第二积分中值定理

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二重积分的积分中值定理中值定理

二重积分的积分中值定理中值定理二重积分是微积分中的重要概念之一，而积分中值定理则是二重积分中的一条重要定理。

本文将详细介绍二重积分的概念以及积分中值定理的含义和应用。

我们来了解一下二重积分的概念。

在平面上，设有一个有界闭区域D，且其边界为光滑曲线C，如果函数f(x, y)在D上有定义且在D 上连续，那么我们可以求出函数f(x, y)在区域D上的二重积分。

二重积分的计算可以通过将区域D进行分割，然后对每个小区域进行求和的方式来实现。

通过不断细分小区域，我们可以得到二重积分的近似值，当细分无限次时，我们可以得到二重积分的准确值。

接下来，我们将介绍积分中值定理的概念。

积分中值定理是微积分中的基本定理之一，它在二重积分中也有着重要的应用。

积分中值定理是说，如果函数f(x, y)在闭区域D上连续，那么在D上必然存在一点(xi, yi)，使得函数在该点上的值等于二重积分的值。

换句话说，二重积分的值等于在闭区域D上连续函数f(x, y)的某点处的函数值乘以D的面积。

积分中值定理的意义在于，它将二重积分的计算问题转化为了求函数在某一点的值的问题。

这样，我们可以通过求出函数在某一点的值来得到二重积分的值，而不必对整个区域进行求和。

这大大简化了计算的过程，同时也提高了计算的效率。

积分中值定理的应用非常广泛。

例如，在物理学中，我们经常需要计算物体的质量、重心、转动惯量等物理量，这些物理量的计算都可以通过二重积分来实现。

而积分中值定理则可以帮助我们简化这些计算过程，提高计算的准确性。

积分中值定理还可以用来证明其他重要的数学定理。

例如，利用积分中值定理可以证明平面上的平均值定理，该定理指出，如果函数f(x, y)在闭区域D上连续，那么在D上必然存在一点(xi, yi)，使得函数在该点上的值等于在闭区域D上函数的平均值。

二重积分是微积分中的重要概念，而积分中值定理是二重积分中的一条重要定理。

通过积分中值定理，我们可以简化二重积分的计算过程，提高计算的准确性和效率。

重积分积分中值定理

重积分积分中值定理
积分中值定理，是一种数学定律。

分为积分第一中值定理和积分第二中值定理，它们各包含两个公式。

其中，积分第二中值定理还包含三个常用的推论。

积分中值定理揭示了一种将积分化为函数值，或者是将复杂函数的积分化为简单函数的积分的方法，是数学分析的基本定理和重要手段，在求极限、判定某些性质点、估计积分值等方面应用广泛。

二重积分的中值定理：设f(x,y)在有界闭区域D上连续，是D的面积，则在D 内至少存在一点，使得定理证明设（x）在上连续，且最大值为，最小值为，最大值和最小值可相等。

由估值定理可得同除以（b-a）从而由连续函数的介值定理可知，即：命题得证。

二重积分中值定理证明

二重积分中值定理的证明一、引言在数学分析中，二重积分是一个重要的概念，它可以理解为对一个平面上的区域进行加权求和。

而二重积分中值定理则是研究二重积分的性质和存在性的一个重要定理。

本文将从基本概念出发，逐步引出二重积分中值定理，并进行证明。

二、二重积分的基本概念首先我们回顾一下二重积分的基本概念。

设有一个函数f(x,y)定义在一个闭区域D上，可以将D分成许多小的面积元素△S，其中△S的边界曲线记作∂△S。

定义函数f(x,y)在△S上的面积△A为：△A=∬f△S(x,y)dS即f(x,y)在区域△S上的平均值乘以△S的面积。

当将区域D分成无穷多个小的面积元素△S，并且让这些面积元素的面积趋于零，我们就得到了二重积分：∬fD(x,y)dS三、二重积分中值定理的提出在进行二重积分的计算时，我们常常遇到一个问题，即如何将函数f(x,y)的平均值与积分联系起来。

这就引出了二重积分中值定理。

中值定理的主要思想是，如果一个函数在一个区域上连续，那么它在该区域上一定存在至少一个点，使得函数在该点的值等于在整个区域上的平均值。

更具体地说，如果函数f(x,y)在闭区域D上连续，那么存在一个点(c,d)，使得：f(c,d)=1A(D)∬fD(x,y)dS其中A(D)是区域D的面积。

这个等式的意义是，函数f(x,y)在闭区域D上必然存在一个平均值的点(c,d)。

四、二重积分中值定理的证明为了证明二重积分中值定理，我们需要借助于微积分的基本定理和中值定理。

首先，我们考虑一个辅助函数F(t)，使得F′(t)=f(x,y)，其中(x,y)是闭区域D上的任意一点。

根据微积分的基本定理，我们可以得到：F(b)−F(a)=∫fba(x,y)dx其中a和b是闭区域D上的两个点。

如果我们令b对应到区域D的任意一点(x,y)，那么上述等式可以改写为：F(x,y)−F(a)=∫f∂△S(x,y)ds其中∂△S是区域D上从点a到点(x,y)的曲线。

积分中值定理开区间和闭区间

积分中值定理开区间和闭区间积分中值定理开区间和闭区间积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了函数在某个区间上的平均值与积分值之间的关系。

而对于开区间和闭区间，积分中值定理也有着不同的表现和应用。

在本文中，我们将深入探讨积分中值定理在开区间和闭区间上的应用，以及对这一概念的个人理解和观点。

一、积分中值定理的概念积分中值定理是微积分中的一个基本定理，它描述了函数在某个区间上的平均值与积分值之间的关系。

它可以形式化地表述为：若函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么在这个区间上一定存在一个点c，使得f(c)等于函数f(x)在区间[a, b]上的平均值。

积分中值定理指出了在连续函数的情况下，必然存在一个点，使得该点的函数值等于函数在整个区间上的平均值。

二、积分中值定理在开区间上的应用对于开区间(a, b)，积分中值定理也是成立的。

在开区间上，积分中值定理告诉我们，对于连续函数f(x)，一定存在一个点c，使得f(c)等于函数f(x)在开区间(a, b)上的平均值。

这个结论在实际问题中有着重要的应用，比如在物理学和工程学中，我们常常需要求解一些变化率或平均速度等问题，而积分中值定理为我们提供了一个有力的工具。

三、积分中值定理在闭区间上的应用在闭区间[a, b]上，积分中值定理同样适用。

对于连续函数f(x)，在闭区间上一定存在一个点c，使得f(c)等于函数f(x)在闭区间[a, b]上的平均值。

这个结论在数学分析和实际问题中都具有重要的应用价值，比如在统计学和经济学中，我们常常需要计算一些总量或平均数值，而积分中值定理为我们提供了一个非常方便的工具。

四、个人观点和理解从我的个人观点来看，积分中值定理是微积分中一个非常有用的定理，它不仅能够帮助我们理解函数在某个区间上的平均值，还能够提供我们一个快速求解的方法。

在实际应用中，积分中值定理为我们提供了一个非常方便和强大的工具，它不仅可以用来分析函数的性质，还可以用来解决一些实际问题。

积分平均值定理、积分第二中值定理

定积分不有等式、积分平均值定理、积分第二中值定理（连续可微情形）的证明简单不等式定理1、设)(x f 在[]b a ,上可积，且0)(≥x f ，（[]b a x ,∈），则有⎰≥ba dx x f 0)(。

定理2、设)(x f 在[]b a ,上连续且非负，（即0)(≥x f ，[]b a x ,∈），如果)(x f 不恒等于0，则有⎰>ba dx x f 0)(。

证明：由条件得，存在一点[]b a x ,0∈使0)(0>x f 。

由连续函数的性质，存在一个子区间[]βα,，适合[][]b a x ,,0⊂∈βα，使得对一切[]βα,∈x ，有)(21)(0x f x f ≥由积分对区间的可加性，知⎰⎰⎰⎰++=ba ab dx x f dx x f dx x f dx x f αββα)()()()( ⎰≥βαdx x f )( ⎰≥βαdx x f )(210 0))((210>-=αβx f 。

推论1、设[]0,,≥∈f b a f ，如果有⎰=ba dx x f 0)(，则有0)(=x f ，[]b a x ,∈。

推论2、设[]b a f ,∈，如果对任意[]b a g ,∈都有⎰=ba dx x g x f 0)()(，则必有0)(=x f ，[]b a x ,∈。

积分平均值定理定理3、设[],f C a b ∈，则存在),(b a ∈ξ，使得⎰-=b a a b f dx x f ))(()(ξ证明：设m M ,分别是f 在[]b a ,上的最大值和最小值，显然[]b a x M x f m ,,)(∈≤≤ 于是 ⎰⎰⎰≤≤b ab a ba Mdx dx x f mdx )( )()()(ab M dx x f a b m ba -≤≤-⎰从而有 M dx x f a b m b a≤-≤⎰)()(1。

如果M m =，则)(x f 常数，则对任意),(b a ∈ξ，有⎰-=ba ab f dx x f ))(()(ξ。

积分第二中值定理证明_139202166

xi xi 1
[
g
(
xi
)

g(
xi 1 )]dx

K
lim[U
|T |0
(g,T
)

L(g,T
)]

0
,
其中 K sup | f (x) | .再结合（3）式，若在等式（2）中令 | T | 0 ，可得
a xbΒιβλιοθήκη bmg(b) a f (x)g( x)dx Mg(b) .
由于 M 与 m 分别是 F (x) 在a,b 上的最大值与最小值，根据连续函数的介值定
理， [a, b] 使得
b
b
a f ( x)g(x)dx g(b)F ( ) g(b) f (x)dx .
(4)
2. 设 g 在a,b 上单调递增, 则 g(x) g(a) 在a,b 上非负且单调递增,若在
等式(4)中用 g(x) g(a) 代替 g(x) ,可得
n1
A(T ) m{g(x1) [g(xi1) g(xi )]} mg(b) i1
即对于区间a,b 的任何分割T ,
mg(b) A(T ) Mg(b) .
另一方面,由 f Ra, b 可得,
（3）
n
lim B(T ) lim K
|T |0
|T |0 i1
积分第二中值定理：设 f Ra, b ， g 在a,b 上单调，则存在 [a,b]使得
b
a
f
( x)g(x)dx

g

a

a
f
( x )dx

g

b

b

积分中值定理及应用

毕业论文题目：积分中值定理及应用学号：姓名：年级：系别：数学系专业：数学与应用数学指导教师：完成日期：年月日积分中值定理及应用摘要本论文的主要内容是积分中值定理及其应用，全文分为以下几个方面：积分中值定理及推广、积分中值定理中值点ξ的渐进性、积分中值定理的应用。

首先讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二中值定理以及它们的推广，而且还给出了这些定理的详细证明过程。

其次研究了中值定理中值点ξ的渐进性，对第一积分中值定理的ξ点做了详细讨论，给出了详细清楚的证明过程。

而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形，其他证明过程只作简要说明。

最后归纳了积分中值定理的应用，给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号、比较积分大小，证明函数单调性还有阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。

关键词：积分中值定理；推广；应用；渐进性INTEGRAL MEAN V ALUE THEOREM AND APPLICATIONAbstractThe main content of this paper is integral mean value theorem and its application ,the letter divides into the following respects :Integral mean value theorem and promotion 、Integral mean value theorem point in the progressive 、The application of integral mean value theorem .First discuss the definite integral mean value theorem 、the first integral mean value theorem 、the first second mean value theorem and their promotion ,and it gives the theorem of the detailed process of proof .Secondly the mean value theorem point in the progressive ,the first integral mean value theorem to do a detailed discussion of the points ,gives the detailed processclear evidence .And the second integral mean-value theorem proved, the only problem with one of the case ,other identification process only briefly .Finally summarizes the integral mean value theorem of applications ,to give some simple situation such as estimated integral value ,calculation of the definite integral contains limit ,sure integral symbols ,contrast integral size ,prove functional monotonicity and the theorems proof of Abel discriminant method and DiLi klein discriminant method .Key words: integral mean-value; theorem promotion ;apply;progressive目录1 前言 (3)2积分中值定理 (4)2.1定积分中值定理及推广 (4)2.1.1定积分中值定理 (4)2.1.2定积分中值定理的推广 (6)2.2积分第一中值定理及推广 (6)2.2.1积分第一中值定理 (6)2.2.2积分第一中值定理的推广 (6)2.3积分第一中值定理及推广 (9)2.3.1积分第二中值定理 (9)2.3.2积分第二中值定理的推广 (12)2.4重积分的中值定理 (12)2.4.1二重积分的中值定理 (12)2.4.2三重积分的中值定理 (13)2.5曲线积分中值定理 (14)2.5.1第一曲线积分中值定理 (14)2.5.2第二曲线积分中值定理 (14)2.6曲面积分中值定理 (16)2.6.1第一曲面积分中值定理 (16)2.6.2第二曲面积分中值定理 (16)3 积分中值定理中值点的渐进性 (18)3.1 第一积分中值定理中值点的渐进性 (18)3.2 第二积分中值定理中值点的渐进性 (22)4 积分中值定理的应用 (24)4.1 估计积分值 (2424)4.2 求含定积分的极限 (25)4.3 确定积分号 (27)4.4 比较积分大小 (27)4.5 证明中值点的存在性 (2827)4.6 证明函数的单调性 (28)4.7 证明定理 (29)结论 (32)参考文献 (33)致谢 (34)1前言随着时代的发展，数学也跟着时代步伐大迈步前进。

积分中值定理的推广及应用

㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２３１积分中值定理的推广及应用积分中值定理的推广及应用Һ丁建华㊀（甘肃有色冶金职业技术学院教育系，甘肃㊀金昌㊀７３７１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文首先对积分中值定理的几何特征进行详细介绍，并对该定理中ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上恒为常数㊁ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上不为常数函数做出一定的补充，并证明此结论也是成立的；其次，对第一积分中值定理和第二积分中值定理进行了推广，并进一步证明了结论的准确性；最后，通过不等式的证明㊁极限的求值进一步验证了改进结论的正确性．ʌ关键词ɔ中值定理；连续性；不等式一㊁积分中值定理的几何特征与补充积分中值定理的几何意义可以理解为：若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上非负连续时，定积分ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ在几何上可以表示为ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ及ｘ轴所围成的曲边梯形面积（如图１，定积分ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ表示曲边梯形ＡａｂＢ的面积）．根据闭区间上连续函数的性质，ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上存在最大值Ｍ和最小值ｍ，即∀ｘɪ［ａ，ｂ］，有ｍɤｆ（ｘ）ɤＭ，从而ｍ（ｂ－ａ）ɤʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤＭ（ｂ－ａ）．它可以化为ｍɤ１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤＭ．由连续函数的介值定理，则至少有这样的一个点ξɪ［ａ，ｂ］，使得ｆ（ξ）＝１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，则ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）．根据上面知识点，我们可以获得数学分析中常用的重要积分学性质和定理．积分中值定理㊀若函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，则在［ａ，ｂ］上至少存在一点ξ，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）（ａɤξɤｂ）．这里要求函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续即可，对函数没有严格要求．进一步地，我们可将ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续的这一条件更改为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，其结论仍然成立．当ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续且非负时，积分公式ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）有着明显的几何意义，即ｙ＝ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的曲边梯形面积等于以图１所示的ｆ（ξ）为高㊁［ａ，ｂ］为底的矩形面积，即以ｆ（ξ）为高的矩形ＡａｂＤ的面积．㊀图１通过对上面图１进一步分析，我们可以发现定理中的ξɪ［ａ，ｂ］可以改为ξɪ（ａ，ｂ），事实上，若ξ仅取在［ａ，ｂ］的端点上，不妨设ξ＝ａ，则可从图２中看出，曲边梯形ＡａｂＢ的面积ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ与矩形ＡａｂＤ的面积不可能相等．㊀图２本文给出如下两种证明．证法一：若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上恒为常数，则ξ取（ａ，ｂ）内任意一点，结论都是成立的．若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上为一个变量函数，设Ｍ，ｍ分别为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值与最小值，则存在ｘ０ɪ（ａ，ｂ），使得ｍɤｆ（ｘ０）ɤＭ．事实上，若这样的ｘ０不存在，则在［ａ，ｂ］上必存在一点ｘ１，使得ｆ（ｘ）在ａ，ｘ１[]上恒有ｆ（ｘ）＝ｍ或ｆ（ｘ）＝Ｍ()，在［ｘ１，ｂ］上恒有ｆ（ｘ）＝Ｍ（或ｆ（ｘ）＝ｍ）．这样一来，ｘ１是间断点，与ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续矛盾．又ｆ（ｘ）在ｘ０连续，则存在δ＞０，ｘ０－δ，ｘ０＋δ()⊂［ａ，ｂ］，当ｘ－ｘ０＜δ时，有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）＜Ｍ－ｆ（ｘ０）２和ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）＜ｆ（ｘ０）－ｍ２，从而Ｍ－ｆ（ｘ０）＞Ｍ－ｆ（ｘ０）２＞０，ｆ（ｘ０）－ｍ＞ｆ（ｘ０）－ｍ２＞０，于是ʏｘ０＋δｘ０－δ［Ｍ－ｆ（ｘ）］ｄｘȡʏｘ０＋δｘ０－δＭ－ｆ（ｘ０）２éëêùûúｄｘ，即ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘɤＭ－ｆ（ｘ０）２ʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，又ｆ（ｘ０）＜Ｍ，ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，同理有ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＞ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，于是ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏｘ０－δａｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂｘ０＋δｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｘ０－δａｄｘ＋Ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ＋Ｍʏｂｘ０＋δｄｘ＝Ｍ（ｂ－ａ）．同理可得ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＞ｍ（ｂ－ａ），㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２３１因此ｍ（ｂ－ａ）＜ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ（ｂ－ａ），即ｍ＜１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ．由介值定理，存在ξɪ（ａ，ｂ），使得ｆ（ξ）＝１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，即ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ），其中ξɪ（ａ，ｂ）．证法二：作辅助函数Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｄｔ，ｘɪ［ａ，ｂ］，则Ｆ（ｘ）是［ａ，ｂ］上的可微函数，且Ｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ），由微分中值定理，至少存在一点ξɪ（ａ，ｂ），使得Ｆ（ａ）－Ｆ（ｂ）＝Ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）．注意到，Ｆ（ｂ）＝ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，Ｆ（ａ）＝０，则有ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ），ξɪ（ａ，ｂ）．于是，我们可以进一步将积分中值定理进行推广．设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上不能等于零，同时符号不会改变，在这样特殊的情形下，可以得到如下的结论，ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，ξɪ（ａ，ｂ）．令Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｇ（ｔ）ｄｔ，Ｇ（ｘ）＝ʏｘａｇ（ｔ）ｄｔ，则由微分学的柯西中值定理知，Ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）Ｇ（ｂ）－Ｇ（ａ）＝Ｆᶄ（ξ）Ｇ（ξ），ξɪ（ａ，ｂ），即有ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ｇ（ξ）ｇ（ξ），ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，ξɪ（ａ，ｂ）．但当ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］只是可积分，并且恒为正或恒为负时，前面我们进行推导的思路完全行不通，即不可能成立，因为可积不变号时，ｇ（ｘ）可以等于零，我们就不能使用上面的结论了．二㊁第一㊁第二积分中值定理的推广及其证明积分第一中值定理设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积不变号，则在［ａ，ｂ］存在一点ξ，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．积分第二中值定理设（ⅰ）ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续；（ⅱ）ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上单调递增且连续；（ⅲ）ｆ（ｘ）ȡ０，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｂ）ʏｂξｇ（ｘ）ｄｘ．推论１．若积分第二中值定理中的递增改为递减，其他条件不变的情况下，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ．２．若积分第二中值定理中的ｆ（ｘ）ȡ０去掉，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｂ）ʏｂξｇ（ｘ）ｄｘ．当ξ所在区间［ａ，ｂ］变为（ａ，ｂ），其余条件㊁结论不变，我们就可以将积分中值定理进一步推广．接下来，我们进一步证明积分中值定理的推广定理，先验证积分第一中值定理的推广．证明㊀由于ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续．设Ｍ为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值，ｍ为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最小值，即有ｍɤｆ（ｘ）ɤＭ，又由于ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上定号，不妨令ｇ（ｘ）ȡ０（ｇ（ｘ）ɤ０的情况同理），从而有ｍｆ（ｘ）ɤｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ɤＭｇ（ｘ），即ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘɤＭʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（１）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝０，由上面不等式的结论可知，ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝０，因此有ξɪ（ａ，ｂ），使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（２）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０．（ⅰ）如果ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＜ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，即ｍ＜ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ时，由闭区间上连续函数的介值定理我们可以知道，有一ξɪ（ａ，ｂ），使得ｆ（ξ）＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，即ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（ⅱ）如果ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ，（ａ）假如有一ξɪ（ａ，ｂ），都有ｆ（ξ）＝ｍ，我们可以得到ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ结论成立．（ｂ）除此之外，对任意的ｘɪ（ａ，ｂ），都有ｆ（ｘ）＞ｍ，而由ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０，必定存在充分小的数η，使得ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘ＞０（倘若不然的话，对于任意的正数η，都有ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘɤ０，从而ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍηң０ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘɤ０与ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０矛盾）．于是得到０＝ʏｂａ［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘȡʏｂ－ηａ＋η［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘ．利用原积分中值定理，得ʏｂ－ηａ＋η［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘ＝［ｆ（ξᶄ）－ｍ］ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘ＞０，ξᶄɪ［ａ＋η，ｂ－η］⊂（ａ，ｂ）．与之比较，知矛盾．（ⅲ）Ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ，这个证明类似于证㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２３１明（ⅱ）的过程．综上所述，存在ξɪ（ａ，ｂ），使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ成立．证毕！根据积分第一中值定理的推广证明，我们同样可以对积分第二中值定理的推广进行证明．接下来，我们试证积分第二中值定理的推广结果．证明㊀由ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｄｔ在［ａ，ｂ］上可导，从而有ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｇ（ｘ）ｄＦ（ｘ）＝ｇ（ｂ）Ｆ（ｂ）－ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ－ｇ（ａ）Ｆ（ａ）＝ｇ（ｂ）ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ－ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ．对于ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ应用推广的第一积分中值定理，得到ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ξ）［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］，其中ξɪ（ａ，ｂ），从而有ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ＝ｇ（ｂ）ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ－Ｆ（ξ）［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］＝ｇ（ｂ）ʏξａｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂξｆ（ｘ）ｄｘ[]－ʏξａｆ（ｘ）ｄｘ［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｂ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．证毕！三㊁积分中值定理的应用例１㊀证明下列积分不等式：（１）π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ｘｄｘ＜π２；（２）２ｅ－１４＜ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＜２ｅ２．证明㊀（１）由积分中值定理，有π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ｘｄｘ＝１１－１２ｓｉｎ２ξ㊃π２，其中ξɪ０，π２()，当ξɪ０，π２()时，有０＜ｓｉｎ２ξ＜１，从而１＜１１－１２ｓｉｎ２ξ＜２，因此有π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ξｄｘ＜π２．证毕．（２）由定积分性质，有ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＝ʏ１２０ｅｘ２－ｘｄｘ＋ʏ２１２ｅｘ２－ｘｄｘ＝１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２，其中ξ１ɪ０，１２()，ξ２ɪ１２，２()，又ｅｘ在－ɕ，＋ɕ()上严格单调递增，而ｆ（ｘ）＝ｘ２－ｘ在０，１２[]上严格单调递减，在１２，２[]上严格单调递增，所以，当ξ１ɪ０，１２()时，ｅ－１４＜ｅξ２１－ξ１＜１；当ξ２ɪ１２，２()时，ｅ－１４＜ｅξ２２－ξ２＜ｅ２．从而１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２＞１２ｅ－１４＋３２ｅ－１４＝２ｅ－１４，１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２＜１２＋３２ｅ２＜２ｅ２，因此２ｅ－１４＜ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＜２ｅ２．如果ξ取自任意闭区间，使得积分中值定理成立，则需要将例１的证明结果做进一步的讨论．由此可见，对积分中值定理进行改进或者推广对我们的学习很有帮助，当然，我们也要合理使用该定理，否则就会出现错误的结论．例２㊀证明：ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝０．如果利用积分中值定理，得ʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝ξｎ１＋ξ，其中ξɪ０，１()，从而ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝ｌｉｍｎңɕʏ１０ξｎ１＋ξｄｘ＝０，这是错误的，因为ξ与ｎ有关．正确的解法是：因为０ɤｘｎ１＋ｘɤｘｎ，ｘɪ０，１[]，所以０ɤʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘɤʏ１０ｘｎｄｘ，而ʏ１０ｘｎｄｘ＝１１＋ｎ，ｌｉｍｎңɕ１１＋ｎ＝０，因此ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝０．证毕！ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析（第四版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１０．［２］黎金环，刘丽霞，朱佑彬．积分中值定理在一道极限题的应用分析［Ｊ］．高等数学研究，２０２１（２）．［３］同济大学数学教研室．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９３．［４］郝玉芹，时立文，欧阳占瑞．对积分中值定理结论的一点改动［Ｊ］．河北能源职业技术学院学报，２００７（３）．［５］周冰洁．巧用积分中值定理［Ｊ］．现代职业教育，２０１９（３１）．［６］余小飞．积分中值定理在积分不等式中的应用［Ｊ］．当代教育实践与教学研究，２０１７（８）．。

积分中值定理及其应用

积分中值定理及其应用摘要:本论文主要内容是积分中值定理及其应用，主要从以下几个方面论述：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点的渐进性，积分中值定理的应用.关键词：积分中值定理；推广；应用一、引言随着科技时代的发展，数学也随之大步前进.其中，微积分的创立，为数学的发展奠定了不可磨灭的基础.积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质，而且在数学分析的学习过程占有很重要的地位，对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我就把积分中值定理及其应用简单清晰论述一下.通常情况下，积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理.而在此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理，即在一个区间上的情形.还讨论了在几何形体上二重、三重积分的情形的积分中值定理.并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如物理学和数学.我们将积分中值定理加以应用，把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式：数学中一些定理的证明，数学定理、命题，几何应用，含定积分的极限应用，确定积分符号，比较积分大小，证明函数单调性，估计积分值.虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们任然可以把它当作一个基础定理，解决一些现实问题.本课题的研究过程为：讨论和分析积分中值定理，然后将其加以推广，讨论各个积分中值定理中的中间点的渐进性质，最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题.课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理、推广、渐进性，将各方面的应用如：估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来.二、积分中值定理的证明 1、定积分中值定理引理：假设M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，则有()()(),()bam b a f x dx M b a a b -≤≤-<⎰成立.证明：因为M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，即()m f x M ≤≤，我们对不等式进行积分可得()bb baaamdx f x dx Mdx≤≤⎰⎰⎰，由积分性质可知()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰ （1）成立，命题得证.定理1（定积分中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在区间[,]a b 上至少存在一个点ξ，使下式()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰成立.证明：由于0b a ->，将（1）同时除以b a -可得1()ba m f x dx Mb a ≤≤-⎰.此式表明1()baf x dx b a -⎰介于函数()f x 的最大值M 和最小值m 之间.由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间[,]a b 上至少存在一点ξ，使得函数()f x 在点ξ处的值与这个数相等，即应该有1()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，成立，将上式两端乘以b a -即可得到()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰，命题得证.备注1：很显然，积分中值定理中公式()()()baf x dx f b a ξ=-⎰（ξ在a 与b 之间）不论a b <或a b >都是成立的.2、积分第一中值定理定理2（第一积分中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()()()(),()bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=≤≤⎰⎰成立.证明：由于()g x 在[,]a b 上不变号，我们不妨假设()0g x ≥，并且记()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ，即()m f x M ≤≤，将不等式两边同乘以()g x 可知，此时对于任意的[,]x a b ∈都有()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤成立.对上式在[,]a b 上进行积分，可得()()()()b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx≤≤⎰⎰⎰.此时在,m M 之间必存在数值μ，使得m M μ≤≤，即有()()()bbaaf xg x dx g x dxμ=⎰⎰成立.由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的，则在[,]a b 上必定存在一点ξ，使()f ξμ=成立.此时即可得到()()()()bbaaf xg x dx f g x dxξ=⎰⎰，命题得证.3、积分第二中值定理定理3（积分第二中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，而()g x 在区间(,)a b 上单调，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使下式成立()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dxξξ=+⎰⎰⎰ （2）特别地，如果()g x 在区间(,)a b 上单调上升且()0g a ≥ ，那么存在ξ，使下式成立()()()()bbaf xg x dx g b f x dxξ=⎰⎰ （3）如果()g x 在区间(,)a b 上单调下降且()0g b ≥，那么存在ξ，使下式成立()()()()baaf xg x dx g a f x dxξ=⎰⎰ （4）证明：由题设条件知(),()f x g x 在区间[,]a b 上都是可积的，由积分性质可知()()f x g x ⋅也是可积的.我们先证明（3）式，即在()g x 非负、且在区间(,)a b 上单调上升的情形下加以证明. 对于（4）式证明是类似的，最后我们再将其推导到一般情形，即可证明（2）式. 在区间[,]a b 上取一系列分点使011i i n a x x x x x b-=<<<<<<=，记1i i i x x x -∆=-，其中iω为()g x 在ix ∆上的幅度，即11[][]sup {()}inf {()}i i i i i x x x x g x g x ω----=-，再将所讨论的积分作如下改变：将积分限等分为如下n 等份，并且记11()[()()]ii nx i x i f x g x g x dx ρ-=-=∑⎰，11()()ii nx ix i g x f x dx σ-==∑⎰.则11()()()()ii nbx ax i f x g x dx f x g x dx-==∑⎰⎰1111()()()[()()]i ii i nnx x i i x x i i g x f x dx f x g x g x dx σρ--===+-≡+∑∑⎰⎰，因为()f x 在[,]a b 上可积，且区间[,]a b 是有限的，所以()f x 在[,]a b 上有界，此时我们不妨假设()f x L≤.估计ρ如下：11()[()()]ii nx i x i f x g x g x dxρ-==-∑⎰11()()()ii nx i x i f x g x g x dx-=≤-∑⎰11()()()ii nx i i x i f x g x g x dx-=≤-∑⎰111ii nnx i i ix i i L dx L x ωω-==≤=∆∑∑⎰由于()g x 可积，所以当max 0i x λ=∆→时，有1ni i i x ω=∆→∑，从而有0lim 0λρ→=，从而可知()()lim()lim lim b af xg x dx λλλσρσρ→→→=+=+⎰11lim lim ()()ii nx i x i g x f x dxλλσ-→→===∑⎰我们记()()bxF x f x dx=⎰，由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，那么函数()F x 是[,]a b 上的连续函数，并且有最大值和最小值M 和m ，记为()i m F x M≤≤，很显然11()()()ii x i i x f x dx F x F x --=-⎰，0()()0F x F b ==，从而11()()ii nx i x i g x f x dxσ-==∑⎰[]11()()()ni i i i g x F x F x -==-∑111()()()()nni i i i i i g x F x g x F x -===-∑∑110121()()()()()()nn i i i i i i g x F x g x F x g x F x --===+-∑∑11011()()[()()]()n i i i i g x F x g x g x F x -+==+-∑因为()g x 是非负的，并且在区间(,)a b 上单调上升，即有10()()()0g x g x g a ≥=≥、1()()0i i g x g x +-≥成立，所以有下式成立()()11111111{()()()}{()()()}n n i i i i i i m g x g x g x M g x g x g x σ--++==+-≤≤+-∑∑.即有()()mg b Mg b σ≤≤成立.从而可以得到lim ()g b σμ=，其中μ满足m M μ<<.由于函数()F x 连续，则在[,]a b 之间存在一点ξ，使()()bF f x dxξμξ==⎰成立，从而有公式（2-3）成立，即()()()()bbaf xg x dx g b f x dxξ=⎰⎰成立，（3）式得证.对于()g x 单调下降且()0g b ≥的情形即公式（4）的证明过程是类似的，证明略.对于()g x 是一般单调上升情形，我们作辅助函数()()()x g x g a ψ=-，其中ψ为单调上升且()0a ψ≥，此时公式（3）对于()x ψ是成立的，即存在ξ使[][]()()()()()()bbaf xg x g a dx g b g a f x dxξ-=-⎰⎰成立，这就证明了公式（2）()()()()()()b baaf xg x dx g a f x dx g b f x dxξξ=+⎰⎰⎰.对于()g x 是一般单调下降的情形，此时应用公式（4），同样可得到（2）式，此命题得证.三、积分中值定理的推广 1、定积分中值定理的推广定理7（推广的定积分中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 连续，则在开区间(,)a b 至少存在一个点ξ，使得下式()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-<<⎰成立.证明：作辅助函数()F x 如下：()(),[,]xaF x f t dt x a b =∈⎰.由于()f x 在闭区间[,]a b 连续，则()F x 在[,]a b 上可微，且有()()F x f x '=成立.由微分中值定理可知：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-成立.并且有()()baF b f t dt=⎰，()0F a =，此时即可得到下式()()(),(,)baf t dt f b a a b ξξ=-∈⎰，命题得证.2、定积分第一中值定理的推广定理8（推广的定积分第一中值定理）：若函数()f x 是闭区间[,]a b 上可积函数，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，则在开区间(,)a b 上至少存在一点ξ，使得()()()(),(,)bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=∈⎰⎰成立.证法1：由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上是可积的，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，令()()()xaF x f t g t dt=⎰，()()xaG x g t dt=⎰，很显然(),()F x G x 在[,]a b 上连续.并且()0,()()()baF a F b f t g t dt==⎰，()0,()()b aG a G b g t dt==⎰，()()()F f g ξξξ'=，()()G g ξξ'= .由柯西中值定理即可得到()()(),(,)()()()F b F a F a b G b G a G ξξξ'-=∈'-，即()()()()()()babaf tg t dtf g g g t dtξξξ=⎰⎰，()()()(),(,)bbaaf tg t dt f g t dt a b ξξ=∈⎰⎰，命题得证.证法2：由于函数()g x 在[,]a b 上可积且不变号，我们不妨假设()0g x ≥.而函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，我们令{}inf ()|[,]m f x x a b =∈，{}sup ()|[,]M f x x a b =∈.假设()F x 是()f x 在闭区间[,]a b 上的一个原函数，即()(),[,]F x f x x a b '=∈.此时我们有下式成立()()()()bbb aaam g x dx f x g x dx M g x dx≤≤⎰⎰⎰（1）由于()0g x ≥，则有()0ba g x dx ≥⎰，以下我们分两种情形来进行讨论：[1]如果()0bag x dx =⎰，由（3-1）式可知()()0baf xg x dx =⎰，则此时对于(,)a b ξ∀∈有()()0()()bbaaf xg x dx f g x dxξ==⎰⎰成立.[2]如果()0b ag x dx >⎰，将（3-1）式除以()bag x dx⎰可得()()()babaf xg x dxm Mg x dx≤≤⎰⎰，（2）我们记()()()babaf xg x dxg x dxμ=⎰⎰，（3）此时我们又分两种情形继续进行讨论：i 如果（2）式中的等号不成立，即有()()()babaf xg x dxm Mg x dx<<⎰⎰成立，则此时存在m M μ<<，使得12(),()m f x f x Mμμ<≤<≤，我们不妨假设12x x <，其中12,[,]x x a b ∈.因为()()F x f x '=，[,]x a b ∈，则有1122()()()()F x f x f x F x μ''=<<=.此时至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得()()F f ξξμ'==，即有12()()()(),(,)[,]bbaaf xg x dx f g x dx x x a b ξξ=⋅∈∈⎰⎰成立，从而结论成立.ii 如果（2）式中仅有一个等号成立，不妨假设M μ=，因为()0bag x dx >⎰，此时必存在11[,](,)a b a b ∈（其中11a b <），使得11[,]x a b ∀∈，恒有()0g x >成立，我们则可将（3）式可改写为()()()b baag x dx f x g x dxμ⋅=⎰⎰，因为M μ=，则有[()]()0baM f x g x dx -=⎰（4）又注意到[()]()0M f x g x -≥，必有110[()]()[()]0b ba aM f x g x dx M f x dx ≤-≤-=⎰⎰.于是11[()]()0b a M f x g x dx -=⎰（5）下证必存在11[,](,)a b a b ξ∈⊂，使()f M ξμ==.若不然，则在11[,]a b 上恒有()0M f x ->及()0g x >成立，从而[()]()0M f x g x ->.如果11[()]()0b a M f x g x dx -=⎰，由达布定理在11[,]a b 上有[()]()0M f x g x -，这与[()]()0M f x g x ->矛盾.如果11[()]()0b a M f x g x dx ->⎰，这与（5）式矛盾.所以存在[,]a b ξ∈，使()()()(),(,)bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=∈⎰⎰，定理证毕.3、推广定积分第二中值定理定理9（推广定积分第二中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 可积，()g x 在区间[,]a b 上可积且不变号，则在(,)a b 上必存在一点ξ，使得()()()()()(),(,)bc baacf xg x dx g a f x dx g b f x dx a b ξ=+∈⎰⎰⎰成立.证明过程详见参考文献[9].4、第一曲线积分中值定理定理10（第一型曲线积分中值定理）：如果函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使(,)(,)Cf x y ds f Sξη=⎰成立，其中S 为曲线C 的弧长.证明：因为函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，所以存在,m M R ∈，其中(,)m f x y M ≤≤，对不等式在闭曲线C 上进行第一类曲线积分可得(,)CCCm ds f x y ds M ds⋅≤≤⋅⎰⎰⎰，其中Cds⎰为曲线C 的弧长，并且Cds S=⎰，由于0S >，将上式同除以常数S ，即可得到1(,)C m f x y ds M S ≤≤⎰，由于函数(,)f x y 在曲线C 上连续，故由闭区间上连续函数的介值定理，在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使1(,)(,)C f f x y ds S ξη=⎰成立，左右两边同除以常数S ，即可得到结论，从而命题得证.5、第二曲线积分中值定理定理11（第二型曲线积分中值定理）：如果函数(,)f x y 在光滑有向曲线C 上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Cf x y dx f Iξη=±⋅⎰成立.其中I 为光滑有向曲线C 在x 轴正向上的投影，其中符号“±”是由曲线C 的方向确定的.证明：因为函数(,)f x y 在有界闭曲线C 上连续，所以存在,m M R ∈，其中(,)m f x y M ≤≤，对上式进行第二型曲线积分可得(,)cCcm dx f x y dx M dx≤≤⎰⎰⎰（6）其中cdx ⎰为有向光滑曲线C 在x 轴上的投影，此时我们不妨记cdx I =±⎰，并且分以下两种情况进行讨论：[1]假设cdx I =⎰，将（3-6）式除以I 可得1(,)C m f x y dx M I ≤≤⎰.因为(,)f x y 在C 上连续，故由介值定理，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使1(,)(,)C f x y dx f I ξη=⎰成立，即有(,)(,)Cf x y dx f Iξη=⋅⎰成立.[2]同理当cdx I =-⎰，式左右两边同时除以I -可得1(,)C M f x y dx m I -≤-≤-⎰，因为(,)f x y 在C 上连续，故由介值定理，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使1(,)(,)C f x y dx f I ξη-=⎰成立，即有(,)(,)Cf x y dx f Iξη=-⋅⎰成立，由上面证明过程可得(,)(,)Cf x y dx f Iξη=±⋅⎰，命题得证.6、第一曲面积分中值定理定理12（第一型曲面积分中值定理）：设D 为xoy 平面上的有界闭区域，其中(,)z z x y =为光滑曲面S ，并且函数(,,)f x y z 在S 上连续，则在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)Sf x y z d f Aσξηζ=⋅⎰⎰成立，其中A 是曲面S 的面积.证明：因为(,,)f x y z 在曲面S 上连续，所以存在,m M R ∈且使得(,,)m f x y z M ≤≤成立，我们对上式在S 上进行第一类曲面积分可得(,,)SSSm d f x y z d M d σσσ⋅≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中Sd σ⎰⎰为曲面的面积，且Sd Aσ=⎰⎰，因为0A ≠，两边同除以A 有1(,,)Sm f x y z d M A σ≤≤⎰⎰，由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续，故由介值定理，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使1(,,)(,,)Sf f x y z d A ξηζσ=⎰⎰，成立，两边同时乘以A 可得(,,)(,,)Sf x y z d f Aσξηζ=⋅⎰⎰，命题得证.7、第二曲面积分中值定理定理13（第二型曲面积分中值定理）：若有光滑曲面:(,),(,)xyS z x y x y D ∈，其中xyD 是有界闭区域，函数(,,)f x y z 在S 上连续，由此在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)Sf x y z dxdy f Aξηζ=±⋅⎰成立，其中A 是S 的投影xyD 的面积.证明：因为函数(,,)f x y z 在曲面S 上连续，所以存在,m M R ∈使得(,,)m f x y z M ≤≤，对上式在曲面S 上进行第二类曲面积分可得(,,)SSSm dxdy f x y z dxdy M dxdy⋅≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中Sdxdy⎰⎰为(,,)f x y z 投影在曲面xy D上的面积，并且我们记Sdxdy A=±⎰⎰.[1]若Sdxdy A=⎰⎰，则上式除以A 有1(,,)Sm f x y z dxdy M A ≤≤⎰⎰，由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续，故由介值定理，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使1(,,)(,,)Sf f x y z dxdy A ξηζ=⎰⎰，两边同时乘以A 有(,,)(,,)Sf x y z dxdy Af ξηζ=⎰⎰，[2]同理，若Sdxdy A=-⎰⎰，则上式除以A -有1(,,)SM f x y z dxdy m A -≤-≤-⎰⎰，由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续，故由介值定理，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使1(,,)(,,)Sf f x y z dxdy A ξηζ=-⎰⎰，两边同时乘以A -有(,,)(,,)SAf f x y z dxdyξηζ-=⎰⎰.由以上证明过程可得(,,)(,,)Sf x y z dxdy f Aξηζ=±⋅⎰，从而结论成立.四、第一积分中值定理中值点的渐进性定理14 ：假设函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，其中()f x 在a 点的直到1n -阶右导数为0，而n 不为0，即(1)()()()0n f a f a f a -+++'''====，()()0n f a +≠，并且有()()n f x 在a 点连续；函数()g x 在[,]a b 可积且不变号，并且对于充分小的0()a b δδ>+<， ()g x 在[,]a a δ+上连续，且()0g a ≠，则第一积分中值定理中的中值点ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.证明：对任意(,)x a b ∈，我们做一个辅助函数()F x 如下：1()()()()()()xxaan f t g t dt f a g t dtF x x a +-=-⎰⎰一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则()()()()lim ()lim(1)()nx a x a f x g x f a g x F x n x a →+→+-=+-()()()lim ()1n x a f x f a g x x a n →+-=-+001()()lim ()lim1()n x a x a f x f a g x n x a →+→+-=⋅⋅+-由积分中值定理和洛比达法则可以得到()0()()()lim ()!n n x a f a f x f a x a n +→+-=-，从而()0()()lim ()(1)!n x a g a f a F x n +→+=+. （1）且有()0()()()lim ,()()!n n x a f a f f a a x a n ξξξ+→+-=<<-成立.另一方面，由积分中值定理和洛比达法则可得1()()()()lim ()lim()x xaan x a x a f g t dt f a g t dtF x x a ξ+→+→+-=-⎰⎰=0()()()lim ()xna n x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ→+⎡⎤--⎛⎫⎢⎥⋅⋅ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰ 000()()()lim lim lim ()a na n x a x a g t dtf f a a a x a δδξξξδ+→+→+→+--⎛⎫=⋅⋅ ⎪--⎝⎭⎰由洛比达法则，则有()lim()a ag t dtg a δδδ+→+=⎰，因此可得()0()()lim ,()!nn x a f a g a a a x n x a ξξ+→+-⎛⎫=⋅<< ⎪-⎝⎭. （2）比较（4-1）式与（4-2）式可以得到lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.定理15：假设函数()f x 在[,]a b 上连续，()f a +'存在并且有()0f a +'≠，()[,]g x a b 在上有m 阶导数，有(1)()()()()0m g a g a g a g a -+++'''=====， ()()0m g a +≠成立，并且()()m g x 在a 点连续，()g x 不变号，则第一积分中值定理中的点ξ满足1lim,(,)2x a am x a b x am ξ→+-+=∈-+.证明：对任意的(,)x a b ∈，构造辅助函数()H x 如下2()()()()()()xxaam f t g t dt f a g t dtH x x a +-=-⎰⎰ .一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有10()()()()lim ()lim (2)()m x a x a f x g x f a g x H x m x a +→+→+-=+-=()()()1lim()2m x a f x f a g x x a x a m →+-⋅⋅--+由于0x a →+，则0()()lim()x a f x f a f a x a +→+-'=-，且函数()[,]g x a b 在上有m 阶导数，则上式等于()0()1()1()lim ()2()2!m m x a g x g x f a f a m x a m m +++→+''⋅⋅=⋅⋅+-+（3）另一方面，由积分中值定理()()()()xxaaf tg t dt f g t dtξ=⎰⎰.则2[()()]()lim ()lim()()xam x a x a f f a g t dtH x a x x a ξξ+→+→+-⋅=<<-⎰=10()[()()]lim ()xa m x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+--⋅⋅---⎰ =1000()[()()]lim lim lim ()xam x a x a x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+→+→+--⋅⋅---⎰对()H x 使用洛比达法则可得=()0()()lim(1)!m x a g a a f a m x a ξ++→+-'⋅⋅+-（4）比较（3），（4）式我们可以得到01lim,(,)2x a am x a b x am ξ→+-+=∈-+.定理16：设函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，(1)()()()0n f a f a f a -+++'''====，()()0n f x ≠，()()n f x 在a点连续；函数()[,]g x a b 在上有m阶导数，且(1)()()()()0m g a g a g a g a -+++'''=====，()()0m g a ≠，并且()()m g x 在a 点连续，()g x 不变号，则第一积分中值定理中的ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.证明：对任意的(,)x a b ∈，我们构造辅助函数()L x 如下1()()()()()()xxaam n f t g t dt f a g t dtL x x a ++-=-⎰⎰一方面，由于0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有()()()()lim ()lim (1)()m n x a x a f x g x f a g x L x m n x a +→+→+-=++-=()()()1lim()()1n m x a f x f a g x x a x a m n →+-⋅⋅--++001()()()lim lim1()()nm x a x a f x f a g x m n x a x a →+→+-=⋅⋅++--由于函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，且函数()g x 在[,]a b 上m 阶可导，则上式等于()()()()11!!n m f a g x m n n m ++=⋅⋅++ （5）另一方面，由积分中值定理()()()()xxaaf tg t dt f g t dtξ=⎰⎰.则1[()()]()lim ()lim()()xam n x a x a f f a g t dtL x a x x a ξξ++→+→+-⋅=<<-⎰=10()[()()]()lim ()()()xna n m m x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+--⋅⋅---⎰=1000()[()()]()lim lim lim ()()()xnan m m x a x a x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+→+→+--⋅⋅---⎰对()L x 使用洛比达法则可得()()0()()lim ,()!(1)!nn m x a f a g a a a x n x a m ξξ++→+-⎛⎫=⋅⋅<< ⎪-+⎝⎭ （6）比较（5）、（6）式我们可以得到0lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.五、第二积分中值定理中值点的渐进性定理17 ：假设函数()[,]f x a b 在上单调，并且在a 点的右导数存在，且有(0)0f a '+≠；()g x 在[,]a b 上可积，在a 点的右极限存在，且(0)0g a +≠.则第二积分中值定理中的ξ满足01lim,(,)2x a ax a b x a ξ→+-=∈-. 证明：对于任意的(,)x a b ∈，构造辅助函数()F x 如下2()()()()()()xxaaf tg t dt f a g t dtF x x a -=-⎰⎰.一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则可得()()()()lim ()lim2()x a x a f x g x f a g x F x x a →+→+-=-001()()1lim lim ()(0)(0)02()2x a x a f x f a g x f a g a x a →+→+-'==++≠-（1）另一方面，由第二积分中值定理，有2()()()()()()lim ()lim()x xaax a x a f a g t dt f x g t dt f a g t dtF x x a ξξ→+→++-=-⎰⎰⎰2()()()()()()()lim()x xaa a a x a f a g t dt f x g t dt g t dt f a g t dt x a ξξ→+⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰⎰[][]2()()()()()()lim()xa a x a f x f a g t dt f x f a g t dtx a ξ→+---=-⎰⎰00()()()()lim lim x aa x a x a g t dt g t dt f x f a x a x aξ→+→+⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎰⎰00()()()()lim lim x a a x a x a g t dt g t dt f x f a a x a x a a x a ξξξ→+→+⎡⎤--⎢⎥=-⋅⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎰⎰0(0)(0)(0)limx a a f a g a g a x a ξ→+-⎡⎤'=++-+⎢⎥-⎣⎦0(0)(0)1limx a a f a g a x a ξ→+-⎡⎤'=++-⎢⎥-⎣⎦（5-2）比较（5-1）、（5-2）式知011lim2x a ax aξ→+--=-，即可得到01lim 2x a a x a ξ→+-=-.将此定理推广，即可得到以下定理定理18：假设函数()f x 在[,]a b 上单调，在[,]a b 内有直到n 阶导数，()()n f x 在a 点连续，()f x在a 点的右导数满足(1)(0)(0)(0)0n f a f a f a -'''+=+==+=，()(0)0;n f a +≠()g x 在[,]a b 上可积，在a 点的右极限存在，且(0)0g a '+≠，则第二积分中值定理中的ξ满足lim,(,)1x a anx a b x an ξ→+-=∈-+.定理19：假设函数()f x 在[,]a b 上单调，函数()f x 在a 点的右导数存在，并且有(0)0f a '+≠；()g x 在[,]a b 上存在直到m 阶导数，且有()()m g x 在a 点连续，并且满足(1)()(0)(0)0m g a g a g a -'=+==+=，()(0)0m g a +≠，则第二积分中值定理中的点ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.定理20：假设函数()f x 在[,]a b 上单调，在[,]a b 上有直到n 阶的导数，()()n f x 在a 点连续，并且在a 点的右导数满足(1)(0)(0)(0)0n f a f a f a -'''+=+==+=，()(0)0n f a +≠；()g x 在[,]a b 上存在直到m 阶导数，()()m gx 在a 点连续，且满足(1)()(0)(0)0m g a g a g a -'=+==+=，()(0)0m g a +≠，则第二积分中值定理中的点ξ满足0lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.6 积分中值定理的应用 6.1 估计积分值例1 估计2010.5sin xdxx +⎰的积分解：由于11110.510.5sin 10.5x ≤≤++-，即212310.5sin x ≤≤+.于是2044310.5sin x dx x ππ≤≤+⎰此时可得到估计的积分值为2084(1)10.5sin 33xdx x ππθθ=±≤+⎰.例2 估计2sin ,(0)b ax dx a b <<⎰的积分解：设x =则2221sin 2bb a a x dx =⎰⎰，其次，假设()sin f t t =和12()t tϕ-=，则()t ϕ单调下降，并且有()0t ϕ>.于是，2222111sin (cos cos )222b a a tdx a a a ξξ==-⎰⎰2211sin sin 22a a a a ξξθ+-==其中22a b ξ≤≤，1θ≤.因此2sin (1)bax dx aθθ=≤⎰.例3 证明等式sin lim 0n pnn xdx x +→∞=⎰.证法1：由第一积分中值定理可知sin sin lim lim 0n pn nn n nxdx p x ξξ+→∞→∞==⎰，其中nξ位于n 和n p +之间的某个值.证法2：由第二积分中值定理可知得sin 1sin nn pnnx dx xdxx nξ'+=⎰⎰11cos cos 0()nn n n n ξ'=-≤→→∞，其中nξ位于n 和n p +之间的某个值，于是sin lim 0n p nn xdx x +→∞=⎰.2、求含定积分的极限例4 求极限120lim 1nn x x →∞+⎰解：利用广义积分中值定理1122001lim 11n n n x dx x dxx ξ→∞=++⎰⎰1102211[],(01)11(1)(1)n x n n ξξξ+==≤≤++++则12201lim lim 01(1)(1)n n n x dx x n ξ→∞→∞==+++⎰3、确定积分号例5确定积分131x x e dx-⎰的符号解：1010133333111()()x x x t x x e dx x e dx x e dxx t t e d t x e dx----=+=---+⎰⎰⎰⎰⎰010113333311()txtxx x t e dt x e dx t e dt x e dx x e e dx--=+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰由积分中值定理可知1331()0x x e dx e e ξξξ--=-≥⎰其中(01)ξ≤≤.又3xx e 在[1,1]-上不恒为0，则有131x x e dx ->⎰，即131x x e dx-⎰的符号为正号.4、比较积分大小例6 比较积分340sin xπ⎰和240sin xπ⎰的大小解：当(0,)4x π∈时，0sin 1x <<，从而有320sin sin 1x x <<<，于是我们有32440sin sin x xππ≤⎰⎰，即340sin xπ⎰小于等于240sin xπ⎰.5、证明函数的单调性例7设函数()f x 在(0,)+∞上连续，其中0()(2)()xF x x t f t dt=-⎰，试证：在(0,)+∞内，若()f x 为非减函数，则()F x 必为非增函数.证明：利用分歩积分法，将()F x 化为()(2)()()2()x x xF x x t f t dt x f t dt tf t dt=-=-⎰⎰⎰对上式求导，可以得到：()()()2()()()x xF x f t dt xf x xf x f t dt xf x '=+-=-⎰⎰.由积分中值定理，可得：()()()(()()),(0)F x xf xf x x f f x x ξξξ'=-=-≤≤.若()f x 为非减函数，则有()()0f f x ξ-≤成立，因此可以得到()0F x '≤，故()F x 为非增函数，命题得证.6、证明定理例8 证明（阿贝尔判别法）如果()f x 在[,)a +∞上可积，()g x 单调有界，那么()()a f x g x dx+∞⎰收敛.证明：由假设条件，利用第二中值定理，在任何一个区间[,]A A '上（其中,A A a '>），存在[,]A A ξ'∈，使得()()()()()()A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dxξξ'''=+⎰⎰⎰.因为()f x 在[,)a +∞上可积，则()af x dx+∞⎰收敛，所以对于任何0ε>，存在0A a≥，使得当,A A A '≥时，成立(),()A Af x dx f x dx ξξεε'<<⎰⎰.又由0(),,g x L A A A '<≥所以当时，有()()()()()()A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dxξξ'''=+⎰⎰⎰()()()()2A Ag A f x dx g A f x dx L ξξε''≤+≤⎰⎰，根据柯西收敛原理可推知积分()()af xg x dx+∞⎰收敛.备注2：当讨论无界函数广义积分时，可将阿贝尔判别法可改写为：假设()f x 在x a =有奇点，()baf x dx⎰收敛，()g x 单调有界，那么积分()()baf xg x dx⎰收敛.证明：对()()a a f x g x dxηη'++⎰应用第二积分中值定理，证明过程略.备注3：当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广义积分的阿贝尔判别法可写为：假设(,)af x y dx+∞⎰关于[,]y c d ∈为一致收敛，(,)g x y 关于x 单调（即对每个固定的[,]y c d ∈，(,)g x y 作为x 的函数是单调的），并且关于y 是一致有界的，即存在正数L ，对所讨论范围内的一切,x y 成立：(,)g x y L <.那么积分(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的.证明：由于(,)af x y dx+∞⎰关于[,]y c d ∈是一致收敛的，则对于任意正数0ε>，存在0A a≥，当,A A A '≥时，成立(,)A Af x y dx ε'<⎰.因此，当,A A A '≥时，将y 看成给定常数，则由积分第二中值定理中的公式(,)(,)A Af x yg x y dx '⎰()()(,)(,)(,)(,)y A Ay g A y f x y dx g A y f x y dxεε''=+⎰⎰因为对任意的,x y 都有(,)g x y L<，则(,)(,)2A Af x yg x y dx L ε'≤⎰.因此，(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的，命题得证.例9 证明（狄里克莱判别法）如果()()AaF A f x dx=⎰有界，即存在0K >，使得(),()Aaf x dx Kg x ≤⎰单调且当x →+∞时趋向于零，那么积分()()af xg x dx+∞⎰收敛.证明：因为()0()g x x →→+∞，所以对任意的0ε>，存在0A ，当0,A A A '≥时，()g A ε<，()g A ε'<.又因()Aaf x dx K≤⎰，所以()()()2AAaaf x dx f x dx f x dx Kξξ=-≤⎰⎰⎰，同样我们有()2A f x dx Kξ'≤⎰.由第二积分中值定理，只要,A A A '≥，就有()()()()()()4A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dx K ξξε'''≤+≤⎰⎰⎰所以积分()()af xg x dx+∞⎰收敛，命题得证.备注4：当讨论无界函数广义积分时，我们可将狄立克莱判别法写为：设()f x 在x a =有奇点，()ba f x dx η+⎰是η的有界函数，()g x 单调且当x a →时趋于零，那么积分()()baf xg x dx⎰收敛.证明：对()()a a f x g x dxηη'++⎰应用第二积分中值定理，证明过程略.备注5：当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广义积分的狄立克莱判别法写为：设积分(,)A af x y dx⎰对于A a ≥和[,]y c d ∈是一致有界的，即存在正数K ，使对上述,A y 成立(,)Aaf x y dx K≤⎰又因为(,)g x y 关于x 是单调的，并且当x →+∞时，(,)g x y 关于[,]c d 上的y 一致趋于零，即对于任意给定的正数ε，有A ，当x A ≥时，对一切[,]y c d ∈成立(,)g x y ε<，那么积分(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的.证明：由所假设的条件可推知对任何,A A a '≥，有(,)(,)(,)A AA Aaaf x y dx f x y dx f x y dx''=-⎰⎰⎰(,)(,)2AA aaf x y dx f x y dx K'≤+≤⎰⎰而由(,)g x y ε<和上式可推知，当,A A a '≥时()(,)(,)(,)(,)A y AAf x yg x y dx g A y f x y dxε'≤⎰⎰()(,)(,)224A y g A y f x y dx K K K εεεε''+<⋅+⋅=⎰，因此，(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的，命题得证.参考文献：[1]陈纪修、於崇华、金路.数学分析（第二版上册）.北京:高等教育出版社，2004.294-310[2]陈纪修、於崇华、金路.数学分析（第二版下册）.北京:高等教育出版社，2004.165-170[3]陈传璋、金福林等编.数学分析（下册）.北京：高等教育出版社，1983. 286-288[4]陈传璋、金福林等编.数学分析（上册）.北京：高等教育出版社，1983. 51-56， 252[5]同济大学应用数学系.高等数学（第五版上册）.北京：高等教育出版社，1996. 232THE MEAN-VALUE THEOREM AND ITS APPLICATIONAbstract:The main content of this paper are the mean-value theorem and its application, it will be mainly divided into the following respects: integral mean-value theorem, the generalation of integral mean-value theorem, the asymptotic property of the “intermediate point”of integral median point, the application of integral mean-value theorem.Key words:integral mean-value; theorem promotion ;apply指导教师评语页本科毕业论文（设计）答辩过程记录院系数学科学学院专业数学与应用数学年级2009 级答辩人姓名**** 学号**********毕业论文（设计）题目积分中值定理及其应用毕业论文（设计）答辩过程记录：答辩是否通过：通过（）未通过（）记录员答辩小组组长签字年月日年月日=本科毕业论文（设计）答辩登记表。

微积分中的积分中值定理

微积分中的积分中值定理积分中值定理是微积分中的一个重要定理，指在一个函数在区间[a,b]上积分的平均值等于这个函数在区间[a,b]上的某一点的函数值。

积分中值定理起源于求平均速度的问题，随着时间的推移，它逐渐成为微积分学中的一个重要定理，被广泛应用于各种物理问题和工程问题中。

定理描述积分中值定理主要有三种形式，分别为第一型，第二型和第三型。

这些形式的积分中值定理都是基于微积分的基本定理的。

第一型：如果f(x)是在[a,b]上可积的函数，且b>a，则至少存在一个数字c∈[a,b]，使得$$\int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)\cdot(b-a)$$第二型：如果f(x)和g(x)是在[a,b]上可积的函数，且g(x)不等于0，则至少存在一个数字c∈[a,b]，使得$$\int_{a}^{b}f(x)g(x)dx=f(c)\cdot\int_{a}^{b}g(x)dx$$第三型：如果f(x)是在[a,b]上连续的函数，且存在一个数字k，使得对于区间[a,b]上的任意一点x，都有|f(x)|<=k，则至少存在一个数字c∈[a,b]，使得$$\int_{a}^{b}f(x)dx=f(c)\cdot(b-a)$$其中，第一型积分中值定理是积分学中最基本的积分中值定理，第二型积分中值定理可以用于证明微积分基本定理，第三型积分中值定理则是积分中值定理的一个推论。

理解积分中值定理的物理意义积分中值定理的物理意义可以通过一个具体的例子来说明。

我们知道，物体在垂直下落的过程中，其速度可以用时间t的函数v(t)表示。

假设物体下落的高度为h，则其速度v(t)可以表示为$$v(t)=\frac{dh}{dt}$$因此，物体下落的时间t和高度h之间的关系可以表示为$$h=\int_{0}^{t}v(t)dt$$由积分中值定理，我们知道存在一个时刻t0，使得$$h=v(t_0)\cdot t_0$$即物体下落的平均高度等于某一时刻的高度，这也说明了物体下落的速度在不同时间段内是不同的。

第二积分中值定理中间点当x→∞时的渐近性态

第!"卷第!期宝鸡文理学院学报#自然科学版$%&’(!")&(! !"""年*月+&,-./’&01/&234&’’565&07-89/.:;<35.<5#)/8,-/’;<35.<5$+,.= ===============================================================(!"""第二积分中值定理>中间点?当@ABC时的渐近性态D张树义E F杨满良!#E G锦州师专数学系F辽宁锦州E!E"""H!G太白中学F陕西太白I!E*""$摘要J讨论了在区间K L F@M上建立的第二积分中值定理的>中间点?当@ABC时的渐近性态F在较弱条件下F得到了>中间点?的渐近估计式N关键词J积分中值定理H中间点H渐近估计式中图分类号J O E I!文献标识码J7文章编号J E""I P E!*E#!"""$"!P"E"Q P"!R S T U V W XY Z[Z\]V Z U Z T^[_>XT‘\U a Y[\b Z?[^Z S T V T][b‘\b Z T c_U a XT U bd U a e T Z S T[_T X f S T b@\V b T U_\b^\b\Z Tg h7)i;j,P k3E F l7)i m/.P’3/.6!#E G+3.n j&,o5/<j5-94&’’565F+3.n j&,E!E"""F p3/&.3.6F4j3./H!G o/3q/3m3::’5;<j&&’F o/3q/3I!E*""F;j//.r3F4j3./$ s t V Z_U]Z J1k:39<,993.6/9k u v8&83<98/850&->u5:3/’v&3.8?&08j595<&.:3.856-/’u5/.w/’,5 8j5&-5u x j5.@39.5/-BC(o j5/9k u v8&83<5983u/83&.0&-u,’/9&08j5>u5:3/’v&3.8?/-563w5.,.:5-x5/y<&.:383&.9(z T Wf[_‘V J3.856-/’u5/.w/’,5H u5:3/’v&3.8H/9k u v8&83<5983u/83&.0&-u,’/{|#E}}E$~e t!T]Z"a U V V\^\]U Z\[b J!*7!#关于在区间K L F@M上建立的中值定理的>中间点当@AB C时的渐近性问题的研究F近年来F已取得了若干所进展F本文作者之一在文K E$#M中研究了泰勒中值定理%广义柯西中值定理%第一积分中值定理的>中间点?当@AB C时的渐近性态N在本文中我们讨论第二积分中值定理的>中间点?当@AB C时的渐近性态F在较弱条件下得到了>中间点?的渐近估计式N第二积分中值定理设&#@$在K L F B C$单调增加且非负可积F&#@$’&#L$F(#@$在K L FB C$可积F则)@*#L F B C$F+,*#L F@$使-@L&#.$(#.$:./&#@$-@,(#.$:.#E$为证明定理时方便F先给出!个引理引理E K#M设0#@$在K L F B C$可积F且’3u@A B C@120#@$/3F则E$当14"F35"时F’3u@A B C 0#@$/B CH!$当14"F34"时F’3u@A B C0#@$/6CH7$当14E F35"时F’3u@A B C-@L0#.$:./B CH#$当14E F34"时F’3u@A B C-@L0#.$:./6CHQ$’3u@A B C-@L0#.$:.@E61/3E61F在结论Q$中的3为常数F14E N容易证明下面引理!成立引理!若’3u@A B C&#@$/35"F’3u@A B C(#@$/B CF’3u@A B C0#@$/6CF则’3u@A B C&#@$(#@$/B CF’3u@A B C&#@$0#@$/6CN对于上面的第二积分中值定理的>中间点?FD收稿日期J E}}}P E"P E8作者简介J张树义#E}*"P$F男F副教授F辽宁锦州市人N研究方向J非线性分析N我们有如下结果!定理"在第二积分中值定理的条件下#再设$%&’()*’+,-’./0#$%&’()*’12-’./3#则-".式中的4中间点567-8#’.#有渐近估计式$%&’()*698’98/-++)19".":-"91.-;.其中0#3为非零常数<+#1为实数#+=>#1="?证明首先证明当’()*时#有6()*#为此#不妨设0@>#3@>#由引理"有$%&’()*A’82-B .C B /)*#$%&’()*,-’./)*#又$%&’()*A’8,-B .2-B .C B,-’.A’82-B .C B /$%&’()*A’8,-B .2-B .C B’"9+91’+,-D .EA’82-B .C 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1998(01)1.期刊论文王秀芬积分中值定理"中间点"的分析性质-山东理工大学学报(自然科学版)2004,18(4)讨论了积分中值定理中间点的单调性、连续性、可导性,给出了一组充分条件,并证明了三个相关定理.进一步完善了积分中值定理"中间点"的分析性质.2.期刊论文王福良.杨彩萍积分中值定理中间点渐近性态的研究-天津师范大学学报(自然科学版)2002,22(2)对积分区间长度趋于零时,积分中值定理中间点的渐近性态作了近一步研究, 得到一个更具一般性的新结果,并研究了当积分区间长度趋于无穷时积分中值定理中间点的渐近性态.3.期刊论文刘文武.LIU Wen-wu积分中值定理中间点渐近性的一个注记-吉首大学学报（自然科学版）2007,28(4)对积分中值定理中间点的渐近性进行研究,给出了推广的积分第一中值定理的中间点的渐近性的一个公式.4.期刊论文戴振强.DAI Zhen-qiang积分中值定理的推广及其"中间点"的性质-高师理科学刊2007,27(4)积分中值定理中将"f(x)在[a,b]上连续"改为"f(x)在[a,b]上可积",定理的结论仍然成立.据此证明了"中间点"唯一存在的充要条件是被积函数的单调性,还可以在满足李普希兹条件下给出"中间点"的渐近性.5.期刊论文戴振强.DAI Zhen-qiang关于积分中值定理"中间点"的唯一性和渐近性-井冈山医专学报2006,13(2)积分中值定理的"中间点"唯一存在的充要条件是被积函数的单调性,同时,可以在满足李普希兹条件下给出"中间点"的渐近性.6.期刊论文杨镇杭.YANG Zhen-hang积分中值定理中间点比较及有关平均不等式-数学的实践与认识2005,35(5)中值定理中间点是区间端点的平均.设f(s)、g(x)在同一区间[a,b]内严格单调并可积,P(x)、q(x)恒正可积,按积分中值定理各有唯一的中间点ξf,p(a,b)和ξg,q(a,b).当f递增(减)且f(g-1)凸(凹)时,有ξg,p(a,b)＜ξf,P(a,b);当p(x)/q(x)递增(减)且q(x)∫baP(x)dx＞(＜)0时,有ξf,q(a,b)＜ξf,p(a,b).由此可证明和发现一系列有关平均的不等式.7.期刊论文朱超武.齐春玲.ZHU Chao-wu.QI Chun-ling关于第一积分中值定理的中间点及逆问题的渐近性-三门峡职业技术学院学报2005,4(3)积分中值定理是一元函数微分学的理论基础,也是一元函数微分学通往应用的桥梁,在微积分理论中极其重要.本文深入地讨论了第一积分中值定理的中间点和逆问题的渐近性质,并得出了重要结论.8.期刊论文樊守芳.FAN Shou-fang第二积分中值定理"中间点"渐近性的完善-数学的实践与认识2006,36(11)通过定义第二积分中值函数,用统一的方法继续探讨了第二积分中值定理"中间点"的一些渐近性质,得出一系列新结论,相信在积分学中有着很重要的作用.9.期刊论文朱先军关于积分中值定理"中间点"的渐近性-济宁师范专科学校学报2002,23(6)文[1]给出了当区间长度趋于无穷时积分中值定理"中间点"的渐近性质,本文改进了[1]中主要结果的条件,推广了[1]中的结果.10.期刊论文阮文惠关于积分中值定理"中间点"的渐近性-甘肃教育学院学报(自然科学版)2002,16(4)给出了并证明了减弱条件的积分中值定理"中间点"的渐近性.1.于勇积分第二中值定理"中间值"的渐近性[期刊论文]-攀枝花学院学报（综合版） 2009(3)2.王伟积分第二中值定理"中间点"的渐近性态[期刊论文]-南通大学学报（自然科学版） 2006(2)本文链接：/Periodical_bjwlxyxb200002010.aspx授权使用：中共汕尾市委党校(zgsw)，授权号：1c74d6f3-8947-4f1a-a7f6-9dcc00c77920下载时间：2010年8月8日。

二重积分中值定理数一

二重积分中值定理数一二重积分中值定理是数学中的一条重要定理，它可以帮助我们更好地理解二重积分的基本概念和性质，同时也是计算复杂积分的重要工具之一。

其中的一条数学公式——“二重积分中值定理数一”在二重积分中起到了非常核心的作用，下面我们将围绕这一公式来讲解它的相关内容。

1. 数学公式“二重积分中值定理数一”是什么？在二元连续有界函数$f(x,y)$定义的矩形区域 $D$ 上，存在一点$(\xi,\eta)$，使得$$\frac{1}{S(D)} \iint\limits_{D}f(x,y)dxdy = f(\xi,\eta)$$其中，$S(D)$表示矩形区域$D$的面积。

2. 公式的含义和作用二重积分中值定理数一是一条非常重要的中值定理，它表明在矩形区域（积分区域）上，必定存在一个点$(\xi,\eta)$，使得函数$f(x,y)$在该点处的值等于其在整个矩形区域上的平均值，也就是二重积分的结果。

换言之，这条公式为我们提供了一种计算“平均值”的方法，将一个复杂的积分问题转化为在一个点上求解函数值的问题，从而使得我们的计算更加简单、明了。

3. 具体实例假设我们要计算函数$f(x,y)=xy$在矩形区域$D=[0,2]\times[0,1]$上的平均值，按照二重积分的定义，我们需要计算$I=\frac{1}{S(D)}\iint_Df(x,y)dxdy$。

然而，根据定理，我们知道$I=f(\xi,\eta)$其中点$(\xi,\eta)$是在矩形区域$D$上存在的一点。

那么我们该如何确定$(\xi,\eta)$的值呢？我们可以通过找到该函数在$D$上的极值点来得到答案。

首先，我们计算一下$f(x,y)$在合适的某个区域$D_1$内的最大值和最小值，假设$f(x,y)$在$D_1=[0,1]\times[0,1]$内取得最大值$M$，最小值$m$。

那么我们有$S(D_1)\leq S(D)$，则$\frac{1}{S(D)}\iint_Df(x,y)dxdy\leq\frac{1}{S(D_1)}\iint_{D_ 1}f(x,y)dxdy\leq M$。

二重积分中值定理内容

二重积分中值定理内容二重积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它与定积分有着密切的关系。

在本文中，我们将详细介绍二重积分中值定理的概念、原理以及应用。

一、二重积分中值定理的概念二重积分中值定理是对于二重积分的一个重要性质的描述。

它表明，在某些条件下，一个函数在某个区域上的平均值等于它在该区域上某一点的函数值。

具体来说，设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则存在一点(c,d)∈D，使得二重积分∬Df(x,y)dxdy等于f(c,d)乘以D的面积。

二、二重积分中值定理的原理二重积分中值定理的原理可以通过对二重积分的几何解释来理解。

在平面上，我们可以将闭区域D划分为无限多个小区域，每个小区域可以看作是一个小矩形。

根据二重积分的定义，我们可以将函数f(x,y)在D上的二重积分看作是将函数在每个小矩形上的面积相加得到的。

根据中值定理，存在一个小矩形，它的面积等于D的面积，并且该小矩形上的函数值等于f(x,y)在该点上的函数值。

三、二重积分中值定理的应用二重积分中值定理在实际问题中有着广泛的应用。

下面我们通过两个具体的例子来说明其应用。

例1：求平面区域D上函数f(x,y)的平均值设函数f(x,y)在闭区域D上连续，要求求出f(x,y)在D上的平均值。

根据二重积分中值定理，我们可以先计算出函数f(x,y)在D上的二重积分，然后将其除以D的面积即可得到平均值。

例2：证明平面区域D上的恒等式设函数f(x,y)在闭区域D上连续，要证明恒等式∬Df(x,y)dxdy=0。

根据二重积分中值定理，我们知道存在一个点(c,d)∈D，使得f(c,d)乘以D的面积等于二重积分的值。

由于f(c,d)为常数，因此恒等式成立。

总结：二重积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了函数在闭区域上的平均值与该函数在某一点的函数值之间的关系。

通过二重积分中值定理，我们可以求出函数在闭区域上的平均值，证明一些恒等式等。

二重积分中值定理在实际问题中有着广泛的应用，它为我们解决实际问题提供了一种有效的方法。

定积分第二中值定理

定积分第二中值定理
定积分的第二中值定理是微积分中的重要定理，它是关于定积分的性质之一。

定积分的第二中值定理表述为，如果函数f(x)在区间[a, b]上连续，那么存在一个ξ∈[a, b]，使得定积分∫[a, b]f(x)dx等于函数f(x)在区间[a, b]上的平均值乘以区间的长度(b-a)，即∫[a, b]f(x)dx = f(ξ)(b-a)。

从几何意义上来理解，定积分的第二中值定理可以解释为，在函数f(x)的图像下方与x轴之间的有界区域的平均高度乘以区域的宽度等于定积分的值。

这个ξ就是函数在区间[a, b]上的平均值所对应的横坐标，也就是说，存在这样一个点ξ，使得函数在这一点的函数值等于定积分的平均值。

定积分的第二中值定理可以被看作是定积分的平均值定理的推广，它为我们提供了一种通过平均值来理解定积分的方法。

这个定理在实际问题中有着重要的应用，比如在物理学中，可以用来解释物体在一段时间内的平均速度等问题。

总之，定积分的第二中值定理是微积分中的重要定理，它提供
了定积分与函数平均值之间的关系，有助于我们更深入地理解定积分的性质和应用。

积分中值定理求极限的条件(二)

积分中值定理求极限的条件(二)积分中值定理求极限的条件引言积分中值定理是微积分中非常重要的定理之一，它为我们求解函数的积分提供了一种便捷的方法。

在某些情况下，我们可以利用积分中值定理来求解函数在某一区间上的极限。

本文将探讨积分中值定理求极限的条件。

什么是积分中值定理？积分中值定理是微积分中的基本定理之一，它指出在某一区间上，如果一个函数连续，那么它一定存在一个点，使得在该点处的导数等于函数在整个区间上的平均变化率。

这一点被称为积分中值点。

积分中值定理有两个重要的特殊情况，即拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

拉格朗日中值定理的条件拉格朗日中值定理是积分中值定理的一个特殊情况，它要求函数在某一闭区间上连续，在该闭区间的内部可导。

具体来说，拉格朗日中值定理的条件包括：•函数f(x)在闭区间[a,b]上连续；•函数f(x)在开区间(a,b)内可导。

柯西中值定理的条件柯西中值定理是积分中值定理的另一个特殊情况，它要求函数在某一闭区间上连续，并且存在一个非零的数c，使得c与函数f(x)在闭区间[a,b]上的导数f′(c)成比例。

具体来说，柯西中值定理的条件包括：•函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续；•函数g(x)在闭区间[a,b]上不变为零。

积分中值定理求极限的条件在使用积分中值定理求解函数在某一区间上的极限时，我们需要注意以下条件：1.函数在该区间上连续：这是积分中值定理的基本条件，只有函数在该区间上连续，我们才能够使用积分中值定理来求取极限。

2.函数在该区间的导数存在：只有函数在该区间内可导，我们才能够确定存在积分中值点，进而利用中值定理来求解极限。

结论积分中值定理为我们求解函数的积分提供了一种便捷的方法，并且在某些情况下，我们可以利用积分中值定理来求解函数在某一区间上的极限。

但是，在使用积分中值定理求解极限时，我们需要满足函数在该区间上连续以及在该区间的导数存在这两个条件。

只有在满足这些条件的情况下，我们才能够得出准确的结果。

证明二重积分中值定理

证明二重积分中值定理
《证明二重积分中值定理》
二重积分中值定理是数学中的重要定理，它指出：若f(x,y)在定义域D内连续，则在D内：
∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(x,y)dydx
证明二重积分中值定理，首先要证明它在定义域D内连续。

假设D是一个二维闭区间[a,b]×[c,d]，令x=x(t)，y=y(s)，则有：
∫∫Df(x,y)dxdy=∫bac∫dcsf(x(t),y(s))∥(x'(t),y'(s))∥dtds
由于x(t)和y(s)在[a,b]和[c,d]上连续，而f(x,y)在D内连续，所以f(x(t),y(s))在[a,b]×[c,d]上
连续，故可以把f(x(t),y(s))改写为f(t,s)，有：
∫∫Df(x,y)dxdy=∫bac∫dcsf(t,s)∥(x'(t),y'(s))∥dtds
同理，有：
∫∫Df(x,y)dydx=∫dca∫bdsf(t,s)∥(y'(s),x'(t))∥dsdt
由上面的两式可知：
∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(x,y)dydx
即证明了二重积分中值定理。

综上所述，证明了二重积分中值定理，即若f(x,y)在定义域D内连续，则在D内：
∫∫Df(x,y)dxdy=∫∫Df(x,y)dydx。

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第二积分中值定理若函数()f x 在区间[,]a b 上连续，而()p x 是区间[,]a b 上的单调有界函数，则有点()c a c b ≤≤，使
()()d ()
()d ()
()d b c b
a
a
c
p x f x x p a f x x p b f x x +
-
=+⎰
⎰
⎰
其中()lim ()x a p a p x +
+→=【右极限】，()lim ()x b
p b p x --→=【左极限】。

特别，若()0p a +=，则
()()d ()
()d b b
a
c
p x f x x p b f x x -
=⎰
⎰
()a c b ≤≤
证明前的说明：()p x 是单调有界函数，所以它是可积的，而()()p x f x 作为可积函数的乘积也是可积的。

其次，在下面的证明中，
①不妨认为()0p a +=，否则，令()()()q x p x p a +=-，则()0q a +=，于是由
()()d ()
()d b b
a
c
q x f x x q b f x x -
=⎰
⎰
即
[()()]()d [()()]()d b
b
a
c
p x p a f x x p b p a f x x +
-
+
-=-⎰⎰
，可得一般情形
()()d ()
()d ()
()d b c b
a
a
c
p x f x x p a f x x p b f x x +
-
=+⎰
⎰
⎰
②不妨认为()p x 是单调增加函数，因为若()p x 是单调减小函数，就用[()]p x -替换()p x 。

证首先划分区间[,]a b ，即
01211i i n n a x x x x x x x b --=<<<
<<<<<=
而在每一个小区间1[,]i i x x -上，都存在点1(,)i i i x x ξ-∈，使
1
1()d ()()i i x i i i x f x x f x x ξ--=-⎰
【第一积分中值定理】
于是，1
1()
()d ()()()i i x i i i i i x p f x x p f x x ξξξ--=-⎰
，求和得
1
11
1
()()d ()()()i i n
n
x i
i
i
i
i x i i p f x x p f x x
ξξξ--===
-∑∑⎰
（※）
现在，将左端做变换，即
1
11
1
()()d ()()d ()d i i i i n
n
x b b i
i x x x i i p f x x p f x x f x x --==⎡⎤
=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦∑∑
⎰
⎰⎰
ξξ
1
11
2
()
()d ()()()d i n
b
b
i
i a
x i p f x x p p f x x ξξξ--=⎡⎤=+
-⎣⎦∑⎰
⎰
因为()p x 是单调增加函数且()()0p x p a +≥=，所以11()0,()()0i i p p p ξξξ-≥-≥；再用m 和
M 分别表示函数()()d b
x
F x f x x =
⎰
()a x b ≤≤的最小值和最大值，则
1
1()()d i i n
x i
x i p f x x ξ-=∑⎰
112
()()()n
i
i i p m p p m
ξξξ
-=⎡⎤≥+
-⎣⎦∑()n p m ξ= 1
1
()()d i
i n
x i
x i p f x x ξ-=∑⎰
112
()()()n
i
i i p M p p M
ξξξ
-=⎡⎤≤+
-⎣⎦∑()n p M ξ=
于是，根据式(※)，就得到估计式
11
()()()()()n
n i
i
i
i n i p m p f x x
p M ξξξξ-=≤
-≤
∑
让最大小区间的长度0n
x
∆→，注意到()()n p p b -→ξ，则得
()()()d ()b a
p b m p x f x x p b M -
-≤
≤⎰
若()0p b -
=，则
()()d 0b a
p x f x x =⎰
，可任意取[,]c a b ∈；若()0p b ->，则
1
()()d ()
b
a
m p x f x x M p b -≤
≤⎰
根据连续函数的介值定理，必有点()c a c b ≤≤，使1
()()()d ()
b
a
F c p x f x x p b -=
⎰
,即
()()d ()()()
()d b
b
a
c
p x f x x p b F c p b f x x --=
=⎰
⎰
注：在估计两函数乘积的积分时，第二积分中值定理是有用的。

譬如，若函数()f x 在区间
[,]-ππ上满足狄利克雷条件，则它的傅里叶系数k a 和k b 满足
,k k M M
a b k k
≤≤
(1,2,)k = 其中M 为正常数。

事实上，因为区间[,]-ππ可被分成有限个子区间，而()f x 在每一个子区间[,]a b 上是单调有界函数，所以只要证明在[,]-ππ的子区间[,]a b 上有上面的估计式就可以了。

根据第二积分中值定理，则有
1
1()cos d ()
cos d ()
cos d b c b k a
a
c
a f x kx x f a kx x f
b kx x +-
⎡
⎤
=
=+⎢⎥ππ⎣
⎦
⎰
⎰
⎰
1sin sin sin sin ()()kc ka kb kc f a f b k k +---⎡⎤=
+⎢⎥π⎣⎦
因此，
sin sin sin sin 1()()k kc ka kb kc a f a f b k k +-⎡++⎤≤
+⎢⎥π⎣⎦2()()M f a f b k k +-⎡⎤≤+=⎣⎦π 同理k M
b k ≤。