震荡函数的定积分，函数的调⽤格式为：[I,err]=quadgk(@fname,a,b)Err返回近似误差范围，其他参数的意义与quad函数相同，积分上下限可以是-Inf或Inf，也可以是复数，若为复数则在复平⾯上求积分.--------------------------------------------------------------------- 例如：求积分∫xsinx1+cos2xdx π的数值.先编写被积函数的m⽂件fsx.mfunction f=fsx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).^2);再调⽤quadgk函数I=quadgk(@fsx,0,pi)I=2.4674--------------------------------------------------------------------- 例如：求积分∫xsinxdx +∞∞的值.先编写被积函数的m⽂件fsx.mfunction f=fsx(x)f=x.*sin(x)./(1+cos(x).^2); 再调⽤quadgk函数I=quadgk(@fsx,-Inf,Inf)I=-9.0671e+017---------------------------------------------------------------------1.3梯形积分法对于⼀些不知道函数关系的函数问题，只有实验测得的⼀组组样本点和样本值，由表格定义的函数关系求定积分问题⽤梯形积分法，其函数是trapz函数，调⽤格式为：I=Traps(X,Y)X,Y为等长的两组向量，对应着函数关系Y=f(X) X=(x1,x2,…,x n)(x1分区间是[x1,x n]--------------------------------------------------------------------- 例如：已知某次物理实验测得如下表所⽰的两组样本点.现已知变量x和变量y满⾜⼀定的函数关系，但此关系未知，设y=f(x)，求积分13.39∫f(x)dx1.38的数值.X=[1.38,1.56,2.21,3.97,5.51,7.79,9.19,11.12,13.39];Y=[3.35,3.96,5.12,8.98,11.46,17.63,24.41,29.83,32.21]; I=trapz(X,Y) I=217.1033---------------------------------------------------------------------例如：⽤梯形积分法求积分：∫e ?x dx 2.51的数值.x=1:0.01:2.5; y=exp(-x); I=trapz(x,y) I= 0.2858---------------------------------------------------------------------2. 多重数值积分的实现重积分的积分函数⼀般是⼆元函数f(x,y)或三元函数f(x,y,z)；形如：∫∫f (x,y )dxdy ba dc∫∫∫f(x,y,z)dxdydz b a d cf eMatlab 中有dblquad 函数和triplequad 函数来对上述两个积分实现.调⽤格式为： I=dblquad(@fun,a,b,c,d,tol)I=triplequad(@fun,a,b,c,d,e,f,tol)Fun 为被积函数，[a,b]为x 的积分区间；[c,d]为y 的积分区间；[e,f]为z 的积分区间.Dblquad 函数和triplequad 函数不允许返回调⽤的次数，如果需要知道函数调⽤的次数，则在定义被积函数的m ⽂件中增加⼀个计数变量，统计出被积函数被调⽤的次数.---------------------------------------------------------------------例如:计算⼆重积分I =∫∫√dxdy π2π2π2π2的值.先编写函数⽂件fxy.mfunction f=fxy(x,y) global k; k=k+1;f=sqrt(x.^2+y.^2);再调⽤函数dblquadglobalk; k=0;I=dblquad(@fxy,-pi/2,pi/2,-pi/2,pi/2,1.0e-10) I= 11.8629 k k= 37656---------------------------------------------------------------------例如：求三重积分∫∫∫4xze ?z2y?x 2dxdydz ππ1的值.编写函数⽂件fxyz1.mfunction f=fxyz1(x,y,z)global j;j=j+1;f=4*x.*z.*exp(-z.*z.*y-x.*x);调⽤triplequad函数editglobalj;j=0;I=triplequad(@fxyz1,0,pi,0,pi,0,1,1.0e-10)I=1.7328jj=1340978---------------------------------------------------------------------Matlab数值微分1.数值微分与差商导数的三种极限定义f′(x)=limn→0f(x+h)?f(x)hf′(x)=limn→0f(x)?f(x?h)f′(x)=limn→0f(x+h2)?f(x?h2)h上述公式中假设h>0，引进记号：f(x)=f(x+h)f(x)f(x)= f(x)f(xh)δf(x)= f(x+h)?f(x?h)称上述?f(x)、?f(x)、δf(x)为函数在x点处以h(h>0)为步长的向前差分、向后差分、中⼼差分，当步长h⾜够⼩时，有：f′(x)≈?f(x) hf′(x)≈f(x) f′(x)≈δf(x)f(x) h 、?f(x)h、δf(x)h也分别被称为函数在x点处以h(h>0)为步长的向前差商、向后差商、中⼼差商.当h⾜够⼩时，函数f(x)在x点处的导数接近于在该点的任意⼀种差商，微分接近于在该点的任意⼀种差分.2.函数导数的求法2.1⽤多项式或样条函数g(x)对函数f(x)进⾏逼近(插值或拟合)，然后⽤逼近函数g(x)在点x处的导数作为f(x)在该点处的导数.2.2⽤f(x)在点x处的差商作为其导数.3.数值微分的实现⽅法Matlab中，只有计算向前差分的函数diff，其调⽤格式为：·DX=diff(X):计算向量X的向前差分，DX(i)=X(i+1)-X(i),i=1,2,…,n-1·DX=diff(X,n):计算向量X的n阶向前差分，例如diff(X,2)=diff(diff(X))·DX=diff(A,n,dim):计算矩阵A的n阶向前差分，dim=1(默认值)按列计算差分，dim=2按⾏计算差分.--------------------------------------------------------------------- 例如：⽣成6阶范德蒙德矩阵，然后分别按⾏、按列计算⼆阶向前差分A=vander(1:6)A=111111321684212438127931102425664164131256251252551777612962163661D2A1=diff(A,2,1)D2A1=180501220057011018200132019424200255030230200D2A2=diff(A,2,2)D2A2=000084211083612457614436920004008016540090015025--------------------------------------------------------------------- 例如：设f(x)=√x3+2x2?x+12+√(x+5)6+5x+2求函数f(x)的数值导数，并在同⼀坐标系中作出f’(x)的图像.已知函数f(x)的导函数如下：f′(x)=3x2+4x?12√x3+2x2?x+12+16√()56+5编辑函数⽂件fun7.m和fun8.m functionf=fun7(x)f=sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+(x+5).^(1/6)+5*x+2;functionf=fun8(x)f=(3*x.^2+4*x-1)/2./sqrt(x.^3+2*x.^2-x+12)+1/6./(x+5).^(5/6)+5 ;x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,fun7(x),5);⽤5次多项式拟合曲线dp=polyder(p);对拟合多项式进⾏求导dpx=polyval(dp,x);对dp在假设点的求函数值dx=diff(fun7([x,3.01]))/0.01;直接对dx求数值导数gx=fun8(x);求函数f的函数在假设点的导数plot(x,dpx,x,dx,'.',x,gx,'-')可以发现，最后得到的三条曲线基本重合.--------------------------------------------------------------------- 练习：A.⽤⾼斯-克朗罗德法求积分∫dx1+x2 +∞∞的值并讨论计算⽅法的精确度.（该积分值为π）function f=fun9(x)f=1./(1+x.^2);formatlong[I,err]=quadgk(@fun9,-Inf,Inf)I=err=B.设函数f(x)=sin x⽤不同的办法求该函数的数值导数，并在同⼀坐标系中作出f′(x)的图像.已知f′(x)=x cos x+cos x cos2x?sin x+2sin x sin2x()2function f=fun10(x)f=sin(x)./(x+cos(2*x));function f=fun11(x)f=(x.*cos(x)+cos(x).*cos(2*x)-sin(x)-2*sin(x).*sin(2*x))/(x+cos(2 *x)).^2; x=-3:0.01:3;p=polyfit(x,fun10(x),5);dp=polyder(p);dpx=polyval(dp,x);dx=diff(fun10([x,3.01]))/0.01;gx=fun11(x);plot(x,dpx,'r:',x,dx,'.g',x,gx,'-k')。