中值定理及其应用

几何解释 :
y
C
在曲线弧 AB上至少有一
点C, 在该点处的切线是
水平的 .
o a 源自文库1
y ? f (x)
?2 b x
证 ? f ( x) 在 [a,b] 连续, 必有最大值 M 和最小值 m.
(1) 若 M ? m. 则 f ( x) ? M . 由此得 f ?( x) ? 0. ? ? ? (a, b), 都有 f ?(? ) ? 0. (2) 若 M ? m. ? f (a) ? f (b), ? 最值不可能同时在端点 取得 . 设 M ? f (a ),
B
O
a
( ●)
? ?? ? ? ??
fmin , f ?(? ) ? 0
●
?
bx
一、罗尔(Rolle)定理
罗尔（Rolle）定理 如果函数 f ( x)在 (1) 闭区间 [a, b]上 连续,(2) 在开区间 (a, b)内可导,(3) 且在区间端点的函数 值 相 等 ， 即 f (a) ? f (b) , 那 末 在 (a, b) 内 至 少 有 一 点 ?(a ? ? ? b),使得函数 f ( x)在该点的导数等于零，
要的.若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可
能不成立.
.例如, f ( x) ? x, x ? [0,1]
f 在 [0,1] 上不满足罗尔定理的条件3),在(0，1)内
不存在点? ,使得f ?(? ) ? 0.
又例如 ,
f
( x)
?
?sin
? ?
1,
x,
x? (0,?
x? 0
]
f 在[0,? ]上不满足罗尔定理的条件1）、3）,但存在点
中值定理及其应用
中值定理
? 一、罗尔(Rolle)定理 ? 二、拉格朗日(Lagrange)中值定理 ? 三、柯西(Cauchy)中值定理
已知条件是 y ? f（ x）， x ? [a , b]. 因此，可得到一条过曲 线两个端点的直线
l： y ? f (a ) ? f (b) ? f (a ) ( x ? a ). b? a
解: f (x)在[1, 2]上连续, 在(1, 2)上可导, 且 f (1)= f (2); 由罗尔定理 : ?? 1???? ??, 使 f ? (?1???; 同理, ?? 2??? , ??, 使 f ? (?2???; 注意到 f ?(x)=0为二次方程, 它至多有两个实根 , 故 ?1, ?2是 f ?(x)=0 的全部实根.
即 f '(?) ? 0
例如, f ( x) ? x 2 ? 2x ? 3 ? ( x ? 3)( x ? 1).
在[? 1,3]上连续, 在(? 1,3)上可导 , 且 f (? 1) ? f (3) ? 0, ? f ?( x) ? 2( x ? 1), 取? ? 1, (1? (? 1,3)) f ?(?) ? 0.
(ii) y ? f (x) ?| x| x? ?? 1,1?
f (x)在[-1, 1]上,满足条件(1), (3),
但不满足条件 (2),
当 x????? ??时,
y
f ? (x)= ? 1.
1
y = |x|
x???? ??时, f ? (x)= 1.
x=0时, f ? (0)不存在.
?1
0
1
x
?
f??(? ) ?
lim
?x? ?0
f (? ?
? x) ? ?x
f (?) ?
0;
f ??(? ) ?
lim
?x? ?0
f (? ?
? x) ? ?x
f (?) ?
0;
? f ?(? )存在,
? f ??(?) ? f ??(?). ? 只有 f ?(? ) ? 0.
注意: 罗尔定理的三个条件是充分的，但不是必
f??(? ) ? 0
结这论说: 明Ro：lle在定极理 假大设值函数或f (极x)满小足值条件： 1.点f (处x)在,函[a,数b]上的连导续; 2.数f (为x)在0.(a,b)内可微;
3.几f (何b) ?意f义(a)是. ： 那在么极至少值存点在处一的点
? ?切(a线,b)平使行得 于 AB 的连线f ?(?或) ?x0轴. .
例2 证明方程 x5 ? 5 x ? 1 ? 0 有且仅有一个小于 1 的正实根 .
证 设 f ( x) ? x 5 ? 5 x ? 1, 则 f ( x)在[0,1]连续,
则在 (a,b)内至少存在一点 ? 使 f (? ) ? M .
? f (? ? ? x) ? f (?), ? f (? ? ? x) ? f (? ) ? 0,
若 ? x ? 0, 则有 f (? ? ? x) ? f (? ) ? 0; ?x
若 ? x ? 0, 则有 f (? ? ? x) ? f (?) ? 0; ?x
而与曲线有关的直线应 该是每点处的切线 . 我们来看看曲线的切线 与直线 l
存在什么样的关系
y
?
T 与 l 平行
T
(b, f (b))
y ? f (x) l
(a, f (a))
y?
f (a) ?
f (b) ?
f (a) (x? a)
b? a
这样的?可能有好多
O
a
?
?
bx
一个特殊的例子：假设从A点运动到B点， 那么有许多种走法，首先我们来看一个例 子。
? ? ? ? (0，? ),有f ?(? ) ? 0,即罗尔定理的结论成立.
2
2
1 x ? 1, x? [0, 1) 例如: (i) y=f (x)= 2
1 , x=1
y
f (x)满足条件(2), (3),
但不满足条件 (1),
在(0, 1)内, f ?( x) ? 1 2
3
2 1
0
1
x
图3-1-2
图3-1-3
(iii) y=f (x)=x, x? [1, 2],
f (x)在[1, 2]上满足条件 (1), (2),
但不满足条件 (3),
y
在(1, 2)内, f ?(x)=1.
2
1
0
y=x
12
x
图3-1-4
例1 设函数 f (x) = (x? 1)(x? 2)(x? 3), 不求导数,试判 断方程 f ? ?x??? 有几个实根, 它们分别在何区间 ?
行走的典型路线如下：
y
高了
A ●
O
a
低了
B到了
●
bx
?典型情形的证明思想
y
f (x) ? f (? )
f (x) ? f (? )
? ?? ? x??
? ?? ? x??
fmax
f (x) ? f (? ) ? 0 x??
●
f (x) ? f (? ) ?0
x??
f ?(? ) ? 0
A
f??(? ) ? 0