积分中值定理的推广与应用
积分中值定理与推广积分中值定理区间问题
积分中值定理与推广积分中值定理区间问题一、积分中值定理的基本概念1.1 积分中值定理的定义积分中值定理是微积分中的重要定理之一，它是对函数在闭区间上的平均值与极限值之间的关系进行了精确的描述。
积分中值定理的内容主要包括了两个部分：第一部分是零点定理，即如果函数在闭区间上连续，并且在该闭区间上取得了最大值和最小值，那么在该闭区间上一定存在至少一个点使得函数的导数等于零；第二部分是平均值定理，即如果一个函数在一个闭区间上连续，那么一定存在至少一个点，使得该点的导数等于函数在该区间上的平均增量。
积分中值定理的内容简单而深刻，它为我们理解函数在闭区间上的性质提供了重要的依据。
1.2 积分中值定理的应用积分中值定理在实际问题中有着广泛的应用，它不仅可以帮助我们理解函数的性质，还可以为我们提供在实际问题中对函数的特定取值进行估计的依据。
比如在物理学中，积分中值定理可以用来描述物体在某一时刻的速度与位移之间的关系；在经济学中，积分中值定理可以用来解释市场上产品的供求关系；在生物学中，积分中值定理可以用来分析生物体在生长过程中的变化规律等等。
积分中值定理是微积分中的基础定理之一，它在我们的日常生活和各个学科领域中都有着重要的地位。
二、推广积分中值定理区间问题2.1 区间问题的提出在积分中值定理的基础上，我们可以进一步进行推广，即考虑函数在开区间上的性质。
具体来说，我们可以考虑以下问题：如果一个函数在一个开区间上连续，那么它在该开区间上是否一定存在着一个点，使得该点的导数等于函数在该开区间上的平均增量呢？这个问题就是推广积分中值定理区间问题。
2.2 区间问题的解决针对区间问题，我们可以通过微积分中的基本原理进行研究。
我们可以利用函数的连续性和导数的存在性来证明函数在开区间上的平均增量一定存在，然后利用积分中值定理的零点定理和平均值定理来证明在该开区间上一定存在着一个点，使得该点的导数等于函数在该开区间上的平均增量。
微积分中值定理的统一及推广
微积分中值定理的统一及推广1. 微积分中值定理的基本概念微积分中值定理是一个重要的定理，它指出在一个函数在某一区间内取得最大值或最小值时，该函数在该区间的中点处的值必然是最大值或最小值。
它的统一及推广可以用来求解曲线上任意一点的最大值或最小值，从而求解函数的极值问题。
2. 微积分中值定理的推导过程首先，假设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，并且在这个区间上可导。
由于函数f(x)在[a,b]上连续，所以存在某一点$c \in (a,b)$，使得：$$f(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f(x)dx$$由于函数f(x)在[a,b]上可导，所以存在某一点$c \in (a,b)$，使得：$$f'(c)=\frac{1}{b-a}\int_{a}^{b}f'(x)dx$$由此可得：$$f(c)-f(a)=f'(c)(b-a)$$即：$$f(c)=f(a)+f'(c)(b-a)$$以上就是微积分中值定理的推导过程。
3. 微积分中值定理的推广微积分中值定理的推广包括对函数的推广以及对定理的推广。
对函数的推广是指将函数的变量从一个变量推广到多个变量，这样就可以求解更复杂的函数。
对定理的推广则是将微积分中值定理的范围从一元函数推广到多元函数，使得定理可以应用到更复杂的函数中。
4. 微积分中值定理的应用微积分中值定理的应用可以被用来证明很多函数的性质，例如，它可以用来证明函数的最大值和最小值，以及函数的极值点。
此外，它还可以用来证明函数的单调性，以及函数的增减性。
此外，它还可以用来证明函数的拐点，以及函数的曲线是否是凸函数或凹函数。
最后，它还可以用来证明函数的极限值，以及函数的连续性。
5. 微积分中值定理的统一性微积分中值定理的统一性可以概括为：若函数f在闭区间[a,b]上连续，则存在c∈[a,b]，使得f(c)=（f(a)+f(b)）/2。
这一定理可以推广到高次多项式函数，即在任意n次多项式函数f(x)在闭区间[a,b]上连续时，存在c∈[a,b]，使得f(c)=f(a)+f(b)+f(a+b)+...+f(a+(n-2)b)/n。
高考数学中的微积分中值定理应用
高考数学中的微积分中值定理应用在高中数学教学中，微积分中值定理是一个十分重要的概念。
这个定理不仅是微积分的基石，也是解决许多实际问题的关键。
在高考数学中，中值定理应用广泛，掌握这个概念不仅对于考生来说非常重要，对于实际生活中的数学应用也有重要意义。
一、中值定理的基本概念中值定理是微积分中的一种非常基本的定理，它基于微积分的洛必达法则。
中值定理是指在某些条件下，如果一个函数在两个端点位置的值相等，那么这个函数在这两个点之间必然有一点值等于这个函数在两端点位置上的平均值。
数学形式为：若$f(x)$在[a,b]上连续，在(a,b)上可导，$f(a)=f(b)$，则存在一个$c\in(a,b)$，使得$f'(c)=\dfrac{f(b)-f(a)}{b-a}$。
二、中值定理的实际应用中值定理有许多实际的应用。
下面我们来看几个典型例子。
1. 速度平均值假设一个物体在时间$t$内沿着轴线移动$x$的距离，速度$v=x/t$。
那么，如果这个物体在$t_1$和$t_2$时刻在同一位置，也就是说，$x(t_1)=x(t_2)$，那么速度$v(t)$在$t_1$和$t_2$时刻之间必然存在一点$v(t_0)$等于$v$的平均值，也就是：$v(t_0) = \frac{v(t_2)-v(t_1)}{t_2-t_1}$这个式子与中值定理的形式非常相似。
只需要令$f(t)=x(t)$，$a=t_1$，$b=t_2$，那么根据中值定理就可以得到上述式子。
这是中值定理的一个典型应用，也是物理学中很常见的应用。
2. 单调递增函数与单调递减函数如果一个函数在一个区间内的导数为正，我们就称这个函数是单调递增的。
相反，如果这个函数在这个区间内的导数为负，我们就称这个函数是单调递减的。
那么，根据中值定理，一个函数在一个区间内连续且可导的时候，如果导数始终为正，那么这个函数就是单调递增的，如果导数始终为负，那么这个函数就是单调递减的。
积分第一中值定理的推广研究
积分第一中值定理的推广研究1. 引言1.1 研究背景研究背景：积分第一中值定理作为微积分中的重要定理，一直以来都受到数学界的广泛关注和研究。
其基本原理可以追溯到牛顿和莱布尼兹创立微积分学的时期，被视为微积分的基石之一。
积分第一中值定理主要研究了函数在闭区间上的平均值与函数在某点处的导数之间的关系，揭示了函数的平均值与函数的导数之间的重要联系。
随着数学研究的不断深入和发展，人们开始意识到积分第一中值定理在实际问题中的广泛应用。
在物理学、工程学、经济学等领域，积分第一中值定理都扮演着重要的角色，帮助解决了许多现实生活中的复杂问题。
对积分第一中值定理进行进一步的推广研究，不仅有助于深化我们对函数性质的理解，还能为实际问题的解决提供更多的数学工具和方法。
在这样的背景下，对积分第一中值定理的推广研究变得日益重要和必要。
通过对定理的深入探讨和拓展，我们可以更好地理解函数的性质和变化规律，进而应用到更多的实际问题中去。
【研究背景】的探讨与分析，将有助于引出接下来对积分第一中值定理的深入研究和探讨。
1.2 研究意义积分第一中值定理是微积分中一个重要的定理，它描述了函数在某个区间上的平均值与积分值之间的关系。
在数学理论研究和工程技术应用中，积分第一中值定理都具有重要的作用。
研究积分第一中值定理的意义在于深入理解函数在某个区间上的性质，能够帮助我们更好地理解函数的变化规律和特点。
通过对积分第一中值定理的研究，可以更准确地分析函数的增长趋势、波动情况和变化规律，为数学理论研究提供重要的基础。
积分第一中值定理还在科学研究和工程技术领域有着广泛的应用。
在物理学中，通过积分第一中值定理可以推导出一些重要的物理公式；在工程技术中，积分第一中值定理可以帮助工程师们更精确地计算出一些复杂问题的积分值，从而提高工程设计的准确性和效率。
研究积分第一中值定理对于推动数学理论的发展、提高工程技术水平和推动科学研究都具有重要的意义。
通过深入探讨积分第一中值定理的相关性质和应用，可以为数学研究和工程实践提供更深入的理论支持和实际指导。
积分中值定理的推广及应用张艳丽
解：设 ，则 ，
其次，假设 和 ，则 单调下降，并且有 。
于是，
其中 ， 。因此 。
例3 证明等式 。
证明：由第一积分中值定理可知
，
其中 位于 和 之间的某个值。
3.2 求含定积分的极限
例4 求极限
解：利用广义积分中值定理
则
3.3 确定积分号
例5确定积分 的符号
解：
由积分中值定理可知 其中 。
成立。
证明： 因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上有最大值M和最小值m,即 ，我们对不等式进行积可得
由积分性质可知
由于 ，对不等式同时除以 可得
。
此式表明 介于函数 的最大值 和最小值 之间。
由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间 上至少存在一点 ，使得函数 在点 处的值与这个数相等，即应该有
成立，这就证明了公式（2-2）
。
对于 是一般单调下降的情形，此时应用公式（2-4），同样可得到（2-2）式，此命题得证。
2. 积分中值定理的推广
2.1定积分中值定理的推广
定理（推广的定积分中值定理） ：如果函数 在闭区间 连续，则在开区间 至少存在一个点 ，使得下式
成立。
证明：作辅助函数 如下：
。
由于 在闭区间 连续，则 在 上可微，且有 成立。由微分中值定理可知：至少存在一点 ，使得 成立。并且有 ， ，此时即可得到下式
[关键词] 积分中值定理；推广； 应用
积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质出现在数学分析课程中的，它在数学分析的学习过程占有很重要的地位，并且对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我们就把积分中值定理及其应用清晰论述一下。
推广的积分中值定理及其应用
推广的积分中值定理及其应用摘要:定积分是微积分的重要组成部分,而积分中值定理是定积分的重要性质之一,所以积分中值定理在微积分中占了很重要的地位,本文系统的叙述了推广的积分中值定理包括:ξ必可以在开区间中取得,导函数的积分中值定理等多个方面,我们所学知识中积分中值定理与微分中值定理的中间点的存在区间是不统一的,但推广后的积分中值定理能够与微分中值定理的存在区间从形式上统一起来,使与其相关的理论得以联系和应用.同时,在本篇论文中以实例的形式列举了推广的积分中值定理在确定零点分布、证明积分不等式、求极限等方面的应用,显然,推广的积分中值定理的优点就在于此,它可以解决原积分中值定理无法解决的问题,这表明了积分中值定理在推广后更具有应用性.关键词:积分中值定理;导函数;微分中值定理Promotion of Integral Mean ValueTheorem and Its ApplicationAbstract:Definite integral is an important component of calculus, the mean value theorem is one of the important properties of the definite integral, so integral mean value theorem in calculus plays a very important position .This paper describes the system topromote the integral mean value theorem, including: ξwill be achieved in the open interval ,of the derivatives and other integral mean value theorem, we have the knowledge of the differential mean value theorem and the Intermediate Value Theorem Existence interval is not uniform, but after the promotion of integral mean value theorem and the Mean Value Theorem to the presence of range from the formal unity, so that contact can be associated with the theory and application. Meanwhile, in this paper an example to cite a form of integral mean value theorem in determining the zeros to prove inequality, such as the application of limit, obviously, to promote the advantages of integral mean value theorem in this, it Can solve the original integral mean value theorem can not solve the problem, suggesting that the integral mean value theorem in the promotion of a more applied after.Keywords: Integral mean value theorem, derivative, mean value theorem1预备知识在本部分中具体叙述了这篇论文中所需要的相关知识,包括导函数介值性定理、拉格朗日中值定理以及变上限积分函数的定义和性质等,这些理论知识为第二部分的定理推导以及证明做了铺垫,所以起了重要的作用.1.1设()g x 在[,]a b 上非负可积,且()0abg x dx >⎰则存在[,](,)c d a b ⊂使得()0dcg x d x >⎰1.2 设()f x 在[,]a b 上连续,0x ,1x ,2x [,]a b ∈若10()()f x f x >,20()()f x f x <,则存在(,)a b ξ∈,使得0()()f f x ξ=1.3若函数()f x 在[,]a b 上可导,且''()()f a f b +-≠,k 为介于'()f a +,'()f b -之间的任意数,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得'()f k ξ=1.4若'()f x 为[,]a b 上的非负导函数,且存在0[,]x a b ∈,使'0()0f x >,则必有'()0baf x dx >⎰1.5（拉格朗日中值定理）若函数()f x 满足如下条件: （1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续; （2）()f x 在开区间(,)a b 内可导;则在(,)a b 内至少存在一点ξ使得'()()()f b f a f b aξ-=-1.6变上限积分函数:设()f x 在[,]a b 上可积,x 为[,]a b 内任意一点,则称函数()()xax f t dt φ=⎰为变上限积分函数1.7变上限积分函数有以下若干性质 （1）有界性命题1 设函数()f x 在[,]a b 上可积,则()x φ在[,]a b 上有界（2）连续性命题2 设函数()f x 在[,]a b 上可积,则()x φ在[,]a b 上连续 （3）可积性命题3 设函数()f x 在[,]a b 上可积,则()x φ在[,]a b 上可积 （4）可微性（原函数存在定理）()f x 在[,]a b 上连续,则()x φ在[,]a b 上处处可导.且'()()()xad x f t dt f x dx φ==⎰ [,]x a b ∈2 推广的积分中值定理积分第一中值定理在数学分析教材中为:若()f x 在[,]a b 上连续,则至少存在一点[,]a b ξ∈,使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰推广的积分第一中值定理在数学分析教材中为:()f x ,()g x 都在[,]a b 上连续,且()g x 在[,]a b 上不变号,则至少存在一点[,]a b ξ∈,使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰我们知道积分中值定理可用于确定数列及函数列的极限,确定零点分布,判别函数的敛散性,证明积分不等式等.但观察上述式子我们发现ξ的取值有时会在两个端点处取得,有的习题用原有的积分中值定理不能够解答出来.例如在证明积分不等式时,运用原有的积分中值定理我们只可以证明≤或≥的情况,所以带有一定的局限性.下面我们对原有的积分中值定理做一下加强,使“ξ”的范围由闭区间缩小到开区间,即得到了下面所叙述的推广的积分中值定理.2.1积分第一中值定理的推广定理 2.1(1)若()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ使得:()()()baf x dx f b a ξ=-⎰成立证明: 作辅助函数()()x aF x f t dt =⎰ [,]x a b ∈则()F x 是[,]a b 的可微函数,且'()()F x f x =.由微积分学中值定理,至少存在一点(,)a b ξ∈,使得:'()()()()F b F a F b a ξ-=-注意到()()ba Fb f x dx =⎰,()0F a =,即有()()()baf x dx f b a ξ=-⎰(,)a b ξ∈2.2推广的第一积分中值定理的加强引理1 设()g x 在[,]a b 上非负可积,且()0ba g x dx >⎰,则存在[,](,)c d ab ⊂使得()0dcg x dx >⎰证明:用反证法作辅助函数()()b x a xG x g t dt -+=⎰[0,]2b a x -∈,则()G x 是[0,]2b a-上的非负连续函数.若命题不成立,则对任意的(0,)2b ax -∈有()G x ≡0,令x o →+,得(0)()0b a G g t dt ==⎰,产生矛盾.引理2 ()f x 在[,]a b 上连续,0x ,1x ,2x [,]a b ∈,若10()()f x f x >,20()()f x f x <,则存在(,)a b ξ∈,使得0()()f f x ξ=证明:作辅助函数0()()()H x f x f x =-,我们不妨设12x x <,因为()f x 在[,]a b 上连续,故()H x 也连续,从而在12[,]x x 上连续.1()0H x >,2()0H x <由连续函数的零点定理知存在12(,)x x ξ∈使得()0H ξ=即当然0()()f f x ξ=其中(,)a b ξ∈.引理3 若()g x 在[,]a b 上连续且不恒为零,则积分()0ba g x dx >⎰证明:倘若有某0[,]x a b ∈,使0()0g x >,由连续函数的局部保号性知存在0x 的某邻域00(,)x x δδ-+,使在其中0()()02g x g x ≥>,则 00000000()()()()()00()02bx x b x aax x x g x g x dx g x dx g x dx g x dx dx g x δδδδδδδ-++-+-=++≥++=>⎰⎰⎰⎰⎰证毕.定理 2.2 设()f x 在[,]a b 上连续,()g x 在[,]a b 上可积不变号,则至少存在一点(,)a b ξ∈使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰证法1(2)证明:1︒()0bag x dx =⎰时,此时,由推广的积分中值定理知,存在[,]a b ξ∈使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰=0于是对任意的0(,)x a b ∈有0()()()()bbaaf xg x dx f x g x dx =⎰⎰命题成立2︒当()0g x ≥，且()0bag x dx >⎰时，若命题不成立，即不存在(,)a b ξ∈，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰则由推广的积分中值定理知，只能有()()()()b baaf xg x dx f a g x dx =⎰⎰ （1）或者 ()()()()b baaf xg x dx f b g x dx =⎰⎰ 成立 （2）若是命题不成立而（1）成立,则在(,)a b 内()()f x f a ≠ 由引理2在(,)a b 内恒有()()f x f a >或者()()f x f a <,不妨设()()f x f a >,而对()g x 运用引理2存在[,](,)c d a b ⊂,使得()0dc g x dx >⎰于是()()()()()()()()()()bbcdbaaacdf ag x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx ==++⎰⎰⎰⎰⎰=123()()()()()()c d bacdf g x dx f g x dx f g x dx ξξξ++⎰⎰⎰其中1[,]a c ξ∈,2[,]c d ξ∈,3[,]d b ξ∈,这是根据推广的积分中值定理得出的,由于1()()f f a ξ≥,()0cag x dx ≥⎰,2()()f f a ξ>,()0dcg x dx >⎰,3()f ξ中的3b ξ≠时3()()f f a ξ>.当3b ξ=时,对()()f x f a >,0x b →-,由()f x 在[,]a b 上的连续性可知,()()f b f a ≥而()0dd g x dx ≥⎰,综上可得到()()()()()()()()()()b c d b baacdaf ag x dx f a g x dx f a g x dx f a g x dx f a g x dx >++>⎰⎰⎰⎰⎰这是一个矛盾,因此命题成立.若是命题不成立而（2）成立,同样可得出矛盾,因此定理得以证明3︒ 当()0g x ≤,且()0ba g x dx <⎰时此时()0g x -≥,且[()]0bag x dx ->⎰,由情形2的讨论知,存在(,)a b ξ∈,使得()[()]()[()]bb aaf xg x dx f g x dxξ-=-⎰⎰ 即有()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰ (,)a b ξ∈总之,定理2.2完全得以证明证法2(3)证明:令()()xaF x f t dt =⎰,由拉格朗日中值定理知,(,)a b ξ∃∈,使得'()()()F b F a F b aξ-=-,即()()()baf x dx f b a ξ=-⎰不妨设()0g x ≥,[,]x a b ∈,若()g x 在[,]a b 上恒为零,则结论显然成立.若()g x 在[,]a b 上连续且不恒为零,则积分()0ba g x dx >⎰令()()()x aF x f t g t dt =⎰,()()xaG x g t dt =⎰,在[,]a b 上应用柯西中值定理，(,)a b ξ∃∈,使''()()()()()()()()()()()()()babaf tg t dtF b F a F f g fG b G a G g g t dtξξξξξξ-=⇒==-⎰⎰即()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰2.3积分第二中值定理的推广在数学分析教材中积分第二中值定理是这样叙述的,设函数()f x 在[,]a b 上可积 （1）若函数()g x 在[,]a b 上减,且()0g x ≥,则存在[,]a b ξ∈,使得()()()()baaf xg x dx g a f x dx ξ=⎰⎰（2）若函数()g x 在[,]a b 上增,且()0g x ≥,则存在[,]a b η∈,使得()()()()bbaf xg x dx g b f x dx η=⎰⎰其推论为:设函数()f x 在[,]a b 上可积,若()g x 为单调函数,则存在[,]a b ξ∈,使得()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰现在研究一下推论的情形:在第一积分中值定理中,我们把ξ的取值区间由闭区间缩小到开区间,但对于积分第二中值定理是否可以做这样的加强呢,看一下下面的例子:在闭区间[,]a b 上()1f x =,1[,)()2x a b g x x b ∈⎧=⎨=⎩若在(,)a b 上存在ξ使得()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰即 ()()()()2()2b a g a a g b b a b b a ξξξξξ-=-+-=-+-=--所以b ξ=,即ξ在[,]a b 的端点.这个例子告诉我们积分第一中值定理的加强结果对于积分第二中值定理不一定成立,但是这里的有限区间[,]a b 却可以换成[,)a +∞或(,]b -∞或(,)-∞+∞.此处只讨论第一种情况定理 2.3(4)设()g x 在[,)a +∞上单调有界,()f x 在[,)a +∞上可积,且()f x 没有+∞以外的瑕点,则存在[,)a ξ∈+∞使得()()()()()()aaf xg x dx g a f x dx g f x dx ξξ+∞+∞=++∞⎰⎰⎰这里()lim ()x g g x →+∞+∞=证明:不妨设()g x 在[,)a +∞上单调下降,由于()g x 有界,所以()g x 在+∞处有有限的极限,记为()g +∞,于是可记()()()G x g x g =-+∞,则()0G x ≥,而对于任意的有穷区间[,]a A ,由第二积分中值定理可知,总有[,]a A η∈使得:()()()()Aaaf x G x dx G a f x dx η=⎰⎰而()()A aF A f x dx =⎰是[,)a +∞上的关于A 的连续函数,又()f x 在[,)a +∞上可积,则()F A 在[,)a +∞上有有穷的下确界和上确界,不妨记[,)inf ()A a m F A ∈+∞=,[,)sup ()A a M F A ∈+∞=,则有()m F A M ≤≤又因为()()()()Aaaf x G x dx G a f x dx η=⎰⎰所以有()()()()AamG a G x f x dx MG a ≤≤⎰再令A →+∞,则有()()()()amG a G x f x dx MG a +∞≤≤⎰令 ()()()aG a G x f x dx μ+∞=⎰, （3）则有()()()mG a G a MG a μ≤≤如果()0G a ≠则m M μ≤≤,因为()()AaF A f x dx =⎰是[,)a +∞上的关于A 的连续函数,所以()F A 可以达到其上确界M 和下确界m 及上确界和下确界之间的任意值,即存在[,)a ξ∈+∞使得()af x dx ξμ=⎰将其带入（3）式就有()()()()aaG a f x dx G x f x dx ξ+∞=⎰⎰即(()())()(()())()aag a g f x dx g x g f x dx ξ+∞-+∞=-+∞⎰⎰所以()()()()()()aaf xg x dx g a f x dx g f x dx ξξ+∞+∞=++∞⎰⎰⎰如果()0G a =,因为()g x 在[,)a +∞上单调下降,所以()G x 在[,)a +∞上单调下降,又因为()0G x ≥即()0G x =所以()()g x g =+∞,即()g x =常数,那么对任意的[,)a ξ∈+∞,都有()()()()()()aaf xg x dx g a f x dx g f x dx ξξ+∞+∞=++∞⎰⎰⎰证毕.这个定理告诉我们:第二积分中值定理虽然在有限开区间上不一定成立,但在无穷区间上却是成立的.通过以上的推导过程我们会发现在积分中值定理的前提下,ξ必可以在开区间中取得.在微积分学中积分中值定理和微分中值定理两者在一定意义上是互逆的、对立的,这种辩证的对立统一使微积分的内容更加丰富多彩,但两者中间点ξ的存在区间是不统一的,给其相关理论和应用带来了不便,但改动之后,推广的积分中值定理与微分中值定理的取值区间得以统一,从而更能体现积分中值定理的中值性,以及两个定理之间的联系.一方面可由微分中值定理推出积分中值定理根据牛顿—莱布尼茨公式:()()()ba f x dx Fb F a =-⎰其中()F x 是()f x 在[,]a b 上的原函数即'()()F x f x =,[,]x a b ∈,显然()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,于是至少存在一点(,)a b ξ∈使得'()()()()F b F a F b a ξ-=-()()f b a ξ=- (,)a b ξ∈即()()()baf x dx f b a ξ=-⎰(,)a b ξ∈另一方面,推广的积分中值定理推出微分中值定理:若()f x 在[,]a b 上有连续的导函数,直接计算得:'()()()baf x dx f b f a =-⎰ （4）而由推广的积分中值定理至少存在一点(,)a b ξ∈,使得''()()()baf x dx f b a ξ=-⎰（5）由（4）和（5）有'()()()()f b f a f b a ξ-=-,这正是微分中值定理.2.4 导函数的积分中值定理及其应用在微积分学中,积分中值定理与微分中值定理都有着很重要的地位,下面我们将积分中值定理条件下的连续函数推广到导函数,并用Darboux 定理给出了详尽的证明,由此我们得出了导函数积分中值定理.引理1(5)（Darboux ） 若函数()f x 在[,]a b 上可导,且''()()f a f b +-≠,k 为介于'()f a +,'()f b -之间的任意数,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得'()f k ξ=引理2 若'()f x 为[,]a b 上的非负导函数,且存在0[,]x a b ∈,使'0()0f x >,则必有'()0baf x dx >⎰定理 2.4(6)若'()f x 为[,]a b 上的导函数,()g x 为[,]a b 上的连续函数,且()g x 在[,]a b 上不变号,则至少存在一点ξ[,]a b ∈,使得''()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰证明:不妨设()0g x ≥,'()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值为别为M 与m ,其中M 可以取+∞,m 可以取-∞,在a 点取'()f a +,在b 点取'()f b -,令()0ba I g x dx =≥⎰,又'()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤,([,])x a b ∈,则有'()()()()bbbaaam g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰当0I =或m M =时,任意取(,)a b ξ∈均可当0I >或m M <时,令'1()()b a u f x g x dx I=⎰ ()m u M ≤≤ 当m u M ≤≤时,由Darboux 定理知,至少存在一点(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ= 当m u M =<时,利用反证法证明存在(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ=若对一切的(,)x a b ∈,有'()0f x u ->且()0baI g x dx =>⎰,则()g x 在[,]a b 上不恒为零,即存在0[,]x a b ∈,使得0()0g x >,由连续函数的保号性知存在0x 的邻域00(,)x x σσ-+（当0x a =或0x b =时,则为右邻域或左邻域）使得对于任意的00(,)x x x σσ∈-+,有0()()02g x g x ≥>,则 0000'''0()(())()(())()(())2bx x ax x g x f x u g x dx f x u g x dx f x u dx σσσσ++--->-≥-⎰⎰⎰ 由引理2可得00'(())0x x f x u dx σσ+-->⎰,从而有'(())()0b af x ug x dx ->⎰另一方面:''0(())()()()()0bbbaaaf x ug x dx f x g x dx u g x dx uI uI <-=-=-=⎰⎰⎰出现矛盾,故原命题成立,即当m u M =<时,存在(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ=当m u M <=时,同理可证必存在(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ=成立同理可证二阶导函数,n 阶导函数对上述的导函数的积分中值定理成立,只要我们把它们看成一阶连续导函数和n-1阶连续导函数的导函数,便可用同样的方法得证.定理2.4的应用说明例1 设函数()f x 在[,]a b 上二次可微,证明存在一点(,)a b ξ∈,使得''324().[()()]()2b aa bf f x f dx b a ξ+=--⎰ 证明:记02a bx +=,将被积函数在0x x =处按泰勒公式展开,得 2'''0000()()()()()()2x x f x f x x x f x f η--=-+其中η在x 与0x 之间,因为'00()()0bax x f x dx -=⎰,即2''00()(()())()2bbaax x f x f x dx f dx η--=⎰⎰由定理知存在(,)a b ξ∈使32''''2''00()()()()()()12bba ab a x x f dx f x x dx f ηξξ--=-=⎰⎰从而''324().[()()]()2b a a bf f x f dx b a ξ+=--⎰例2 已知导函数'()f x 在[1,2]上有界,求证2'1lim ()0nx n f x e dx -→∞=⎰证明:导函数'()f x 在[1,2]上有界,所以存在正数M ,对[1,2]ξ∈,有'()f M ξ<,由定理1知,存在1(1,2)ξ∈,2(1,2)ξ∈, 使得222'''1111()()()n nnx x f x edx f edx f eξξξ---==⎰⎰从而有2'1lim ()0nx n f x e dx -→∞=⎰3 推广的积分中值定理的应用3.1用于确定零点分布例3 (7)证明:若()f x 在[,]a b 上连续,且()()0b ba af x dx xf x dx ==⎰⎰,则在(,)a b 内至少存在两点1x ,2x 使得12()()f x f x =证明:设()()xa F x f t dt =⎰那么我们有()()()0baf x dx F b F a =-=⎰,所以()()F b F a ==0又因为()()()()bbbba aaaxf x dx xdF x xF x F x dx ==-=⎰⎰⎰ ()()()()bF b aF a F b a ξ---所以可得; ()()()()b a F b F b a ξ-=-,所以()()()F b F F a ξ===0 证毕例4(8) 证明:若()f x 在[0,]π上连续,且0()()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰,证明:存在两点1ξ,2ξ (0,)π∈,使得 12()()0f f ξξ==证明:令0()()xF x f t dt =⎰ 即'()()F x f x =,()(0)0F F π==00()cos cos ()cos ()()cos f x xdx xdF x xF x F x d xππππ==-⎰⎰⎰()sin ()sin .0F x xdx F πξξπ===⎰所以()0F ξ= (0,)ξπ∈,对()F x 在(0,)ξ,(,)ξπ上使用罗尔定理,即存在1(0,)x ξ∈,2(,)x ξπ∈满足'1()0F x =,'2()0F x =,即12()()0f x f x ==证毕 例5(3)假如()f x 在[0,]π上连续,且0()sin ()cos 0f x xdx f x xdx ππ==⎰⎰,则()f x 在(0,)π内至少有两个零点.证明:由已知条件,并运用推广的积分中值定理得0()sin ()sin 2()()0f x xdx f xdx f f ππξξξ===⇒=⎰⎰,(0,)ξπ∈即()f x 在(0,)π有一个零点，假如仅有一个零点x ξ=,则()f x 在[,]a ξ与[,]b ξ上均不变号,且异号,那么()sin()f x x dx ξ-在[0,]π上保持同号,连续且不恒为零,必有()sin()0f x x dx πξ->⎰（或0<）与已知0()sin()cos ()sin sin ()cos 0f x x dx f x xdx f x xdx πππξξξ-=-=⎰⎰⎰矛盾.3.2 证明积分不等式在证明积分不等式时,常常考虑积分中值定理以便去掉积分符号,如果被积函数是两个函数之积时,可考虑用积分第一或第二中值定理,对于某些不等式的证明运用原积分中值定理只能得到“≥”的结论,或者不等式根被就不能得以证明,而运用了推广的积分中值定理后,则可以得到“>”的结论,或者成功的解决.例6(9) 假设()f x 在[0,1]上连续并且单调递减,证明对任何的(0,1)a ∈有1()()af x dx a f x dx >⎰⎰证明:将要证的不等式移项11()()()()()aa a af x dx a f x dx f x dx a f x dx a f x dx -=--⎰⎰⎰⎰⎰1(1)()()aaa f x dx a f x dx =--⎰⎰因为()f x 单调递减,所以在区间[0,]a 上()()f x f a ≥,即0()()af x dx af a ≥⎰,再对上式右边第二项运用推广的积分中值定理,即存在ξ其中1a ξ<<,使上式变成1(1)()()(1)()()(1)(1)[()()]a aa f x dx a f x dx a af a af a a a f a f ξξ--≥---=--⎰⎰因为()f x 单调递减,且1a ξ<<,,所以(1)[()()]0a a f a f ξ-->,即得证.例7(9) 设()f x 在[,]a b 上连续且单调递增,证明()()2bbaaa b xf x dx f x dx +>⎰⎰证明:将要证的不等式移项,并分部积分得()()2bbaa ab xf x dx f x dx +-⎰⎰ 22()()()()()()222a bbb a b a a a b a b a bx f x dx x f x dx x f x dx +++++=-=-+-⎰⎰⎰ 令()()2a b g x x +=-,显然()f x ,()g x 在[,]2a b a +和[,]2a b b +上可积,且()g x 在[,]2a b a +和[,]2a b b +上不变号,由推广的积分中值定理知:即存在11()2a b a ξξ+<<,22()2a bb ξξ+<<,使得221222()()()()()()()()2222a ba bb b a b a b aa ab a b a b a b x f x dx x f x dx f x dx f x dxξξ++++++++-+-=-+-⎰⎰⎰⎰整理得221()[()()]8a b f f ξξ+-,因为()f x 是单调递增函数,122a b a b ξξ+<<<<,所以221()[()()]08a b f f ξξ+->,证毕. 在上述例子中我们可以看到有的题原积分中值定理不适用,而推广的积分中值定理可以将问题解决.在例6中如果运用原积分中值定理,由1a ξ≤≤只能得到“0≥”的结论;而在例7中也只能得到12()()f f ξξ≤的结论.3.3求极限例8(10)证明10lim 01nn x dx x→∞=+⎰ 证明:0ε∀>,如果取1[0,1]2ξε∈-,则有10lim 01nn dx ξξ→∞=+⎰,即N ∃,当n N >时,有12n ξεξ<+,又因为:11120012111n n n x x x dx dx dx x x x εε--=++++⎰⎰⎰对等式右边第一个积分运用中值定理,对第二个积分的被积函数用不等式011n x x <≤+,则有当n N >时有100[2]122n x dx x εε<<-+⎰,所以有10lim 01n n x dx x→∞=+⎰ 证毕.参考文献[1] 杨延龄,邹励农,章栋恩.高等数学微积分700例题[M].中国建材工业出版社.2004年10月.123页.[2] 陈卫星,马全中.关于积分中值定理及推广的积分中值定理的改进[J]. 中国煤碳经济学院学报,1994年,第1期.54,55页.[3] 郝涌,李学志,陶有德.数学分析选讲[M].国防工业出版社.2010年4月.83页,94页.[4] 朱碧,王磊.第二积分中值定理的一些推广及其应用[J]. 考试周刊, 2008年,第30期.49页.[5] 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京.高等教育出版社.2003年.[6] 谢焕田.积分中值定理的推广及其应用[J].高师理科学刊,2009年,第5期.8,9页[7] 华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 高等教育出版社.1991年.[8] 许洪范.考研微积分500例[M]. 国防工业出版社.2009年3月.121页.[9] 李海军.积分中值定理的应用[J].赤峰学院学报.2010年,第6期,4页.[10]荆江雁.积分中值定理得推广[J].常州工学院学报.2007年,第1期 ,53页.致谢从选择论文题目到搜集材料再到一遍又一遍的修改仿佛经历了太长的时间,论文比我想象中要难写的多,我明白想写好一篇优秀的论文就必须付出百倍的努力,在论文即将交稿之时,心里多了一些轻松,同时多了一丝伤感.自己的大学生活随着论文的结束而画上了一个句号.回想自己写论文的全过程,自己最要感谢的是论文导师许宏文老师,她为人很随和,治学严谨,对待工作认真,对待学生负责,许老师给人一种很容易接近的感觉,忘不了第一次接许老师电话的情景:她耐心的给我指点着,细心的帮我分析写这篇论文的注意事项……之所以论文会顺利的完成许老师付出了太多,太多.一遍一遍的检查,一遍又一遍的帮我指出错误,在这里我想说声:许老师:您辛苦了！真的谢谢您！最后要感谢我的学校,感谢教予我知识的老师,感谢我四年的大学生活,在这四年里自己学到了很多,也成长了很多.谢谢！。
(完整版)中值定理的应用方法与技巧
中值定理的应用方法与技巧中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分.微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述.积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。
积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在［a,b ］上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ。
积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a ，b ］上连续，且)(x g 在［a ，b ］上不变号，则在［a ，b]上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=ba ba dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。
一、 微分中值定理的应用方法与技巧三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明,也可应用于恒等式及不等式证明。
由于三大中值定理的条件和结论各不相同,又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数,套用相应的中值定理进行证明。
这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。
例一．设)(x ϕ在［0，1]上连续可导，且1)1(,0)0(==ϕϕ。
证明:任意给定正整数b a ,，必存在（0，1）内的两个数ηξ,，使得b a ba +='+')()(ηϕξϕ成立。
证法1:任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ϕ==，则在[0，1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(ϕϕξϕ。
任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ϕ==，则在[0，1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得:存在)1,0(∈η,使得b b b =--=')0()1(0)(ϕϕηϕ。
积分中值定理的推广及应用
㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１积分中值定理的推广及应用积分中值定理的推广及应用Һ丁建华㊀（甘肃有色冶金职业技术学院教育系，甘肃㊀金昌㊀７３７１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文首先对积分中值定理的几何特征进行详细介绍，并对该定理中ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上恒为常数㊁ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上不为常数函数做出一定的补充，并证明此结论也是成立的；其次，对第一积分中值定理和第二积分中值定理进行了推广，并进一步证明了结论的准确性；最后，通过不等式的证明㊁极限的求值进一步验证了改进结论的正确性．ʌ关键词ɔ中值定理；连续性；不等式一㊁积分中值定理的几何特征与补充积分中值定理的几何意义可以理解为：若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上非负连续时，定积分ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ在几何上可以表示为ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ及ｘ轴所围成的曲边梯形面积（如图１，定积分ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ表示曲边梯形ＡａｂＢ的面积）．根据闭区间上连续函数的性质，ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上存在最大值Ｍ和最小值ｍ，即∀ｘɪ［ａ，ｂ］，有ｍɤｆ（ｘ）ɤＭ，从而ｍ（ｂ－ａ）ɤʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤＭ（ｂ－ａ）．它可以化为ｍɤ１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤＭ．由连续函数的介值定理，则至少有这样的一个点ξɪ［ａ，ｂ］，使得ｆ（ξ）＝１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，则ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）．根据上面知识点，我们可以获得数学分析中常用的重要积分学性质和定理．积分中值定理㊀若函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，则在［ａ，ｂ］上至少存在一点ξ，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）（ａɤξɤｂ）．这里要求函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续即可，对函数没有严格要求．进一步地，我们可将ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续的这一条件更改为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，其结论仍然成立．当ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续且非负时，积分公式ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）有着明显的几何意义，即ｙ＝ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的曲边梯形面积等于以图１所示的ｆ（ξ）为高㊁［ａ，ｂ］为底的矩形面积，即以ｆ（ξ）为高的矩形ＡａｂＤ的面积．㊀图１通过对上面图１进一步分析，我们可以发现定理中的ξɪ［ａ，ｂ］可以改为ξɪ（ａ，ｂ），事实上，若ξ仅取在［ａ，ｂ］的端点上，不妨设ξ＝ａ，则可从图２中看出，曲边梯形ＡａｂＢ的面积ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ与矩形ＡａｂＤ的面积不可能相等．㊀图２本文给出如下两种证明．证法一：若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上恒为常数，则ξ取（ａ，ｂ）内任意一点，结论都是成立的．若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上为一个变量函数，设Ｍ，ｍ分别为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值与最小值，则存在ｘ０ɪ（ａ，ｂ），使得ｍɤｆ（ｘ０）ɤＭ．事实上，若这样的ｘ０不存在，则在［ａ，ｂ］上必存在一点ｘ１，使得ｆ（ｘ）在ａ，ｘ１[]上恒有ｆ（ｘ）＝ｍ或ｆ（ｘ）＝Ｍ()，在［ｘ１，ｂ］上恒有ｆ（ｘ）＝Ｍ（或ｆ（ｘ）＝ｍ）．这样一来，ｘ１是间断点，与ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续矛盾．又ｆ（ｘ）在ｘ０连续，则存在δ＞０，ｘ０－δ，ｘ０＋δ()⊂［ａ，ｂ］，当ｘ－ｘ０＜δ时，有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）＜Ｍ－ｆ（ｘ０）２和ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）＜ｆ（ｘ０）－ｍ２，从而Ｍ－ｆ（ｘ０）＞Ｍ－ｆ（ｘ０）２＞０，ｆ（ｘ０）－ｍ＞ｆ（ｘ０）－ｍ２＞０，于是ʏｘ０＋δｘ０－δ［Ｍ－ｆ（ｘ）］ｄｘȡʏｘ０＋δｘ０－δＭ－ｆ（ｘ０）２éëêùûúｄｘ，即ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘɤＭ－ｆ（ｘ０）２ʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，又ｆ（ｘ０）＜Ｍ，ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，同理有ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＞ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，于是ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏｘ０－δａｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂｘ０＋δｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｘ０－δａｄｘ＋Ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ＋Ｍʏｂｘ０＋δｄｘ＝Ｍ（ｂ－ａ）．同理可得ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＞ｍ（ｂ－ａ），㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１因此ｍ（ｂ－ａ）＜ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ（ｂ－ａ），即ｍ＜１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ．由介值定理，存在ξɪ（ａ，ｂ），使得ｆ（ξ）＝１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，即ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ），其中ξɪ（ａ，ｂ）．证法二：作辅助函数Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｄｔ，ｘɪ［ａ，ｂ］，则Ｆ（ｘ）是［ａ，ｂ］上的可微函数，且Ｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ），由微分中值定理，至少存在一点ξɪ（ａ，ｂ），使得Ｆ（ａ）－Ｆ（ｂ）＝Ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）．注意到，Ｆ（ｂ）＝ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，Ｆ（ａ）＝０，则有ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ），ξɪ（ａ，ｂ）．于是，我们可以进一步将积分中值定理进行推广．设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上不能等于零，同时符号不会改变，在这样特殊的情形下，可以得到如下的结论，ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，ξɪ（ａ，ｂ）．令Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｇ（ｔ）ｄｔ，Ｇ（ｘ）＝ʏｘａｇ（ｔ）ｄｔ，则由微分学的柯西中值定理知，Ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）Ｇ（ｂ）－Ｇ（ａ）＝Ｆᶄ（ξ）Ｇ（ξ），ξɪ（ａ，ｂ），即有ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ｇ（ξ）ｇ（ξ），ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，ξɪ（ａ，ｂ）．但当ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］只是可积分，并且恒为正或恒为负时，前面我们进行推导的思路完全行不通，即不可能成立，因为可积不变号时，ｇ（ｘ）可以等于零，我们就不能使用上面的结论了．二㊁第一㊁第二积分中值定理的推广及其证明积分第一中值定理设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积不变号，则在［ａ，ｂ］存在一点ξ，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．积分第二中值定理设（ⅰ）ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续；（ⅱ）ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上单调递增且连续；（ⅲ）ｆ（ｘ）ȡ０，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｂ）ʏｂξｇ（ｘ）ｄｘ．推论１．若积分第二中值定理中的递增改为递减，其他条件不变的情况下，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ．２．若积分第二中值定理中的ｆ（ｘ）ȡ０去掉，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｂ）ʏｂξｇ（ｘ）ｄｘ．当ξ所在区间［ａ，ｂ］变为（ａ，ｂ），其余条件㊁结论不变，我们就可以将积分中值定理进一步推广．接下来，我们进一步证明积分中值定理的推广定理，先验证积分第一中值定理的推广．证明㊀由于ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续．设Ｍ为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值，ｍ为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最小值，即有ｍɤｆ（ｘ）ɤＭ，又由于ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上定号，不妨令ｇ（ｘ）ȡ０（ｇ（ｘ）ɤ０的情况同理），从而有ｍｆ（ｘ）ɤｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ɤＭｇ（ｘ），即ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘɤＭʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（１）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝０，由上面不等式的结论可知，ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝０，因此有ξɪ（ａ，ｂ），使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（２）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０．（ⅰ）如果ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＜ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，即ｍ＜ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ时，由闭区间上连续函数的介值定理我们可以知道，有一ξɪ（ａ，ｂ），使得ｆ（ξ）＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，即ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（ⅱ）如果ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ，（ａ）假如有一ξɪ（ａ，ｂ），都有ｆ（ξ）＝ｍ，我们可以得到ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ结论成立．（ｂ）除此之外，对任意的ｘɪ（ａ，ｂ），都有ｆ（ｘ）＞ｍ，而由ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０，必定存在充分小的数η，使得ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘ＞０（倘若不然的话，对于任意的正数η，都有ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘɤ０，从而ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍηң０ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘɤ０与ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０矛盾）．于是得到０＝ʏｂａ［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘȡʏｂ－ηａ＋η［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘ．利用原积分中值定理，得ʏｂ－ηａ＋η［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘ＝［ｆ（ξᶄ）－ｍ］ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘ＞０，ξᶄɪ［ａ＋η，ｂ－η］⊂（ａ，ｂ）．与之比较，知矛盾．（ⅲ）Ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ，这个证明类似于证㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２ ３１明（ⅱ）的过程．综上所述，存在ξɪ（ａ，ｂ），使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ成立．证毕！根据积分第一中值定理的推广证明，我们同样可以对积分第二中值定理的推广进行证明．接下来，我们试证积分第二中值定理的推广结果．证明㊀由ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｄｔ在［ａ，ｂ］上可导，从而有ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｇ（ｘ）ｄＦ（ｘ）＝ｇ（ｂ）Ｆ（ｂ）－ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ－ｇ（ａ）Ｆ（ａ）＝ｇ（ｂ）ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ－ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ．对于ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ应用推广的第一积分中值定理，得到ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ξ）［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］，其中ξɪ（ａ，ｂ），从而有ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ＝ｇ（ｂ）ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ－Ｆ（ξ）［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］＝ｇ（ｂ）ʏξａｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂξｆ（ｘ）ｄｘ[]－ʏξａｆ（ｘ）ｄｘ［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｂ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．证毕！三㊁积分中值定理的应用例１㊀证明下列积分不等式：（１）π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ｘｄｘ＜π２；（２）２ｅ－１４＜ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＜２ｅ２．证明㊀（１）由积分中值定理，有π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ｘｄｘ＝１１－１２ｓｉｎ２ξ㊃π２，其中ξɪ０，π２()，当ξɪ０，π２()时，有０＜ｓｉｎ２ξ＜１，从而１＜１１－１２ｓｉｎ２ξ＜２，因此有π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ξｄｘ＜π２．证毕．（２）由定积分性质，有ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＝ʏ１２０ｅｘ２－ｘｄｘ＋ʏ２１２ｅｘ２－ｘｄｘ＝１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２，其中ξ１ɪ０，１２()，ξ２ɪ１２，２()，又ｅｘ在－ɕ，＋ɕ()上严格单调递增，而ｆ（ｘ）＝ｘ２－ｘ在０，１２[]上严格单调递减，在１２，２[]上严格单调递增，所以，当ξ１ɪ０，１２()时，ｅ－１４＜ｅξ２１－ξ１＜１；当ξ２ɪ１２，２()时，ｅ－１４＜ｅξ２２－ξ２＜ｅ２．从而１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２＞１２ｅ－１４＋３２ｅ－１４＝２ｅ－１４，１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２＜１２＋３２ｅ２＜２ｅ２，因此２ｅ－１４＜ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＜２ｅ２．如果ξ取自任意闭区间，使得积分中值定理成立，则需要将例１的证明结果做进一步的讨论．由此可见，对积分中值定理进行改进或者推广对我们的学习很有帮助，当然，我们也要合理使用该定理，否则就会出现错误的结论．例２㊀证明：ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝０．如果利用积分中值定理，得ʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝ξｎ１＋ξ，其中ξɪ０，１()，从而ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝ｌｉｍｎңɕʏ１０ξｎ１＋ξｄｘ＝０，这是错误的，因为ξ与ｎ有关．正确的解法是：因为０ɤｘｎ１＋ｘɤｘｎ，ｘɪ０，１[]，所以０ɤʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘɤʏ１０ｘｎｄｘ，而ʏ１０ｘｎｄｘ＝１１＋ｎ，ｌｉｍｎңɕ１１＋ｎ＝０，因此ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝０．证毕！ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析（第四版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１０．［２］黎金环，刘丽霞，朱佑彬．积分中值定理在一道极限题的应用分析［Ｊ］．高等数学研究，２０２１（２）．［３］同济大学数学教研室．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９３．［４］郝玉芹，时立文，欧阳占瑞．对积分中值定理结论的一点改动［Ｊ］．河北能源职业技术学院学报，２００７（３）．［５］周冰洁．巧用积分中值定理［Ｊ］．现代职业教育，２０１９（３１）．［６］余小飞．积分中值定理在积分不等式中的应用［Ｊ］．当代教育实践与教学研究，２０１７（８）．。
)积分中值定理的推广和应用情形
积分中值定理的推广和应用———积分中值定理的推广定理和应用情形The IntｅgralＭeanＶalue TheｏremｆoｒＩｔs Sprｅaｄing andＡpｐlicａtｉon——Exteｎsiｏn tｈeｏrem of integraｌmean value theｏrem ａｎｄits appliｃatｉoｎ论文作者:专业：指导老师:完成时间:摘要积分中值定理和微分中值定理在微积分学中有着重要的地位，微分中值定理是研究函数的有力工具，反映了导数的局部性和与函数的整体性之间的关系，而积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用。
它是数学分析课程中定积分部分的一个基本定理之一。
积分中值定理包括积分第一中值定理和积分第二中值定理,在之前的数学分析课程中我们已经学习了这两个定理的证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及。
在这里，我讨论了积分第一中值定理和积分第二中值定并给出了这些定理的详细证明过程,并且给出了集中推广形式。
在积分中值定理的应用方面，我给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限,确定积分号等，并且通过列举例题，加以归纳总结,并且充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用。
The iｎtｅgraｌmeａn value theoremａｎdｔhe ｄifｆereｎtial mｅa ｎｖalue theorem pｌaｙan importanｔrｏｌe iｎthe caｌｃulｕs．Dｉff ｅｒentｉal meａｎvalｕｅｔheorｅm ｉｓ a poｗerful tｏol to studｙtｈe funｃｔion. It reflects thｅｒelation between tｈｅlocａl property oｆthｅｄｅrｉvatiｖｅａnd tｈｅintegral of ｔhｅfｕｎction. Anｄthe iｎtegral m ｅaｎvalue ｔｈeorem playｓ a veryｉmｐｏｒｔａｎt rｏle ｉｎｔｈe ｐｒoｏf of the ｍean ｖalue pｒobleｍ. It is one oｆｔｈe bａsicｔｈｅorems of tｈｅdeｆinｉte inｔeｇral ｐａrｔｉｎｔhｅcｏuｒse of matｈematｉｃaｌaｎａlｙsiｓ. The inteｇralｍean value tｈeoｒeｍinclｕde ｓtｈe first mｅan valｕe tｈeｏｒem of integｒals anｄｔｈe secｏnｄmean ｖalｕe tｈeｏremｏf intｅｇｒalｓ，we havｅlearnｅｄthｅprｏof of thｅｔwo thｅorｅｍｓIn thｅcourｓe oｆmａthemａtical anaｌysis. B ｕｔtｈe eｘtensｉｏn aｎd apｐlication oｆtｈese twoｔheorｅｍs have nｏt beｅｎmentｉｏnｅｄyｅｔ. Here,Iｄiｓcuss the first mｅａｎvａlｕe t ｈeoreｍｏｆinteｇrals aｎd tｈe sｅcｏｎｄｍｅan vaｌｕe of the integ ｒals ａnｄgiｖｅ a detailed proof oｆthｅsｅthｅoｒems and Ｉｇi ｖe the foｒm ｏf centraliｚｅd gｅneralizaｔioｎs here.In tｈe ａpplicatｉoｎｏｆtｈe iｎｔegｒａｌmean vａｌuｅtheorem, I give soｍe siｍｐle ｓiｔuaｔioｎs such as ｔhe estｉmａtioｎoｆｔhe intｅｇraｌvaluｅ, ａnｄtｈe ｌimit of the defiｎite iｎteｇral, tｈｅｉntegral numｂｅｒand ｓｏon．Ａnd by citing examｐles，Ｉsｕmｍaｒized and fully rｅｆlect tｈe iｎtegralｍeａn vａlue theoreｍｉｎthｅa ｐplicａｔion of learnｉｎg pｒoblem soｌvｉnｇｅｘｅrciseｓ.关键词：积分中值定理; 推广；应用Ｋe ｙwo ｒd: mean value t ｈeorem o ｆ ｉnt ｅｇｒａl ｓ； ext ｅnsion; Applic ａｔｉon1 引言中值定理在数学分析中占有非常重要的地位，学好积分中值定理和微分中值定理能为进一步学好微积分理论打下坚实的基础。
积分中值定理的推广及应用
积分中值定理的推广及应用
贝叶斯积分中值定理（Bayesian Trapzoidal Midpoint Theorem）是20世纪
90年代出现的一种新型数学理论，其应用十分广泛，涵盖统计学、算法研究和信
号处理等多个领域。
这一定理的提出，使学者们在做数学研究和解决实际问题时，能够更好地利用贝叶斯积分这一优秀的数学工具，结果也引起了不少学者的关注。
贝叶斯积分中值定理指的是，在二维空间内，任意函数的贝叶斯积分，都可以
按照确定的比例（即中值）分解成若干份，每份代表一个状态。
这一定理有效地拓展了贝叶斯积分的应用范畴，使其能够成功扩张到一般非线性函数上，从而得以分析更多实际场景。
贝叶斯积分中值定理可以拓展到更高维度，并在实际应用中起到积极的作用。
例如，它可用于几何图形的识别与匹配、机器学习，以及定性评价。
此外，一些统计模型及动力学系统中，贝叶斯积分中值定理也展示出显著的优势，可以有效解决复杂优化寻优问题。
就生活娱乐方面来说，贝叶斯积分中值定理可以广泛应用于以人类峰值感受为
基础的娱乐设备中，例如虚拟现实技术、3D视觉等，不仅能够给用户带来视觉冲击，还能够帮助用户更快的感受到内容的魅力。
另外，它还可以应用于网络游戏与音乐节目的推荐系统，从而个性化的推荐让玩家或用户更佳的体验游戏和音乐节目。
总之，贝叶斯积分中值定理可以让众多领域发挥出更为精确的数学优势，它拓
展了贝叶斯积分这一行之有年工具，有助于更多实际场景的分析研究。
特别是在生活娱乐方面，由贝叶斯积分中值定理支撑的技术更能满足用户对娱乐方式以及游戏与音乐节目等内容的需求。
关于二重积分中值定理的一系列推广结果
学术研讨97关于二重积分中值定理的—系列推广结果◊西南石油大学理学院杨金莲罗兰积分中值定理在计算积分值中应用广泛。
本文通过引入参数的方法对二重积分中值定理的中值点和积分区域进行讨论，得到了中值点推广的二重积分中值定理、区域推广的二重积分中值定理、混合的二重积分的中值定理、参数形式的二重积分中值定理等改进方式。
1引言积分中值定理是积分学中的基本内容％越来越多的研究者研究了积分中值定理的定义和推广形式，到如今已经取得了丰富的成果。
已有的数学分析教材已定义了二重积分中的基本中值定理3」。
部分研究者将中值定理中的中值点推广到包含中值点的有界区域上％部分研究者对二重积分中值定理的中值点的渐近性质进行了充分的研究叫部分学者对中值定理的逆命题进行了讨论％—些研究者通过对函数的有界闭区域的减弱约束推广了二重积分中值定理W积分中值定理是一种将积分转化为函数值的一种根本定理叫巴它是化繁为简的一种措施，是计算积分一种重要的工具，它有着特殊的性质和广泛的应用叫旳。
论文的创新点如下：①将第一中值定理的条件和第二中值定理的条件进行必要的结合，得到二重积分中值定理在中值点的推广和区域的推广；②将第一中值定理的条件和第二中值定理的结果旳通过联合，获得混合的二重积分中值定理；③通过引入参数的方法，获得含参数的二重积分中值定理等推行方式阴。
2二重积分中值定理的推广2.1二重积分中值定理的中值点的推广定理1:若g(x,0在Q上可积，/(x,y)在Q上连续且关于X和»单调递增且非负，其Q为：,则存在一个无间断函数处X),其中0(x)满足：两点使得下列等题立。
》j]7(x,y)g(R,0如=/(N")J jg(£,y同必(1)Z>胡g)证：由于D为兀型区域，因此有：b njjy(x』)g(x』)如:=J\f(x,y)g(x,y)dydx根据一元函数积分第二中義理可得:b n b nJjy(x,y)g(x,yM«&=j"g(x,y)妙]tfc(2)a m a卩(x)n令氏(x)=Jg(x,刃妙，(2)式可写成如下的形式：卩⑴b n b(3)J\f{x i y)g{x i y)dydx=J[/(x,«)^(x)]tZxa m a由于函数f(x,y)在D上非负，因此函数/(x,«)在D上非负，根据一元函数的积分第一中值定理可得，下列等式成立。
积分第一中值定理的推广研究
积分第一中值定理的推广研究【摘要】本文主要研究了积分第一中值定理的推广研究。
在介绍了研究背景、研究目的以及研究意义。
在分别讨论了积分第一中值定理的基本概念、推广方法、应用领域分析、案例研究以及数学证明。
结合实际案例，探讨了该定理在实际问题中的应用和价值。
在总结了积分第一中值定理的推广效果，提出了未来研究方向。
通过深入研究和推广，该定理可以在更广泛的领域得到应用，对数学研究具有重要意义。
本研究将为相关领域的研究提供新的理论支持和启发，推动数学理论的发展。
【关键词】积分第一中值定理，推广研究，基本概念，推广方法，应用领域，案例研究，数学证明，推广效果，未来研究方向，总结。
1. 引言1.1 研究背景积分第一中值定理是微积分中的一个重要概念，它解决了函数在区间上的平均值与某一点的函数值之间的关系。
随着数学的发展，人们对积分第一中值定理的应用也越来越广泛。
目前对于积分第一中值定理的推广研究还比较有限。
研究背景部分将探讨当前对积分第一中值定理的研究现状，包括已有的成果、存在的问题和挑战。
通过对这些信息的梳理和分析，我们可以更清晰地认识到积分第一中值定理的重要性和研究的必要性。
研究背景还可以为我们打开新的思路和方法，拓展对积分第一中值定理的理解和应用范围。
在本文中，我们将从研究背景出发，逐步展开对积分第一中值定理的推广研究，探讨其基本概念、推广方法、应用领域分析、案例研究和数学证明等内容。
通过对这些方面的深入探讨，我们希望能够为积分第一中值定理的推广研究提供新的思路和方法，推动该领域的发展。
1.2 研究目的研究目的是通过对积分第一中值定理的推广研究，探索其在更广泛的数学领域和实际应用中的价值和作用。
具体来说，我们希望通过深入理解积分第一中值定理的基本概念和推广方法，分析其在不同应用领域中的实际运用情况，并通过案例研究来展示其在解决具体问题中的作用。
通过这些研究，我们旨在揭示积分第一中值定理的推广效果，为未来的数学研究和应用提供参考和指导。
积分第一中值定理的推广研究
积分第一中值定理的推广研究积分第一中值定理是微积分中的一个重要定理，它给出了函数在某个区间上的平均值与其在该区间上的某个点的函数值之间的关系。
这个定理在求积分和积分应用中具有重要的意义。
这个定理只适用于一元函数，对于多元函数则无法直接推广。
本文将探讨对积分第一中值定理的推广研究，特别是在多元函数情况下的推广。
一元函数情况下的积分第一中值定理可以表述如下：若函数f(x)在闭区间[a, b]上连续且可微，则存在一个点c∈(a, b)，使得f(c) = \frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) dx即函数在[a, b]上的平均值等于其在(c, f(c))点的函数值。
这个定理在分析函数在某个区间上的平均值和函数值之间的关系时非常有用。
在多元函数情况下，这个定理无法直接推广。
我们需要探讨多元函数情况下的积分第一中值定理的推广。
我们可以考虑在D上的某个子区域E上的平均值，即\overline{f}_E = \frac{1}{A(E)} \iint_E f(x, y) dxdy我们希望证明存在一个点(c, d)∈E，使得f在该点的函数值等于其在E上的平均值。
这个问题可以转化为一个关于E上的某个面积为A(E)的子区域的存在性问题。
我们可以利用微积分中的一些技巧，比如使用拉格朗日乘子法，来证明这个存在性。
通过这种方式，我们可以得到针对二元函数的积分第一中值定理的推广结果。
对于三元及三元以上的多元函数，我们可以依照类似的思路进行推广。
我们可以定义多元函数在闭区域上的平均值，并希望证明存在一个点，使得函数在该点的函数值等于其在该闭区域上的平均值。
这个问题涉及到多元积分中的一些复杂技巧，比如使用紧致性定理来证明存在性。
对积分第一中值定理的推广研究是一个非常有意义的课题。
通过对多元函数情况下的平均值和函数值之间的关系进行研究，我们可以得到对积分第一中值定理的更一般化的结论，从而更好地理解多元函数的性质和行为。
)积分中值定理的推广和应用情形
积分中值定理的推广和应用———积分中值定理的推广定理和应用情形The Integral Mean Value Theorem for Its Spreading andApplication——Extension theorem of integral mean value theorem and itsapplication论文作者：专业：指导老师：完成时间：摘要积分中值定理和微分中值定理在微积分学中有着重要的地位，微分中值定理是研究函数的有力工具，反映了导数的局部性和与函数的整体性之间的关系，而积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用。
它是数学分析课程中定积分部分的一个基本定理之一。
积分中值定理包括积分第一中值定理和积分第二中值定理,在之前的数学分析课程中我们已经学习了这两个定理的证明，但这两个定理的推广与应用尚未提及。
在这里，我讨论了积分第一中值定理和积分第二中值定并给出了这些定理的详细证明过程，并且给出了集中推广形式。
在积分中值定理的应用方面，我给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号等，并且通过列举例题，加以归纳总结，并且充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用。
The integral mean value theorem and the differential mean value theorem play an important role in the calculus.Differential mean value theorem is a powerful tool to study the function.It reflects the relation between the local property of the derivative and the integral of the function. And the integral mean value theorem plays a very important role in the proof of the mean value problem.It is one of the basic theorems of the definite integral part in the course of mathematical analysis.The integral mean value theorem includes the first mean value theorem of integrals and the second mean value theorem of integrals,we have learned the proof of the two theorems In the course of mathematical analysis.But the extension and application of these two theorems have not been mentioned yet.Here, I discuss the first mean value theorem of integrals and the second mean value of the integrals and give a detailed proof of these theorems and I give the form of centralized generalizations here.In the application of the integral mean value theorem, I give some simple situations such as the estimation of the integral value, and the limit of the definite integral, the integral number and so on.And by citing examples,I summarized and fully reflect the integral mean value theorem in the application of learning problem solving exercises.关键词：积分中值定理；推广；应用Keyword:mean value theorem of integrals; extension; Application1 引言中值定理在数学分析中占有非常重要的地位，学好积分中值定理和微分中值定理能为进一步学好微积分理论打下坚实的基础。
积分中值定理等号
积分中值定理等号积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是Newton-Leibniz积分定理的一个推广和应用。
积分中值定理的核心思想是将函数在一个区间内的平均值与函数在该区间内某一点的函数值联系起来，从而得到函数在该区间上的某一点的函数值。
这个函数值被称为积分中值。
积分中值定理是微积分中的基本工具，被广泛应用于求解各种问题，如曲线的长度、曲线下面积、函数的平均值等。
积分中值定理的数学表述是：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且在开区间(a, b)上可导，则存在c∈(a,b)，使得∫[a,b]f(x)dx=(b-a)f(c)。
根据积分中值定理，我们可以推导出一些重要的结论。
首先，当函数f(x)在闭区间[a, b]上连续时，存在一点c∈(a, b)，使得f(c)等于函数在该区间上的平均值。
这可以通过对函数f(x)在[a, b]上积分并除以区间长度(b-a)得到。
其次，当函数f(x)在闭区间[a, b]上可导时，存在一点c∈(a, b)，使得f'(c)等于函数在该区间上的斜率的平均值。
这可以通过对函数f(x)在[a, b]上的导函数f'(x)积分并除以区间长度(b-a)得到。
积分中值定理的应用非常广泛。
例如，可以利用积分中值定理来证明柯西-施瓦茨不等式。
柯西-施瓦茨不等式是线性代数中的一个重要不等式，它描述了内积空间中两个向量的内积与它们的模的乘积之间的关系。
利用积分中值定理，我们可以将柯西-施瓦茨不等式的证明转化为对一个关于t的函数的积分的证明，进而得到柯西-施瓦茨不等式。
另一个应用积分中值定理的例子是用于证明函数在某个区间上的最大值和最小值。
根据费马定理，如果函数在某个区间的内部取得了最大值或最小值，那么这个点必须是函数的驻点或者在区间的端点上。
通过对函数在闭区间上的导函数进行研究，可以找到这些驻点或端点，并利用积分中值定理来证明最大值和最小值的存在性。
积分中值定理还可以用于证明微积分中的其他定理，如洛必达法则、泰勒展开式等。
广义积分中值定理的推广与应用
广义积分中值定理的推广与应用作者：李元玉来源：《教育教学论坛》2012年第45期摘要：广义积分中值定理是数学分析中的一个重要定理，对微分中值定理、曲线和曲面积分中值定理等的认识有很大帮助.本文根据广义积分中的广义积分和积分中值定理的定义和相关性质，扩展到广义积分中值定理中，重点在单调区间上的广义积分中值定理、带有参数的广义积分中值定理、广义Riemann积分中的推广这三方面进行探讨.关键词：广义积分；积分中值定理；广义积分中值定理中图分类号：G712 文献标志码：A 文章编号：1674-9324（2012）12-0164-031 广义积分1.1 第一类广义积分设函数f（x）在区间[a，b]上可积，则称■f（x）dx为第一类广义积分[1]，且当■■f（x）dx存在时，称该广义积分收敛，反之称之为发散。
同理，有■f（x）dx属于第一类广义积分形式，而■f（x）dx由双向极限（a→-∞，且b→+∞）确定其收敛性，属第一类双边广义积分。
1.2 第二类广义积分设f（x）在x=a右侧领域内无界（x=a称为f（x）的一个奇点），？坌X∈（a，b]，f （x）在[X，b]上可积，则称■f（x）dx为第二类广义积分[1]，且当■■f（x）dx存在时称■f （x）dx收敛，反之极限不存在时，称广义积分■f（x）dx发散。
被积函数f在点a近旁是无界的，这时点a称为f的瑕点，而无界函数反常积分■f（x）dx 又称为瑕积分。
类似上述描述可有积分上限为奇点的第二类广义积分，甚至可有[a，b]内有奇点x=c的广义积分■f（x）dx称为第二类广义积分。
2 积分中值定理2.1 积分中值定理及其几何意义积分中值定理[1]：若f在[a，b]上连续，则至少存在一点ζ∈[a，b]，使得■f（x）dx=f （ξ）（b-a）.积分中值定理的几何意义：若f在[a，b]上非负连续，则y=f（x）在[a，b]上的曲边梯形面积等于以f（ξ）为高，[a，b]为底的矩形面积。
推广的积分中值定理及其应用
推广的积分中值定理及其应用摘要:定积分是微积分的重要组成部分,而积分中值定理是定积分的重要性质之一,所以积分中值定理在微积分中占了很重要的地位,本文系统的叙述了推广的积分中值定理包括:ξ必可以在开区间中取得,导函数的积分中值定理等多个方面,我们所学知识中积分中值定理与微分中值定理的中间点的存在区间是不统一的,但推广后的积分中值定理能够与微分中值定理的存在区间从形式上统一起来,使与其相关的理论得以联系和应用.同时,在本篇论文中以实例的形式列举了推广的积分中值定理在确定零点分布、证明积分不等式、求极限等方面的应用,显然,推广的积分中值定理的优点就在于此,它可以解决原积分中值定理无法解决的问题,这表明了积分中值定理在推广后更具有应用性.关键词:积分中值定理;导函数;微分中值定理Promotion of Integral Mean ValueTheorem and Its ApplicationAbstract:Definite integral is an important component of calculus, the mean value theorem is one of the important properties of the definite integral, so integral mean value theorem in calculus plays a very important position .This paper describes the system topromote the integral mean value theorem, including: ξwill be achieved in the open interval ,of the derivatives and other integral mean value theorem, we have the knowledge of the differential mean value theorem and the Intermediate Value Theorem Existence interval is not uniform, but after the promotion of integral mean value theorem and the Mean Value Theorem to the presence of range from the formal unity, so that contact can be associated with the theory and application. Meanwhile, in this paper an example to cite a form of integral mean value theorem in determining the zeros to prove inequality, such as the application of limit, obviously, to promote the advantages of integral mean value theorem in this, it Can solve the original integral mean value theorem can not solve the problem, suggesting that the integral mean value theorem in the promotion of a more applied after.Keywords: Integral mean value theorem, derivative, mean value theorem1预备知识在本部分中具体叙述了这篇论文中所需要的相关知识,包括导函数介值性定理、拉格朗日中值定理以及变上限积分函数的定义和性质等,这些理论知识为第二部分的定理推导以及证明做了铺垫,所以起了重要的作用.1.1设()g x 在[,]a b 上非负可积,且()0abg x dx >⎰则存在[,](,)c d a b ⊂使得()0dcg x d x >⎰1.2 设()f x 在[,]a b 上连续,0x ,1x ,2x [,]a b ∈若10()()f x f x >,20()()f x f x <,则存在(,)a b ξ∈,使得0()()f f x ξ=1.3若函数()f x 在[,]a b 上可导,且''()()f a f b +-≠,k 为介于'()f a +,'()f b -之间的任意数,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得'()f k ξ=1.4若'()f x 为[,]a b 上的非负导函数,且存在0[,]x a b ∈,使'0()0f x >,则必有'()0baf x dx >⎰1.5（拉格朗日中值定理）若函数()f x 满足如下条件: （1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续; （2）()f x 在开区间(,)a b 内可导;则在(,)a b 内至少存在一点ξ使得'()()()f b f a f b aξ-=-1.6变上限积分函数:设()f x 在[,]a b 上可积,x 为[,]a b 内任意一点,则称函数()()xax f t dt φ=⎰为变上限积分函数1.7变上限积分函数有以下若干性质 （1）有界性命题1 设函数()f x 在[,]a b 上可积,则()x φ在[,]a b 上有界（2）连续性命题2 设函数()f x 在[,]a b 上可积,则()x φ在[,]a b 上连续 （3）可积性命题3 设函数()f x 在[,]a b 上可积,则()x φ在[,]a b 上可积 （4）可微性（原函数存在定理）()f x 在[,]a b 上连续,则()x φ在[,]a b 上处处可导.且'()()()xad x f t dt f x dx φ==⎰ [,]x a b ∈2 推广的积分中值定理积分第一中值定理在数学分析教材中为:若()f x 在[,]a b 上连续,则至少存在一点[,]a b ξ∈,使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰推广的积分第一中值定理在数学分析教材中为:()f x ,()g x 都在[,]a b 上连续,且()g x 在[,]a b 上不变号,则至少存在一点[,]a b ξ∈,使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰我们知道积分中值定理可用于确定数列及函数列的极限,确定零点分布,判别函数的敛散性,证明积分不等式等.但观察上述式子我们发现ξ的取值有时会在两个端点处取得,有的习题用原有的积分中值定理不能够解答出来.例如在证明积分不等式时,运用原有的积分中值定理我们只可以证明≤或≥的情况,所以带有一定的局限性.下面我们对原有的积分中值定理做一下加强,使“ξ”的范围由闭区间缩小到开区间,即得到了下面所叙述的推广的积分中值定理.2.1积分第一中值定理的推广定理 2.1(1)若()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ使得:()()()baf x dx f b a ξ=-⎰成立证明: 作辅助函数()()x aF x f t dt =⎰ [,]x a b ∈则()F x 是[,]a b 的可微函数,且'()()F x f x =.由微积分学中值定理,至少存在一点(,)a b ξ∈,使得:'()()()()F b F a F b a ξ-=-注意到()()ba Fb f x dx =⎰,()0F a =,即有()()()baf x dx f b a ξ=-⎰(,)a b ξ∈2.2推广的第一积分中值定理的加强引理1 设()g x 在[,]a b 上非负可积,且()0ba g x dx >⎰,则存在[,](,)c d ab ⊂使得()0dcg x dx >⎰证明:用反证法作辅助函数()()b x a xG x g t dt -+=⎰[0,]2b a x -∈,则()G x 是[0,]2b a-上的非负连续函数.若命题不成立,则对任意的(0,)2b ax -∈有()G x ≡0,令x o →+,得(0)()0b a G g t dt ==⎰,产生矛盾.引理2 ()f x 在[,]a b 上连续,0x ,1x ,2x [,]a b ∈,若10()()f x f x >,20()()f x f x <,则存在(,)a b ξ∈,使得0()()f f x ξ=证明:作辅助函数0()()()H x f x f x =-,我们不妨设12x x <,因为()f x 在[,]a b 上连续,故()H x 也连续,从而在12[,]x x 上连续.1()0H x >,2()0H x <由连续函数的零点定理知存在12(,)x x ξ∈使得()0H ξ=即当然0()()f f x ξ=其中(,)a b ξ∈.引理3 若()g x 在[,]a b 上连续且不恒为零,则积分()0ba g x dx >⎰证明:倘若有某0[,]x a b ∈,使0()0g x >,由连续函数的局部保号性知存在0x 的某邻域00(,)x x δδ-+,使在其中0()()02g x g x ≥>,则 00000000()()()()()00()02bx x b x aax x x g x g x dx g x dx g x dx g x dx dx g x δδδδδδδ-++-+-=++≥++=>⎰⎰⎰⎰⎰证毕.定理 2.2 设()f x 在[,]a b 上连续,()g x 在[,]a b 上可积不变号,则至少存在一点(,)a b ξ∈使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰证法1(2)证明:1︒()0bag x dx =⎰时,此时,由推广的积分中值定理知,存在[,]a b ξ∈使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰=0于是对任意的0(,)x a b ∈有0()()()()bbaaf xg x dx f x g x dx =⎰⎰命题成立2︒当()0g x ≥，且()0bag x dx >⎰时，若命题不成立，即不存在(,)a b ξ∈，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰则由推广的积分中值定理知，只能有()()()()b baaf xg x dx f a g x dx =⎰⎰ （1）或者 ()()()()b baaf xg x dx f b g x dx =⎰⎰ 成立 （2）若是命题不成立而（1）成立,则在(,)a b 内()()f x f a ≠ 由引理2在(,)a b 内恒有()()f x f a >或者()()f x f a <,不妨设()()f x f a >,而对()g x 运用引理2存在[,](,)c d a b ⊂,使得()0dc g x dx >⎰于是()()()()()()()()()()bbcdbaaacdf ag x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx ==++⎰⎰⎰⎰⎰=123()()()()()()c d bacdf g x dx f g x dx f g x dx ξξξ++⎰⎰⎰其中1[,]a c ξ∈,2[,]c d ξ∈,3[,]d b ξ∈,这是根据推广的积分中值定理得出的,由于1()()f f a ξ≥,()0cag x dx ≥⎰,2()()f f a ξ>,()0dcg x dx >⎰,3()f ξ中的3b ξ≠时3()()f f a ξ>.当3b ξ=时,对()()f x f a >,0x b →-,由()f x 在[,]a b 上的连续性可知,()()f b f a ≥而()0dd g x dx ≥⎰,综上可得到()()()()()()()()()()b c d b baacdaf ag x dx f a g x dx f a g x dx f a g x dx f a g x dx >++>⎰⎰⎰⎰⎰这是一个矛盾,因此命题成立.若是命题不成立而（2）成立,同样可得出矛盾,因此定理得以证明3︒ 当()0g x ≤,且()0ba g x dx <⎰时此时()0g x -≥,且[()]0bag x dx ->⎰,由情形2的讨论知,存在(,)a b ξ∈,使得()[()]()[()]bb aaf xg x dx f g x dxξ-=-⎰⎰ 即有()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰ (,)a b ξ∈总之,定理2.2完全得以证明证法2(3)证明:令()()xaF x f t dt =⎰,由拉格朗日中值定理知,(,)a b ξ∃∈,使得'()()()F b F a F b aξ-=-,即()()()baf x dx f b a ξ=-⎰不妨设()0g x ≥,[,]x a b ∈,若()g x 在[,]a b 上恒为零,则结论显然成立.若()g x 在[,]a b 上连续且不恒为零,则积分()0ba g x dx >⎰令()()()x aF x f t g t dt =⎰,()()xaG x g t dt =⎰,在[,]a b 上应用柯西中值定理，(,)a b ξ∃∈,使''()()()()()()()()()()()()()babaf tg t dtF b F a F f g fG b G a G g g t dtξξξξξξ-=⇒==-⎰⎰即()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰2.3积分第二中值定理的推广在数学分析教材中积分第二中值定理是这样叙述的,设函数()f x 在[,]a b 上可积 （1）若函数()g x 在[,]a b 上减,且()0g x ≥,则存在[,]a b ξ∈,使得()()()()baaf xg x dx g a f x dx ξ=⎰⎰（2）若函数()g x 在[,]a b 上增,且()0g x ≥,则存在[,]a b η∈,使得()()()()bbaf xg x dx g b f x dx η=⎰⎰其推论为:设函数()f x 在[,]a b 上可积,若()g x 为单调函数,则存在[,]a b ξ∈,使得()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰现在研究一下推论的情形:在第一积分中值定理中,我们把ξ的取值区间由闭区间缩小到开区间,但对于积分第二中值定理是否可以做这样的加强呢,看一下下面的例子:在闭区间[,]a b 上()1f x =,1[,)()2x a b g x x b ∈⎧=⎨=⎩若在(,)a b 上存在ξ使得()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰即 ()()()()2()2b a g a a g b b a b b a ξξξξξ-=-+-=-+-=--所以b ξ=,即ξ在[,]a b 的端点.这个例子告诉我们积分第一中值定理的加强结果对于积分第二中值定理不一定成立,但是这里的有限区间[,]a b 却可以换成[,)a +∞或(,]b -∞或(,)-∞+∞.此处只讨论第一种情况定理 2.3(4)设()g x 在[,)a +∞上单调有界,()f x 在[,)a +∞上可积,且()f x 没有+∞以外的瑕点,则存在[,)a ξ∈+∞使得()()()()()()aaf xg x dx g a f x dx g f x dx ξξ+∞+∞=++∞⎰⎰⎰这里()lim ()x g g x →+∞+∞=证明:不妨设()g x 在[,)a +∞上单调下降,由于()g x 有界,所以()g x 在+∞处有有限的极限,记为()g +∞,于是可记()()()G x g x g =-+∞,则()0G x ≥,而对于任意的有穷区间[,]a A ,由第二积分中值定理可知,总有[,]a A η∈使得:()()()()Aaaf x G x dx G a f x dx η=⎰⎰而()()A aF A f x dx =⎰是[,)a +∞上的关于A 的连续函数,又()f x 在[,)a +∞上可积,则()F A 在[,)a +∞上有有穷的下确界和上确界,不妨记[,)inf ()A a m F A ∈+∞=,[,)sup ()A a M F A ∈+∞=,则有()m F A M ≤≤又因为()()()()Aaaf x G x dx G a f x dx η=⎰⎰所以有()()()()AamG a G x f x dx MG a ≤≤⎰再令A →+∞,则有()()()()amG a G x f x dx MG a +∞≤≤⎰令 ()()()aG a G x f x dx μ+∞=⎰, （3）则有()()()mG a G a MG a μ≤≤如果()0G a ≠则m M μ≤≤,因为()()AaF A f x dx =⎰是[,)a +∞上的关于A 的连续函数,所以()F A 可以达到其上确界M 和下确界m 及上确界和下确界之间的任意值,即存在[,)a ξ∈+∞使得()af x dx ξμ=⎰将其带入（3）式就有()()()()aaG a f x dx G x f x dx ξ+∞=⎰⎰即(()())()(()())()aag a g f x dx g x g f x dx ξ+∞-+∞=-+∞⎰⎰所以()()()()()()aaf xg x dx g a f x dx g f x dx ξξ+∞+∞=++∞⎰⎰⎰如果()0G a =,因为()g x 在[,)a +∞上单调下降,所以()G x 在[,)a +∞上单调下降,又因为()0G x ≥即()0G x =所以()()g x g =+∞,即()g x =常数,那么对任意的[,)a ξ∈+∞,都有()()()()()()aaf xg x dx g a f x dx g f x dx ξξ+∞+∞=++∞⎰⎰⎰证毕.这个定理告诉我们:第二积分中值定理虽然在有限开区间上不一定成立,但在无穷区间上却是成立的.通过以上的推导过程我们会发现在积分中值定理的前提下,ξ必可以在开区间中取得.在微积分学中积分中值定理和微分中值定理两者在一定意义上是互逆的、对立的,这种辩证的对立统一使微积分的内容更加丰富多彩,但两者中间点ξ的存在区间是不统一的,给其相关理论和应用带来了不便,但改动之后,推广的积分中值定理与微分中值定理的取值区间得以统一,从而更能体现积分中值定理的中值性,以及两个定理之间的联系.一方面可由微分中值定理推出积分中值定理根据牛顿—莱布尼茨公式:()()()ba f x dx Fb F a =-⎰其中()F x 是()f x 在[,]a b 上的原函数即'()()F x f x =,[,]x a b ∈,显然()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,于是至少存在一点(,)a b ξ∈使得'()()()()F b F a F b a ξ-=-()()f b a ξ=- (,)a b ξ∈即()()()baf x dx f b a ξ=-⎰(,)a b ξ∈另一方面,推广的积分中值定理推出微分中值定理:若()f x 在[,]a b 上有连续的导函数,直接计算得:'()()()baf x dx f b f a =-⎰ （4）而由推广的积分中值定理至少存在一点(,)a b ξ∈,使得''()()()baf x dx f b a ξ=-⎰（5）由（4）和（5）有'()()()()f b f a f b a ξ-=-,这正是微分中值定理.2.4 导函数的积分中值定理及其应用在微积分学中,积分中值定理与微分中值定理都有着很重要的地位,下面我们将积分中值定理条件下的连续函数推广到导函数,并用Darboux 定理给出了详尽的证明,由此我们得出了导函数积分中值定理.引理1(5)（Darboux ） 若函数()f x 在[,]a b 上可导,且''()()f a f b +-≠,k 为介于'()f a +,'()f b -之间的任意数,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得'()f k ξ=引理2 若'()f x 为[,]a b 上的非负导函数,且存在0[,]x a b ∈,使'0()0f x >,则必有'()0baf x dx >⎰定理 2.4(6)若'()f x 为[,]a b 上的导函数,()g x 为[,]a b 上的连续函数,且()g x 在[,]a b 上不变号,则至少存在一点ξ[,]a b ∈,使得''()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰证明:不妨设()0g x ≥,'()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值为别为M 与m ,其中M 可以取+∞,m 可以取-∞,在a 点取'()f a +,在b 点取'()f b -,令()0ba I g x dx =≥⎰,又'()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤,([,])x a b ∈,则有'()()()()bbbaaam g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰当0I =或m M =时,任意取(,)a b ξ∈均可当0I >或m M <时,令'1()()b a u f x g x dx I=⎰ ()m u M ≤≤ 当m u M ≤≤时,由Darboux 定理知,至少存在一点(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ= 当m u M =<时,利用反证法证明存在(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ=若对一切的(,)x a b ∈,有'()0f x u ->且()0baI g x dx =>⎰,则()g x 在[,]a b 上不恒为零,即存在0[,]x a b ∈,使得0()0g x >,由连续函数的保号性知存在0x 的邻域00(,)x x σσ-+（当0x a =或0x b =时,则为右邻域或左邻域）使得对于任意的00(,)x x x σσ∈-+,有0()()02g x g x ≥>,则 0000'''0()(())()(())()(())2bx x ax x g x f x u g x dx f x u g x dx f x u dx σσσσ++--->-≥-⎰⎰⎰ 由引理2可得00'(())0x x f x u dx σσ+-->⎰,从而有'(())()0b af x ug x dx ->⎰另一方面:''0(())()()()()0bbbaaaf x ug x dx f x g x dx u g x dx uI uI <-=-=-=⎰⎰⎰出现矛盾,故原命题成立,即当m u M =<时,存在(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ=当m u M <=时,同理可证必存在(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ=成立同理可证二阶导函数,n 阶导函数对上述的导函数的积分中值定理成立,只要我们把它们看成一阶连续导函数和n-1阶连续导函数的导函数,便可用同样的方法得证.定理2.4的应用说明例1 设函数()f x 在[,]a b 上二次可微,证明存在一点(,)a b ξ∈,使得''324().[()()]()2b aa bf f x f dx b a ξ+=--⎰ 证明:记02a bx +=,将被积函数在0x x =处按泰勒公式展开,得 2'''0000()()()()()()2x x f x f x x x f x f η--=-+其中η在x 与0x 之间,因为'00()()0bax x f x dx -=⎰,即2''00()(()())()2bbaax x f x f x dx f dx η--=⎰⎰由定理知存在(,)a b ξ∈使32''''2''00()()()()()()12bba ab a x x f dx f x x dx f ηξξ--=-=⎰⎰从而''324().[()()]()2b a a bf f x f dx b a ξ+=--⎰例2 已知导函数'()f x 在[1,2]上有界,求证2'1lim ()0nx n f x e dx -→∞=⎰证明:导函数'()f x 在[1,2]上有界,所以存在正数M ,对[1,2]ξ∈,有'()f M ξ<,由定理1知,存在1(1,2)ξ∈,2(1,2)ξ∈, 使得222'''1111()()()n nnx x f x edx f edx f eξξξ---==⎰⎰从而有2'1lim ()0nx n f x e dx -→∞=⎰3 推广的积分中值定理的应用3.1用于确定零点分布例3 (7)证明:若()f x 在[,]a b 上连续,且()()0b ba af x dx xf x dx ==⎰⎰,则在(,)a b 内至少存在两点1x ,2x 使得12()()f x f x =证明:设()()xa F x f t dt =⎰那么我们有()()()0baf x dx F b F a =-=⎰,所以()()F b F a ==0又因为()()()()bbbba aaaxf x dx xdF x xF x F x dx ==-=⎰⎰⎰ ()()()()bF b aF a F b a ξ---所以可得; ()()()()b a F b F b a ξ-=-,所以()()()F b F F a ξ===0 证毕例4(8) 证明:若()f x 在[0,]π上连续,且0()()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰,证明:存在两点1ξ,2ξ (0,)π∈,使得 12()()0f f ξξ==证明:令0()()xF x f t dt =⎰ 即'()()F x f x =,()(0)0F F π==00()cos cos ()cos ()()cos f x xdx xdF x xF x F x d xππππ==-⎰⎰⎰()sin ()sin .0F x xdx F πξξπ===⎰所以()0F ξ= (0,)ξπ∈,对()F x 在(0,)ξ,(,)ξπ上使用罗尔定理,即存在1(0,)x ξ∈,2(,)x ξπ∈满足'1()0F x =,'2()0F x =,即12()()0f x f x ==证毕 例5(3)假如()f x 在[0,]π上连续,且0()sin ()cos 0f x xdx f x xdx ππ==⎰⎰,则()f x 在(0,)π内至少有两个零点.证明:由已知条件,并运用推广的积分中值定理得0()sin ()sin 2()()0f x xdx f xdx f f ππξξξ===⇒=⎰⎰,(0,)ξπ∈即()f x 在(0,)π有一个零点，假如仅有一个零点x ξ=,则()f x 在[,]a ξ与[,]b ξ上均不变号,且异号,那么()sin()f x x dx ξ-在[0,]π上保持同号,连续且不恒为零,必有()sin()0f x x dx πξ->⎰（或0<）与已知0()sin()cos ()sin sin ()cos 0f x x dx f x xdx f x xdx πππξξξ-=-=⎰⎰⎰矛盾.3.2 证明积分不等式在证明积分不等式时,常常考虑积分中值定理以便去掉积分符号,如果被积函数是两个函数之积时,可考虑用积分第一或第二中值定理,对于某些不等式的证明运用原积分中值定理只能得到“≥”的结论,或者不等式根被就不能得以证明,而运用了推广的积分中值定理后,则可以得到“>”的结论,或者成功的解决.例6(9) 假设()f x 在[0,1]上连续并且单调递减,证明对任何的(0,1)a ∈有1()()af x dx a f x dx >⎰⎰证明:将要证的不等式移项11()()()()()aa a af x dx a f x dx f x dx a f x dx a f x dx -=--⎰⎰⎰⎰⎰1(1)()()aaa f x dx a f x dx =--⎰⎰因为()f x 单调递减,所以在区间[0,]a 上()()f x f a ≥,即0()()af x dx af a ≥⎰,再对上式右边第二项运用推广的积分中值定理,即存在ξ其中1a ξ<<,使上式变成1(1)()()(1)()()(1)(1)[()()]a aa f x dx a f x dx a af a af a a a f a f ξξ--≥---=--⎰⎰因为()f x 单调递减,且1a ξ<<,,所以(1)[()()]0a a f a f ξ-->,即得证.例7(9) 设()f x 在[,]a b 上连续且单调递增,证明()()2bbaaa b xf x dx f x dx +>⎰⎰证明:将要证的不等式移项,并分部积分得()()2bbaa ab xf x dx f x dx +-⎰⎰ 22()()()()()()222a bbb a b a a a b a b a bx f x dx x f x dx x f x dx +++++=-=-+-⎰⎰⎰ 令()()2a b g x x +=-,显然()f x ,()g x 在[,]2a b a +和[,]2a b b +上可积,且()g x 在[,]2a b a +和[,]2a b b +上不变号,由推广的积分中值定理知:即存在11()2a b a ξξ+<<,22()2a bb ξξ+<<,使得221222()()()()()()()()2222a ba bb b a b a b aa ab a b a b a b x f x dx x f x dx f x dx f x dxξξ++++++++-+-=-+-⎰⎰⎰⎰整理得221()[()()]8a b f f ξξ+-,因为()f x 是单调递增函数,122a b a b ξξ+<<<<,所以221()[()()]08a b f f ξξ+->,证毕. 在上述例子中我们可以看到有的题原积分中值定理不适用,而推广的积分中值定理可以将问题解决.在例6中如果运用原积分中值定理,由1a ξ≤≤只能得到“0≥”的结论;而在例7中也只能得到12()()f f ξξ≤的结论.3.3求极限例8(10)证明10lim 01nn x dx x→∞=+⎰ 证明:0ε∀>,如果取1[0,1]2ξε∈-,则有10lim 01nn dx ξξ→∞=+⎰,即N ∃,当n N >时,有12n ξεξ<+,又因为:11120012111n n n x x x dx dx dx x x x εε--=++++⎰⎰⎰对等式右边第一个积分运用中值定理,对第二个积分的被积函数用不等式011n x x <≤+,则有当n N >时有100[2]122n x dx x εε<<-+⎰,所以有10lim 01n n x dx x→∞=+⎰ 证毕.参考文献[1] 杨延龄,邹励农,章栋恩.高等数学微积分700例题[M].中国建材工业出版社.2004年10月.123页.[2] 陈卫星,马全中.关于积分中值定理及推广的积分中值定理的改进[J]. 中国煤碳经济学院学报,1994年,第1期.54,55页.[3] 郝涌,李学志,陶有德.数学分析选讲[M].国防工业出版社.2010年4月.83页,94页.[4] 朱碧,王磊.第二积分中值定理的一些推广及其应用[J]. 考试周刊, 2008年,第30期.49页.[5] 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京.高等教育出版社.2003年.[6] 谢焕田.积分中值定理的推广及其应用[J].高师理科学刊,2009年,第5期.8,9页[7] 华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 高等教育出版社.1991年.[8] 许洪范.考研微积分500例[M]. 国防工业出版社.2009年3月.121页.[9] 李海军.积分中值定理的应用[J].赤峰学院学报.2010年,第6期,4页.[10]荆江雁.积分中值定理得推广[J].常州工学院学报.2007年,第1期 ,53页.致谢从选择论文题目到搜集材料再到一遍又一遍的修改仿佛经历了太长的时间,论文比我想象中要难写的多,我明白想写好一篇优秀的论文就必须付出百倍的努力,在论文即将交稿之时,心里多了一些轻松,同时多了一丝伤感.自己的大学生活随着论文的结束而画上了一个句号.回想自己写论文的全过程,自己最要感谢的是论文导师许宏文老师,她为人很随和,治学严谨,对待工作认真,对待学生负责,许老师给人一种很容易接近的感觉,忘不了第一次接许老师电话的情景:她耐心的给我指点着,细心的帮我分析写这篇论文的注意事项……之所以论文会顺利的完成许老师付出了太多,太多.一遍一遍的检查,一遍又一遍的帮我指出错误,在这里我想说声:许老师:您辛苦了！真的谢谢您！最后要感谢我的学校,感谢教予我知识的老师,感谢我四年的大学生活,在这四年里自己学到了很多,也成长了很多.谢谢！。
积分第一中值定理及其推广证明
2.1积分第一中值定理证明积分第一中值定理:如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在闭区间[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得成立。
证明如下：由于()g x 在闭区间[,]a b 上不变号，我们不妨假设()0g x ≥，并且记()f x 在闭区间[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ，即()m f x M ≤≤，我们将不等式两边同乘以()g x 可以推出，此时对于任意的[,]x a b ∈都会有成立。
对上式在闭区间[,]a b 上进行积分，可以得到()()()()b b ba a a m g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰。
此时在,m M 之间必存在数值μ，使得m M μ≤≤，即有成立。
由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的，则在[,]a b 上必定存在一点ξ，使()f ξμ=成立。
此时即可得到()()()()b ba a f x g x dx f g x dx ξ=⎰⎰， 命题得证。
2.2积分第一中值定理的推广定理：（推广的第一积分中值定理）若函数()f x 是闭区间[,]a b 上为可积函数，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，那么在开区间(,)a b 上至少存在一点ξ，使得成立。
推广的第一积分中值定理很重要，在这里给出两种证明方法。
证法1：由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上是可积的，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，令()()()x a F x f t g t dt =⎰，()()xa G x g t dt =⎰，很显然(),()F x G x 在[,]ab 上连续。
并且()0,()()()b a F a F b f t g t dt ==⎰，()0,()()ba G a Gb g t dt ==⎰，()()()F f g ξξξ'=，()()G g ξξ'= 。
积分中值定理的推广与应用
积分中值定理的推广与应用
周燕
【期刊名称】《林区教学》
【年(卷),期】2008(000)010
【摘要】在数学分析中第一积分中值定理的基础上,证明了介值点必可在某一开区间内取得,然后进一步将这个结论推广到被积函数在区间端点为第一类间断点或瑕点,以及被积函数在某开区间内有间断点的情形,并且给出以上结果的一些具体应用实例。
将积分中值定理及其推广与实际应用相结合,充分阐明了积分中值定理的重要性。
【总页数】2页(P9-10)
【作者】周燕
【作者单位】盐城师范学院数学科学学院
【正文语种】中文
【中图分类】O172.2
【相关文献】
1.广义积分中值定理与积分中值定理“中间点”渐近性基本定理 [J], 施丽梅;李毅夫
2.广义积分中值定理的推广与应用 [J], 李元玉
3.微分中值定理与积分中值定理的逆定理 [J], 张兴龙;王丽霞
4.基于微分中值定理证明微积分基本公式和积分中值定理 [J], 郑权
5.关于积分中值定理及推广的积分中值定理的改进 [J], 陈卫星;马全中
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积分中值定理的推广与应用系别数学系专业数学与应用数学姓名韩凤指导教师张润玲职称副教授日期2011年6月国内图书分类号：吕梁学院本科毕业论文（设计）积分中值定理的推广与应用姓名韩凤系别数学系专业数学与应用数学申请学位学士学位指导教师张润玲职称副教授日期2011年6月摘要在微积分学中积分中值定理与微分中值定理一样有着重要的地位.微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,积分中值定理在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.它是《数学分析》、《高等数学》课程中定积分部分的基本定理之一.众所周知积分中值定理包括积分第一中值定理与积分第二中值定理,而在数学分析课本上已有过这两个定理的详细证明,但这两个定理的推广与应用尚未提及.因此,在教学过程中,学在运用这一知识点解决有关的数学问题比较困难,常常不知如何下手,本文主要讲述的是积分第一中值定理的各种形式的推广以及通过以下几方面的列举例题,加以归纳总结,并充分体现积分中值定理在学习解题练习中的应用.关键词：积分中值定理；推广；应用ABSTRACTThe integral median value theorem and differential median value theorem has the same important position in the questions and the proof of the inequality are all based on the integral theorem,the integral median theorem has played an important role in solving the problems about is one of the basic theorems in the definite integral part of“the mathematical analysis”and“the higher mathematics”.Well-known that the integral median theorem include the first median theorem for integrals and the second median theorem for integrals and the textbooks of the mathematical analysis have the detailed proof about the two theorems,but the popularization and application of the two theorems have not been addressed .Therefore,it is difficult when students use this knowledge to solve the related problems during the process of article mainly introduce various popularization of the first median theorem for integrals and giving some example through the following aspects,and giving some summary,strive to reflect the application of integral median value theorem in studying the way which can slove the ploblems.Keywords：Integral median value theorem; Promotion; Applications.目录引言 ...........................................................................错误!未定义书签。
第一章积分中值定理的推广 ................................. 错误!未定义书签。
积分中值定理................................................................ 错误!未定义书签。
积分第一中值定理的推广 ............................................ 错误!未定义书签。
第二章积分中值定理的应用 ................................. 错误!未定义书签。
证明方面的应用............................................................ 错误!未定义书签。
具有某些性质的点的存在问题................................. 错误!未定义书签。
用于证明积分不等式 ................................................ 错误!未定义书签。
在计算方面的应用........................................................ 错误!未定义书签。
与极限有关的问题 .................................................... 错误!未定义书签。
利用高阶导数计算定积分 ........................................ 错误!未定义书签。
用于级数的敛散性........................................................ 错误!未定义书签。
结束语 ........................................................................ 错误!未定义书签。
参考文献 .................................................................... 错误!未定义书签。
谢辞 ........................................................................ 错误!未定义书签。
引言在数学分析中,中值定理占有非常重要的地位,微积分的许多问题和不等式的证明都以它为依据,在证明有关中值问题时具有极其重要的作用.学好微积分中值定理能为进一步学好微积分理论打下坚实的基础.从引入积分中值定理入手,并对积分第一中值定理进行各种推广且扩大积分第一中值定理应用范围,增强其实际范围,使积分第一中值定理发挥更大作用.此外还对传统的微积分教材中关于定积分理论部分的这种模式:由连续函数的介值性⇒积分中值定理⇒微积分基本定理⇒牛顿—莱布尼兹公式.这一模式至少存在着如下的缺陷:它消弱了积分中值定理的结论从而限制了这一重要定理的应用,不便于对积分中值定理进行推广等等.本文将对上述传统顺序稍作调整后对积分中值定理进行各种推广.我们将会看到,这小小的调整不仅会使上述各种缺陷得到克服而且可以使积分中值定理的重要作用得到充分的发挥!进而提高我们的发散思维能力和创新能力.第一章 积分中值定理的推广积分中值定理积分第一中值定理 若函数()f x 在闭区间[],a b 连续,则至少存在一点ξ∈[],a b ,使得()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰. 积分第二中值定理 设函数()f x 在闭区间[],a b 上可积.()1若函数()g x 在[],a b 上为减函数,且()g x ≥0，则存在ξ∈[],a b ,使得()()()()b a a f x g x dx g a f x dx ξ=⎰⎰;()2若函数()g x 在[],a b 上为增函数,且()g x ≥0，则存在η∈[],a b ,使得()()()()b b a f x g x dx g b f x dx η=⎰⎰.积分第一中值定理的推广对于积分第一中值定理是否可以将条件闭区间[],a b 减弱到开区间(),a b ,是否对间断函数也有上述的积分中值定理呢我们将证明这个定理中ξ一定可以在开区间(),a b 上取到,并把这个定理推广到间断函数上去.定理 若函数()f x 在闭区间[],a b 连续,则在开区间(),a b 内至少有一点ξ,使得()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰. 证明 设()()xa F x f t dt =⎰,由微积分基本定理知()F x 在[],ab 上可微且()()F x f x '=,由拉格朗日微分中值定理可得,在(),a b 内存在一点ξ使()()()()F b F a F b a ξ'-=-.因为()()ba Fb f x dx =⎰,()0F a =以及()()F f ξξ'=, 所以()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰,a b ξ<<. 定理 若函数()f x 在开区间(),a b 上连续,而在x a =及x b =为第一类间断点,或只有一个第一类间断点而另一端点是连续点,则在(),a b 上至少有一点ξ,使得()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰.证明 设()()()()lim lim x a x b f x F x f x f x +-→→⎧⎪⎪=⎨⎪⎪⎩(),x a b x a x b ∈==因为()f x 在x a =及x b =为第一类间断点,所以()F x 是在[],a b 上的连续函数.对()F x 用积分中值定理并结合定理1有()()()ba F x dx Fb a ξ=-⎰,() a,b ξ∈. 由于在(),a b 上()()F x f x =以及() a,b ξ∈;所以有()()b a ba F x dx f x dx =⎰⎰,()()F f ξξ=. 故上式即为()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰,() a,b ξ∈. 注 上述定理说明了当端点为第一类间断点时积分中值定理依旧成立,若x a =或x b =为第二类间断点,则因为a 与b 是区间端点,故()f x 在x a =的右极限或在x b =的左极限不存在,所以对于重新定义()F x 使得()F x 在[],a b 上连续不能实现,故对于端点为第二类间断点不加以讨论,但若端点为无穷型间断点,且广义积分()ba f x dx ⎰收敛时,则()f x 在(),ab 上的积分中值定理是否仍成立下面定理回答了这一事实.定理 若()f x 在(),a b 上连续,x a =是连续点或第一类间断点,x b =为瑕点,且广义积分()ba f x dx ⎰收敛,则在(),ab 上仍有 ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰. 证明 由广义积分定义知()()0lim b b a a f x dx f x dx εε-→=⎰⎰.所以 ()()0lim b b a a f x dxf x dx b a b a εε-→=--⎰⎰()()()0lim b af x dx b a b a b a εεεε-→⎡⎤--⎢⎥=⨯⎢⎥---⎢⎥⎣⎦⎰()()()0lim ,0,1b a f a b a b a εεθεθ→--⎡⎤=+--∈⎡⎤⎢⎥⎣⎦-⎣⎦()0lim f a b a εθε→=+--⎡⎤⎣⎦, 由题意知:等式左边存在，所以等式右边也应存在.记()()0lim f f a b a εξθε→=+--⎡⎤⎣⎦,() a,b ξ∈.所以有 ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰,() a,b ξ∈. 注 上述定理的条件若设为x a =为无穷型间断点,x b =是连续点或第一类间断点,而其不变,则上述定理的结论仍成立.在上一定理中只有一端端点为无穷型间断点,若两端点都为无穷型间断点时情形呢 定理 设()f x 在(),a b 上连续x a =及x b =都为无穷型间断点且广义积分()ba f x dx ⎰收敛,则在(),ab 上至少有一点ξ,使得 ()()()ba f x dx fb a ξ=-⎰. 证明 由上一定理知()()()bcba a c f x dxf x dx f x dx b a b a+=--⎰⎰⎰ ()()c ba c f x dx f x dx c abc b a c a b a b c--=⨯+⨯----⎰⎰ ()()12c a b c f f b a b aξξ--=+--. 其中()()()12,,,,,c a b a c c b ξξ∈∈∈,显然[]()12,,a b ξξ⊂,所以有()f x 在[]12,ξξ上连续，设()()12f f ξξ≤,因为c a b a --0>,b c b a--0>.所以有 ()()()()()()111222c a b c c a b c c a b c f f f f f f b a b a b a b a b a b aξξξξξξ------+≤+≤+------ 即 ()()()()1122c a b c f f f f b a b aξξξξ--≤+≤--. 因此对在[]12,ξξ上连续函数()f x 使用介值定理得()()12c a b c f f b a b aξξ--+--()f ξ=,ξ∈[]()12,,a b ξξ⊂. 所以有()()()b a f x dx f b a ξ=-⎰,() a,b ξ∈.若设()()12f f ξξ>,证法相同.通过我们对积分第一中值定理中ξ一定可以在开区间(),a b 上取到并使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰成立,而且我们在分析证明时注意到()()()baf x dx f b a ξ=-⎰实际上还可表为()()()()()()()baf x dx F b F a F b a f b a ξξ'=-=-=-⎰,() a,b ξ∈.这样,就能把N-L 公式,微分中值定理,积分第一中值定理统一起来,大大加强了它们之间的联系,并在一定条件下可以相互转化,更为重要的是我们可以利用微积分基本定理对定理进行推广.定理 函数()f x 在闭区间[],a b 有p 阶导数,则至少存在(),c a b ∈使()()()()()()()()()()()()1212!!1!p p bpp af a f a f c f x dx f a b a b a b a b a p p -+'=-+-++-+-+⎰…证明 ()()xaF x f t dt =⎰则[],x a b ∀∈,有()()F x f x '=,()()()()1k k F x f x +=,1,2,k =…p .又()F x 在点x a =的p 阶泰勒公式为()()()()()()()()()()()11!1!p p pp F a F F x F a F a x a x a x a p p ξ++'=+-++-+-+…,(),a x ξ∈.注意到()()baF b f x dx =⎰,()0F a = 故在上式中令x b =,得()()()()()()()()()()()()1212!!1!p p bpp af a f a f c f x dx f a b a b a b a b a p p -+'=-+-++-+-+⎰….其中(),c a b ∈.上述定理只说明了函数()f x 有p 阶导数,若函数()f x 有p (偶数）阶连续导数时情形呢定理 设函数()f x 在闭区间[],a b 有p （偶数）阶连续导数,则至少存在一点(),c a b ∈使()()()()()()()()()()23112222223!21!21!p p bp p p paa b a b f f f c a b f x dx f b a b a b a b a p p --+-++⎛⎫⎛⎫'' ⎪ ⎪+⎛⎫⎝⎭⎝⎭=-+-++-+- ⎪⋅⋅-⋅+⎝⎭⎰… 证明 设()()xaF x f t dt =⎰,则[],x a b ∀∈,有()()F x f x '=,()()()()1k k F x f x +=,1,2,k =…p .设02a bx +=,则()F x 在点0x x =的p 阶泰勒公式为 ()()()()()()()()()()()()()121000000002!!1!p p pp F x F x F F x F x F x x x x x x x x x p p ξ++'''=+-+-++-+-+…其中(),a x ξ∈.特别，在上式中分别令x b =和x a =,则分别得()()()()()()()()()()()()()()12100100002!!1!p p bpp aF x F x F f x dx F b F x F x b x b x b x b x p p ξ++'''==+-+-++-+-+⎰…()1和()()()()()()()()()()()()()12100200000002!!1!p p p p F x F x F F a F x F x a x a x a x a x p p ξ++'''==+-+-++-+-+…()2其中()10,x b ξ∈,()20,a x ξ∈.由()1式-()2式得()()()()()()()220000002!baf x f x dx f x b x a x b x a x ''⎡⎤=---+---++⎡⎤⎣⎦⎣⎦⎰…()()()()()()()()()()()()1110120000!1!1!p p p p pp p f x f f b x a x b x a x p p p ξξ-++⎡⎤---+---⎣⎦++()3因为p 为偶数,且对q N ∈,有()()222200022q qqqb a a b b x a x --⎛⎫⎛⎫---=-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.()()()2121212121002222q q q q q qb a b a a b b x a x +++++---⎛⎫⎛⎫---=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭故由()3式得()()()322223!baa b f a c f x dx f b a b a +⎛⎫'' ⎪+⎛⎫⎝⎭=-+-+ ⎪⋅⎝⎭⎰…()()()()()()()()()211122221!221!p p p p p p p a b f f f b a b a p p ξξ-+--+⎛⎫ ⎪+-⎝⎭+-+⋅⋅-+ . ()4 依题设,()()p f x 在[],a b 连续且()()()(){}()()()()()()()(){}121212min ,max ,2p p p p p p f f ff f f ξξξξξξ+≤≤.由连续函数的介值性，知存在一点[]()12,,c a b ξξ∈⊂使()()()()()()122p p p f f f c ξξ+=以此代入()4，即得证.第二章 积分中值定理的应用证明方面的应用具有某些性质的点的存在问题在积分学的学习过程中,有关定积分具有某种性质的点的存在性的论证是学生学习的一难点.一般,我们应仔细观察被积函数所具有的性质,注意利用微分中值定理,积分中值定理等途径,从而达到有关问题的证明.例1 ()f x 在[]0,1连续,在()0,1可导,且()()12012f xf x dx =⎰,试证明在()0,1存在一点ξ,使()()1f f ξξξ'=-成立.分析 结论()()1f f ξξξ'=-()()()00x f f xf x ξξξξ=''⇔+=⇔=⎡⎤⎣⎦,可构造辅助函数()()F x xf x =.但是，()00F =,()()11F f =,()F x 在[]0,1不满足罗尔定理的条件.可在[]0,1内寻找满足罗尔定理的条件的子区间.证明 ()()F x xf x =,则()F x 在[]0,1连续,在()0,1可导.由积分中值定理知()()()12012f xf x dx f ηη==⎰,()0,1η∈.因为 ()()()()11F f f F ηηη===. 所以由罗尔定理知,存在()()0,0,1ξη∈⊂,使()0F ξ'=则()()1f f ξξξ'=-.例2 函数()f x 在[]0,π上连续,且()00f x dx π=⎰,()0cos 0f x xdx π=⎰,试证:在()0,π内至少存在两个不同的点1ξ,2ξ使()()120f f ξξ==.证明 ()0f x ≡,[]0,x π∈结论显然成立. 假使()0f x ≠由积分中值定理知存在()10,ξπ∈使()()()100f x dx f πξπ=-=⎰.即()10f ξ=,若在()0,π内()0f x =只有一个实根1ξ,由()00f x dx π=⎰可知,()f x 在()10,ξ与()1,ξπ内异号,不妨设在()10,ξ内()0f x >,在()1,ξπ内()0f x <,而cos x 在()0,π为单调下降,所以()()()()110cos cos cos cos f x xdx f x dx f x x dx πππξξ-=-⎰⎰⎰()()()()11110cos cos cos cos 0f x x dx f x x dx ξπξξξ=-+->⎰⎰.与()0cos 0f x xdx π=⎰,()00f x dx π=⎰.矛盾,于是除1ξ外,在()0,π内()0f x =至少还有一个实根2ξ,故至少存在两个相异的实根1ξ,2ξ∈()0,π使()()120f f ξξ==.例3 函数()f x 在[],a b 上连续，在(),a b 内二阶可导且()()()1baf a f b f x dx b a ==-⎰.试证:存在一点ξ∈(),a b 使()0f ξ''=.证明 在[],a b 上()0f x ≡,则结论显然成立.假设[],a b 上()0f x ≠,由积分第一中值定理知,在[],a b 上至少存在一点c （实际上在开区间(),a b 内一定存在这样的c ）使得()()()ba f x dx f cb a =-⎰,所以()()()()1ba f x dx f a fb fc b a===-⎰. 又因()f x 在[],a c ,[],c b 上连续,在(),a c ,(),c b 内可导.由罗尔中值定理,存在()()12,,a b ξξξ∈⊂使()0f ξ''=.用于证明积分不等式积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当积分区间相同时,先合并统一积分区间上的不同积分,根据被积函数所满足的条件,灵活运用积分中值定理以达到证明不等式成立的目的.例4 ()f x 在[],a b 上连续,单调增加.证明 ()()2b baaa b xf x dx f x dx +≥⎰⎰证明 积分中值定理得()()()22bb b aa a ab a b xf x dx f x dx x f x dx ++⎛⎫-=- ⎪⎝⎭⎰⎰⎰.()()2222a b b a b aa b a b x f x dx x f x dx ++++⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰ ()()212222a bb a b aa b a b f x dx f x dx ξξ++++⎛⎫⎛⎫=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎰⎰()()()22102b a f f ξξ-=-≥⎡⎤⎣⎦. (()f x 是单调增加)其中122a ba b ξξ+≤≤≤≤故 ()()2bbaaa b xf x dx f x dx +≥⎰⎰.例5 ()f x 在[]0,1上是连续,非负,严格单调减函数.证明()()0aba a f x dx f x dx b>⎰⎰. 证明 积分第一中值定理可以得到()()()1af x dx af af a ξ=>⎰,()10a ξ<<;()()()()()2baf x dx b a f b a f a ξ=-<-⎰,()2a b ξ<<.由以上两个不等式可以得到()()()011a baf x dx f a f x dx a b a >>-⎰⎰; ()()01a b a b f x dx f x dx a ⎛⎫-> ⎪⎝⎭⎰⎰. 两边乘以ab得()()01ab a a a f x dx f x dx b b ⎛⎫-> ⎪⎝⎭⎰⎰. 因为01a b <<,所以11ab-<,又由于()f x 在[]0,1上是连续,非负函数.所以()00a f x dx >⎰.所以 ()()0a baa f x dx f x dxb >⎰⎰.在计算方面的应用 与极限有关的问题无论是数列极限还是函数极限的计算中,若含有定积分式,首先用定积分的相关知识即积分中值定理等把积分式简化,然后运用解决极限问题的各种方法,以达到解决问题的目的.例6 明sin lim 0n pnn xdx x+→∞=⎰,p 为某实数. 分析 数列通项含有变限积分,而被积函数属于“积不出”的类型,可用积分第一中值定理化解积分.证明 由积分第一中值定理,有sin sin n p n nnx dx p x ξξ+=⋅⎰,n ξ为介于n 与n p +之间的某值.则111n n n p ξ≤≤+或111n n n pξ≥≥+,而sin 1n ξ≤,由无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量,由迫敛性得sin lim 0n pnn xdx x+→∞=⎰. 例7 设函数()f x 连续,且()00f ≠,求极限. ()()()0lim x x x x t f t dt x f x t dt→--⎰⎰. 分析 先作变量替换,然后用洛比达法则,因为不能判断()0f 是否存在,所以不能再用洛比达法则,可用积分中值定理.解 令x t u -=,则()()()()00x xxf x t dt f u d u f t dt -=-=⎰⎰⎰.因为所求函数极限为0型不定式,由洛比达法则及积分中值定理有()()()0lim x xx x t f t dt x f x t dt→--⎰⎰()()()0lim xxxx xf t dt tf t dtx f x t dt→-=-⎰⎰⎰()()()limxxx f t dtf t dt xf x →=+⎰⎰()()()0limx xf xf xf x ξξ→=+()()()0lim00x f f f →=+12=此处ξ 介于0与x 之间.由()f x 连续有()()0lim 0x f f ξ→=.利用高阶导数计算定积分前面对积分第一中值定理进行了各种推广,现在通过以下几个例子来揭示推广了的积分中值定理的应用.例8 计算()521321I x x dx =++⎰解 记()2321f x x x =++，则由定理知()()()231114442!3!f f I f '''=⨯+⨯+⨯ 648864=⨯+⨯+ 152=.当然还可用定理来计算.例9 积分()40I f x dx π=⎰,其中()44sin cos f x x x =+.解 得()()14cos 42nn n f x x π-⎛⎫=+⎪⎝⎭,n N ∈.特别,当n 为偶数时,有 ()14cos 0822n n n f πππ-⎛⎫⎛⎫=+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,故 443sin cos 8488416I f ππππππ⎛⎫⎛⎫=⋅=+⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.例10 积分210x I e dx -=⎰的近似值.解 记()2x f x e -=.可以求得()nfx ()()()()()()()()224112312221!2!nn n n x n n n n n n ex x x -------⎡⎤=--+-⋅⋅⋅⎢⎥⎣⎦,n N ∈. 于是,由定理得()()462461*********!25!27!f f f I f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫'' ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭=++++ ⎪⋅⋅⋅⎝⎭…142461131123!25!27!e-⎡⎤=-++-⋅⋅⋅⎢⎥⋅⋅⋅⎣⎦. 若取前两项来近似I ,即I 14110.7463524e-⎛⎫≈-≈ ⎪⎝⎭. 用于级数的敛散性例11 函数()f x 在()0∞，+单调下降,且非负,1a >证明:()1k f k ∞=∑与()1k k k a f a ∞=∑有相同的敛散性.分析 此题目关键在于:由积分判别法将()1k f k ∞=∑的敛散等价于()1f x dx +∞⎰的敛散，而将()1f x dx +∞⎰表示为积分项级数,再利用积分中值定理及函数的非负递减性即可.证明 由积分中值定理有()()110k k a ak f x dx f x dx +∞+∞==∑⎰⎰()()10k k k k f a a ξ∞+==-∑()()01k k k a f a ξ∞==-∑,1,k k k a a ξ+⎡⎤∈⎣⎦. 0,1k =……又因()f x 非负递减,所以()()()10k k k f a f f a ξ+≤≤≤.故()()()()1110011k k k k k k a f a a f x dx a f a a a ∞∞+∞++==-≤≤-∑∑⎰ 即()1f x dx +∞⎰与()0k k k f a a ∞=∑有相同的敛散性.另一方面,根据积分判别法,()1f x dx +∞⎰与()1k f k ∞=∑有相同的敛散性,于是结论得证.例12 设函数()f x 在[)0,+∞为连续的,0c ∀>,有()cf x dx x+∞⎰收敛. 证明()()f ax f bx dx x+∞-⎰收敛并求其值,()0,0a b >>.证明 因0c ∀>,()cf x dx x+∞⎰收敛,所以0δ∀>有 ()()f ax f bx I dx xδδ+∞-=⎰()()f ax f bx dx dx x xδδ+∞+∞=-⎰⎰()()()b a b a f x f x f x dx dx dx x x xδδδδ+∞+∞=-=⎰⎰⎰由积分中值定理,存在δξ介于a δ与b δ之间,使()()ln b a dx b I f f x aδδδδδξξ==⎰. 又因()f x 在[)0,+∞上连续,从而有()()()00lim 0ln f ax f bx b dx I f x aδ++∞→-==⎰.结束语定积分是微积分的重要组成部分,积分中值定理又是定积分的重要的定理.这篇论文主要通过对积分第一中值定理中的介值点 可在某一开区间内取得的证明,并且进一步将这个结论推广到被积函数在区间端点为第一类间断点或瑕点,以及被积函数在某开区间内有间断点的情形外.同时也通过五个方面的实例归纳总结了积分第一中值定理在具有某些性质的点的存在问题、与数列极限和函数极限有关的问题、证明积分不等式、利用高阶导数计算定积分和用于级数的敛散性中的应用.参考文献［1］华东师范大学数学系.数学分析（上册）[M]北京:高等教育出版社,2001.［2］刘玉琏,等.数学分析讲义[M].北京:高等教育出版社,2004.［3］郑元英,毛羽辉.数学分析习题课教程[M].北京:高等教育出版社，1999.［4］王海玲.微分中值定理的推广及应用[J].长春理工大学学报,2003.［5］赵经纬,王贵君.改进的第一积分中值定理及其应用[J].新疆师范大学学报，2007.［6］王晶岩.积分中值定理的证明与应用[J].中国新技术新产品期刊,2009.［7］荆江雁.积分中值定理的推广[J].常州工学院学报,2007.［8］林丹玲.积分中值定理的问题[J].高等数学研究期刊,2009.［9］谢焕田.积分中值定理的证明与应用[J].高师理科学刊,2009.［10］裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2000.［11］李世金,赵洁.数学分析解题方法600例[M].长春：东北师范大学出版社,2000.［12］刘三阳.各类考研数学全真试题与解答[M].西安:西安电子科技大学出版社,2001.谢辞在我完成论文期间,要感谢的人实在太多了,首先要感谢我的导师张润玲老师,因为论文是在张老师的悉心指导下完成的.张老师渊博的专业知识,严谨的治学态度,诲人不倦的高尚师德,严以律己、宽以待人的崇高风范,朴实无华、平易近人的人格魅力对我影响深远.本论文从开题报告到完成,每一步都是在张老韦老师指引下完成的.她对本论文初稿进行逐字批阅,并指出其中误谬之处,使我有了思考的方向,她循循善诱的教导和不拘一格的思路给予我无尽的启迪,她的严谨细致、一丝不苟的作风将一直是我工作、学习中的榜样,张老师要指导很多同学的论文,加上本来就有的教学任务,工作量之大可想而知,但在一次次的回稿中,精确到每一个字的的批改给了我深刻的印象,使我在论文之外明白了做学问所应有的态度.在此,谨向张老师表示崇高的敬意和衷心的感谢!谢谢张老师在我撰写论文的过程中给与我的极大地帮助.同时,论文的顺利完成,离不开同学和朋友的关心和帮助.在整个的论文写作中,各位同学和朋友积极的帮助我查资料和提供有利于论文写作的建议和意见.在他们的帮助下,论文得以不断的完善,最终帮助我完整的写完了整个论文.总之，此次论文的写作过程,我收获了很多,即为大学生活划上了一个完美的句号，也为将来的人生之路做好了一个很好的铺垫.。