多元向量函数的中值定理及应用
考研高等数学知识点总结
高等数学知识点总结导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分：222212211cos 12sin u dudx x tg u u u x u u x +==+-=+=， ， ， ax x a a a ctgx x x tgx x x x ctgx x tgx a x x ln 1)(log ln )(csc )(csc sec )(sec csc )(sec )(22='='⋅-='⋅='-='='222211)(11)(11)(arccos 11)(arcsin x arcctgx x arctgx x x x x +-='+='--='-='⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰+±+=±+=+=+=+-=⋅+=⋅+-==+==Ca x x a x dx C shx chxdx C chx shxdx Ca a dx a Cx ctgxdx x C x dx tgx x Cctgx xdx x dx C tgx xdx x dx xx)ln(ln csc csc sec sec csc sin sec cos 22222222C axx a dx C x a xa a x a dx C a x ax a a x dx C a xarctg a x a dx Cctgx x xdx C tgx x xdx Cx ctgxdx C x tgxdx +=-+-+=-++-=-+=++-=++=+=+-=⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰arcsin ln 21ln 211csc ln csc sec ln sec sin ln cos ln 22222222⎰⎰⎰⎰⎰++-=-+-+--=-+++++=+-===-Cax a x a x dx x a Ca x x a a x x dx a x Ca x x a a x x dx a x I nn xdx xdx I n n nn arcsin 22ln 22)ln(221cos sin 2222222222222222222222ππ一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式： ·诱导公式：·和差角公式： ·和差化积公式：2sin2sin 2cos cos 2cos2cos 2cos cos 2sin2cos 2sin sin 2cos2sin2sin sin βαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβα-+=--+=+-+=--+=+αββαβαβαβαβαβαβαβαβαβαβαctg ctg ctg ctg ctg tg tg tg tg tg ±⋅=±⋅±=±=±±=±1)(1)(sin sin cos cos )cos(sin cos cos sin )sin( xxarthx x x archx x x arshx e e e e chx shx thx e e chx e e shx x x xx xx xx -+=-+±=++=+-==+=-=----11ln21)1ln(1ln(:2:2:22）双曲正切双曲余弦双曲正弦...590457182818284.2)11(lim 1sin lim 0==+=∞→→e xxx x x x·倍角公式：·半角公式：ααααααααααααααααααcos 1sin sin cos 1cos 1cos 12cos 1sin sin cos 1cos 1cos 122cos 12cos 2cos 12sin -=+=-+±=+=-=+-±=+±=-±=ctg tg·正弦定理：R CcB b A a 2sin sin sin === ·余弦定理：C ab b a c cos 2222-+=·反三角函数性质：arcctgx arctgx x x -=-=2arccos 2arcsin ππ高阶导数公式——莱布尼兹（Leibniz ）公式：)()()()2()1()(0)()()(!)1()1(!2)1()(n k k n n n n nk k k n k n n uv v u k k n n n v u n n v nu v u v u C uv +++--++''-+'+==---=-∑中值定理与导数应用：拉格朗日中值定理。
关于向量函数的微分学中值定理的一个简单证明
的一个简单证 明
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cauchy微分中值定理的多种探究式证明法
cauchy微分中值定理的多种探究式证明法拉普拉斯-库塞定理（Cauchy微分中值定理）是一个重要的微积分理论，它是由法国数学家拉普拉斯的研究得出的结论，引起了数学界的广泛关注，直到现在仍是数学家钟情的一个内容。
下面我们就介绍拉普拉斯-库塞定理（Cauchy微分中值定理）的多种探究式证明法：一、函数分段探究这种证明法指的是，对于拉普拉斯-库塞定理，我们可以先将给定函数f(x)分段，在分段函数中，我们将一段段连续函数用重叠的多个小段来表示，从而把原有的和拆分到每一小段上，然后在每一小段上分别证明，最后将结论进行卷积，可以得到统一的微分中值公式，证明完成。
二、导数探究对于拉普拉斯-库塞定理，也可以用导数探究法来证明。
它是指用初等函数的性质，只要能够得出函数f(x)在a和b之间的导数，都可以用来证明拉普拉斯-库塞定理，即可证明给定的函数f(x)在a和b之间的值的变化量可以由函数的导数决定，并且证明最终的结果一定正确。
三、条件反转探究这种证明方法指的是，我们可以用反证法来证明拉普拉斯-库塞定理，从而得出结论。
也就是说，我们假设这个结论是错误的，而当这个结论是错误的时候，有几种情况是不可能发生的，这时候就可以知道结论是正确的，这也可以被用来证明拉普拉斯-库塞定理。
四、分割探究这里用的是分割探究法，就是将函数f(x)在a，b之间进行分割成n个函数，在这n个函数之间进行分割点的选择，最终可以将n个分割点求和，得出给定的函数f(x)在a，b之间的值的变化量，这就得出了拉普拉斯-库塞定理的结论。
五、向量探究这种证明方法是通过用向量的性质，为拉普拉斯-库塞定理构造一个函数的关系，在探究中，可以将函数f(x)的变化量转化成一种向量计算，而在计算中就会知道向量的性质，可以得到结果，这就得出了拉普拉斯-库塞定理的结果。
总结：从上述介绍中可以看出，拉普拉斯-库塞定理几种证明方法有：函数分段探究、导数探究、条件反转探究、分割探究和向量探究等。
数学分析 拟微分中值定理
数学分析(二):多元微积分梅加强副教授南京大学数学系内容提要:内容提要:微分中值定理;内容提要:微分中值定理; 拟微分中值定理.问题:一元函数的微分中值定理非常有用,多元函数有没有对应的结果呢?问题:一元函数的微分中值定理非常有用,多元函数有没有对应的结果呢?设σ:(a,b)→R n为向量值函数,写成分量的形式为σ(t)=x1(t),···,x n(t),t∈(a,b).设σ(t)的每一个分量都在t0处可导,且多元函数f在x0=σ(t0)处可微,则复合函数f◦σ在t0处可导,且f◦σ(t0)=∇f(x0)·σ (t0),(1)其中σ (t0)=x1(t0),···,x n(t0).问题:一元函数的微分中值定理非常有用,多元函数有没有对应的结果呢?设σ:(a,b)→R n为向量值函数,写成分量的形式为σ(t)=x1(t),···,x n(t),t∈(a,b).设σ(t)的每一个分量都在t0处可导,且多元函数f在x0=σ(t0)处可微,则复合函数f◦σ在t0处可导,且f◦σ(t0)=∇f(x0)·σ (t0),(1)其中σ (t0)=x1(t0),···,x n(t0).证明.这是链式法则的直接推论.(微分中值定理)设D⊂R n为凸域,函数f:D→R在D中处处可微.则任给x,y∈D,存在θ∈(0,1),使得f(x)−f(y)=∇f(ξ)·(x−y),ξ=θx+(1−θ)y.(2)(微分中值定理)设D⊂R n为凸域,函数f:D→R在D中处处可微.则任给x,y∈D,存在θ∈(0,1),使得f(x)−f(y)=∇f(ξ)·(x−y),ξ=θx+(1−θ)y.(2)证明.令σ(t)=tx+(1−t)y,由D为凸域可知当t∈[0,1]时σ(t)∈D.对一元函数ϕ(t)=f◦σ(t)用微分中值定理可知存在θ∈(0,1),使得ϕ(1)−ϕ(0)=ϕ (θ).由(1)式可得ϕ(1)−ϕ(0)=∇f(ξ)·σ (θ)=∇f(ξ)·(x−y),其中ξ=σ(θ)=θx+(1−θ)y.由f(x)=ϕ(1),f(y)=ϕ(0)可知欲证结论成立.向量值函数的微分中值定理问题:微分中值定理能否推广到向量值函数?问题:微分中值定理能否推广到向量值函数?设D⊂R n为凸域,f:D→R m为向量值的多元函数.设x,y∈D.对f的每一个分量f i应用微分中值定理可得ξi∈D,使得f i(x)−f i(y)=∇f i(ξi)·(x−y).问题:微分中值定理能否推广到向量值函数? 设D ⊂R n 为凸域,f :D →R m 为向量值的多元函数.设x ,y ∈D .对f 的每一个分量f i 应用微分中值定理可得ξi ∈D ,使得f i (x )−f i (y )=∇f i (ξi )·(x −y ).注意:这些ξi 未必相同.例如,考虑函数f :R →R 2,f (t )=(t 2,t 3).取x =1,y =0,简单的计算表明ξ1=1/2,ξ2=±1/√3,因此ξ1=ξ2.问题:微分中值定理能否推广到向量值函数? 设D ⊂R n 为凸域,f :D →R m 为向量值的多元函数.设x ,y ∈D .对f 的每一个分量f i 应用微分中值定理可得ξi ∈D ,使得f i (x )−f i (y )=∇f i (ξi )·(x −y ).注意:这些ξi 未必相同.例如,考虑函数f :R →R 2,f (t )=(t 2,t 3).取x =1,y =0,简单的计算表明ξ1=1/2,ξ2=±1/√3,因此ξ1=ξ2.此例表明,一般地我们不能指望f (x )−f (y )=Jf (ξ)(x −y )对某个ξ成立.问题:微分中值定理能否推广到向量值函数? 设D ⊂R n 为凸域,f :D →R m 为向量值的多元函数.设x ,y ∈D .对f 的每一个分量f i 应用微分中值定理可得ξi ∈D ,使得f i (x )−f i (y )=∇f i (ξi )·(x −y ).注意:这些ξi 未必相同.例如,考虑函数f :R →R 2,f (t )=(t 2,t 3).取x =1,y =0,简单的计算表明ξ1=1/2,ξ2=±1/√3,因此ξ1=ξ2.此例表明,一般地我们不能指望f (x )−f (y )=Jf (ξ)(x −y )对某个ξ成立. 不过,我们有(拟微分中值定理)设D⊂R n为凸域,f:D→R m在D中处处可微.则任给x,y∈D,存在ξ∈D,使得f(x)−f(y) ≤ Jf(ξ) · x−y .(拟微分中值定理)设D⊂R n为凸域,f:D→R m在D中处处可微.则任给x,y∈D,存在ξ∈D,使得f(x)−f(y) ≤ Jf(ξ) · x−y .证明.基本的想法是对f的分量的线性组合应用微分中值定理.为此,不妨设f(x)=f(y).任意取定R m中的单位向量u=(u1,···,u m),记g=u·f=mi=1u i f i,则g为D中可微函数.根据微分中值定理,存在ξ∈D,使得g(x)−g(y)=∇g(ξ)·(x−y).证明(续).注意到∇g(ξ)=mi=1u i∇f i(ξ).利用Cauchy-Schwarz不等式可得 ∇g(ξ) ≤mi=1|u i|· ∇f i(ξ)≤ u ·mi=1∇f i(ξ) 21/2= Jf(ξ) .由g(x)−g(y)=u·[f(x)−f(y)]可得u·[f(x)−f(y)]≤ ∇g(ξ) · x−y ≤ Jf(ξ) · x−y .在上式中取u=[f(x)−f(y)]/ f(x)−f(y) 就完成了定理的证明.。
微分中值定理的主要作用
微分中值定理的主要作用微分中值定理是高等数学中微分学的主要知识点。
在确定罗尔定理、拉格朗日中值定理、柯西中值定理的基础上，深入分析了不同中值定理的推广形式。
在确定微分中值定理经典证明的前提下，分析以上之间的关系。
找出所有相关的证明形式，并分析1.引言在数学研究中，微分中值定理起着非常重要的作用。
在最近的数学考研中，与微分中值定理相关的命题层出不穷。
因此，对这部分问题的分析不仅能使我们深刻理解和认识微分中值定理的知识，而且对后续问题的解决也至关重要。
微分中值定理一般涵盖罗尔（Roll）定理，拉格朗日（Lagrange）中值定理，柯西(Cauchy)中值定理和泰勒(Taylor)公式。
上述部分彼此不断递进。
分析某个函数整体和部分，和众多函数彼此间的关系。
对了解函数的属性和根的存在性等部分具有关键的价值。
学微分中值定理这部分的时候，我们需要了解为何要学习，以及与其他定理间的关系与使用。
基于教材进行分析，我们逐渐了解到导数微分的关键性，然而并未讲解怎样使用，所以需要强化导数的使用，但是微分中值定理是导数使用的理论前提。
因此此部分知识非常关键。
其是此后分析函数极限，单调，凹凸性的前提。
基于微分中值定理的形成进行分析，此处主要的基础是函数最值问题。
而处理上述问题是使用微分中值定理。
学者们对微分中值定理的分析经历了200多年，主要从费马大定理开始，经历了从特殊到一般，从直观到抽象，从强条件到弱条件的发展时期。
也正是在上述发展时期，学者们开始了解它们的内在联系和根本特征。
微分中值定理是浓缩版的概括，上面的概括和美国数学家克莱默对数学史上任何阶段大众对数学贡献的评价，那些能够统一过去，为未来发展找到出路的概念，应该算是最深的定义了。
从广义的角度看，微分中值定理定义如下。
微分中值定理是微分学的主要定理，在数学研究中具备关键位置，是分析函数在某区间内的综合性质的重要方式。
其主要包含众多定理。
此处拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广，柯西中值定理是罗尔中值定理的推广；反之，拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特殊案例，罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特殊案例。
Rolle中值定理的推广及其在解题方面的应用
Rolle中值定理的推广及其在解题方面的应用刘红玉【摘要】微分中值定理把函数在区间上的值的变化与导数联系起来,是利用导数研究函数整体性状最基本的理论依据,在数学中十分重要,内容极为丰富。
以Rolle中值定理为例,把一元函数的Rolle中值定理推广到多元函数及向量值函数的情形,并进行了几何分析,最后通过实例阐述了Rolle中值定理在解题方面的应用。
%Differential mean value theorem it's the most basic theoretical basis to study connects changes of the function the overall character of functions values on the interval with derivative, by using derivative, and also very important in mathematics , and the content is extremely rich. In this paper, taking Rolle Mean - Value theorem as an example, and extends it to the case of multi - function and the vector - valued functions, and given geometric analysis, then elaborates the mean value theorem in solving problems by example.【期刊名称】《宜春学院学报》【年(卷),期】2012(034)008【总页数】3页(P24-26)【关键词】可微;连续;Rolle中值定理;Jacobi矩阵;应用【作者】刘红玉【作者单位】陇南师范高等专科学校,甘肃成县742500 兰州大学数学与统计学院,兰州730000【正文语种】中文【中图分类】O172.1Abstract:Differential mean value theorem connects changes of the function values on the interval with derivative，it＇s the most basic theoretical basis to study the overall character of functions by u sin g derivative，and also very impor tan t in mathematics，and the content is extremely rich.In this paper，taking Rolle Mean－Value theorem as an example，and extendsit to the case of multi－function and the vector－valued functions，and given geometric analysis，then elaborates the mean value theoremin solving problems by example.Key words:differentiable;continuous;Rolle Mean－Value theorem;Jacobi Matrix;application导数是研究函数性态的重要工具，仅从导数概念出发并不能充分体现这种工具的作用，它需要建立在微分学的基本定理的基础之上，这些基本定理统称为“中值定理”。
1. 向量函数
向量函数的微分学向量函数的微分学内容提要1. 预备知识：向量与矩阵范数2. 向量函数的极限与连续3. 向量函数的导数与微分4. 向量函数导数的计算与中值定理5. 向量函数的应用：证明开普勒(Kepler)定律教学要求准确掌握向量函数的极限、连续、一致连续的定义以及向量函数微分的计算向量函数()3333()=-,,,,,MmGMmGx MmGy MmGz F X r r x y z r r r r ⎛⎫=-= ⎪ ⎪⎝⎭向量函数应用问题1：引力场：3()=-MmG F X r r()A r向量函数：梯度场()() 222/2()==++⇒梯度场：，，f x y z F X x y z向量函数向量函数：梯度场()() 226/2()=3 =++⇒梯度场：，，f x y z F X x y向量函数向量函数：梯度场()()2=++⇒梯度场：，，24/2()=12f x y z F X z向量函数：梯度场()梯度场：，，=++⇒=23()123f x y z F X()11221212,:,,(,,,)(,,,)()(,,,)()(),,1,2,3,,.n m mn n m n i D R F D R F D R f x x x f x x x F X f x x x F X D F f i m ⊂→→⎛⎫ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭=设称为的映射记为称为向量函数映射为向量定函数的定义域.为：分量函数义()3()sin ,cos ,sin ,:F x x x x x F R R =→()23()sin ,cos ,sin ,:F x,y xy xy y x F R R =→()34(,,)sin ,cos ,sin ,,:F x y z z x y x x xz xyz F R R =→()()34(,,),cos ,sin ,,:0F x y z xy z y x x xz xyz F R z R =≥→()12,,,mf f f(){}(4sin(20))cos (4sin(20))sin cos(20)F t t t t t t =++，，向量函数向量函数应用：函数曲线()()cos4,,sin 4F t t t t =向量函数向量函数应用：函数曲线()()cos10,sin10,t t t F t e t e t e ---=向量函数向量函数应用：函数曲线向量函数向量函数应用：曲面方程()()22=,,,F u v u v u+2v向量函数向量函数应用：曲面方程()()=F u v u v u v v,cos,sin,()()()(),sin cos ,1cos sin ,F u v u u v u v u =--向量函数应用：曲面方程向量函数。
高数
第五章多元函数微分法及其应用1、多元函数极限存在的条件极限存在是指P(x，y)以任何方式趋于P0(x0，y0)时，函数都无限接近于A，如果P(x，y)以某一特殊方式，例如沿着一条定直线或定曲线趋于P0(x0，y0)时，即使函数无限接近某一确定值，我们还不能由此断定函数极限存在。
反过来，如果当P(x，y)以不同方式趋于P0(x0，y0)时，函数趋于不同的值，那么就可以断定这函数的极限不存在。
例如函数：f(x，y)={0(xy)/(x^2+y^2)x^2+y^2≠02、多元函数的连续性定义设函数f(x，y)在开区域(或闭区域)D内有定义，P0(x0，y0)是D的内点或边界点且P0∈D，如果lim(x→x0，y→y0)f(x，y)=f(x0，y0)则称f(x，y)在点P0(x0，y0)连续。
性质(最大值和最小值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，在D上一定有最大值和最小值。
性质(介值定理)在有界闭区域D上的多元连续函数，如果在D上取得两个不同的函数值，则它在D上取得介于这两个值之间的任何值至少一次。
3、多元函数的连续与可导如果一元函数在某点具有导数，则它在该点必定连续，但对于多元函数来说，即使各偏导数在某点都存在，也不能保证函数在该点连续。
这是因为各偏导数存在只能保证点P沿着平行于坐标轴的方向趋于P0时，函数值f(P)趋于f(P0)，但不能保证点P按任何方式趋于P0时，函数值f(P)都趋于f(P0)。
4、多元函数可微的必要条件一元函数在某点的导数存在是微分存在的充分必要条件，但多元函数各偏导数存在只是全微分存在的必要条件而不是充分条件，即可微=>可偏导。
5、多元函数可微的充分条件定理(充分条件)如果函数z=f(x，y)的偏导数存在且在点(x，y)连续，则函数在该点可微分。
6.多元函数极值存在的必要、充分条件定理(必要条件)设函数z=f(x，y)在点(x0，y0)具有偏导数，且在点(x0，y0)处有极值，则它在该点的偏导数必为零。
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多元向量函数的中值定理及应用
多元向量函数，又称多维空间函数，是一类常见的逼近理论，也是近代电子科
学与技术中应用极为广泛的概念之一。
该理论由楼梯函数，多重岭学技术和多元分析等多种技术相结合而形成，其最主要的应用在于互联网技术和视频技术中，主要用于处理持续变化的图像和声音等。
多元向量函数的中值定理是指，任意选取两个不同的多维空间函数f(x)和
g(x)，当其中一个函数的一阶导数或二阶导数大于另一个函数的一阶导数或二阶导数时，称其为中值定理。
该定理可用来解决在科学中出现的一些计算问题，例如：多面包曲线的拟合求解、极值问题的估计以及给出和全局最大值最小值有关的结果等。
多元向量函数中值定理应用到互联网技术中尤为重要。
例如，在视频实时传输中，常常可以用该定理来计算视频的平滑流畅度。
常见的视频传输中，会有流畅度异常的瞬时震动，而利用中值定理可以提前调整图像播放速度，减少画面丢失的情况。
此外，该定理也可以应用于电子商务、图像识别以及模式分析等多领域中，用于解决复杂繁杂的数据处理任务，有效地提高处理效率及施行时空效率。
综上所述，多元向量函数中值定理既可用于科学问题的解决，又用于技术应用，尤其是互联网技术的研究。
加之，这一定理的应用具有特别的方便性，它可以帮助有效地解决复杂的计算问题，减少额外的人力投入，特别是在多任务环境中受益极大，具有极大的实际意义。