定积分的性质和中值定理
高等数学 第5章 第二节 定积分的性质 中值定理
（2）记 f ( x) e x2 x , x 0,2 , 则 f ( x) e x2 x 2x 1 ,
令 f ( x) 0, 得唯一驻点 x 1 ,
2
又
f
(
1
)
e
1 4
,
f (0) 1, f (2) e 2 ,
2
1
所以 m e 4 , M e 2
1
e 4 2 0
y gx
推论1 若 f x gx, x a, b,
y
则
b
a
f xdx
b
a
g
x
dx
a b.
推论 2
b
a
f
xdx
b
a
f xdx
(a b).
性质6 (估值不等式)
y f x
O xa
xbx
设 M max f x, m min f x, 则
x[ a ,b ]
x[ a ,b ]
mb
a
b
a
f
xdx
加性
c
b
c
a f ( x)dx a f ( x)dx b f ( x)dx
b
a
f ( x)dx
c
a
c
f ( x)dx b
f ( x)dx
c
a
b
f ( x)dx c
f ( x)dx
1
性质4
b
b
1dx dx b a
a
a
性质5
若 f x 0, x a,b,
则
b
a
f
xdx
0
a b.
M b
a
a b.
如
定积分中值定理
定积分中值定理定积分是微积分中的一个重要概念，描述了函数在某个区间上面的累积变化量。
而定积分中值定理是对定积分的一个重要性质的描述，它给出了函数在某个区间上面的平均值与某个特定点的值之间的关系。
在本文中，我们将详细介绍定积分中值定理及其应用。
定积分中值定理是由函数连续和函数可导的性质推导出来的。
具体来说，假设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，且在开区间(a, b)上可导，那么存在一个点c，c∈(a,b)，使得函数的平均值等于该点的导数值，即：f(c) = (1/(b-a)) ∫(a to b) f(x)dx。
这个定理的意义非常重要，因为它告诉我们，对于一类特定的函数，它们在某个区间上的平均值与某个特定点的值是相等的。
也就是说，我们可以通过定积分来求解函数在某个区间上的平均值，进而得到函数在该区间上某个点的值。
那么，我们如何应用定积分中值定理呢？一种常见的应用是计算函数在某个区间上的平均值。
通过定积分中值定理，我们可以得到函数在该区间上的平均值等于该区间上的积分值。
这个应用非常有用，比如在物理学中，我们经常需要计算函数在某个时间段内的平均值，通过使用定积分中值定理，我们可以很方便地求解这个问题。
另外一个常见的应用是求解函数在某个区间上的特定点的值。
假设我们已知函数在某个区间上的平均值，并且函数在该区间上满足定积分中值定理的条件，那么我们可以通过已知的平均值和定积分中值定理来求解函数在该区间上的某个点的值。
这个应用也非常有实际意义，比如在经济学中，我们经常需要计算某个产品在某个时间段内的平均产量，通过使用定积分中值定理，我们可以很方便地求解这个问题。
除了上述的两个应用以外，定积分中值定理还有其他一些应用，比如在数值计算中，我们经常需要对函数进行数值积分，通过使用定积分中值定理，我们可以将数值积分转化为求解函数在某个区间上的特定点的值，进而得到数值积分的近似结果。
这个应用在工程学和科学研究中非常常见。
定积分的性质中值定理
VS
详细描述
设函数f(x)和g(x)在区间[a, b]上可积，则有 ∫(f(x)±g(x))dx=∫f(x)dx±∫g(x)dx。
区间可加性
总结词
定积分的区间可加性是指，对于任意两个子区间[a, c]和[c, b]，其上的积分值等于整个区间[a, b]上的积分值。
详细描述
设函数f(x)在区间[a, b]上可积，则对于任意c∈[a,b]，有∫(a,b)f(x)dx=∫(a,c)f(x)dx+∫(c,b)f(x)dx。
重要性及应用领域
在微积分学中，定积分的性质中值定理是理解积分概念和性质的关键，它为解决定积分问题提供了一 种有效的方法。
在应用领域，定积分的性质中值定理广泛应用于物理学、工程学、经济学等领域，例如在计算面积、 解决物理问题、预测经济趋势等方面都有重要的应用。
02 定积分的性质
线性性质
总结词
定积分的线性性质是指，对于两个函数 的积分和或差，其积分值等于各自积分 值的和或差。
可以用来研究函数的单调性、极值等问题， 并且在解决一些复杂的数学问题时也很有用。
04 定积分与中值定理的关系
定积分与连续函数的关系
01
定积分是研究连续函数的一种工具，它能够计算连 续函数在一定区间上的积分值。
02
连续函数在一定区间上的定积分等于该函数在区间 端点上取值的差与该区间长度乘积的一半。
拉格朗日中值定理是微分学中的基本定理之一，它说 明了一个函数在开区间上可导时，其导函数在区间内 至少存在一个中值点。
详细描述
拉格朗日中值定理是由法国数学家拉格朗日提出的，定 理表述为：如果一个函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在 开区间(a, b)上可导，那么在开区间(a, b)内至少存在一 点ξ，使得f'(ξ)=(f(b)-f(a))/(b-a)。这个定理说明了函数 在某区间的变化率与该区间两端函数值之差成正比，这 在研究函数的单调性、极值等问题时非常有用。
定积分的中值定理
定积分的中值定理是一个非常重要的数学定理，它可以帮助我们更加深入地了解定积分的本质和性质，同时也为我们解决各种实际问题提供了非常有效的方法和手段。
在本文中，我们将探讨的相关知识和应用。
一、中值定理的基本概念和定义中值定理是微积分学中的一个基本定理，它描述了函数在某个区间内的平均值与函数在该区间内某一点的取值之间的关系。
具体来说，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在该区间内存在一个点$c\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)\times(b-a)$，则$c$就是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的中值点。
这个定理的基本思想是：将函数在某个区间上的积分值与该区间的长度相乘，得到的是函数在该区间上的平均值，这个平均值可以通过中值定理求得。
中值定理的重要性在于它建立了积分与函数取值之间的联系，使得我们能够更加深入地理解和应用积分的相关知识和技巧。
二、中值定理的证明方法中值定理的证明方法有很多种，其中比较常用和直观的方法是通过构造辅助函数来进行证明。
具体来说，我们可以这样做：假设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在该区间内存在一个点$c\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)\times(b-a)$。
我们定义一个辅助函数$F(x)=f(x)-f(c)$，则有$\int_a^bF(x)dx=\int_a^bf(x)dx-\int_a^bf(c)dx=\int_a^bf(x)dx-f(c)\times(b-a)=0$。
根据介值定理，由于$F(x)$是连续函数，所以一定存在一个点$d\in(a,b)$，使得$F(d)=0$。
即$f(d)-f(c)=0$，从而得到$c=d$。
三、中值定理的应用中值定理在实际问题中有着广泛的应用，其中比较常见和重要的应用包括：1. 求函数在某个区间上的平均值。
根据中值定理，函数在区间$[a,b]$上的平均值可以通过$\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}$来计算，其中$\int_a^bf(x)dx$是函数在该区间上的积分值。
定积分知识点汇总
定积分知识点汇总在微积分学中，定积分是一个基本概念。
它是将一个区间上的函数的值乘以这个区间的长度进行求和的过程。
在这篇文章中，我们将详细介绍定积分的相关知识点，包括定义、性质、计算方法以及一些重要的定理。
一、定积分的定义定积分的定义是将一个连续函数$f(x)$在某个区间$[a, b]$上的面积或体积表示出来的过程。
这里我们主要探讨二维平面内的定积分。
在数学语言中，定积分的定义可以写作：$\int_a^bf(x)\,dx=\lim_{n\rightarrow\infty}\sum_{i=1}^nf(x_i)\Del ta x$其中$n$表示将区间$[a, b]$等分成$n$份，$\Delta x=\frac{b-a}{n}$表示每份长度。
$x_i$是第$i$份区间的中间点，即$a+(i-\frac{1}{2})\Delta x$。
$\sum_{i=1}^nf(x_i)\Delta x$表示的是矩形的面积之和，$\lim_{n\rightarrow\infty}$表示将矩形的数量趋近于无穷大。
最后的定积分即两个端点为$a$和$b$的函数$f(x)$的积分。
二、定积分的性质1. 线性性$\int_a^b[c_1f_1(x)+c_2f_2(x)]dx=c_1\int_a^bf_1(x)dx+c_2\int_a^ bf_2(x)dx$2. 区间可加性$\int_a^bf(x)dx+\int_b^cf(x)dx=\int_a^cf(x)dx$3. 积分中值定理如果$f(x)$在$[a, b]$上是连续的，则存在一个$c\in[a, b]$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)(b-a)$。
其中$c$称为积分中值。
4. 牛顿-莱布尼茨公式$\int_a^bf(x)dx=F(b)-F(a)$，其中$F(x)$是$f(x)$的一个原函数（即$F'(x)=f(x)$）。
三、定积分的计算方法1. 分段函数对于分段函数$f(x)$，我们需要将其分段拆分并分别进行计算。
高等数学5.2 定积分的性质 中值定理
a
y
y=f (x)
f ()
b
a f (x) dx =f ()(ba)
Oa
bx
定积分中值定理： 性质7 (定积分中值定理) 如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连
续， 则在积分区间[a, b]上至少存在一个点， 使下式成立：
b
f (x)dx f ()(ba)
--------积分中值公式．
a
a
c
值得注意的是，不论a，b，c的相对位置如何，总有此等式． 注
注：不论a，b，c的相对位置如何，总有下述等式．
b
c
b
f (x) dx f (x) dx f (x) dx ．
a
a
c
例如，当a<b<c 时，由于
于是有
c
b
c
f (x) dx f (x) dx f (x) dx ，
a
b
b
| f (x)dx | |f (x)|dx
(a<b)．证明
a
a
设M 及m 分别是函数f(x)在外[a，b]上的最大值及最
b
m(ba) f (x)dx M (ba)
(a<b)．证明
a
推论1 如果在区间[a，b]上，f (x) g(x)，则
b
b
f (x) dx g (x) dx (a<b)．
(a<b)b]上的最大值及最
小值，则
b
m(ba) f (x)dx M (ba) (a<b)． a
证明 因为 m f (x) M ，所以
从而
b
b
b
m dx f (x)dx M dx ，
2定积分的性质中值定理
lim 0 i1
g(i
)xi
b
b
a f(x)dx a g(x)dx
河海大学理学院《高等数学》
b
b
性质1’ a k(x f )d x k af(x )d （ kx 为常数）
证
abkf(x)dxli m 0i n1kf(i)xi
n
limk 0 i1
y
从几何上意义考虑
yf(x)
oa
cb
x
河海大学理学院《高等数学》
性质3 如 果 在 区 间 [ a ,b ]上 f(x ) 0 ，
则 a bf(x )d x 0 .(a b )
证
b
n
a
f (x)dxlim
0 i1
f (i )xi
f(x)0,f(i)0,(i 1 ,2 , ,n )
f(i)xi
n
klim 0i1
f(i)xi
b
ka f(x)dx
河海大学理学院《高等数学》
性质2(区间可加性) 假 设 acb
则 f 在 [ a , b ] 上可积的充要条件是 f 在 [ a , c ]
和 [ c , b ] 都可积 , 并有
a bf(x )d x a cf(x )d x c bf(x )dx
mf(x)M
则 m (b a ) a bf(x )d x M (b a )
证 m f(x)M
b
b
b
am d xaf(x)d xaMd
m (b a ) af(x )d x M (b a )
河海大学理学院《高等数学》
例1 估 计 积 分 03s1i3n xd的 x值 。
a bf(x)d xa bf(x)dx (ab)
数学分析9.4定积分的性质
第九章 定积分 4 定积分的性质一、定积分的基本性质性质1：若f 在[a,b]上可积，k 为常数，则kf 在[a,b]上也可积，且⎰bakf(x )dx=k ⎰baf(x )dx.证：当k=0时结论成立. 当k ≠0时，∵f 在[a,b]上可积，记J=⎰ba f(x )dx ， ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k |ε； 又|i n 1i i x △)ξ(kf ∑=-kJ|=|k|·|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J|<|k|·|k |ε=ε，∴kf 在[a,b]上可积， 且⎰b a kf(x )dx=k ⎰ba f(x )dx.性质2：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±bag(x )][f(x )dx=⎰b af(x )dx ±⎰bag(x )dx.证：∵f,g 都在[a,b]上可积，记J 1=⎰ba f(x )dx ，J 2=⎰ba g(x )dx. ∴任给ε>0，存在δ>0，当║T ║<δ时，有|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|<2ε，|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2|<2ε.又|i n1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=+-(J 1+J 2) |=|(i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+(i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|≤|i n1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε；|i n 1i i i x △)]ξ(g )ξ([f ∑=--(J 1-J 2) |=|(i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1)+( J 2-i n1i i x △)ξ(g ∑=)|≤|i n 1i i x △)ξ(f ∑=-J 1|+|i n1i i x △)ξ(g ∑=-J 2)|<2ε+2ε=ε.∴f ±g 在[a,b]上也可积，且⎰±b a g(x )][f(x )dx=⎰b a f(x )dx ±⎰ba g(x )dx.注：综合性质1与性质2得：⎰±ba βg(x )]αf(x ) [dx=α⎰b a f(x )dx ±β⎰ba g(x )dx.性质3：若f,g 都在[a,b]上可积，则f ·g 在[a,b]上也可积.证：由f,g 都在[a,b]上可积，从而都有界，设A=]b ,a [x sup ∈|f(x)|，B=]b ,a [x sup ∈|g(x)|，当AB=0时，结论成立；当A>0,B>0时，任给ε>0，则存在分割T ’,T ”， 使得∑'T i i f x △ω<B 2ε，∑''T i i g x △ω<A 2ε. 令T=T ’+T ”，则对[a,b]上T 所属的每一个△i ，有 ωi f ·g =]b ,a [x ,x sup ∈'''|f(x ’)g(x ’)-f(x ”)g(x ”)|≤]b ,a [x ,x sup ∈'''[|g(x ’)|·|f(x ’)-f(x ”)|+|f(x ”)|·|g(x ’)-g(x ”)|]≤B ωi f +A ωi g .又∑⋅Ti g f i x △ω≤B ∑Ti f i x △ω+A ∑Ti g i x △ω≤B ∑'T i f i x △ω+A ∑''T i g i x △ω<B ·B 2ε+A ·A2ε=ε. ∴f ·g 在[a,b]上可积.注：一般情形下，⎰ba f(x )g(x )dx ≠⎰b af(x )dx ·⎰bag(x )dx.性质4：f 在[a,b]上可积的充要条件是：任给c ∈(a,b)，f 在[a,c]与[c,b]上都可积. 此时又有等式：⎰ba f(x )dx=⎰c a f(x )dx+⎰bc f(x )dx. 证：[充分性]∵f 在[a,c]与[c,b]上都可积.∴任给ε>0，分别存在对[a,c]与[c,b]的分割T ’,T ”，使得∑'''T i i x △ω<2ε，∑''''''T i i x △ω<2ε. 令[a,b]上的分割T=T ’+T ”，则有∑Tiix△ω=∑'''Tiix△ω+∑''''''Tiix△ω<2ε+2ε=ε，∴f在[a,b]上可积.[必要性]∵f在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在[a,b]上的某分割T，使∑Tiix△ω<ε. 在T上增加分点c，得分割T⁰，有∑︒︒︒Tiix△ω≤∑Tiix△ω<ε.分割T⁰在[a,c]和[c,b]上的部分，分别构成它们的分割T’和T”，则有∑'' 'Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∑''''''Tiix△ω≤∑︒︒︒Tiix△ω<ε，∴f在[a,c]与[c,b]上都可积.又有∑︒︒︒Tiix)△f(ξ=∑'''Tiix)△ξf(+∑''''''Tiix)△ξf(，当║T⁰║→0时，同时有║T’║→0，║T”║→0，对上式取极限，得⎰b a f(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx. (关于积分区间的可加性)规定1：当a=b时，⎰baf(x)dx=0；规定2：当a>b时，⎰baf(x)dx=-⎰a b f(x)dx；以上规定，使公式⎰baf(x)dx=⎰c a f(x)dx+⎰b c f(x)dx对于a,b,c的任何大小顺都能成立.性质5：设f在[a,b]上可积. 若f(x)≥0, x∈[a,b]，则⎰baf(x)dx≥0. 证：∵在[a,b]上f(x)≥0，∴f的任一积分和都为非负.又f在[a,b]上可积，∴⎰ba f(x)dx=in1iiTx△)f(ξlim∑=→≥0.推论：(积分不等式性)若f,g在[a,b]上都可积，且f(x)≤g(x), x∈[a,b]，则有⎰baf(x)dx≤⎰b a g(x)dx.证：记F(x)=g(x)-f(x)≥0, x ∈[a,b]，∵f,g 在[a,b]上都可积，∴F 在[a,b]上也可积.∴⎰b a F(x )dx=⎰b a g(x )dx-⎰b a f(x )dx ≥0，即⎰b a f(x )dx ≤⎰ba g(x )dx.性质5：若f 在[a,b]上可积，则|f|在[a,b]上也可积，且 |⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，存在分割T ，使∑Ti i f x △ω<ε，由不等式||f(x 1)|-|f(x 2)||≤|f(x 1)-f(x 2)|可得i ||f ω≤i f ω， ∴∑Ti i ||f x △ω≤∑Ti i f x △ω<ε，∴|f|在[a,b]上可积.又-|f(x)|≤f(x)≤|f(x)|，∴|⎰b a f(x )dx|≤⎰ba |f(x )|dx.例1：求⎰11-f(x )dx ，其中f(x)= ⎩⎨⎧<≤<≤.1x 0 ，e ，0x 1-1-2x x-， 解：⎰11-f(x )dx=⎰01-f(x )dx+⎰10f(x )dx=(x 2-x)01-+(-e -x )10=-2-e -1+1=-e -1-1.例2：证明：若f 在[a,b]上连续，且f(x)≥0，⎰ba f(x )dx =0，则 f(x)≡0, x ∈[a,b].证：若有x 0∈[a,b], 使f(x 0)>0，则由连续函数的局部保号性， 存在的x 0某邻域U(x 0,δ)（当x 0=a 或x 0=b 时，则为右邻域或左邻域）， 使f(x)≥21f(x 0)>0，从而有⎰baf(x )dx =⎰δ-x a0f(x )dx+⎰+δx δ-x 00f(x)dx+⎰+bδx 0f(x)dx ≥0+⎰+δx δ-x 0002)f(x dx+0=δf(x 0)>0， 与⎰ba f(x )dx =0矛盾，∴f(x)≡0, x ∈[a,b].二、积分中值定理定理：(积分第一中值定理)若f 在[a,b]上连续，则至少存在一点 ξ∈[a,b]，使得⎰ba f(x )dx =f(ξ)(b-a).证：∵f 在[a,b]上连续，∴存在最大值M 和最小值m ，由 m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]，得m(b-a)≤⎰ba f(x )dx ≤M(b-a)，即m ≤⎰baf(x)a -b 1dx ≤M. 又由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=⎰baf(x)a -b 1dx ，即⎰b a f(x )dx =f(ξ)(b-a).积分第一中值定理的几何意义：(如图)若f 在[a,b]上非负连续，则y=f(x)在[a,b]上的曲边梯形面积等于以f(ξ)为高，[a,b]为底的矩形面积.⎰ba f(x)a-b 1dx 可理解为f(x)在[a,b]上所有函数值的平均值.例3：试求f(x)=sinx 在[0,π]上的平均值. 解：所求平均值f(ξ)=⎰π0f(x)π1dx=π1(-cosx)π0|=π2.定理：(推广的积分第一中值定理)若f 与g 在[a,b]上连续，且g(x)在[a,b]上不变号，则至少存在一点ξ∈[a,b]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =f(ξ)⎰bag(x )dx.证：不妨设g(x)≥0, x ∈[a,b]，M,m 分别为f 在[a,b]上的最大,最小值. 则有mg(x)≤f(x)g(x)≤Mg(x), x ∈[a,b]，由定积分的不等式性质，有 m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰b a g(x )dx. 若⎰ba g(x )dx=0，结论成立.若⎰bag(x )dx>0，则有m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.由连续函数的介值性知，至少存在一点ξ∈[a,b]，使得f(ξ)=dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰，即g(x )f(x )b a ⎰dx =f(ξ)⎰ba g(x )dx.习题1、证明：若f 与g 在[a,b]上可积，则i n1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f ， 其中ξi , ηi 是△i 内的任意两点. T={△i }, i=1,2,…,n.证：f 与g 在[a,b]上都可积，从而都有界，且fg 在[a,b]上可积. 设|f(x)|<M, x ∈[a,b]，则对[a,b]上任意分割T ，有in 1i iix △))g(ηf(ξ∑==in1i iiiix△)]g(ξ-)g(η))[g(ξf(ξ∑=+=i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+i g in1i i x △ω)f(ξ∑=≤i n1i i i x △))g(ξf(ξ∑=+M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i x △))g(ηf(ξ∑=-i n 1i i i x △))g(ξf(ξ∑=|≤M i n1i g i x △ω∑=.∴|i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→-i n 1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→|≤0T lim →M i n1i g i x △ω∑==0 ∴i n 1i i i 0T x △))g(ηf(ξlim ∑=→=i n1i i i 0T x △))g(ξf(ξlim ∑=→=⎰⋅ba g f .2、不求出定积分的值，比较下列各对定积分的大小.(1)⎰10x dx 与⎰102x dx ；(2)⎰2π0x dx 与⎰2π0sinx dx.解：(1)∵x>x 2, x ∈(0,1)，∴⎰10x dx>⎰102x dx.(2)∵x>sinx, x ∈(0,2π]，∴⎰2π0x dx>⎰2π0sinx dx.3、证明下列不等式：(1)2π<⎰2π02x sin 21-1dx <2π；(2)1<⎰10x 2e dx<e ；(3)1<⎰2π0x sinx dx<2π；(4)3e <⎰4e e xlnx dx<6. 证：(1)∵1<x sin 21-112<21-11=2, x ∈(0,2π)；∴⎰2π0dx <⎰2π02x sin 21-1dx <⎰2π02dx ，又⎰2π0dx =2π；⎰2π02dx=2π； ∴2π<⎰2π2x sin 21-1dx<2π.(2)∵1<2x e <e, x ∈(0,1)；∴1=⎰10dx <⎰10x 2e dx<⎰10edx =e.(3)∵π2<x sinx <1，x ∈(0,2π)；∴1=⎰2π0dx π2<⎰10x2e dx<⎰2π0dx =2π.(4)令'⎪⎭⎫ ⎝⎛x lnx =x 2lnx -2=0，得x lnx 在[e,4e]上的驻点x=e 2,又e x x lnx ==e 1，e 4x x lnx ==e 2ln4e ，∴在[e,4e]上e 1<x lnx <22elne =e 2；∴3e =⎰4eee1dx <⎰4eexlnx dx<⎰4eee2dx =6.4、设f 在[a,b]上连续，且f(x)不恒等于0. 证明：⎰ba 2[f(x )]dx>0. 证：∵f(x)不恒等于0；∴必有x 0∈[a,b]，使f(x 0)≠0. 又由f 在[a,b]上连续，必有x ∈(x 0-δ, x 0+δ)，使f(x)≠0，则⎰+δx δ-x 200f >0，∴⎰ba 2[f(x )]dx=⎰δ-x a20f +⎰+δx δ-x 200f +⎰+b δx 20f =⎰+δx δ-x 200f +0>0.注：当x 0为a 或b 时，取单侧邻域.5、若f 与g 都在[a,b]上可积，证明：M(x)=b][a,x max ∈{f(x),g(x)}，m(x)=b][a,x min ∈{f(x),g(x)}在[a,b]上也都可积.证：M(x)=21(f(x)+g(x)+|f(x)-g(x)|)；m(x)=21(f(x)+g(x)-|f(x)-g(x)|). ∵f 与g 在[a,b]上都可积，根据可积函数的和、差仍可积，得证.6、试求心形线r=a(1+cos θ), 0≤θ≤2π上各点极径的平均值.解：所求平均值为：f(ξ)=⎰2π0a 2π1(1+cos θ)d θ=2πa(θ+sin θ)2π=a.7、设f 在[a,b]上可积，且在[a,b]上满足|f(x)|≥m>0. 证明：f1在[a,b]上也可积. 证：∵f 在[a,b]上可积，∴任给ε>0，有∑Ti i x △ω<m 2ε.任取x ’,x ”∈△i ，则)x f(1''-)x f(1'=)x )f(x f()x f(-)x f(''''''≤2i mω.设f1在△i 上的振幅为ωi -，则ωi -≤2imω. ∴∑Ti -i x △ω≤∑Ti i 2x △ωm 1<2m1·m 2ε=ε，∴f 1在[a,b]上也可积.8、证明积分第一中值定理(包括定理和中的中值点ξ∈(a,b). 证：设f 在[a,b]的最大值f(x M )=M, 最小值为f(x m )=m ， (1)对定理：当m=M 时，有f(x)≡m, x ∈[a,b]，则ξ∈[a,b]. 当m<M 时，若m(b-a)=⎰b a f(x )dx ，则⎰ba m]-[f(x )dx=0，即f(x)=m ， 而f(x)≥m ，∴必有f(x)≡m ，矛盾. ∴⎰ba f(x )dx >m(b-a). 同理可证：⎰ba f(x )dx <M(b-a).(2)对定理：不失一般性，设g(x)≥0, x ∈[a,b]. 当m=M 或g(x)≡0, x ∈[a,b]时，则ξ∈[a,b].当m<M 且g(x)>0, x ∈[a,b]时，若M ⎰ba g dx-⎰ba fg dx=⎰ba f)g -(M dx=0， 由(M-f)g ≥0，得(M-f)g=0. 又g(x)>0，∴f(x)≡M ，矛盾. ∴⎰ba fg dx <M ⎰ba g dx. 同理可证：⎰ba fg dx>m ⎰ba g dx. ∴不论对定理还是定理，都有ξ≠x M 且ξ≠x m .由连续函数介值定理，知ξ∈(x m ,x M )⊂(a,b)或ξ∈(x M ,x m )⊂(a,b)，得证.9、证明：若f 与g 都在[a,b]上可积，且g(x)在[a,b]上不变号，M,m 分别为f(x)在[a,b]上的上、下确界，则必存在某实数μ∈[m,M]，使得g(x )f(x )ba⎰dx =μ⎰bag(x )dx.证：当g(x)≡0, x ∈[a,b]时，g(x )f(x )ba ⎰dx =μ⎰bag(x )dx=0.当g(x)≠0时，不妨设g(x)>0，∵m ≤f(x)≤M, x ∈[a,b]， ∴m ⎰ba g(x )dx ≤g(x )f(x )ba ⎰dx ≤M ⎰bag(x )dx ，即m ≤dxg(x )g(x )dxf(x )b aba⎰⎰≤M.∴必存在μ∈[m,M]，使g(x )f(x )b a ⎰dx =μ⎰ba g(x )dx.10、证明：若f 在[a,b]上连续，且⎰b a f(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0，则在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0. 又若⎰ba 2f(x )x dx=0，则f 在(a,b)内是否至少有三个零点证：由⎰ba f =0知，f 在(a,b)内存在零点，设f 在(a,b)内只有一个零点f(x 1)， 则由⎰ba f =⎰1x a f +⎰b x 1f 可得：⎰1x a f =-⎰bx 1f ≠0. 又f 在[a,x 1]与[x 1,b]不变号，∴⎰ba x f =⎰1x a x f +⎰b x 1xf =ξ1⎰1x a f +ξ2⎰b x 1f =(ξ2-ξ1)⎰bx 1f ≠0, (a<ξ1<x 1<ξ2<b)，矛盾.∴f 在(a,b)内至少存在两点x 1,x 2，使 f(x 1)=f(x 2)=0.记函数g=xf(x)，则g 在[a,b]上连续，且⎰b a g(x )dx=⎰ba x f(x )dx=0， 又⎰ba x g(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，即有⎰b a g(x )dx=⎰ba x g(x )dx=0，∴g=xf(x)在(a,b)内至少存在两个零点，若f 在(a,b)内至少存在三个零点f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)=0，则 g(x 1)=x 1f(x 1)=g(x 2)=x 2f(x 2)=g(x 3)=x 3f(x 3)=0，即g=xf(x)在(a,b)内至少存在三个零点g(x 1)=g(x 2)=g(x 3)=0，矛盾， ∴f 在[a,b]上连续，且⎰ba f(x )dx=⎰b a x f(x )dx=⎰ba 2f(x )x dx=0，则 f 在(a,b)内至少存在两个零点.11、设f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0. 证明：(1)f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a ≤⎰-b a f(x)a b 1dx ； (2)又若f(x)≤0, x ∈[a,b]，则有f(x)≥⎰-baf(x)a b 2dx, x ∈[a,b].证：(1)令x=a+λ(b-a), λ∈(0,1)，则⎰-baf(x)a b 1dx=⎰+10a)]-λ(b f[a d λ， 同理，令x=b-λ(b-a)，也有⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰-10a)]-λ(b f[b d λ，则 ⎰-b a f(x)a b 1dx=⎰-++10a)]}-λ(b f[b a)]-λ(b {f[a 21d λ. 又f 在[a,b]上二阶可导，且f ”(x)>0，∴f 在[a,b]上凹，从而有21{f[a+λ(b-a)]+f[b-λ(b-a)]}≥f{21[a+λ(b-a)]+21f[b-λ(b-a)]}=f ⎪⎭⎫ ⎝⎛+2b a . ∴⎰-b a f(x)a b 1dx ≥⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛+102b a f d λ=f ⎪⎭⎫⎝⎛+2b a . (2)令x=λb+(1-λ)a ，由f 的凹性得⎰-ba f(x)ab 1dx=⎰+10λ)a]}-f[(1b) {f(λd λ≤⎰+10λ)f(a)]-(1f(b) [λd λ =f(b)1022λ+ f(a)1022λ)-(1-=2f(b)f(a)+. 不妨设f(a)≤f(b)，则f(a)≤f(x)≤0, x ∈[a,b]，又f(b)≤0， ∴⎰-ba f(x)ab 2dx ≤f(a) +f(b)≤f(x).12、证明：(1)ln(1+n)<1+21+…+n1<1+lnn ；(2)lnnn 1211limn +⋯++∞→=1. 证：(1)对函数f(x)=x1在[1,n+1]上取△i =1作分割，并取△i 的左端点为ξi ，则和数∑=n1i i 1是一个上和，∴⎰+1n 1x 1dx<∑=n 1i i1，即ln(n+1)< 1+21+…+n1；同理，取△i 的右端点为ξi ，则和数∑=+1-n 1i 1i 1是一个下和，∴∑=+1-n 1i 1i 1<⎰n 1x 1dx ， 即21+…+n 1<lnn ，∴1+21+…+n1<1+lnn. 得证.(2)由(1)知ln(1+n)<1+21+…+n 1<1+lnn ，∴lnn 1)ln(n +<lnnn 1211+⋯++<1+lnn 1; 又lnn 1)ln(n lim n +∞→=1n n lim n +∞→=1；∞→n lim (1+lnn 1)=1；∴lnnn 1211lim n +⋯++∞→=1.。
定积分的性质中值定理
则
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a)
证 m f (x) M
b
b
b
a mdx a f ( x)dx a Mdx
b
m(b a) a f ( x)dx M (b a)
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例1
估计积分
0
3
1 sin 3
dx 的值。 x
第五章 定积分
高等数学（上）
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第二节 定积分的性质 积分中值定理
规定
1）当
ab
b
时， a
f
(
x)dx
0；
2）当
ab
时，
b
a
f
(
x
)dx
a
b
f ( x)dx 。
在下面的性质中，假定定积分都是可积的 .
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性质1(线性性)
b
b
b
a[ f ( x) g( x)]dx a f ( x)dx a g( x)dx
解
f
(
x)
3
1 sin
3
x
x [0, ]
0 sin3 x 1
1 4
3
1 sin 3
x
1 3
1dx
04
0
3
1 sin 3
dx x
1dx 03
4
0
3
1 sin 3
dx x
3
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性质5（定积分中值定理）
如果函数 f ( x)在闭区间[a,b] 上连续，则在
b
a
f
定积分的性质
定积分的性质定积分的性质：性质1：设a与b均为常数，则∫a->b[a×fx+b×gx]dx=a×∫a->bfxdx+b×∫a->bgxdx。
性质2：如果在区间（a,b）上fx恒等于1,那么∫a->b1dx=∫a->bdx=b-a。
性质1：设a与b均为常数，则∫a->b[a*fx+b*gx]dx=a*∫a->bfxdx+b*∫a->bgxdx。
性质2：设a<c<b,则∫a->bfxdx=∫a->cfxdx+fc->bfxdx。
性质3：如果在区间（a,b）上fx恒等于1,那么∫a->b1dx=∫a->bdx=b-a。
性质4：如果在区间（a,b）上fX>=0,那么∫a->bfxdx>=0a<b。
性质5：设M及m分别是函数fx在区间（a,b）上的最大值和最小值，则mb-a<=∫a->bfxdx<=Mb-aa<b。
性质6（定积分中值定理）：如果函数fx在积分区间（a,b）上连续，那么在（a,b）上至少存在一个点c，使得∫a->bfxdx=fcb-aa<=c<=b成立。
性质7：若a>b则∫_a^bfx=-∫_b^afx。
定积分是积分的一种，是函数fx在区间[a,b]上积分和的极限。
一个函数，可以存在不定积分，而不存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。
一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃间断点，则原函数一定不存在，即不定积分一定不存在。
感谢您的阅读，祝您生活愉快。
高等数学定积分定积分的性质
x, x Δ i
x , x Δ i
g i
Mif Mig .
于是
i T
fg
x i M i x i M x i
f
M i f xi M ig xi
i 1 i
n
i
J2
2
2
.
因此，f ± g 在 [ a, b ] 上可积, 且
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b
a
( f ( x ) g( x ))dx f ( x )dx g( x )dx .
a a
b
b
性质3 若 f , g 在 [a , b] 上可积，则 f g 在 [a , b] 上
c
b
注 若规定 a b 时 a f ( x )dx b f ( x )dx , a b 时
i xi ix i i x i . T T T
因此, f 在 [a, b] 上可积. (必要性) 已知 f 在 [a , b ] 上可积, 则 0, T ,
使 i Δxi . 在T上加入分点 c 得到新的分割 T .
b
f ( )Δx f ( )Δx f ( )Δx .
i i T T i i T i i
令 T 0, 则 T 0, T 0, 即得
b a
a
f ( x )dx f ( x )dx f ( x )dx .
a c b a
T T
T
T
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定积分的性质
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
性质3
定积分的性质
积分中值定理
若 f , g 在 [a, b] 上可积，则 f g 在 [a, b] 上也可积.
证 因 f , g 在[a,b]上可积，故在[a,b]上都有界，
即M 0, x [a,b], f (x) M , g(x) M .
则
b
b
f ( x)dx g( x)dx.
a
a
证 设 F ( x) g( x) f ( x) 0, x [a, b], 则
b
b
b
0 a F ( x)dx a g( x)dx a f ( x)dx,
即
b
b
a f ( x)dx a g( x)dx.
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
数学分析 第九章 定积分
高等教育出版社
§1 定积分的性质
定积分的性质
积分中值定理
性质4
f 在[a, b]上可积的充要条件是: c (a, b),
f 在 [a, c] 与 [c, b] 上都可积. 并且
b
c
b
a f ( x)dx a f ( x)dx c f ( x)dx
证(充分性) 若 f 在 [a, c] 与 [c, b] 上可积,则
积分中值定理
性质1
若 f 在 [a,b] 上可积， k 为常数, 则 k f 在[a, b]
上也可积，且
b
k f (x)d x k
b
f (x)d x.
a
a
证 记
J
b
f (x)d x.
由 f 在 [a, b] 上可积, 故
定积分的性质中值定理
系是______________________； 系是______________________； ______________________ 4、 积分中值公式
∫
是
b
a
f ( x )dx = f (ξ )( b − a ) , ( a ≤ ξ ≤ b ) 的 几 何 意 义
_______________； _______________；
∴
∫a [ g( x ) − f ( x )]dx ≥ 0, b b ∫a g( x )dx − ∫a f ( x )dx ≥ 0,
∫a f ( x )dx ≤ ∫a g( x )dx .
b b
b
于是
性质5的推论： 性质5的推论： （2） ） 证
∫a f ( x )dx ≤ ∫a
b
b
b
f ( x )dx . ( a < b )
x → +∞
求 lim
x → +∞ x
∫
x+2
3 t sin f ( t )dt . t
解 由积分中值定理知有 ξ ∈ [ x , x + 2],
3 3 使 ∫x t sin f ( t )dt = ξ sin f (ξ )( x + 2 − x ), t ξ x+2 3 3 lim ∫x t sin f ( t )dt = 2 lim ξ sin f (ξ ) x → +∞ ξ → +∞ t ξ
n→ ∞ 0
π
上连续，证明： 七、设 f ( x ) 及 g( x )在[ a , b ]上连续，证明：
b
[a , b]上 f ( x ) ≡ 0 ； 2、若在[a , b]上， f ( x ) ≥ 0
9-04-定积分的性质
解
1 f ( x) , 3 3 sin x
x [0, ],
0 sin x 1,
3
1 1 1 , 3 4 3 sin x 3
0
1 1 1 dx dx dx, 3 0 3 sin x 0 3 4
1 dx . 3 4 0 3 sin x 3
0
2
f ( x )dx 0 f ( x )dx 1 f ( x )dx
1
2
y
在[1,2] 上规定当 x 1 时， f ( x ) 5 ,
原式 2 xdx 5dx 6
0 1
1
2
o
1
2
x
性质5 (保号不等式) 如果在区间[a , b]上可积函数
f ( x ) 0 ，则 a f ( x )dx 0 .
f ( )
b
a
f ( x)dx
其数值等于在时间段 [a, b]内，物体以某个时 刻 的速率f() 作匀速直 线运动所走过的路程。
o
a
b x
例 6 设 f ( x ) 连续，且 lim f ( x ) 1 ，
x
求 lim
x x
x2
3 t sin f ( t )dt . t
在 0,1 上不可积 类似于Dirichlet 函数 . 但 f x 1, 所以 f x 在 0,1 上可积.
性质6（估值不等式）设 M 及m 分别是可积函数
f ( x ) 在区间[a , b] 上的最大值及最小值，
则 m(b a ) a f ( x )dx M (b a ) .
定积分的概念,性质与中值定理
(2 ) a > b, ∫ f ( x )dx = - ∫ f ( x )dx
b a a b
性质1 性质1 性质2 性质2 性质3 性质3
∫ [ f ( x ) ± g ( x )]dx = ∫ f ( x )dx ± ∫ g ( x )dx
b b b a a a
∫
b
a
cf ( x )dx =c ∫a f ( x )dx
∫ v (t )dt .
T2 T1
二.定积分的定义(和式的极限) 定积分的定义(和式的极限) 上有界, 设函数 f(x)在[a,b]上有界, 在[a,b]中任意插入若干个分点 在 上有界 中任意插入若干个分点 a = x0 < x1 < x2 < L< xi −1 < xi < Lxn = b, 把区间[ 个小区间: 把区间[a,b] 分成 n个小区间: [ x 0 , x 1 ], [ x 1 , x 2 ], L , [ x n −1 , x n ], 个小区间 各小区间的长度依次为: 各小区间的长度依次为: ∆x1 = x1 − x0 , ∆x2 = x2 − x1 ,L, ∆xn = xn − xn−1 , 任取一点 任取一点 ξ i ∈ [ x i − 1 , x i ], 作乘积 f (ξ i )∆x i ( i = 1,2,L , n), 并作出和
v(τ i )
∆t i = t i − t i −1
( i = 1,2, L , n)
T1
τi
T2
(2) 近似代替 ∆ s i ≈ v (τ i ) ∆ t i (3) 求和 (4) 取极限
t0 t1 t 2 ti −1 ti t n −1 t n
v (τ i ) ∆ t i
积分与定积分
积分与定积分积分和定积分是微积分中的重要概念。
它们在数学和应用科学中有广泛的应用。
本文将介绍积分和定积分的定义、性质和计算方法。
一、积分的定义与性质1.1 定积分的定义定积分是函数在一个闭区间上的积分，表示曲线下的面积。
设函数f(x)在[a, b]上连续，则[a, b]上f(x)的定积分可表示为：∫(a到b) f(x) dx该积分表示曲线y=f(x)与x轴所围成的曲边梯形的面积。
1.2 积分的性质积分具有以下性质：（1）线性性质：若f(x)和g(x)在[a, b]上可积，且k为常数，则有∫(a 到b) [f(x)+g(x)] dx=∫(a到b) f(x) dx+∫(a到b) g(x) dx以及∫(a到b) kf(x) dx=k∫(a到b) f(x) dx。
（2）区间可加性：若f(x)在[a, b]和[b, c]上可积，则有∫(a到c) f(x) dx=∫(a到b) f(x) dx+∫(b到c) f(x) dx。
（3）积分中值定理：若f(x)在[a, b]上连续，则存在ξ∈[a, b]，使得∫(a到b) f(x) dx=f(ξ)。
二、定积分的计算方法2.1 几何意义法定积分可以通过几何意义来计算。
例如，要计算函数f(x)=x²在区间[0, 1]上的定积分，可将函数图像与x轴所围成的面积分为若干个几何图形的面积之和，然后分别计算每个几何图形的面积并求和。
在本例中，将曲边梯形近似为矩形，计算可得定积分的值为1/3。
2.2 基本积分法基本积分法是通过函数的不定积分来计算定积分。
定积分与不定积分之间有着密切的联系，可以利用不定积分来计算定积分。
例如，要计算函数f(x)=2x在区间[1, 3]上的定积分，首先求出函数f(x)的不定积分F(x)=x²+C，其中C为常数。
然后，利用不定积分的基本性质，计算定积分的值为F(3)-F(1)=9-1=8。
2.3 分部积分法分部积分法也是计算定积分的一种常用方法。
安徽专升本数学定积分中值定理公式
一、定积分的概念定积分是微积分中的一个重要概念，它是对在一定区间内函数取值的总和的极限形式的数学运算。
通常用符号∫表示。
在数学中，定积分有广泛的应用，尤其在物理、经济学和工程学等领域中具有重要的意义。
二、中值定理的概念中值定理是定积分中的一个重要定理，它描述了一个连续函数在某一区间上的平均值与它在该区间上的某一点处的函数值之间的关系。
中值定理在微积分中有着重要的应用，可以被用来证明一些定积分的性质以及计算一些特殊的定积分。
三、中值定理的表述中值定理通常有两种不同的表述形式，分别是费马中值定理和拉格朗日中值定理。
费马中值定理描述了在一定条件下，一个函数在某一区间上的平均值与它在该区间上的某一点处的函数值之间的关系。
拉格朗日中值定理则描述了在一定条件下，一个函数在某一区间上的平均值与它在该区间上的某一点处的导数值乘以区间长度之间的关系。
四、中值定理的应用中值定理可以被应用在求解定积分的问题中。
通过中值定理，我们可以将一个定积分转化为一个导数和函数值的关系式，从而简化定积分的计算过程。
中值定理也可以被用来证明一些函数的性质和定理，具有重要的理论意义。
五、安徽专升本数学定积分中值定理公式在安徽专升本数学考试中，定积分中值定理的公式是必须掌握的重要内容。
根据中值定理的表述和应用，安徽专升本数学定积分中值定理公式可以被总结为以下几个方面：1. 费马中值定理公式：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导且f(x)在区间[a,b]上不恒为常数，则存在一点ξ∈(a,b)，使得∫[a,b]f(x)dx=(b-a)f(ξ)。
2. 拉格朗日中值定理公式：若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导，则存在一点ξ∈(a,b)，使得∫[a,b]f(x)dx=(b-a)f(ξ)。
3. 中值定理的解析应用：利用中值定理，可以进行一些特殊定积分的计算，如计算一些特殊函数的定积分，或者证明一些函数的性质。
积分中值定理证面积
积分中值定理证面积积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它是关于定积分的性质和应用的。
该定理表明，如果一个函数在区间[a, b]上是连续的，那么在该区间上一定存在一点c，使得函数在[a, b]上的平均值等于该点处的函数值。
这个定理可以用来证明面积的计算，下面我将从多个角度来解释这个问题。
首先，我们来看积分中值定理的表述。
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，那么存在一个点c∈[a, b]，使得∫(a到b) f(x)dx =f(c) (b-a)。
这个定理的直观含义是，在[a, b]上，函数f(x)的平均值等于它在某一点c的函数值。
现在我们来看如何利用积分中值定理来证明面积。
假设我们要计算函数f(x)在区间[a, b]上与x轴之间的面积，可以表示为∫(a到b) |f(x)|dx。
根据积分中值定理，存在c∈[a, b]，使得∫(a到b) |f(x)|dx = |f(c)| (b-a)。
这意味着，函数f(x)在区间[a, b]上与x轴之间的面积等于函数在某点c处的函数值乘以区间长度。
另外，我们也可以利用积分中值定理来证明定积分的性质。
例如，可以利用积分中值定理证明定积分的线性性质、加法性质和区间可加性质等。
这些性质对于计算面积和求解各种实际问题都非常有用。
总之，积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它可以用来证明面积的计算以及定积分的性质。
通过该定理，我们可以更好地理解函数在区间上的平均值与函数值之间的关系，从而更深入地理解定积分的几何意义和应用。
希望这些解释能够帮助你更好地理解积分中值定理及其在面积计算中的应用。
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对定积分的补充规定:
（1）当a b 时，a f ( x )dx 0 ；
b
（2）当a b 时， f ( x )dx f ( x )dx .
a b
b
a
说明 在下面的性质中，假定定积分都存 在，且不考虑积分上下限的大小．
性质1 证
a [ f ( x ) g( x )]dx a f ( x )dx a g( x )dx ________________； b a 3 、当 a b 时 ，我们规定 a f ( x )dx 与b f ( x )dx 的关 系是______________________； 4 、积分中值公式
b
a
f ( x )dx f ( )(b a ) , (a b) 的几何意义是
性质4
a 1 dx a
b a
b
b
dx b a .
性质5 如果在区间[a, b] 上 f ( x ) 0 ，
则 f ( x )dx 0 . (a b)
例 1 比较积分值0 e dx 和0 xdx 的大小.
x
2
2
解
令 f ( x ) e x x , x [2, 0]
f ( x )dx 0 ； a f ( x ) g( x ) 3、若在a , b 上 ,且 b b a f ( x )dx a g( x )dx ，则在a , b上f ( x ) g( x ) .
b
练习题答案
一、1、 f ( x )dx f ( x )dx ；
a b
b b
b
a
性质6
设 M 及m 分别是函数
f ( x ) 在区间[a , b] 上的最大值及最小值，
则 m(b a ) a f ( x )dx M (b a ) .
b
（此性质可用于估计积分值的大致范围）
例 2 估计积分
0
1 dx 的值. 3 3 sin x
解
1 f ( x) , 3 3 sin x
_______________；
5 、下列两积分的大小关系是： （1） x dx _____ x 3 dx
2 1 1
（2）1 ln xdx _______1 (ln x ) 2 dx （3） e dx _______ ( x 1)dx
x 0 0 1 1
0 2
0
2
二、证明： kf ( x )dx k f ( x )dx （ k 是常数 ）.
a c b
2、 m ( b a )
b
c b
a
f ( x )dx M ( b a ) , a b ；
a
3、 a f ( x )dx b f ( x )dx ； 4、曲边梯形各部分面积的代数和等于 f ( ) 与 b a 为邻边的矩形面积； 5、(1)>； (2)>； (3)>. 3 2 三、1、 1 x arctan xdx ； 9 3 3 1 1 dx 3 arcsin . 2、 0 2 3 2 5 4 2x x x
3 3 使 x t sin f ( t )dt sin f ( )( x 2 x ), t x2 3 3 lim x t sin f ( t )dt 2 lim sin f ( ) x t
x2
2 lim 3 f ( ) 6.
性质7（定积分中值定理）
如果函数 f ( x ) 在闭区间[a , b] 上连续，
则在积分区间[a , b] 上至少存在一个点
使 a f ( x )dx f ( )(b a ) .
b
，
(a b)
积分中值公式
积分中值公式的几何解释：
y
f ( )
在区间[a , b] 上至少存在一 个点 ，使得以区间[a , b] 为
a a
b
b
三、估计下列积分 3 xarc cot xdx 的值 . 四、证明不等式：1
3 2
3
x 1dx 2 .
六、用定积分定义和性质求极限: 1 1 1 1、lim ( ... ) ; n n 1 n2 2n 2.、lim 4 sin n xdx . n 0 七、设 f ( x ) 及 g ( x )在 a , b 上连续，证明： b f ( x ) 0 1、若 在 a , b 上 , 且 a f ( x )dx 0 ， 则 在 a , b上 f ( x ) 0 ； 2、若在a , b 上， f ( x ) 0 ,且 f ( x ) 不恒等于 0 ，则
b
(a b)
性质5的推论： （ 2） 证
a f ( x )dx a
b
b
b
f ( x )dx . (a b)
f ( x) f ( x) f ( x) ,
a f ( x )dx a f ( x )dx a f ( x )dx,
即 f ( x )dx f ( x )dx .
底边， 以曲线 y f ( x ) 为曲边的曲边梯形的面积 等于同一底边而高为 f ( )
o
a
b x 的一个矩形的面积。
例 4 设 f ( x ) 可导，且 lim f ( x ) 1 ，
x
求 lim
x x
x2
3 t sin f ( t )dt . t
解 由积分中值定理知有 [ x , x 2],
b
b
b
b
a [ f ( x ) g( x )]dx n lim [ f ( i ) g ( i )]xi 0
lim f ( i )xi lim g( i )xi
0 i 1
b
i 1 n n
0 i 1
a f ( x )dx a g( x )dx.
f ( x ) 0,
0
x ( e 2 x )dx 0,
0
2 e
0
x
dx 2xdx, e dx 0 xdx.
x
2
于是
0
2
性质5的推论：
（1）如果在区间[a , b]上 f ( x ) g( x ) ，
则 a f ( x )dx
b
a g( x )dx .
x [0, ],
0 sin x 1,
3
1 1 1 , 3 4 3 sin x 3
1 dx . 3 4 0 3 sin x 3
例 3 估计积分
2 4
sin x dx 的值. x
sin x 解 f ( x) , x [ , ] 4 2 x x cos x sin x cos x( x tan x ) x , f ( x ) 0 , 2 2 4 2 x x
二、小结
１．定积分的性质
（注意估值性质、积分中值定理的应用）
２．典型问题
（１）估计积分值； （２）不计算定积分比较积分大小．
练习题
一、填空题： c 分成a , c 与c , b ，则 1 、如果积分区间 a , b 被点 2 、如 果 f ( x )在a , b 上 的 最 大 值 与 最 小 值 分 别 为 a M 与 m ，则 f ( x )dx 有如下估计式：_________ 定积分的可加性为 f ( x )dx __________；
f ( x ) 在[ , ] 上单调下降, 4 2
故 x 为极大点，x 为极小点, 4 2
2 2 M f( ) , 4
2 m f( ) , 2
ba , 2 4 4
2 sin x 2 2 2 dx , 4 4 x 4 1 sin x 2 2 dx . 2 4 x 2
（此性质可以推广到有限多个函数作和的情况）
b
性质2
a kf ( x )dx k a f ( x )dx
b
b
k ( 为常数).
性质3
a f ( x )dx a f ( x )dx c
b
c
b
f ( x )dx .
补充：不论 a , b, c 的相对位置如何, 上式总成立.
（定积分对于积分区间具有可加性）