定积分的概念和性质公式
定积分的性质
定积分可以表示为黎曼和的形式，即将区间[a,b]分成若干小区间，每个小区间的长度为$\Delta x$，并取小区间 的左端点$x_{i-1}$和右端点$x_i$作为积分的下限和上限，然后对每个小区间上的函数值$f(x_i)$进行求和，最后 将所有小区间的和再乘以$\Delta x$得到定积分的值。
对于任意实数$k_1, k_2$，有$\int (k_1f(x) + k_2g(x)) dx = k_1 \int f(x) dx + k_2 \int g(x) dx$
常数倍
对于任意实数$k$，有$\int kf(x) dx = k \int f(x) dx$
区间可加性
区间可加
对于任意分割$a = x_0 < x_1 < \ldots < x_n = b$，有$\int_{a}^{b}f(x) dx = \sum_{i=0}^{n-1} \int_{x_{i}}^{x_{i+1}}f(x) dx$
利用定积分的性质
如果$f(x) \geq g(x)$，则 $\int_{a}^{b}f(x)dx \geq
\int_{a}^{b}g(x)dx$。
利用定积分的性质
如果$f(x) = g(x)$，则$\int_{a}^{b}f(x)dx = \int_{a}^{b}g(x)dx$。
04
定积分的极限性质
定积分的性质
线性性质
定积分具有线性性质，即对于常数$c$和$d$，有$\int_{a}^{b} (c\varphi_1(x) + d\varphi_2(x)) dx = c\int_{a}^{b} \varphi_1(x) dx + d\int_{a}^{b} \varphi_2(x) dx$。
定积分的基本概念
定积分的基本概念
定积分的基本概念
定积分是在数学分析中的一个重要概念，这里介绍定积分的基本概念，使学生更好的理解它。
定积分（also known as definite integral）是一个数学表达式，它表示一个函数在某一个有限范围内平均值的近似值。
定积分的表达式为：
∫b a f(x)dx=∫b a [f(a)+f(b)+2f(a+b/2)]dx
其中，f(x)为所讨论的函数，a和b为其有限的范围。
在定积分计算中，对函数值的求和，是从范围的下限a开始的，直到范围的上限b结束。
很重要的是，定积分可以用来计算函数在某一范围内的积分，而积分就是求函数某一范围内的面积。
定积分的计算可以帮助学生更好地理解函数在某一范围内的性质，比如函数的最大值、最小值、极大值和极小值。
另外，定积分还可以用来计算函数在某一范围内平均值的近似值。
在这种情况下，将f（x）分解为f（a）和f（b）的加权平均值，并加上函数在中心点处的值是计算定积分最常用的一种方法。
总而言之，定积分是一个非常强大的数学概念，学习者可以使用它来计算函数值在有限的范围内的平均值、最大值、最小值等性质，并且它也可以计算函数在某一范围内的积分。
- 1 -。
5.1 定积分的概念与性质
lim ( )Δ =
→0
=1
则称这个极限为函数()在区间[, ]上的定积分,记为
න ()d
第一节 定积分的概念与性质
定积分
第五章
即
积分上限
定积分
积分和
න ()d = = lim ( )Δ
积分下限
→0
=1
被积被
积分积
[, ]积分区间 函 变 表
[, ]
[, ]
( − )≤ න ()d ≤( − ) ( < )
证
∵ ≤()≤,
∴ න d≤ න ()d≤ න d ,
( − )≤ න () d≤( − ).
第一节 定积分的概念与性质
此性质可用于
估计积分值的
第五章
8. 定积分中值定理
如果 () 在区间[, ]上连续, 则至少存在一点 ∈ [, ], 使
න ()d = ( )( − )
证
设()在[, ]上的最小值与最大值分别为 , ,
1
න ()d≤
则由性质7可得 ≤
−
根据闭区间上连续函数介值定理, ∃ ∈ [, ], 使
= lim ( )
=
lim ( ) ⋅
→∞
− →∞
故它是有限个数的平均值概念的推广.
第一节 定积分的概念与性质
把区间[, ]分成个小区间,
[0 , 1 ], [1 , 2 ], ⋯ , [−1 , ], ⋯ , [−1 , ]
各个小区间的长度依次为
定积分基本计算公式
定积分基本计算公式定积分是微积分中的一种重要的概念。
它是对连续函数在一定区间上的积分运算，可以用于计算曲线下的面积、曲线的弧长、曲线的平均值等。
在求定积分时，可以使用一些基本的计算公式来简化运算过程。
下面将介绍一些定积分基本计算公式。
1.基本积分公式(1) 常数积分：∫kdx=kx+C (k为常数，C为常数)(2) 幂函数积分：∫x^ndx=1/(n+1)·x^(n+1)+C (n≠-1，C为常数)(3) 指数函数积分：∫e^xdx=e^x+C (C为常数)(4) 对数函数积分：∫1/xdx=ln，x，+C (C为常数)(5)三角函数积分：∫sinxdx=-cosx+C (C为常数)∫cosxdx=sinx+C (C为常数)∫sec^2xdx=tanx+C (C为常数)∫csc^2xdx=-cotx+C (C为常数)2.基本定积分公式(1)以x为变量的定积分：∫kdx=kx (其中k为常数)∫x^ndx=1/(n+1)·x^(n+1) (其中n≠-1)∫e^xdx=e^x∫1/xdx=ln，x∫sinxdx=-cosx∫cosxdx=sinx∫sec^2xdx=tanx∫csc^2xdx=-cotx∫secx·tanxdx=secx (其中x≠π/2+kπ，k为整数)∫cscx·cotxdx=-cscx (其中x≠kπ，k为整数)(2)基本函数的定积分：∫sin(ax+b)dx=-1/a·cos(ax+b)+C (C为常数)∫cos(ax+b)dx=1/a·sin(ax+b)+C (C为常数)∫e^(ax+b)dx=1/a·e^(ax+b)+C (C为常数)(3)积分的线性性质：若f(x)和g(x)都是可积函数，k为常数，则有：∫(kf(x)+g(x))dx=k∫f(x)dx+∫g(x)dx3.牛顿-莱布尼茨公式若函数F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，即F'(x)=f(x)，则有：∫f(x)dx=F(x)+C (C为常数)4.分部积分法若函数u(x)和v(x)都是可导函数，则有：∫u(x)v'(x)dx=u(x)v(x)-∫v(x)u'(x)dx5.代换法当计算定积分过程中，可以进行变量代换，将原来的积分变为更简单的形式。
定积分的概念及性质
一、定积分的概念及性质定积分是研究分布在某区间上的非均匀量的求和问题，必须通过“分割、近似、求和、求极限”四个步骤完成，它表示了一个与积分变量无关的常量。
牛顿—莱布尼兹公式揭示了定积分与原函数的关系，提供了解决定积分的一般方法。
要求解定积分，首先要找到被积函数的原函数，而求原函数是不定积分的内容，由此，大家也可以进一步体会上一章内容的重要性。
被积函数在积分区间有界是可积的必要条件，在积分区间连续是可积的充分条件。
定积分具有线性性质、比较性质以及中值定理等，这些性质在定积分的计算和理论研究上具有重要意义，希望大家认真领会。
二、定积分的计算定积分的计算主要依靠牛顿—莱布尼兹公式进行。
在被积函数连续的前提下，要计算定积分一般需要先计算不定积分（因而不定积分的计算方法在定积分的计算中仍然适用），找出被积函数的原函数，但在具体计算时，定积分又有它自身的特点。
定积分计算的特点来自于定积分的性质，来自于被积函数在积分区间上的函数特性，因此有时定积分的计算比不定积分更简洁。
尽管定积分在求原函数的指导思想上与不定积分没有差别，但实际上它们又不完全一样。
例如用换元法来计算定积分⎰22cos sin πxdx x ，如果计算过程中出现了新的变元：x u sin =，则上下限应同时相应改变，微分同样如此，即⎰202cos sin πxdx x x u sin =313110312==⎰u du u 。
可以看出，在进行换元时的同时改变了积分的上下限，这样就无须象不定积分那样回代了。
但如果计算过程中不采用新变元，则无需换限，即=⎰202cos sin πxdx x 31sin 31sin sin 203202==⎰ππx x xd 。
在前一种方法（也称为定积分的第二换元法）中，一定要注意三个相应的变换：积分上、下限、微分，否则必然出现错误。
后一种方法（定积分的第一换元法）可以解决一些相对简单的积分，实际上是换元的过程可以利用凑微分来替代，由于没有出现新的变元，因而也就无须改变积分上下限及微分。
5.1定积分的概念和性质
x1 x1 x0 , x2 x2 x1 ,, xn xn xn1
用直线 x xi 将曲边梯形分成 n 个小曲边梯形; y 每个小曲边梯形的面积为 Ai 曲边梯形的面积
Ai
xi 1
o a x1
xi
2) 取近似. 在第i 个小曲边梯形上任取 i [ xi 1 , xi ] 作以 [ xi 1 , xi ] 为底 , f ( i ) 为高的小矩形, 并以此小 矩形面积近似代替相应 小曲边梯形面积 得
b
a
a
a
f ( x)dx 0
2.定积分的几何意义:
曲边梯形面积 y 0 a
y
a
0
b
b x
曲边梯形面积的负值
y
A1 a c
b
A3 A2
d
e
A4
A5 f b x
a f ( x) d x A1 A2 A3 A4 A5
A1 ( A2 ) A3 ( A4 ) A5
y
o a x1
xi 1
i
xi
Ai f ( i )xi
(xi xi xi 1 )
3) 求和.
将n个小矩形的面积之和作为所求曲 边梯形面积的近似值
A A i f ( i )xi
i 1 i 1
n
n
4) 取极限. 令
则曲边梯形面积
A Ai
i 1
( a b)
8. 积分中值定理 则至少存在一点
使
a f ( x) dx f ( )(b a)
b
5.2 微积分基本定理
一、牛顿 – 莱布尼兹公式 二、积分上限函数
第一节定积分的概念和性质
cos
1 n
2 n
cos
2 n
n
n
1
cos
n
n
1
cos1.
解
原极限
lim
n
n i 1
i n
cos
i n
1 n
易见，若取
xi
i n
,
O
1 n
2 n
...
i n
...
n 1 n
1
x
则
xi
1 n
,
i
i n
[
xi
1
,
xi
],
n
原极限
lim
n
i
i 1
cos i xi
由此可见，被积函数应取为 f ( x) x cos x,
例2 利用定积分表示以下极限.
lim
n
n
1 n
cos
1 n
2 n
cos
2 n
n
n
1
cos
n
n
1
cos1.
n
解
原极限
lim
n
i
i 1
cos i xi
i
i n
(i 1, 2,, n)
故
1 0
x 2dx
lim
n
1 n3
(12
22
Hale Waihona Puke 32 n2 )
定积分的重要公式及性质(例题 解析)
定积分的定义：
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，将区间[a,b]分成n个子区间[x0,x1], (x1,x2], (x2,x3], …, (xn-1,xn]，其中x0=a，xn=b。可知各区间的长度依次是：△x1=x1-x0，在每个子区间(xi-1,xi]中任取一点ξi（1,2,...,n），作和式 。该和式叫做积分和，设λ=max{△x1, △x2, …, △xn}（即λ是最大的区间长度），如果当λ→0时，积分和的极限存在，则这个极限叫做函数f(x)在区间[a,b]的定积分，记为 ，并称函数f(x)在区间[a,b]上可积。[1]其中：a叫做积分下限，b叫做积分上限，区间[a, b]叫做积分区间，函数f(x)叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积表达式，∫叫做积分号。
重要公式及性质：
牛顿——莱布尼兹公式
(a为下限，b为下限）
例：
特殊公式：
（n为奇数）
（n为偶数)
例：
上下限为相反数
f(x)为偶函数
f(x)为奇函数
奇函数：y=x , x3, sinx , tanx
偶函数：y= x2, cosx , lxl
例：
定积分的概念和性质公式
DDY整理1. 曲边梯形的面积及曲线、设在区间上，则由直线、所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积分成在区间分割求近似：中任意插入若干个分点将n 个小区间DDY整理，小区间的长度，上任取一点作乘积在每个小区间取极限则面积求和取极限：，即小区间长度最大者趋于零。
其中2.变速直线运动的路程，设某物体作变速直线运动，速度的连续函数，且是上求在这段时间内物体所经过的路程。
将其分成分割求近似：在内插入若干分点。
任取，小区间长度，，n 个小区间做取极限则路程求和取极限：DDY整理中任意插入若干个分点设函数在上有界，在定义，在每个小区间，其长度为n 个小区间将分成，作乘积，并求和，上任取一点上的，如果不论对怎样分法，也不论小区间记总趋于确定的极限，则称这个极限点时，和怎样取法，只要当为函数上的定积分，记作，即在区间，（*）叫积分变量，叫积分下限，叫被积函数，其中叫被积表达式，叫积分和式。
叫积分上限，叫积分区间。
说明：可积，下面两类函数在区间在区间）式右边极限存在，称1.如果（*上连续，则在区可积。
（2在区间（可积，1））在上可积。
在间上有界且只有有限个间断点，则2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以DDY整理规定3. ,时两条直线、时 , 表示曲线在上、轴所围成的曲边梯形的面积；与、、两条直线在上时, 表示曲线轴的下方）曲边梯形在轴所围成的曲边梯形的面积（此时，；与DDY整理例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值2））（1（半圆面积）（三角形面积）（DDY整理可积设 1性质2性质，有对任何三个不同的数性质3 （定积分对区间的可加性）性质4，则上，性质5 如果在区间推论上的最大在区间M 设及 m 分别是函数（定积分的估值）性质6值及最小值，则（定积分中值定理）性质7上至少有一点，上连续，则在在区间如果函数成立使DDY整理例2 比较下面两个积分的大小与，设解单调增 0，1）内，在（即有当，时，5由性质，的值3例估计积分设，只需求出在区间上的最大值、最小值即可。
定积分的性质和基本定理
第二节 定积分的性质和基本定理用求积分和式的极限的方法来计算定积分不是很方便，在很情况下难以求出定积分的值。
因此，我们在定积分定义的基础上，讨论它的各种性质，揭示定积分与微分的内在联系，寻找定积分的有效§2.1一、定积分的基本性质性质 1b a1dx=∫b adx=b-a证 0lim →λ∑=n1i f(ξi ）Δx i ＝lim →λ∑=n1i １·Δx i ＝0lim →λ(b-a)=b-aba 1dx=∫badx=b-a性质2(线性运算法则)，设f(x),g(x)在［a,b ］上可积，对任何常数α、β，则αf(x)+βg(x)在［a,b ］ba ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫ba f(x)dx+β∫b ag(x)dx证：设F(x)=αf(x)+βg(x),lim →λ∑=n1i F(ξi ）Δx i ＝0lim →λ［αf(ξi )+βg(ξi ）］Δxi＝0lim →λ［α∑=n1i f(ξi ）Δx i ＋β∑=n1i g(ξi ）Δx i ］＝αb af(x)dx+β∫bag(x)dxαf(x)+βg(x)在［a,bba ［αf(x)+βg(x)］dx=α∫b a f(x)dx+β∫b ag(x)dx特别当α=1,β=±1ba ［f(x)±g(x)］dx=∫b a f(x)dx ±∫b ag(x)dx当β=0ba αf(x)dx=α∫b af(x)dx性质 2性质3 对于任意三个实数a,b,c ，若f(x)在任意两点构成的区间上可b af(x)dx=∫c a f(x)dx+∫bcf(x)dx证a,b,c(i)当a<c<b ，按定义，定积分的值与区间分法无关，在划分区间［a,b ］时，可以让点C是一个固定的b af(x)dx= 0lim →λ∑],[b a f(ξi ）Δx i∑],[c a＝0lim →λ［∑],[c a f(ξi ）Δx i ＋∑],[b c f(ξi )Δxi＝0lim →λ∑],[c a f(ξi )Δx i ＋0lim →λ∑],[b c f(ξi ）Δxica f(x)dx+∫bcf(x)dx（ii)当c<b<a由(i)a cf(x)dx=∫bc f(x)dx+∫abf(x)dx-∫c a f(x)dx=∫b c f(x)dx-∫b af(x)dx, ∫b a f(x)dx=∫c a f(x)dx+∫b cf(x)dx 对于其它4种位置与(ii)性质3主要用于分段函数的计算及定积分说明。
定积分的概念和性质公式
（7）设 是方程 所确定的函数，求
解利用隐函数求导法则和变限积分求导法则有
则 =
例2设 ，求 。
例3设 为连续函数，（1）若 ，则 ______ ,
___。（2）
例4求
解这是 型不定式，用罗必塔法则
定理（牛顿——莱公式）如果函数 是连续函数 在区间
上的一个原函数，则
2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以
3.规定
时,
在 上 时, 表示曲线 、两条直线 、 与 轴所围成的曲边梯形的面积；
在 上 时, 表示曲线 、两条直线 、 与 轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在 轴的下方）；
例1利用定积分的几何意义写出下列积分值
（1） （三角形面积）（2） （半圆面积）
1.曲边梯形的面积
设在区间 上 ，则由直线 、 、 及曲线 所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积
分割求近似：在区间 中任意插入若干个分点将 分成n个小区间
，小区间的长度
在每个小区间 上任取一点 作乘积 ，
求和取极限：则面积 取极限
其中 ，即小区间长度最大者趋于零。
2.变速直线运动的路程
为函数 在区间 上的定积分，记作 ，即
，（*）
其中 叫被积函数， 叫被积表达式， 叫积分变量， 叫积分下限， 叫积分上限， 叫积分区间。 叫积分和式。
说明：
1.如果（*）式右边极限存在，称 在区间 可积，下面两类函数在区间 可积，（1） 在区间 上连续，则 在 可积。（2） 在区间 上有界且只有有限个间断点，则 在 上可积。
此公式表明：一个连续函数在区间 上的定积分等于它的任一个原函数在该区间上的增量，此公式也称为微积分基本公式。
定积分的定义
2
0
f
x
dx－ 2 0
2xdx
=8－4=4.
答案:4
【技法点拨】利用定积分的性质求定积分的策略 （1）利用性质可把定积分分成几个简单的积分的组合,对于 每一个积分都可以利用定积分的几何意义求出, 从而得到所求 定积分的值. （2）求分段函数的定积分，可先把每一段的定积分求出后再 相加. 提醒：要注意合理利用函数的奇偶性、对称性求解.
2
0 f
x dx
2
20
f
x
dx.
1.若在区间［1,2］上,f(x)>0恒成立,则
2
1 f
xdx 的符号(
)
A.一定为正
B.一定为负
C.可能为正,也可能为负
D.不能判断
【解析】选A.由定积分的概念可知,
2
1
f
x的d值x 为曲边梯形
的面积.而该曲边梯形始终在x轴的上方,故其值为正.
积求定积分的值.
2.弄清被积函数的图象，结合定积分的几何意义作答.
【解析】1.（1）012d表x 示的是图（1）中阴影所示长方形的
面积，由于这个长方形的面积为2，所以
1
0 2dx
2.
答案:2
(2)
2
1
x表dx示的是图（2）中阴影所示梯形的面积，由于这个
梯形的面积为 3所, 以
2
2 xdx 3 .
2
分的形式为_______.
【解析】由定积分的定义和几何意义可知
S
2 0
sin
xdx.
答案: 2 sin xdx 0
3.4 定积分的概念和性质
的平均值，且
b
a
f ( x ) dx = f (x) (b - a)．
其中 f (x ) 称为连续函数y=f (x)在[a, b]上
b 1 f (x ) f ( x )dx ba a
证
因为 b – a > 0，由估值定理得
y a b x
轴下方，此时该定积分为 负值，它在几何上表示 x 轴下方的曲边梯形面积的 负值，即 f ( x )dx A.
a b
O
A
y=f (x)
B
当 f (x) 在 [a, b] 上有正有负时， f ( x )dx a
b
在几何上表示 x 轴上方的曲边梯形面积减去
x 轴下方的曲边梯形面积：
a
b
三、定积分的性质
下面各性质中的函数都假设是可积的. 性质 1 （线性性质）
Af ( x ) Bg( x )dx A
b a
b
a
f ( x ) dx B g( x )dx
a
b
（其中A、B为常数） 性质1可推广到有限个函数代数和的情形，即
A f ( x ) A
b a 1 1
A
x1
x2
xi
x i- 1 x i
xn
x n= b x
O a = x 0 x1
(3) 求和（“积零为整”）
得 f (x i ) xi , 把 n 个小矩形面积相加，
i 1
n
它就是曲边梯形面积的近似值， 即
A Ai f (x i ) xi .
i 1 i 1 n n
定积分的概念和性质
b a n
a
0
其中：f(x)叫做被积函数; x叫做积分变量;
i 1
f(x)dx叫做被积表达式; a叫做积分下限，b叫做积分上限; [a,b]叫做积分区间。
如果f(x)在[a，b]上的定积分存在，也称 f(x)在[a，b]上可积。否则，称f(x)在[a，b] 上不可积。
[ a ,b ]
f ( )x f ( )x f ( )x
i i i i i [ a ,c ] [ c ,b ]
i
• 令λ→0，上式两端同时取极限，得 • 注：不论a，b，c的相对位置如何，性质3
总是成立的。例如，当a<b<c时，由性质3，
b
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
定积分的概念和性质
1、定积分基本概念 2、定积分的性质
定积分概念
一、定积分问题举例 1、求曲边梯形的面积
y
y=f(x)
0
a
b
x
思想方法
（1）分割：将曲边梯形分成许多细长条
在区间[a,b]中任取若干分点： a x0 x1 x2 xi 1 xi xn1 xn b 把曲边梯形的底[a,b]分成n个小区间 ： [ xi 1 , xi ] 小区间长度记为： xi xi xi 1 (i 1,2,3,, n) 过各分点作垂直于x轴的直线段，把整个曲边梯形分 成n个小曲边梯形，其中第i个小曲边梯形的面积记为Ai
a c
c
b
有
• 于是
c
a
f ( x)dx f ( x)dx f ( x)dx
数学微积分定积分公式整理
数学微积分定积分公式整理微积分是数学中的重要分支，它主要研究函数的变化率和积分运算。
在微积分中，定积分是积分的一种形式，它用来求解曲线与坐标轴所围成的面积或曲线的长度。
定积分公式是定积分计算的基础，下面我将对一些常用的定积分公式进行整理和归纳。
一、基本的定积分公式1. 幂函数的定积分公式：∫x^n dx = 1/(n+1) * x^(n+1) + C，其中C为常数。
这个公式适用于任意实数n，其中n不等于-1。
2. 指数函数的定积分公式：∫e^x dx = e^x + C，其中C为常数。
指数函数e^x的定积分就是它自身再加上一个常数C。
3. 三角函数的定积分公式：∫sin x dx = -cos x + C∫cos x dx = sin x + C这两个公式是三角函数的定积分公式，其中C为常数。
4. 常数函数的定积分公式：∫k dx = kx + C，其中k为常数。
这个公式表示常数函数的定积分是它自身再乘以x再加上一个常数C。
二、定积分的性质1. 定积分的线性性质：∫[a*f(x) + b*g(x)] dx = a*∫f(x) dx + b*∫g(x) dx这个公式表示定积分具有线性性质，可以将函数的线性组合的积分转化为各个函数的积分之和。
2. 定积分的区间可加性：∫[a, b] f(x) dx + ∫[b, c] f(x) dx = ∫[a, c] f(x) dx这个公式表示定积分在不同区间上的结果可以进行相加，得到整个区间的定积分。
三、一些常见的定积分公式1. 正弦函数的定积分公式：∫sin^2 x dx = (1/2) * x - (1/4) * sin 2x + C∫sin^3 x dx = -(1/3) * cos^3 x + C这两个公式可用于计算正弦函数的定积分。
2. 余弦函数的定积分公式：∫cos^2 x dx = (1/2) * x + (1/4) * sin 2x + C∫cos^3 x dx = (1/3) * sin^3 x + C这两个公式可用于计算余弦函数的定积分。
第一节定积分的概念,第二节定积分的性质
证: 当 a c b时,
a
因在
上可积 ,
cb
所以在分割区间时, 可以永远取 c 为分点 , 于是
f ( i )xi f ( i )xi f ( i )xi
[a, b]
[a, c]
[c, b]
令 0
b
c
b
a f (x)dx a f (x)dx c f (x)dx
y
y x2
lim
n
1 3
o
i 1x
n
例2. 用定积分表示下列极限:
(1)
lim 1 n
n n i1
1 i n
(2)
lim 1p
n
2p n p1
np
解:
(1)
lim 1 n
n n i1
1
i n
n
lim
n i1
1 i 1 nn
x i
证
b
n
[ f (x) g(x)]dx
a n
lim
0
i 1
[
f
(i )
g(i )]xi
n
此性质可 以推广到
lim 0
i 1
f (i )xi
lim 0
i 1
g(i )xi
有限多个
b
b
a f (x)dx a g(x)dx.
函数代数 和的情况
n
曲边梯形的面积
A lim 0 i1
f ( i )xi
二、定积分定义
a x0 x1 x2 xn b ,
任一种分法 任取
总趋于确定的极限 I ,则称此极限 I 为函数
定积分概念、性质
cos2 x 2 cos2 2x
d [ x cos2 tdt 2x cos2 tdt]
dx 0
0
(u 2x)
例3
x sin t3dt
求极限lim 0 x0
x4
解：此极限为0 型，由罗必达法则
0
原式
lim x0
sin x3 4x3
1 4
例4 求f (x) x t.et2 dt的极值。 0 解： f (x) x.ex2 ,
性质6（介值定理）：设f(x)在[a,b]上可取得最大值M和
最小值m， 于是， 由性质5有
b
m(b a) a f (x)dx M (b a)
几何意义也很明显
性质7 （积分中值定理）：若函数f (x)在[a,b]上连续，
则至少存在一点 [a,b]使得
b
a f (x)dx f ( )(b a), (a b)
n
6n3
3
注意：据定义有如下说明:
(1)定积分是特殊和式极限,它是一个定数;
(2)定积分的大小仅与区间[a,b]和被积函数f(x)有关；
(3)规定： a f (x)dx 0,
b
a
f (x)dx f (x)dx
a
a
b
三、定积分存在的充分条件
1. 若函数 f x在 a, b 上连续， 则 f x 在 a, b 上可积。
a
记作
F ( x)
b a
证明思路
F
x
x
a
f
x dx
C
F
b
b
a
f
x dx
C
F
a
a
a
f
x
dx
C
4.1定积分的概念及性质
4 cos xdx 4 sin xdx
0
0
28
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练习题
一、判断题
（1）设 f (x) 在区间 [a,b] 上连续，则
b
b
a f (x)dx a f (t)dt 0
b
（2）若 f (x)dx 0 ，则 f (x) 0 a
3
2
（3） f (x)dx f (x)dx 0
2
0 ( x 1)dx 0
y （2，1）
1S
o
1
x
o
1 2x
-1
19
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4.1.2 定积分的性质
经济应用数学
若 f (x), g(x) 在区间a,b 上可积，则 f (x) g(x),
kf (x) 在 a,b 上也可积，且
性质1 性质2
b
b
a kf (x)dx k a f (x)dx
则乘积 f (i )xii 1, 2, 3, , n 的总和为
n
Sn f (i )xi i 1
11
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经济应用数学
若不论对区间 a, b 采取何种分法，也不论 i 在 a,b 中如何取法, 只要当 0 时， 极限
n
lim
0
i 1
Ai (i 1, 2,3 n.)
5
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② 近似代替—以直代曲
y 经f (济x) 应用数学
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1. 曲边梯形的面积
设在区间上，则由直线、、及曲线所围成的图形称为曲边梯形，下面求这个曲边梯形的面积
分割求近似：在区间中任意插入若干个分点将分成n 个小区间
，小区间的长度
在每个小区间上任取一点作乘积，
求和取极限：则面积取极限
其中，即小区间长度最大者趋于零。
2.变速直线运动的路程
设某物体作变速直线运动，速度是上的连续函数，且，求在这段时间内物体所经过的路程。
分割求近似：在内插入若干分点将其分成
n 个小区间，小区间长度，。
任取，
做
求和取极限：则路程取极限
定义设函数在上有界，在中任意插入若干个分点
将分成n 个小区间，其长度为，在每个小区间
上任取一点，作乘积，并求和，
记，如果不论对怎样分法，也不论小区间上的
点怎样取法，只要当时，和总趋于确定的极限，则称这个极限为函数在区间上的定积分，记作，即
，（*）
其中叫被积函数，叫被积表达式，叫积分变量，叫积分下限，叫积分上限，叫积分区间。
叫积分和式。
说明：
1.如果（*）式右边极限存在，称在区间可积，下面两类函数在区间
可积，（1）在区间上连续，则在可积。
（2）在区间上有界且只有有限个间断点，则在上可积。
2.由定义可知，定积分的值只与被积函数和积分区间有关，而与积分变量无关，所以
3.规定
时 ,
在上时, 表示曲线、两条直线、
与轴所围成的曲边梯形的面积；
在上时, 表示曲线、两条直线、与轴所围成的曲边梯形的面积（此时，曲边梯形在轴的下方）；
例1 利用定积分的几何意义写出下列积分值
（1）（三角形面积）（2）（半圆面积）
设可积
性质1
性质2
性质3 （定积分对区间的可加性）对任何三个不同的数，有
性质4
性质5 如果在区间上，，则
推论
性质6 （定积分的估值）设M 及m 分别是函数在区间上的最大值及最小值，则
性质7 （定积分中值定理）
如果函数在区间上连续，则在上至少有一点，
使成立
例2 比较下面两个积分的大小
与
解设，
在（0，1）内，单调增
当时，有，即
由性质5，
例3估计积分的值
解只需求出在区间上的最大值、最小值即可。
设，
，令，得，
所以，在区间上
由性质6，
设在区间上连续，，则定积分一定存在，当在上变动时，它构成了一个的函数，称为的变上限积分函数，记作即
定理如果函数在区间上连续，则积分上限的函数在上具有导数，且导数是，即
说明：
1.由原函数的定义知, 是连续函数的一个原函数，因此，此公式揭示了定积分与原函数之间的联系。
2.当积分上限的函数是复合函数时，有
更一般的有
例1 （1），则： =
（2），则：
（4），则：
（5）设，求:
此题中为函数的自变量，为定积分的积分变量，因而是两个函数乘积的形式由求导法则
=
= +
（6）=0（因定积分的结果为一常数，故导数为零）
（7）设是方程所确定的函数，求解利用隐函数求导法则和变限积分求导法则有
则=
例2 设，求。
例3 设为连续函数，（1）若，则______ , ___ 。
（2）
例4求
解这是型不定式，用罗必塔法则
定理（牛顿——莱公式）如果函数是连续函数在区间
上的一个原函数，则
此公式表明：一个连续函数在区间上的定积分等于它的任一个原函数在该区间上的增量，此公式也称为微积分基本公式。
例5
解原式
例6
解原式
例7求
解利用定积分的可加性分段积分，
= + =2
例8
解被积函数是分段函数，分段点在积分区间内，
= + =1/4
例9
解原式
注意：是分段函数。