2014年全国一卷高考理科数学试卷及答案

2014年普通高等学校招生全国统一考试全国课标

I 理科数学

第Ⅰ卷

（选择题

共60分）

一．选择题：共12小题，每小题

5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目

要求的一项。1.已知集合A={

x |2

23

0x

x }，B={x |－2≤x ＜2＝，则A

B =

A .[-2,-1]

B .[-1,2）

C .[-1,1]

D .[1,2）

2.

32

(1)(1)

i i =

A .1i

B .1i

C .1i

D .1i

3.设函数()f x ，()g x 的定义域都为

R ，且()f x 时奇函数，()g x 是偶函数，则下列结论正确的是

A .()f x ()g x 是偶函数

B .|()f x |()g x 是奇函数

C .()f x |()g x |是奇函数

D .|()f x ()g x |是奇函数

4.已知F 是双曲线C ：

2

2

3(0)x my

m m 的一个焦点，则点

F 到C 的一条渐近线的距离为A .3

B .3

C .3m

D .3m

5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率

A .

18

B .

38

C .

58

D .

78

6.如图，圆O 的半径为1，A 是圆上的定点，P 是圆上的动点，角x 的始边

为射线OA ，终边为射线OP ，过点P 作直线OA 的垂线，垂足为M ，将点M 到直线OP 的距离表示

为

x 的函数()f x ，则y =()f x 在[0,

]上的图像大致为

7.执行下图的程序框图，若输入的

,,a b k 分别为1,2,3，则输出的M =

A .

203

B .

165

C .

72

D .

158

8.设

(0,

)2

，

(0,

)2

，且1sin tan

cos

，则

A .3

2

B .2

2

C .3

2

D .2

2

9.不等式组

1

24

x

y x y

的解集记为D .有下面四个命题：

1p ：

(,),22x y D x y ，2p ：(,),22x y D x y , 3P ：(,)

,23x y D x y

，

4p ：(,)

,21x y D x

y

.

其中真命题是

A .2p ，3

p B .1p ，4p C .1p ，2p D .1p ，3

p 10.已知抛物线C ：

2

8y

x 的焦点为F ，准线为l ，P 是l 上一点，Q 是直线PF 与C 的一个焦点，若

4FP FQ ，则||QF =

A .

72

B .

52

C .3

D .2

11.已知函数()f x =3

2

31ax x

，若()f x 存在唯一的零点0x ，且0x ＞0，则a 的取值范围为

A .（2，+∞）

B .（-∞，-2）

C .（1，+∞）

D .（-∞，-1）

12.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视

图，则该多面体的个条棱中，最长的棱的长度为

A .62

B .42

C .6

D .4

第Ⅱ卷（非选择题

共90分）

本卷包括必考题和选考题两个部分。第（13）题-第（21）题为必考题，每个考生都必须作答。第

（22）题-第（24）题为选考题，考生根据要求作答。

二．填空题：本大题共四小题，每小题5分。

13.8()()x

y x y 的展开式中22

x y 的系数为

.(用数字填写答案)

14.甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A ，B ，C 三个城市时，甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B 城市；

乙说：我没去过

C 城市；

丙说：我们三人去过同一个城市

.

由此可判断乙去过的城市为

. 15.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2

AO

AB

AC ，则AB 与AC 的夹角为

.

16.已知,,a b c 分别为

ABC 的三个内角,,A B C 的对边，a =2，且(2)(sin sin )()sin b A B c b C ，则

ABC 面积的最大值为

.

三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

17.(本小题满分12分)已知数列{

n a }的前n 项和为n S ，1a =1，0n a ，1

1n n

n a a S ，其中

为常

数. （I ）证明：

2

n

n

a a ；

（Ⅱ）是否存在，使得{

n a }为等差数列？并说明理由

.

18. (本小题满分12分)从某企业的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结

果得如下频率分布直方图：

（I ）求这500件产品质量指标值的样本平均数

x 和样本方差2

s （同一组数据用该区间的中点值作代表）

；

（Ⅱ）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布

2

(,

)N ，其中

近似为

样本平均数

x ，

2

近似为样本方差2

s .

（i ）利用该正态分布，求(187.8212.2)P Z ；

（ii ）某用户从该企业购买了

100件这种产品，学科网记

X 表示这100件产品中质量指标值为于区间

（187.8,212.2）的产品件数，利用（i ）的结果，求

EX .

附：

150≈12.2.

若Z ～2

(,

)N ，则()P Z

=0.6826，(

2

2)P Z

=0.9544.

19. (本小题满分12分)如图三棱锥111ABC

A B C 中，

侧面

11BB C C 为菱形，1AB

B C .

（I ）证明：1AC AB ；

（Ⅱ）若1A C

A B

，

o

1

60CBB ，AB=Bc ，

求二面角

111A A B C 的余弦值.

20. (本小题满分12分) 已知点A （0，-2），椭圆E ：

222

2

1(0)x y a b a

b

的离心率为

32

，F 是椭

圆的焦点，直线AF 的斜率为

233

，O 为坐标原点.

（I ）求

E 的方程；

（Ⅱ）设过点

A 的直线l 与E 相交于,P Q 两点，当

OPQ 的面积最大时，求

l 的方程.

21. (本小题满分

12分)设函数1

(0ln x x

be

f x ae x

x ，曲线()y f x 在点（1，(1)f ）处的切线为

(1)2y e x . （I ）求,a b ；（Ⅱ）证明：()

1f x .

请考生从第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则