二重积分的概念及性质
二重积分的概念与性质
b
n
f (i )xi ———积分和.
i 1
n
下页
二、定积分定义
定积分的定义
lim f (i )xi . a f (x)dx 0
i1
b
n
根据定积分的定义, 曲边梯形的面积为 A f (x)dx . a 变速直线运动的路程为 S T v(t)dt .
i 1 i 1 b n n b
下页
•定积分的几何意义 当f(x)0时, f(x)在[a, b]上的定积分表示由曲线yf(x)、直 线xa、xb与x轴所围成的曲边梯形的面积.
一般地, f(x)在[a, b]上的定积分表示介于x轴、曲线yf(x) 及直线xa、xb之间的各部分面积的代数和.
0 i 1
n
A lim f ( i )xi .
0 i 1
n
下页
2.变速直线运动的路程
已知物体直线运动的速度vv(t)是时间 t 的连续函数, 且 v(t)0, 计算物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程S.
(1)分割: T1t0<t1<t2< <tn1<tnT2, tititi1; (2)近似代替: 物体在时间段[ti1, ti]内所经过的路程近似为 Siv(i)ti ( ti1< i<ti ); (3)求和: 物体在时间段[T1, T2]内所经过的路程近似为
b
a f (x)dx a g(x)dx (a<b).
•推论2 | f (x)dx | | f (x) | dx (a<b). a a •性质6 设M及m分别是函数f(x)在区间[a, b]上的最大值及最 小值, 则
b b
b
b
二重积分的概念与性质
2.二重积分的概念
定义 设函数 f (x, y) 是有界闭区域 D上的有界函数，
用任意一组曲线网分割D成
n
个小区域
Δσ1
,
Δσ
2
,,
Δσ
，
n
Δσi 既表示第i小块, 也表示第i 任取一点 (ξi , ηi ) Δσi , 作和式
小区域的面积.
n
f (ξi , ηi )Δσ
i
在
.
Δσ
i
上
记
D
D
(2) (数乘性) kf (x, y)dσ k f (x, y)d
D
(k为常数).
D
D
(3) (区域可加性) f ( x, y)dσ f (x, y)dσ f (x, y)dσ.
D1 D2
D1
D2
(4) (单调性) 若在D上处处有f (x,y)≤g(x,y)， 则有
思考题解答
定积分与二重积分都表示某个和式的极限 值，且此值只与被积函数及积分区域有关．不 同的是定积分的积分区域为区间，被积函数为 定义在区间上的一元函数，而二重积分的积分 区域为平面区域，被积函数为定义在平面区域 上的二元函数．
练习题
一、 填空题: 1. 当函数 f ( x, y)在闭区域 D 上______________时, 则其在 D 上的二重积分必定存在 .
y y0 )2 2
,
其中f ( x, y)为连续函数.
Solution.
原式
lim
ρ0
1 πρ
2
f (ξ, η) πρ2（积分中值定理）
lim f ( ,)
0
lim f ( ,)
二重积分知识点
二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。
二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。
本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。
二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。
若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。
2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。
三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。
4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。
二重积分的概念与性质
(2)二重积分与被积函数和积分区域有关，与积分变量 的表示无关。即
f x, ydxdy f u,vdudv
D
D
(3)二重积分的几何意义：若f(x, y)0,二重积分表示以 f(x, y)为曲顶，以Байду номын сангаас为底的曲顶柱体的体积；若f(x, y)0,二 重积分表示曲顶柱体的体积的负值；当f(x, y)有正、有负时， 二重积分就等于这些区域上柱体体积的代数和。
存在，则称此极限为函数f(x, y)在区域D上的二重积分，记作
f x, yd ，即
D
n
D
f x, yd
lim 0 i1
f
i ,i k
关于二重积分的几点说明: (1)当f(x, y)在闭区域D上连续时， f(x, y) 在D上的二重积 分必定存在。以后总假定f(x, y)在D上连续。
高等数学
二重积分的概念与性质
一、二重积分的定义
定义 设f(x, y)是有界闭区域D上的有界函数．将D任意分成 n个小区域Δσ1，Δσ2，…，Δσn，小区域Δσi的面积仍记为
n
Δσi．在Δσi内任取一点(ξi, ηi)，作和式 f (i ，i )i 。 i 1
如果当各小区域中的最大直径λ趋于零时，若此和式的极限
f x, yd f x, yd f x, yd
D
D1
D2
性质4 若在D上，f(x, y)=1，σ为区域D的面积，则
1d = d
D
D
性质5 若在D上，f(x, y) σ(x, y)，则有不等式
f x, yd x, yd
D
D
特殊地,由于-|f(x, y)| f(x, y) |-f(x, y)| ， 又有
二、二重积分的性质
二重积分的概念及性质
∬_D [af(x,y)+bg(x,y)]dxdy = a∬_D f(x,y)dxdy + b∬_D g(x,y)dxdy
2
面积加法
∬_D [f(x,y)+g(x,y)]dxdy = ∬_D f(x,y)dxdy+∬_D g(x,y)dxdy
3
积分可交换
与积分上下限无关：
∬_D[f(x,y)+g(x,y)]dxdy = ∬_D f(x,y)dxdy + ∬_D g(x,y)dxdy
极坐标下的二重积分
轮换对称性
交换二重积分中的积分极限 和被积函数中的变量，可得 到相同的结果。
转化公式
从直角坐标系转化为极坐标 系的公式为：
∬_D f(x,y)dxdy = ∬_D f(r*co sθ, r*sinθ)rd rd θ
相关例题
可以将某个区域在直角坐标 系中的极坐标方程转换成在 极坐标系下的积分形式。
对二重积分的符号化表示
累加表示
二重积分可以通过累加的方式求 解即：
∬_D f(x,y)dxdy = ∆ x ∆ y Σ f(x_i, y_j)
积分表示
二重积分可以用积分符号表示如 下：
∬_D f(x,y)dxdy = ∫ ∫ _D f(x,y)d A
计算方法
按照累加或积分的方式计算。
基本性质
1
线性性
总结
本次讲座全面介绍了二重积分的定义及性质、极坐标下的二重积分，坐标变 换下的二重积分，以及应用。相信我们的学生已经得到了充分的掌握。
极坐标与直角坐标之间的 转换
常用在圆、椭圆、其他轮换面 上等的二重积分中转换。
弧坐标与直角坐标之间的 转换
用于圆周上对于弧长的积分的 计算及二重积分的变换。
二重积分极限表达式
二重积分极限表达式二重积分是高等数学中的一个重要概念。
它在物理、工程、经济学和其他领域中都有着广泛的应用。
当我们谈论二重积分时，我们通常会把它看作是一个求取平面区域上某个量的积分的过程。
因此，掌握一些有关二重积分极限表达式的知识对于我们深入理解二重积分的概念至关重要。
以下是一些关于二重积分极限表达式的基本概念：一、二重积分的定义二重积分的定义是：设D为平面上有界区域，f(x,y)是定义在D上的函数，则在D上的二重积分可以表示为：∬Df(x,y)dσ其中dσ是表示平面微元的面积元素。
二、二重积分的性质二重积分有一系列的性质，这些性质能够帮助我们更好地理解二重积分的概念。
以下是几个重要的性质：1. 线性性质二重积分具有线性性质，即若f和g是D上的二重可积函数，c为常数，则有：∬D(cf+g)dσ = c∬Df(x,y)dσ + ∬Dg(x,y)dσ2. 积分区域的可加性若D可以分为两个互不相交的有界区域D1和D2，则有：∬Df(x,y)dσ = ∬D1f(x,y)dσ + ∬D2f(x,y)dσ3. 积分顺序的可交换性如果f(x,y)在D上连续，那么积分的顺序是可以交换的，即：∬Df(x,y)dσ = ∬a^b∬c^df(x,y)dydx = ∬c^d∬a^bf(x,y)dxdy三、二重积分极限表达式的基本概念在二重积分中，极限表达式是非常重要的一部分。
极限表达式可以帮助我们更好地理解二重积分的概念。
以下是一些基本的极限表达式：1. 上限为无穷大的积分如果D的上界是无穷大，那么二重积分的极限表达式可以表示为：limR→+∞∬Df(x,y)dσ这里R表示D的半径（即D中距离原点最远的点的距离）。
2. 重心与积分中平均值的关系对于D上的二重积分，假设M(x1,y1)是D的重心。
如果f(x,y)在D上可积，那么有：f(M) = (1/|D|)∬Df(x,y)dσ其中|D|表示D的面积。
3. 积分区域的划分对于任何一个平面区域D，我们都可以通过划分D的方法，将D划分为若干个小的平面区域。
二重积分的概念及性质
积分区域的可加性
该性质可以用于简 化复杂的积分区域， 将复杂区域分解为 简单区域进行计算。
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则 它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二 重积分。即，如果D=D1∪D2，则 ∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
二重积分的概念
二重积分的计算方法是通过将区域划分为一系列小的矩形或平行四边 形，然后计算每个小区域的面积并求和。 二重积分是定积分的一种扩展，它涉及到两个自变量的积分。在二维 平面中，二重积分表示一个函数在某个区域上的面积。
二重积分的几何意义
如果函数在某个区域上取负值，那么二重积分表示该函数与该区 域围成的区域的面积的负值。 二重积分的几何意义是二维平面上的面积。具体来说，如果一个 函数在某个区域上非负，那么二重积分表示该函数与该区域围成 的面积。
得出结果
将所有小矩形的积分结果相加，得到整个矩形区 域上的二重积分值。
转换坐标 将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。 分层积分 将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。 逐个计算 对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。 得出结果 将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。 极坐标下的二重积分计算
任意形状区域
对于任意形状的平面区域，可以通过分割成若干 个小区域，对每个小区域进行积分，然后将结果 相加得到总面积。
平面曲线段的长度计算
直线段
对于直线段，其长度即为该直线的方程在给定区间上的积分。
圆弧
高等数学：第一讲 二重积分的定义与性质
o
x
D
•
y
(i ,i )
则称 f ( x, y) 可积 , 称 I 为 f ( x, y) 在D上的二重积分.
i
积分和
二重积分的定义
被积函数 积分区域
积分表达式
x , y 称为积分变量
面积元素
二重积分的定义
注1： 若用平行坐标轴的直线来划分区域 D ，则有 y
因此，面积元素 常记作 d x d y, 二重积分记作
D f ( x, y)dxd y.
O
注2： 对比曲顶柱体体积的求法和二重积分的定义可知
V D f ( x, y)d D f ( x, y)d x d y
D i
x
二、二重积分的性质
性质1
k f (x, y)d k f (x, y) d ( k 为常数)．
D
D
性质2
[ f (x, y) g(x, y)]d
例1
利用二重积分的性质，比较下列二重积分的大小：
I1 x y2 d x d y, I2 x y3 d x d y
D
D
其中D是由 x 轴，y 轴以及直线 x y 1 围成，
则 I1 _____ I2 . y 1 x y 1
D
O
1x
二重积分的保号性
0 x y1
( x y)2 ( x y)3
二重积分的 定义与性质
一、二重积分的定义
定义: z f ( x, y)是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ，将区域 D 任意
z
分成 n 个小闭区域
f (i ,i ) •
z f (x, y)
任取一点 (i ,i ) i
记
ห้องสมุดไป่ตู้
二重积分的概念及性质
二重积分的概念及性质前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。
下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。
二重积分的定义设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；(3)把所有这些乘积相加,即作出和数(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:即：=其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.关于二重积分的问题对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。
上述就是二重积分的几何意义。
如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。
二重积分的性质(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.(3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:≤(5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使其中σ是区域(σ)的面积.二重积分的计算法直角坐标系中的计算方法这里我们采取的方法是累次积分法。
也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。
为此我们有积分公式，如下：或在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？累次积分上下限的确定方法我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域(σ)内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于y轴(或x 轴)的直线,且此直线交(σ)的边界不超过两点，那末称(σ)为沿y轴(x轴)方向的正规区域.如果(σ)即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域,那末(σ)就称为正规区域.下图所示的即为正规区域:关于累次积分上下限的取法如下所述:(1).如果(σ)为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y的积分下限是(σ)的下部边界曲线所对应的函数y1(x)，积分上限是上部边界曲线所对应的函数y2(x).对x的积分下限与上限分别是(σ)的最左与最右点的横坐标a与b.(2).如果(σ)为沿x轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是(σ)的左部边界曲线所对应的函数x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数x2(y).对y的积分下限与上限分别是(σ)的最低与最高点的横坐标c与d.(3).如果(σ)为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。
二重积分形心公式使用条件
二重积分形心公式使用条件摘要：一、二重积分的概念和性质1.二重积分的定义2.二重积分的性质二、二重积分形心公式1.形心公式的推导2.形心公式的一般形式三、使用条件1.积分的区域2.函数的限制条件正文：二重积分是数学中的一种积分方法，用于求解空间内某一物理量的分布情况。
在二重积分中，我们需要对一个曲面上的函数进行积分。
为了更好地理解二重积分，我们先来回顾一下它的概念和性质。
二重积分是一个矢量场在某个曲面上的积分。
它的定义可以表示为：∫∫_D f(x, y, z) dV其中，D 表示积分的区域，是一个由x, y, z 坐标轴所围成的三维区域。
f(x, y, z) 表示曲面上的函数。
dV 表示微小体积的体积元。
二重积分具有以下几个性质：1.线性性质：对任意常数c，有∫∫_D (cf(x, y, z)) dV = c∫∫_D f(x, y, z)dV2.保号性：当f(x, y, z) > 0 时，∫∫_D f(x, y, z) dV > 0；当f(x, y, z) < 0 时，∫∫_D f(x, y, z) dV < 03.可积性：若f(x, y, z) 在D 内连续，则二重积分∫∫_D f(x, y, z) dV 存在二重积分形心公式是求解二重积分的一种方法。
形心公式是将二重积分转化为一个关于形心的单积分。
形心公式的一般形式为：∫∫_D f(x, y, z) dV = _S f(x, y, z) dS其中，S 表示曲面的表面积，dS 是曲面上的微小面积元。
使用形心公式求解二重积分需要满足以下条件：1.积分的区域：二重积分的区域D 必须是一个由x, y, z 坐标轴所围成的闭合区域。
2.函数的限制条件：函数f(x, y, z) 在区域D 内连续，且在曲面S 上非负。
总之，二重积分形心公式是一种求解二重积分的有效方法。
在使用形心公式时，需要确保积分区域和函数满足一定的条件。
二重积分的概念与性质
四、小结
和式的极限） 二重积分的定义 （和式的极限） （曲顶柱体的体积） 二重积分的几何意义 曲顶柱体的体积）
二重积分的性质（7条性质） 二重积分的性质
∫∫ f ( x , y )dσ = D
f ( ξ , η) σ
（二重积分中值定理） 二重积分中值定理）
利用二重积分的几何意义， 例2 利用二重积分的几何意义，确定下列二重积分 的值： 的值：
∫∫
D
4 x y dxdy , 其其 D = {( x , y ) x + y ≤ 2}
2 2 2 2
= ∫∫ f ( x , y )dσ ± ∫∫ g ( x , y )dσ .
D D
性质３ 性质３ 对区域具有可加性 ( D = D1 + D2 )
∫∫ f ( x , y )dσ = ∫∫ f ( x , y )dσ + ∫∫ f ( x , y )dσ .
D D1 D2
性质４ 性质４ 若 σ 为D的面面积 σ
D D
性质５ 若在D上 性质５ 若在 上 f ( x , y ) ≤ g ( x , y ), 则有 ∫∫ f ( x , y )dσ ≤ ∫∫ g ( x , y )dσ .
D D
练习： 练习：
比较下列各组积分的大小： 比较下列各组积分的大小：
(1) I 1 = ∫∫ ( x + y )2 dxdy , I 2 = ∫∫ ( x + y )3 dxdy
分割、 求曲顶柱体的体积采用 “分割、求和 取极限”的方法，如下动画演示． 、取极限”的方法，如下动画演示．
分割、近似、 求曲顶柱体的体积采用 “分割、近似、 求和、取极限”的方法，如下动画演示． 求和、取极限”的方法，如下动画演示．
二重积分的概念与性质
第九章 重积分Chapter 9 Multiple Integrals9.1 二重积分的概念与性质 (The Concept of Double Integrals and Its Properties) 一、二重积分的概念 (Double Integrals)定义 ( 二重积分的定义 ) 设 D 是xy 平面的有界闭区域 ,f 是定义在 D 上的函数。
将 D 任意分成 n 个小区域i σ,它们的面 积用(1,2,)i i n σ∆= 表示。
在每个(1,2,)i i n σ=上任取一点(,)i i ξη，并作和1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。
假设存在一个确定的数I 满足：任给0ε>，存在0δ>，使得当各小区域i σ的直径中的最大值λ小于δ时，就有 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑ 不管区域D 的分法如何，(,)i i ξη的取法如何。
这样就称f 在D 上可积，I 称为f 在D上的二重积分，记作(,)Df x y d I σ=⎰⎰或01(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d fDefinition (The Double Integral) Let D be a bounded closed region in the 巧1 plane and f a function defined on D. Partition D arbitrarily into ｎsubregionsi σ，whose area is denoted by (1,2,)i i n σ∆= Choose arbitrarily a point (,)i i ξηin (1,2,)i i n σ= and then form the sum 1(,)ni i i i f ξησ=∆∑。
Supposethat there exists a fixed number I such that for any 0ε>, there exists a0δ>such that if the length λ of the longest diameter of those subregionsi σ in a partition of D is less than δ, then 1(,)ni i i i f I ξησε=∆-<∑，no matter how the partition is and how those points (,)i i ξηare chosen from (1,2,)i i n σ= Then f is said to be integrable over Dand I is the double integral of f over D ,written (,)Df x y d I σ=⎰⎰,or1(,)lim (,)λσξησ→==∆∑⎰⎰ni i i i Df x y d f 二、二重积分的性质 (Properties of Double Integrals)性质 1 两个函数和 ( 或差 ) 的二重积分等于它们二重积分的和 ( 或差 ), 即((,)(,))(,)(,)DDDf x yg x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰.Property 1 The double integral of the sum(or difference) of two functions is equal to the sum( or difference) of their double integrals, that is((,)(,))(,)(,)D D D f x y g x y d f x y d g x y d σσσ±=±⎰⎰⎰⎰⎰⎰性质 2 被积函数前面的常数因子可以提到积分号前面 , 即 (,)(,)D D kf x y d k f x y d σσ=⎰⎰⎰⎰,若k 为常数。
二重积分的概念和性质
f (x, y)dxdy 即
R
f (x, y)d f (x, y)dxdy
R
R
⑵根据二重积分的定义，曲顶柱体的体积是：
V f (x, y)d
R
⑶函数 f (x, y) 在闭区域 R 上连续，则 f (x, y) 在 R 上
的二重积分必定存在.
⑷二重积分仅与积分区域R 和 f (x, y) 有关，而与对 区域 R 的分法和(i ,i ) 的取法无关.
平顶柱 体的体积
=底面积（区域 D的面积）×高（ z f (x, y) 为常数）
请回忆在微积分上册解决曲边梯形面积的思想分析方法
z
z
x
D
y
x
i
D
y
(i ,i )
曲顶柱体体积 V ：
⑴分割：D 1 2 n
V V1 V2 Vn
i 为 Vi 的窄条曲顶柱体的底，d i 为 i 的直径
R
R {(x, y) 0 x 2,0 y 4}
解：⑴在区域R上有：0 xy 2 （此处严格的找法
应该按照二元函数在有界闭区域上最值的找法 去做），根据积分性质
0 SR 2xyd 4 SR
R
而 SR 2 ，所以：
0 xyd 8
R
⑵的解法同⑴
例3：试将下列区域 R 用 x, y 的不等式组形式表示 出来，并写成集合形式
⑴
y 2x yx
R
R (x, y) 0 x 2, x y 2x
⑵
y x2 / 4 1
y 2x
R
6
2
2
x2
R
二重积分的概念与性质
在直角坐标系下用平行 于坐标轴的直线网来划分 区域D，
D
o x
则面积元素为
d xy dxdy
故二重积分可写为
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy D D
注2
二重积分的几何意义：
当函数z=ƒ(x,y)在区域D上连续且ƒ(x,y) ≥0时,二重积分
f ( , , ) V
( 三重积分中值定理 )
例1. 不作计算 , 估计积分 I
e
D
( x2 y2 )
d 的值 .
x2 y2 其中 D 是椭圆闭区域 : 2 2 1( 0 b a ) a b
解: 区域 D 的面积 a b ,
b
2
在 D上, 0 x y a ,
性质２
[ f ( x , y ) g ( x , y ) ] d D f ( x , y ) d g ( x , y ) d
D D
.
性质 3: 对区域具有可加性
( D D1 D2 )
f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x, y )d .
D
f ( , ) d f ( , ) s
D
( 二重积分中值定理 )
( 性质 7 ) 设函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 上连续 , V 为 的体积 , 则在 上至少存在一点 ( , , ) 使得
f ( x , y , z ) d v
D
f ( x , y )d
D
z f ( x, y)
表示以曲面z=ƒ(x,y)为顶,以区域D 为底的 曲顶柱体之体积.
二重积分变换次序
二重积分变换次序（原创实用版）目录一、二重积分的概念与性质二、二重积分的积分次序三、交换积分次序的依据四、实际应用案例正文一、二重积分的概念与性质二重积分是多元函数积分中的一种，它是对一个函数在空间中曲面上的取值进行积分。
假设函数 f(x,y) 在区域 D 上有界，D 的边界是由曲线 C1 和 C2 围成的，那么我们可以对 f(x,y) 在 D 上进行二重积分。
二重积分的定义为：∫∫_D f(x,y) dxdy根据积分区域的不同，二重积分可以分为两类：第一类是区域 D 由两个相交的曲线围成；第二类是区域 D 由两个平行的曲线围成。
二重积分具有以下性质：1.线性性质：如果 F(x,y) 是由两个函数相加或相乘得到，那么对F(x,y) 进行二重积分，结果等于各个函数二重积分的线性组合。
2.保号性：如果 f(x,y) 在区域 D 上非负，那么∫∫_D f(x,y) dxdy ≥ 0。
二、二重积分的积分次序在计算二重积分时，我们需要按照一定的次序进行积分。
通常的做法是先对 x 进行积分，再对 y 进行积分，即：∫∫_D f(x,y) dxdy = ∫[∫_C f(x,y) dy] dx这里，我们首先对曲线 C1 上的 y 进行积分，然后再对曲线 C2 上的 x 进行积分。
三、交换积分次序的依据在实际计算过程中，我们可以根据需要交换积分次序。
依据是积分的可交换性，即：∫∫_D f(x,y) dxdy = ∫[∫_C f(x,y) dy] dx = ∫[∫_C f(y,x) dx] dy这里，我们对 x 和 y 的积分次序进行了交换。
交换积分次序可以简化计算过程，但需要保证积分区域和被积函数的连续性。
四、实际应用案例二重积分在实际问题中有广泛应用，例如求解几何体的表面积、物体的重心、质心等。
例如，求解一个圆柱体的表面积，我们可以通过计算其侧面积和两个底面积的和得到。
圆柱体的侧面积计算公式为：∫∫_D y dxdy，其中 D 为 [0,2π]×[0,h]。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
二重积分的概念及性质
前面我们已经知道了，定积分与曲边梯形的面积有关。
下面我们通过曲顶柱体的体积来引出二重积分的概念，在此我们不作详述，请大家参考有关书籍。
二重积分的定义
设z=f(x,y)为有界闭区域(σ)上的有界函数：
(1)把区域(σ)任意划分成n个子域(△σk)(k=1,2,3,…,n）,其面积记作△σk(k=1,2,3,…,n）；
(2)在每一个子域(△σk)上任取一点，作乘积；
(3)把所有这些乘积相加,即作出和数
(4)记子域的最大直径d.如果不论子域怎样划分以及怎样选取,上述和数当n→＋∞且d→0时的极限存在,那末称此极限为函数f(x,y)在区域(σ)上的二重积分.记作:
即：=
其中x与y称为积分变量，函数f(x,y)称为被积函数,f(x,y)dσ称为被积表达式,(σ)称为积分区域.
关于二重积分的问题
对于二重积分的定义,我们并没有f(x,y)≥0的限.容易看出,当f(x,y)≥0时,二重积分在几何上就是以z=f(x,y)为曲顶，以(σ)为底且母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。
上述就是二重积分的几何意义。
如果被积函数f(x,y)在积分区域(σ)上连续，那末二重积分必定存在。
二重积分的性质
(1).被积函数中的常数因子可以提到二重积分符号外面去.
(2).有限个函数代数和的二重积分等于各函数二重积分的代数和.
(3).如果把积分区域(σ)分成两个子域(σ1)与(σ2),即(σ)=(σ1)+(σ2),那末:
(4).如果在(σ)上有f(x,y)≤g(x,y),那末:
≤
(5).设f(x,y)在闭域(σ)上连续,则在(σ)上至少存在一点(ξ,η),使
其中σ是区域(σ)的面积.
二重积分的计算法
直角坐标系中的计算方法
这里我们采取的方法是累次积分法。
也就是先把x看成常量，对y进行积分，然后在对x进行积分，或者是先把y看成常量，对x进行积分，然后在对y进行积分。
为此我们有积分公式，如下：
或
在这里我们可能会有这个问题：累次积分的上下限是怎么确定的呢？
累次积分上下限的确定方法
我们先来对区域作些补充说明：如果经过区域(σ)内任意一点(即不是区域边界上的点)作平行于y轴(或x 轴)的直线,且此直线交(σ)的边界不超过两点，那末称(σ)为沿y轴(x轴)方向的正规区域.如果(σ)即是沿y轴方向也是沿x轴方向的正规区域,那末(σ)就称为正规区域.下图所示的即为正规区域:
关于累次积分上下限的取法如下所述:
(1).如果(σ)为沿y轴方向的正规区域，那末二重积分可化为先对y再对x的累次积分.其中对y的积分下限是(σ)的下部边界曲线所对应的函数y1(x)，积分上限是上部边界曲线所对应的函数y2(x).对x的积分下限与上限分别是(σ)的最左与最右点的横坐标a与b.
(2).如果(σ)为沿x轴方向的正规区域,那末二重积分可化为先对x再对y的累次积分.其中对x的积分下限是(σ)的左部边界曲线所对应的函数x1(y)，积分上限是右部边界曲线所对应的函数x2(y).对y的积分下限与上限分别是(σ)的最低与最高点的横坐标c与d.
(3).如果(σ)为正规区域，那末累次积分可以交换积分次序。
(4).如果(σ)既不是沿y轴方向的正规区域,也不是沿x轴方向的正规区域,那末总可以把它化分成几块沿y
轴方向的正规区域或沿x轴方向的正规区域,然后根据积分的性质即可求解积分.
例题：求二重积分，其中(σ)是由所围成的区域。
解答：因为是正规区域，所以我们可先对y后对x积分，也可先对x后对y积分。
这里我们采用前者先对y后对x积分：
极坐标系中的计算法
如果二重积分的被积函数和积分区域(σ)的边界方程均由极坐标的形式给出,那末我们如何计算呢?下面我们给出极坐标系中二重积分的计算公式.
如果极点O在(σ)的外部,区域(σ)用不等式表示为R1(θ)≤ρ≤R2(θ),α≤θ≤β,则积分公式如下:
如果极点O在(σ)的内部,区域(σ)的边界方程为ρ=R(θ),0≤θ≤2π,则积分公式如下:
如果极点O在(σ)的边界上,边界方程为ρ=R(θ),θ1≤θ≤θ2,则积分公式如下:
有了上面这些公式，一些在直角坐标系中不易积出而在极坐标系中易积出的函数，我们就可以把它转化
为在极坐标系中的积分即可，反之依然。
注：直角坐标与极坐标的转换公式为：
例题：求，其中(σ)是圆环a2≤x2+y2≤b2
解答：由于积分域由同心圆围成以及被积函数的形式，显然，这个二重积分化为极坐标计算比较方便。
把，dσ=ρdρdθ代入，即可转化为极坐标系的积分形式。
如下：
在对其进行累次积分计算：
三重积分及其计算法
二重积分的被积函数是一个二元函数，它的积分域是—平面区域.如果考虑三元函数f(x,y,z)在一空间区域(V)上的积分，就可得到三重积分的概念。
三重积分的概念
设函数u=f(x,y,z)在空间有界闭区域(V)任意划分成n个子域(△V1),(△V2),(△V3),…,(△V n),它们的体积分别
记作△V k(k=1,2,…,n).在每一个子域上任取一点，并作和数
如果不论△V k怎样划分，点怎样选取，当n→+∞而且最大的子域直径δ→0时，这个和数的极
限都存在，那末此极限就称为函数在域(V)上的三重积分,记作：
即：
如果f(x,y,z)在域(V)上连续，那末此三重积分一定存在。
对于三重积分没有直观的几何意义，但它却有着各种不同的物理意义。
直角坐标系中三重积分的计算方法
这里我们直接给出三重积分的计算公式，具体它是怎样得来的，请大家参照有关书籍。
直角坐标系中三重积分的计算公式为：
此公式是把一个三重积分转化为一个定积分与一个二重积分的问题，根据我们前面所学的结论即可求出。
例题：求，其中(V)是由平面x=0,y=0,z=0及x+y+z=1所围成的区域.
解答：把I化为先对z积分，再对y和x积分的累次积分，那末应把(V)投影到xOy平面上,求出投影域(σ),
它就是
平面x+y+z=1与xOy平面的交线和x轴、y轴所围成的三角区域.
我们为了确定出对z积分限,在(σ)固定点(x,y),通过此点作一条平行于z的直线,它与(V)上下边界的交点的竖坐标：z=0与z=1-x-y，这就是对z积分的下限与上限，于是由积分公式得：
其中(σ)为平面区域：x≥0，y≥0，x+y≤1，如下图红色阴影部分所示：
再把(σ)域上的二重积分化成先对y后对x的累次积分，得：
柱面坐标系中三重积分的计算法
我们先来学习一下空间中的点用极坐标的表示方法。
平面上点P可以用极坐标(ρ,θ)来确定,因此空间中的点P可用数组(ρ,θ,z)来表示.显然，空间的点P与数组(ρ,θ,z)之间的对应关系是一一对应关系,数组(ρ,θ,z)称为空间点P的柱面坐标.它与直角坐标的关系为：
构成柱面坐标系的三族坐标面分别为：
ρ=常数：以z轴为对称轴的同轴圆柱面族，
θ=常数：通过z轴的半平面族，
z =常数：与z轴垂直的平面族.
因此，每三个这样的坐标面确定着空间的唯一的一点，由于利用了圆柱面，所以称为柱面坐标。
柱面坐标系下三重积分的计算公式为：
此处我们不在举例。