中值定理 习题
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x1 o x2
13
y
f (x)
; ;
x1 o
x2 x
f (x)
的正负作 f (x) 的示意图.
x
(2) 设函数
的图形如图所示, 则函数 f (x) 的图
y
f (x)
x1 o x2
形在区间
在区间 拐点为
上是凹弧;
上是凸弧 ;
x
.
f (x)
提示:
的正负作 f (x) 的示意图.
x1 o
x2 x
14
x a x a
的某
邻 域 中（ 点
'
a
可 除 外 ） f (x) 及 F ( x) 都 存 在 ， ，
f (x) F (x)
x a
'
'
且 F ( x ) 0 , 则 lim 存在的（ ）.
存 在 是 lim
f (x) F (x)
'
'
x a
（ A） 充 分 条 件 ；
（ B） 必 要 条 件 ；
x ( a , b ) 时 ， f ( x ) 0 ， 又 f ( a ) 0 , 则 （
）.
（ A） （ B） （ C） （ D）
f ( x ) 在 [a , b ]上 单 调 增 加 ， 且 f ( b ) 0 ； f ( x ) 在 [a , b ]上 单 调 增 加 ， 且 f ( b ) 0 ； f ( x ) 在 [a , b ]上 单 调 减 少 ， 且 f ( b ) 0 ； f ( x ) 在 [a , b ]上 单 调 增 加 ， 但 f ( b ) 的
）找到两点
x 2 , x 1 ， 使 f ( x 2 ) f ( x 1 ) ( x 2 x 1 ) f ( c ) 成 立 .
（ A） 必 能 ；
（ B） 可 能 ；
（ C） 不 能 ； （ D） 无 法 确 定 能 . 5 、 若 f ( x ) 在 [ a , b ]上 连 续 ， 在( a , b ) 内 可 导 ， 且
y
F ( x) x
y
f ( ) F ( )
a b x 柯西中值定理
o
泰勒中值定理
f ( x) f ( x0 o a f ( x0 )( xx x0 ) ) b (n) n 1 n! f ( x0 )( x x0 )
1 ( n 1) ! f ( n 1)
习题课 中值定理及导数的应用
一、 微分中值定理及其应用 二、 导数应用
1
一、 微分中值定理及其应用 1. 微分中值定理及其相互关系
罗尔定理
f ( ) 0
f (a) f (b)
拉格朗日中值定理
f ( ) f (b) f ( a ) ba
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
y f (x)
F ( x) (x) y f x f ( a ) f (b)
）
（ D ） 对 任 意 的 ( a , b ) ， 不 一 定 能 使 f ( ) 0 . 3 ． 已 知 f ( x ) 在 [ a , b ] 可 导 ， 且 方 程 f ( x )= 0 在 ( a , b ) 有 两 个 不 同 的 根 与 ， 那 么 在 (a , b ) （ ）
26
例6 求函数 y x
x x 1
2
的单调区间, 极值,凹凸
区间, 拐点, 渐近线, 并作函数的图形.
27
作图
y
y x
1
o
x
1
28
练习 题
一 、选择题： 1、 一 元 函 数 微 分 学 的 三 个 中 值 定 理 的 结 论 都 有 一 个 共同点，即（ ） （ A） 它 们 都 给 出 了 ξ 点 的 求 法 . （ B） 它 们 都 肯 定 了 ξ 点 一 定 存 在 ， 且 给 出 了 求ξ 的 方法。
( x) 0 ( x a )
利用
在
(x)
(n)
处的 n －1 阶泰勒公式得
( ) ( x a)
n
n! 因此 x a 时 f ( x) g ( x) .
12
例7. 填空题
(1) 设函数 其导数图形如图所示, 单调减区间为 单调增区间为 极小值点为 极大值点为 提示: ; . 的连续性及导函数
f ( 0) 0, f (1) 1, 试证 : 对任意给定的正数 a , b 在 ( 0,1) 内存在不同的 , 使 a f ( ) b f ( ) a b.
25
例4 证明不等式
x ln x y ln y ( x y ) ln x y 2 , ( x 0, y 0, x y ).
f (b) f ( a ) F (b) F ( a )
( )( x x0 ) 2
n 1
2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
3
3. 有关中值问题的解题方法
利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: (1)证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理, 可用原函数法找辅助函数 . (2) 若结论中涉及到含同一中值的两个不同函数 , 可考虑用 柯西中值定理 . (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧. 4
例1. 设函数
证明 在
在
内可导, 且 内有界.
5
例2. 设
在
上连续, 在
证明至少存在一点
内可导, 且 使
6
例3.
且
试证存在
7
例5. 设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且
f (0) f (1) f (2) 3, f (3) 1, 试证必存在 (0, 3) , 使
11
定理. 设函数 且
(1) f
(k )
f ( x) , g ( x)
在
上具有n 阶导数,
(a) g
(k )
(a ) (k 0 ,1, 2 ,, n 1)
时 则当 证: 令 ( x)
(k )
f ( x) g ( x) ,
则
(n)
(a ) 0 (k 0 ,1,, n 1) ;
（ C） 它 们 都 先 肯 定 了 点 一 定 存 在 ， 而 且 如 果 满 足
定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ 的 值 . （ D） 它 们 只 肯 定 了 ξ 的 存 在 ， 却 没 有 说 出 ξ 的 值 是 什么，也没有给出求ξ 的方法 .
29
2 、 若 f ( x )在 (a , b ) 可 导 且 f (a ) f (b ) ,则 （ （ A ） 至 少 存 在 一 点 ( a , b ) ， 使 f ( ) 0 ； （ B ） 一 定 不 存 在 点 ( a , b ) ， 使 f ( ) 0 ； （ C ） 恰 存 在 一 点 ( a , b ) ， 使 f ( ) 0 ；
32
）.
8 、 若 在 ( a , b ) 内 ， 函 数 f ( x ) 的 一 阶 导 数 f ( x ) 0 ， 二 阶 导 数 f ( x ) 0 , 则 函 数 f ( x ) 在 此 区 间 内 ( ). （A） 单 调 减 少 ， 曲 线 是 凹 的 ； （B） 单 调 减 少 ， 曲 线 是 凸 的 ； （C） 单 调 增 加 ， 曲 线 是 凹 的 ； （D） 单 调 增 加 ， 曲 线 是 凸 的 . a 9 、 设 lim f ( x ) lim F ( x ) 0 ， 且 在 点
f ( x ) 0 .
（ A）必 有 ； （ B）可 能 有 ； （ C）没 有 ； （ D）无 法 确 定.
30
4 、 如 果 f ( x ) 在 [ a , b ] 连 续 ， 在 ( a , b ) 可 导 ，c
a , b 之 间 的 任 一 点 ， 那 么 在( a , b ) （
为介于
例8. 证明
在
上单调增加.
15
例9. 设
在
上可导, 且
证明 f ( x ) 至多只有一个零点 .
16
例10. 求数列
的最大项 .
17
例11. 证明 ln(1 x)
arctan x 1 x
( x 0) .
18
例12. 设 递减 , 证明对一切
且在
上 有
存在 , 且单调
19
例13.
20
例14. 证明当 x > 0 时,
21
例15. 求
22
二、典型例题
例1
5 验证罗尔定理对 y ln sin x 在 [ , ]上 6 6 的正确性.
23
例2
求极限
lim 5
x 0
x
2
1 5 x (1 x )
.
( ) 0
0
24
例3 设 f ( x ) 在 [0,1] 上连续, 在 (0,1) 内可导, 且
f ( ) 0. (03考研)
9
例6. 设函数 且
在 证明
上二阶可导,
10
二、 导数应用 1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 2. 解决最值问题 • 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ; 证明不等式 ; 研究方程实根等. 4. 补充定理 (见下页)
33
（ C ） 分 必 要 条 件 ； D ）既 非 充 分 也 非 必 要 条 件 . 充 （
正负号无法确定.
31
6 、 f ( x 0 ) 0 是 可 导 函 数 f ( x ) 在 x 0 点 处有极值的（ （ A）充 分 条 件 ； （ B）必 要 条 件 （ C）充 要 条 件 ； （ D）既 非 必 要 又 非 充 分 条 件. 7、 若 连 续 函 数 在 闭 区 间 上 有 唯 一 的 极 大 值 和 极 小 值，则（ ）. （ A） 极 大 值 一 定 是 最 大 值 ， 且 极 小 值 一 定 是 最 小 值 ； （ B） 极 大 值 一 定 是 最 大 值 ， 或 极 小 值 一 定 是 最 小 值 ； （ C） 极 大 值 不 一 定 是 最 大 值 ， 极 小 值 也 不 一 定 是 最小值； （ D） 极 大 值 必 大 于 极 小 值 .
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y
f (x)
; ;
x1 o
x2 x
f (x)
的正负作 f (x) 的示意图.
x
(2) 设函数
的图形如图所示, 则函数 f (x) 的图
y
f (x)
x1 o x2
形在区间
在区间 拐点为
上是凹弧;
上是凸弧 ;
x
.
f (x)
提示:
的正负作 f (x) 的示意图.
x1 o
x2 x
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x a x a
的某
邻 域 中（ 点
'
a
可 除 外 ） f (x) 及 F ( x) 都 存 在 ， ，
f (x) F (x)
x a
'
'
且 F ( x ) 0 , 则 lim 存在的（ ）.
存 在 是 lim
f (x) F (x)
'
'
x a
（ A） 充 分 条 件 ；
（ B） 必 要 条 件 ；
x ( a , b ) 时 ， f ( x ) 0 ， 又 f ( a ) 0 , 则 （
）.
（ A） （ B） （ C） （ D）
f ( x ) 在 [a , b ]上 单 调 增 加 ， 且 f ( b ) 0 ； f ( x ) 在 [a , b ]上 单 调 增 加 ， 且 f ( b ) 0 ； f ( x ) 在 [a , b ]上 单 调 减 少 ， 且 f ( b ) 0 ； f ( x ) 在 [a , b ]上 单 调 增 加 ， 但 f ( b ) 的
）找到两点
x 2 , x 1 ， 使 f ( x 2 ) f ( x 1 ) ( x 2 x 1 ) f ( c ) 成 立 .
（ A） 必 能 ；
（ B） 可 能 ；
（ C） 不 能 ； （ D） 无 法 确 定 能 . 5 、 若 f ( x ) 在 [ a , b ]上 连 续 ， 在( a , b ) 内 可 导 ， 且
y
F ( x) x
y
f ( ) F ( )
a b x 柯西中值定理
o
泰勒中值定理
f ( x) f ( x0 o a f ( x0 )( xx x0 ) ) b (n) n 1 n! f ( x0 )( x x0 )
1 ( n 1) ! f ( n 1)
习题课 中值定理及导数的应用
一、 微分中值定理及其应用 二、 导数应用
1
一、 微分中值定理及其应用 1. 微分中值定理及其相互关系
罗尔定理
f ( ) 0
f (a) f (b)
拉格朗日中值定理
f ( ) f (b) f ( a ) ba
nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
y f (x)
F ( x) (x) y f x f ( a ) f (b)
）
（ D ） 对 任 意 的 ( a , b ) ， 不 一 定 能 使 f ( ) 0 . 3 ． 已 知 f ( x ) 在 [ a , b ] 可 导 ， 且 方 程 f ( x )= 0 在 ( a , b ) 有 两 个 不 同 的 根 与 ， 那 么 在 (a , b ) （ ）
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例6 求函数 y x
x x 1
2
的单调区间, 极值,凹凸
区间, 拐点, 渐近线, 并作函数的图形.
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作图
y
y x
1
o
x
1
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练习 题
一 、选择题： 1、 一 元 函 数 微 分 学 的 三 个 中 值 定 理 的 结 论 都 有 一 个 共同点，即（ ） （ A） 它 们 都 给 出 了 ξ 点 的 求 法 . （ B） 它 们 都 肯 定 了 ξ 点 一 定 存 在 ， 且 给 出 了 求ξ 的 方法。
( x) 0 ( x a )
利用
在
(x)
(n)
处的 n －1 阶泰勒公式得
( ) ( x a)
n
n! 因此 x a 时 f ( x) g ( x) .
12
例7. 填空题
(1) 设函数 其导数图形如图所示, 单调减区间为 单调增区间为 极小值点为 极大值点为 提示: ; . 的连续性及导函数
f ( 0) 0, f (1) 1, 试证 : 对任意给定的正数 a , b 在 ( 0,1) 内存在不同的 , 使 a f ( ) b f ( ) a b.
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例4 证明不等式
x ln x y ln y ( x y ) ln x y 2 , ( x 0, y 0, x y ).
f (b) f ( a ) F (b) F ( a )
( )( x x0 ) 2
n 1
2. 微分中值定理的主要应用 (1) 研究函数或导数的性态 (2) 证明恒等式或不等式
(3) 证明有关中值问题的结论
3
3. 有关中值问题的解题方法
利用逆向思维 , 设辅助函数 . 一般解题方法: (1)证明含一个中值的等式或根的存在 , 多用罗尔定理, 可用原函数法找辅助函数 . (2) 若结论中涉及到含同一中值的两个不同函数 , 可考虑用 柯西中值定理 . (3) 若结论中含两个或两个以上的中值 , 必须多次应用中值定理 . (4) 若已知条件中含高阶导数 , 多考虑用泰勒公式 , 有时也可考虑对导数用中值定理 .
(5) 若结论为不等式 , 要注意适当放大或缩小的技巧. 4
例1. 设函数
证明 在
在
内可导, 且 内有界.
5
例2. 设
在
上连续, 在
证明至少存在一点
内可导, 且 使
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例3.
且
试证存在
7
例5. 设函数 f (x) 在[0, 3] 上连续, 在(0, 3) 内可导, 且
f (0) f (1) f (2) 3, f (3) 1, 试证必存在 (0, 3) , 使
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定理. 设函数 且
(1) f
(k )
f ( x) , g ( x)
在
上具有n 阶导数,
(a) g
(k )
(a ) (k 0 ,1, 2 ,, n 1)
时 则当 证: 令 ( x)
(k )
f ( x) g ( x) ,
则
(n)
(a ) 0 (k 0 ,1,, n 1) ;
（ C） 它 们 都 先 肯 定 了 点 一 定 存 在 ， 而 且 如 果 满 足
定理条件，就都可以用定理给出的公式计算ξ 的 值 . （ D） 它 们 只 肯 定 了 ξ 的 存 在 ， 却 没 有 说 出 ξ 的 值 是 什么，也没有给出求ξ 的方法 .
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2 、 若 f ( x )在 (a , b ) 可 导 且 f (a ) f (b ) ,则 （ （ A ） 至 少 存 在 一 点 ( a , b ) ， 使 f ( ) 0 ； （ B ） 一 定 不 存 在 点 ( a , b ) ， 使 f ( ) 0 ； （ C ） 恰 存 在 一 点 ( a , b ) ， 使 f ( ) 0 ；
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）.
8 、 若 在 ( a , b ) 内 ， 函 数 f ( x ) 的 一 阶 导 数 f ( x ) 0 ， 二 阶 导 数 f ( x ) 0 , 则 函 数 f ( x ) 在 此 区 间 内 ( ). （A） 单 调 减 少 ， 曲 线 是 凹 的 ； （B） 单 调 减 少 ， 曲 线 是 凸 的 ； （C） 单 调 增 加 ， 曲 线 是 凹 的 ； （D） 单 调 增 加 ， 曲 线 是 凸 的 . a 9 、 设 lim f ( x ) lim F ( x ) 0 ， 且 在 点
f ( x ) 0 .
（ A）必 有 ； （ B）可 能 有 ； （ C）没 有 ； （ D）无 法 确 定.
30
4 、 如 果 f ( x ) 在 [ a , b ] 连 续 ， 在 ( a , b ) 可 导 ，c
a , b 之 间 的 任 一 点 ， 那 么 在( a , b ) （
为介于
例8. 证明
在
上单调增加.
15
例9. 设
在
上可导, 且
证明 f ( x ) 至多只有一个零点 .
16
例10. 求数列
的最大项 .
17
例11. 证明 ln(1 x)
arctan x 1 x
( x 0) .
18
例12. 设 递减 , 证明对一切
且在
上 有
存在 , 且单调
19
例13.
20
例14. 证明当 x > 0 时,
21
例15. 求
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二、典型例题
例1
5 验证罗尔定理对 y ln sin x 在 [ , ]上 6 6 的正确性.
23
例2
求极限
lim 5
x 0
x
2
1 5 x (1 x )
.
( ) 0
0
24
例3 设 f ( x ) 在 [0,1] 上连续, 在 (0,1) 内可导, 且
f ( ) 0. (03考研)
9
例6. 设函数 且
在 证明
上二阶可导,
10
二、 导数应用 1. 研究函数的性态: 增减 , 极值 , 凹凸 , 拐点 , 渐近线 , 2. 解决最值问题 • 目标函数的建立与简化 • 最值的判别问题 3. 其他应用 : 求不定式极限 ; 几何应用 ; 证明不等式 ; 研究方程实根等. 4. 补充定理 (见下页)
33
（ C ） 分 必 要 条 件 ； D ）既 非 充 分 也 非 必 要 条 件 . 充 （
正负号无法确定.
31
6 、 f ( x 0 ) 0 是 可 导 函 数 f ( x ) 在 x 0 点 处有极值的（ （ A）充 分 条 件 ； （ B）必 要 条 件 （ C）充 要 条 件 ； （ D）既 非 必 要 又 非 充 分 条 件. 7、 若 连 续 函 数 在 闭 区 间 上 有 唯 一 的 极 大 值 和 极 小 值，则（ ）. （ A） 极 大 值 一 定 是 最 大 值 ， 且 极 小 值 一 定 是 最 小 值 ； （ B） 极 大 值 一 定 是 最 大 值 ， 或 极 小 值 一 定 是 最 小 值 ； （ C） 极 大 值 不 一 定 是 最 大 值 ， 极 小 值 也 不 一 定 是 最小值； （ D） 极 大 值 必 大 于 极 小 值 .