二重积分的概念及性质

∫∫ D
2 3 R − x − y dσ = πR . 3
2 2 2
12
9.1 二重积分的概念与性质
二重积分的物理意义？？ 二重积分的物理意义？？ 平面薄片D的质量 平面薄片 的质量 它的面密度 µ ( x , y )在薄片 上的二重积分 在薄片D上的二重积分 上的二重积分, 即
M = ∫∫ µ( x, y)dσ .
11
9.1 二重积分的概念与性质
例 设D为圆域 x + y ≤ R 为圆域
2 2
2
z
二重积分 ∫∫
D
R 2 − x 2 − y 2 dσ
D
x
R
O
=
y
2 2 2 解 z = R − x − y 是上半球面
由二重积分的几何意义可知 上述积分等于 二重积分的几何意义可知, 可知 上半球体的体积: 上半球体的体积
9.1 二重积分的概念与性质
三、二重积分的性质
（二重积分与定积分有类似的性质） 二重积分与定积分有类似的性质） 性质1 性质1
∫∫ [ f ( x , y ) ± g( x , y )]dσ
D
= ∫∫ f ( x , y )dσ ± ∫∫ g ( x , y )dσ .
D D
性质2 性质2
为常数时， 当k为常数时，
∆ V i ≈ f (ξi ,ηi )∆σi
5
9.1 二重积分的概念与性质
(3) 求和 求n个小平顶柱体体积之和 个小平顶柱体体积之和 即得曲顶柱体体积的近似值: ∑ f (ξi ,ηi )∆σi 即得曲顶柱体体积的近似值 i =1 n V ≈ ∑ f (ξi ,ηi )∆σi i =1 (4) 取极限 令n个子域的直径中的最大值 记 个子域的直径中的最大值(记 个子域的直径中的最大值 趋于零, 作λ)趋于零 上述和式的极限即为曲顶柱体体积 趋于零 上述和式的极限即为曲顶柱体体积
将 闭 区 域 D 任 意 分 成 n 个 小 闭 区 域 ∆σ 1 ， 个小闭区域， ∆ σ 2 , L， ∆ σ n ，其中 ∆ σ i 表示第 i 个小闭区域， 也表示它的面积， 也表示它的面积， 的面积 在每个 ∆ σ i 上任取一点(ξ i ,η i ) ， 作乘积 并作和
f (ξ i ,η i ) ∆ σ i ，
(2)当 f ( x , y ) 在闭区域上连续时，定义中和式 当 在闭区域上连续 连续时 的极限必存在，即二重积分必存在. 的极限必存在，即二重积分必存在
连续函数一定可积
9.1 二重积分的概念与性质
3. 二重积分的几何意义 (1) 当 f ( x, y) ≥ 0时,二重积分是 柱体体积 柱体体积; (2) 当 f ( x, y) < 0时,二重积分是 柱体体积的负值 柱体体积的负值; (3) 当f (x, y)在D上的若干部分区域上是正的 上的若干部分区域上是正的, 在 上的若干部分区域上是正的 在 上 而在其他的部分区域上是负的 而在其他的部分区域上是负的. 那么， f (x, y)在D上 这些部分区域上的 部分区域上的柱体体积的 的二重积分就等于 这些部分区域上的柱体体积的 代数和. 代数和
不作计算， 例 1 不作计算，估计 I = ∫∫ e
D
( x2 + y2 )
的值， dσ 的值，
x2 y2 是椭圆闭区域： 其中 D 是椭圆闭区域： 2 + 2 = 1 a b
(0 < b < a ).
解
区域 D 的面积σ = abπ ,
在 D上
Q0 ≤ x + y ≤ a
2 2
0 x2 + y2
2 2
(用 ∆σ i 表示第i个子域的面积 相应地此曲顶 用 表示第 个子域的面积). 个子域的面积 柱体分为n个小曲顶柱体 柱体分为 个小曲顶柱体. 个小曲顶柱体 (2) 取近似 在每个子域内任取一点
(ξ i ,η i ) ∈ ∆σ i
i = 1,2,3,L , n
第i个小曲顶柱体的体积的近似式 个小曲顶柱体的体积的近似式
9.1 二重积分的概念与性质
性质5的推论： 性质5的推论： （2） ）
∫a f ( x )dx ≤ ∫a
b
b
f ( x )dx . ( a < b )
性质6 性质6
设 M 及 m 分别是函数
f ( x ) 在区间[a , b]上的最大值及最小值， 上的最大值及最小值，
则 m ( b − a ) ≤ ∫a f ( x )dx ≤ M ( b − a ) .
1 ( x = y = 0) 在 D 上 f ( x , y ) 的最大值 M = 4 1 1 f ( x , y ) 的最小值 m = ( x = 1, y = 2) = 2 2 5 3 +4 2 2 故 ≤I≤ 5 4
9.1 二重积分的概念与性质
例 3 判断
r ≤ x + y ≤1
∫∫ ln( x
9.1 二重积分的概念与性质
9.1 二重积分的概念与性质
性质1 性质1
∫a [ f ( x ) ± g ( x )]dx = ∫a f ( x )dx ± ∫a g ( x )dx .
b
b
bFra Baidu bibliotek
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 此性质可以推广到有限多个函数作和的情况） 性质2 性质2 性质3 性质3
的面积， 的面积，则在 D 上至少存在一点(ξ ,η )使得 ∫∫ f ( x , y )dσ = f (ξ, η) ⋅ σ
D
性质７ 性质７ 设函数 f ( x, y)在闭区域D上连续，σ 为D 上连续，
（二重积分中值定理） 二重积分中值定理）
9.1 二重积分的概念与性质
mσ ≤
∫∫ D
f ( x , y )d σ ≤ M σ
∫∫ kf ( x , y )dσ =k ∫∫ f ( x , y )dσ .
D D
9.1 二重积分的概念与性质
性质３ 性质３ 对区域具有可加性 ( D = D1 + D2 )
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ + ∫∫ f ( x , y )dσ .
D D1 D2
b
9.1 二重积分的概念与性质
性质7（定积分中值定理） 性质7 定积分中值定理）
上连续， 如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b]上连续，
则在积分区间[a , b ]上至少存在一个点 ξ ，
使 ∫a f ( x )dx = f (ξ )(b − a ) .
b
(a ≤ ξ ≤ b)
积分中值公式
D
n
步骤如下： 步骤如下：
z = f ( x, y)
o
•
y
(ξi ,ηi )
∆σ i
曲顶柱体的体积 V = lim ∑ f (ξ i ,ηi )∆σ i . λ →0
λ→
i =1
取极限
9.1 二重积分的概念与性质
(1) 分割 将域 任意分为 个子域 将域D任意分为 任意分为n个子域
∆σ 1 , ∆σ 2 ,L , ∆σ n
D D
f ( x , y ) dσ .
9.1 二重积分的概念与性质
性质６ 性质６ 设 M 、 m 分别是 f ( x , y ) 在闭区域 D 上的 最大值和最小值， 的面积， 最大值和最小值，σ 为 D 的面积，则
m σ ≤ ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ Mσ
D
（二重积分估值不等式） 二重积分估值不等式）
D
9.1 二重积分的概念与性质
在直角坐标系下 用平行于坐标轴的直线网 来划分区域D 来划分区域D， 则面积元素为 dσ = dxdy 故二重积分可写为
y
D
o
x
∫∫ f ( x, y)dσ =∫∫ f ( x, y)dxdy D D
9.1 二重积分的概念与性质
三、二重积分的性质
复习：定积分的性质 复习：
( i = 1,2,L , n ) ，
∑ f (ξ i ,η i )∆σ i ，
i =1
n
9.1 二重积分的概念与性质
如果当各小闭区域的直径中的最大值λ 趋近于零 时，这和式的极限存在，则称此极限为函数 上的二重积分 二重积分， f ( x , y )在闭区域 D 上的二重积分， 记为 ∫∫ f ( x , y )dσ ，
9.1 二重积分的概念与性质
例 4 比较积分 ∫∫ ln( x + y )dσ 与 ∫∫ [ln( x + y )]2 dσ
性质４ 性质４ 若 σ 为D的面积， = ∫∫ 1 ⋅ dσ = ∫∫ dσ . 的面积， 的面积 σ
D D
性质５ 若在D上 性质５ 若在 上 f ( x , y ) ≤ g ( x , y ), 则有 ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ ∫∫ g ( x , y )dσ .
D D
特殊地
∫∫ f ( x , y )dσ ≤ ∫∫
取典型小块， 取典型小块，将其近似 看作均匀薄片， 看作均匀薄片，取近似 所有小块质量之和
(ξ i ,ηi )
取极限
•
∆σ i
λ →0
x n 求和 o 近似等于薄片总质量 M = lim ∑ ρ (ξi ,ηi )∆σ i .
i =1
9.1 二重积分的概念与性质
二、二重积分的概念
定义 上的有界函数， 设 f ( x , y ) 是有界闭区域 D 上的有界函数，
第9 章 重
z
积 分
O
x
y
9.1 二重积分的概念与性质
9.1 二重积分的概念与性质 二重积分的概念与性质
double integral
问题的提出 二重积分的概念 二重积分的性质 小结 思考题 作业
第9 章 重 积 分
2
9.1 二重积分的概念与性质
一、问题的提出
１．曲顶柱体的体积 柱体体积=底面积× 柱体体积=底面积× 高 特点：平顶. 特点：平顶.
2
,
2
∴1 = e ≤ e ≤e , 由性质 6 知 σ ≤ ∫∫ e ( x + y ) dσ ≤ σ ⋅ e a ,
a2
abπ ≤ ∫∫ e
D
(x +y )
2 2
dσ ≤ abπe . π
a2
D
9.1 二重积分的概念与性质
mσ ≤
∫∫ D
f ( x , y )d σ ≤ M σ
dσ 的值， 例 2 估计 I = ∫∫ 的值， 2 2 x + y + 2 xy + 16 D 其中 D： 0 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 2 . ： 1 , 区域面积σ = 2 , 解 Q f ( x, y) = 2 ( x + y ) + 16
z = f ( x, y)
柱体体积= 柱体体积=？ 特点：曲顶. 特点：曲顶.
D
9.1 二重积分的概念与性质
分割 先分割曲顶柱体的底， 先分割曲顶柱体的底，z 并取小区域， 并取小区域， 用若干个小平 用若干个小平 顶柱体体积之 和近似表示曲 和近似表示曲 取近似 顶柱体的体积， x 柱体的体积， 求和
性质5 如果在区间[a , b]上 f ( x ) ≥ 0， 性质5
则 ∫ f ( x )dx ≥ 0 . ( a < b )
性质5的推论(1) 性质5的推论(1)
如果在区间[a , b ]上 f ( x ) ≤ g ( x ) ，
则 ∫a f ( x )dx ≤
b
∫a g ( x )dx .
b
(a < b)
2
的符号. + y )dxdy 的符号
2
解
当 r ≤ x + y ≤ 1时, 0 < x 2 + y 2 ≤ ( x + y )2 ≤ 1,
故
ln( x + y ) ≤ 0 ;
2 2
又当 x + y < 1时,
ln( x 2 + y 2 ) < 0,
2
于是
r ≤ x + y ≤1
∫∫ ln( x
2
+ y )dxdy < 0.
n
n
V = lim ∑ f (ξi ,ηi )∆σ i
λ→0
i =1
6
9.1 二重积分的概念与性质
２．求平面薄片的质量
设有一平面薄片， 设有一平面薄片 ， 占有 xoy 面上的闭区域 D ， 在点 ( x , y ) 处的面密度为 ρ ( x , y ) ， 假定 ρ ( x , y ) 在 D 上连续 ，平面薄片的质量为多少？ 上连续，平面薄片的质量为多少？ 将薄片分割成若干小块， y 将薄片分割成若干小块，分割
b
∫a kf ( x )dx = k ∫a f ( x )dx
假设a < c < b
c b
b
b
为常数). ( k 为常数
∫a f ( x )dx = ∫a f ( x )dx + ∫c
f ( x )dx .
9.1 二重积分的概念与性质
性质4 性质4
∫a 1 ⋅ dx = ∫a
b a
b
b
dx = b − a .
D
即 ∫∫ f ( x , y )dσ = lim ∑ f (ξ i ,η i )∆σ i .
D
n
λ → 0 i =1
积 分 区 域
被 积 函 数
积 分 变 量
被 积 表 达 式
面 积 元 素 积 分 和
9.1 二重积分的概念与性质
对二重积分定义的说明： 对二重积分定义的说明：
(1) 在二重积分的定义中，对闭区域的划分是任 在二重积分的定义中， 意的,闭区域内的点是任意取的. 意的 闭区域内的点是任意取的 闭区域内的