第五章_第一节_不定积分的概念、性质.
高等数学第五章 不定积分

例 6 求下列积分:
(1)
x2
1
a2
dx;(2)
3 x dx;(3) 4 x2
1 1 ex
dx;
(4) sin 2
xdx;
(5)
1
1 cos
x
dx;(6)
sin
5x
cos
3xdx.
解 本题积分前,需先用代数运算或三角变换对被
积函数做适当变形.
1
x
2
1
a
2
dx
1 2a
x
1
a
x
1
(
2
x
1)31
C.
例 4 求 cos2 x sin xdx.
解 设u cos x,得du sin xdx,
cos2 x sin xdx u2du 1 u3 C 1 cos3 x C.
3
3
方法较熟悉后,可略去中间的换元步骤,直接凑微 分成积分公式的形式.
例4
求 x
dx . 1 ln2 x
2 sin xdx 3 cos xdx
2cos x 3sin x C (C 为任意常数).
例 9 求下列不定积分:
(1)
x 1 x
1
x
dx;(2)
x2 x2
1dx 1
.
解(1)
x 1 x
1 x
dx
x
x x 1
1 x
dx
x
xdx xdx 1dx
1 dx x
2
f (u )du
回代
F (u ) C
F [ ( x )] C .
这种先“凑”微分式,再作变量置换的方法,叫 第换一元积分法,也称凑微分法.
ch51不定积分的概念和性质

2019年8月16日星期五
y = F(x )函数ƒ(x)的一个原函数, 称 y = F(x) 的图形 是ƒ(x)的一条积分曲线;
而 f (x)dx是ƒ(x)的原函数一般表达式, 所以它对应的图
形是一族积分曲线称它为积分曲线族, 其特点是:
(1)积分曲线族中任意一条曲线可 由其中某一条(如y =F(x))沿y轴平行 移动|c|个单位而得到.
x称为积分变量, ƒ(x)d x 称为被积表达式。
结论: 若F(x)是函数ƒ(x)的一个原函数, 则
f (x)dx F(x) C.
C为任意常数, 并称C为积分常数。
2019年8月16日星期五
例1 求下列不定积分
(1) sin xdx
解 sin xdx cos x C
(2) 2xdx
2019年8月16日星期五
例3 设 f (x)dx F(x) C, 证 f (ax b)dx 1 F(ax b) C.
(a, b为常数且a≠0) .
a
证 由 f (x)dx F(x) C 知
F(x)是f(x)的一个原函数,满足
F '(x) f (x)
解
f (x 1)dx xex1 C
f (x 1) xex1 C ex1 xex1
令 t x 1
即 f (t) et (t 1)et tet
故 f (x) xex.
f (x)d x2 ?
d f (x)d x2 dx2
证明: F(x) C F(x)
注: 微分运算与积分运算是互逆的.
2019年8月16日星期五
性质2 kf (x)dx k f (x)dx (k 0) 性质3 [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx 证 f (x)dx g(x)dx f (x)dx g(x)dx
高等数学之不定积分

tan x sec x tan2 x sec xdx tan x sec x (sec2 x 1) sec xdx tan x sec x sec3xdx sec xdx
I tan x sec x I ln sec x tan x
I
sec3
xdx
1 2
tan x sec x ln sec x tan x
x 1
ex
C;②解原式
2
x
2
x
1
x
4dx
2
x
1
4d
x arctan x C 2
③解原式 sin 2 xd (cos x) (1 cos2 x)d (cos x) 1 cos3 x cos x C
3
(二)第二类换元积分法(有根号,平方和差)
x (t)可导且(t) 0
(1)定理2 f (x)dx f (t)(t)dt g(t)dt G(t) C G 1(x) C
a 1
(6) cos xdx sin x C
(9) sec x tan xdx sec x C (10) csc x cot xdx csc x C
(13)
1 dx arcsin x C 1 x2
3:不定积分的性质
(3)
1 x
dx
ln
x
C
(7) sec2 xdx tan x C
cos t sin 2 cos
t
dt
1 sin 2
t
dt
csc2
tdt
cot
t
C
按x sin t作辅助三角形(如右图)则原式 x C 1 x2
t
1 x2
1
x
三:分部积分法
高等数学 第五章 第1节 不定积分的概念与性质(中央财经大学)

定义
定理
, I )( 则它上的原函数存在在区间若x f 则它的所的一个原函数为若 , )( )( x f x F
. )( 的形式有原函数可表示为C x F +
) . ,(为任意常数其中C
.仅相差一个常数的任意两个原函数之间
结论结论结论
定义上的全体原函数的集合
在区间 I )(x f }
I , )()( | )({∈=′x x f x F x F 记为
上的不定积分在称为 , I )( x f ) ( )(d )(为任意常数C C x F x x f +=∫的一个原函数;
为其中 )( )( ,x f x F 称为被积表达式;称为被积函数 d )( , )(x x f x f 称为不定积分号;∫
. 称为积分常数C 一. 不定积分的概念
性质 1
),()d )((x f x x f =′∫,
d )(d )(d x x f x x f =∫,
)(d )(C x f x x f +=′∫
∫
+=.)()(d C x f x f
逆运算三.不定积分的基本性质
性质 2
则
设 (I),)( ),( 21R x f x f ∈,d )(d )(d )]()([2121∫∫∫+=+x x f b x x f a x x bf x af
. , ,为常数其中b a
.函数的和的形式该性质可推广至有限个
线性性质
解
解
解
利用加一项、减一项的方法.
解
利用加一项、减一项的方法.
解
部分分式法
解
下面看另一种解法
.
解
两个解法答案不同,你
有何想法?
利用平方差公式解
解
1。
第一、二节不定积分的概念及性质 基本积分公式

x2
+c
x2
x2
由定义知 f ( x ) = (e )′ = 2 xe .
2.非零常数因子可提到积分号外 非零常数因子可提到积分号外. 非零常数因子可提到积分号外
∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx 证 [k ∫ f ( x )dx ]′ = kf ( x ) ∫ kf ( x )dx = k ∫ f ( x )dx.
求过点(1,2),切线斜率为 2 x 的曲线方程 例9 求过点 切线斜率为 的曲线方程. 解 因 y′ = 2 x 故 y = ∫ 2 xdx = x + c
2
又 x = 1, y = 2 得 c =1 从而所求曲线方程为 y = x + 1.
2
不定积分的定义 不定积分的性质 不定积分的公式 不定积分的求法
C ′(Q ) = Q 2 − 10Q + 100
求总成本函数. 又知固定成本为本 1000 元,求总成本函数 求总成本函数 解
C ′(Q ) = Q 2 − 10Q + 100 因
2
1 3 C (Q ) = ∫ (Q − 10Q + 100)dQ = Q − 5Q 2 + 100Q + c 3 又 Q = 0, C (Q ) = 1000 得 c = 1000 1 3 故 C (Q ) = Q − 5Q 2 + 100Q + 1000. 3
(1′ )d [ ∫ f ( x )dx ] = [ ∫ f ( x )dx ]′dx = f ( x )dx
( 2)[ f ( x )]′ = f ′( x )
( 2′ )[ f ( x )]′f ( x ) = 1
∫ f ′( x )dx = f ( x ) + c ∫ df ( x ) = f ( x ) + c
不定积分 定积分讲义

第五章不定积分学习目标:1.理解原函数、不定积分的概念2.掌握不定积分的性质及基本积分表3.理解第一类换元法的基本思想4.掌握第一类换元法的内容及其证明方法5.掌握凑微分的技巧和方法6.掌握第二类换元法的内容及其证明7.会用第二类换元法计算不定积分8.熟练地应用分部积分法计算不定积分学习重点:1.不定积分的性质2.第一类换元积分法3.凑微分4.用第二类换元法计算不定积分学习难点:1.第一类换元积分法2.凑微分3.第二类换元法中的变量替换4.分部积分公式中u与dv的选取教学方法:讲授法,辅以练习计划学时:10学时新课导入:上一章我们学习了已知原函数求导数的运算,这一章我们进行已知导函数求原函数——不定积分的运算问题。
§5.1 不定积分的概念与性质 一、原函数与不定积分的概念1定义 设)(x f 是定义在区间I 上的函数,如果存在函数)(x F ,对于I x ∈∀,都有)()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(=,则称函数)(x F 为函数)(x f 在区间I 上的一个原函数.例如,x sin 是x cos 的原函数,因为 x x cos )(sin =' .又因为x x 2)(2=',x x 2)1(2='+ ,所以2x 和12+x 都是2x 的原函数.2.问题1:一个函数若有原函数,原函数是否唯一?(不唯一,无数多个)问题2:同一函数的无数多个原函数之间是什么关系?如果)(x F ,)(x G 为函数)(x f 在区间I 上的任意两个原函数, )())((x f x F =' ,)())((x f x G =',于是有 0)()()()())()((=-='-'='-x f x f x F x G x F x G . 所以 C x F x G =-)()(,或C x F x G +=)()( .回答:任意两个原函数相差一个常数。
高等数学基础第五章

第五章 不定积分
主讲:
不定积分
不定积分的概念与性质 换元积分法 分部积分法
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5.1不定积分的概念与性质— 原函数与不定积分的概念
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5.1不定积分的概念与性质— 不定积分的性质
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5.1不定积分的概念与性质— 基本积分公式表Biblioteka 返回5.3 分部积分法
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5.1不定积分的概念与性质— 不定积分的两个基本运算法则
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5.1不定积分的概念与性质— 直接积分法
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5.2换元积分法— 第一类换元积分法(凑微分法)
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5.2换元积分法— 第二类换元积分法
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5.2换元积分法— 第二类换元积分法
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5.2换元积分法— 第二类换元积分法
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5.3 分部积分法
不定积分的概念及性质

2 1
x
(2)
x
xdx
3
x 2 dx
2
5
x2
C
.
5
(3)
dx 2gx
1 2g
dx x
例5
1
1
1 1
x 2 C
2g 1 1
2
求下列不定积分:
2gx C . g
(1)
x 1 x
1
x
dx;(2)
x x
2 2
1 1
dx
则称F(x)为 f (x)的一个原函数.
例 因为(ln x) 1 ,故ln x 是 1 的一个原函数;
x
x
因为(x2) 2x,所以 x2 是2x 的一个原函数,但
(x2 1) (x2 2) (x2 3) 2x ,所以 2x 的原函 数不是惟一的.
原函数说明: 第一,原函数的存在问题:如果 f (x)在某区间连续, 那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明).
.
解(1)
x 1 x
1 x
dx Nhomakorabeax
x x 1
1 x
dx
x
xdx xdx 1dx
1 dx x
2
5
x2
1
x2
x
1
2x2
C.
52
(2)
x2 x2
1dx 1
x
2 x2
1 1
2
dx
1
做被积表达式,C 叫做积分常数,“ ”叫做积分号.
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经济数学——微积分 4不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表 不定积分的性质 小结思考题经济数学——积分二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I 刖内,可导函数尸(X)的 导函数为/(X ),即 We/,都有F\x) = f(x) 或dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx 在区间/内原函数・(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx 是cos 兀的原函数.(inx) =— (X >0)XIn X 是1在区间((),+oo)内的原函数.X第一节五、定理原函数存在定理:如果函数八X)在区间内连续, 那么在区间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) =f(x).简言之:连续函数一定有原函数.问题:(1)原函数是否唯一?(2)若不唯一它们之间有什么联系?1 f例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx(C为任意常数)经济数学一微积分关于原函数的说明:(1)(2)证说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或经济数学一微积分经济数学——微积分不定积分(indefinite integral )的定义: 在区间/内,函数/(兀)的带有任意 常数项的原函数称为/(兀)在区I 可内的 不定积分,记为f/(xMr ・经济数学——微积分6=X% /. fx^dx =——十 C. J」6例2求f --------- dr.J 1 + X-/ J解•/ (arctanx)=,,I‘1 + 疋 心& =皿2被积函数『积分号积分变量寒积表达式F(x)例3某商品的边际成本为100-2x ,求总成本函数C(jc).解C(x) = J(100-2x)dx g = 1 OQx —兀2 + c IK™其中c为任意常数经济数学一微积分二、不定积分的几何意义函数八兀)的原函数的图形称为y(x)的积分曲线.显然,求不定积分得到一积分曲线族,在同一经济数学一微积分经济数学——微积分经济数学微积分基本积分表p*l=x“ zz> k"dx= — + C ・J “+1(“H -l)既然积分运算和微分运算是互逆的, 因此可以根据求导公式得出积分公式.经济数学一微积分(1) f kdx = kx + C 仏是常数); (2) (\“dx = J + C (〃H —1); J “+1(3)[竺"=In X +C;J jrr dx说明;X >0, => 一 = lnx + C,J Xx<0, [ln(-x )r= 1 (—*)' =丄,—X X n f — =ln(-x) + C,.订咚=In I X I +C, X J X实例“+1启示 能否根据求导公式得出积分公式?结论 基本积分表(4)(6)(7) f ------ -dx =arctanx4-C;J 1 + x"f t -------- dx = arcsin jc + C;JJ cos xdx =sinx + C;Jsin xdx =-cosx +C;r dr r r---- 2— = sec~ xdx =tanx +C; J cos X Jf = fcsc^ xdx =—cotx + C; J sin" X J经济数学一微积分(10)(11)(12)(13) J sec X tan xdx =secx + C;J CSC X cot xdx =—cscx +C; J/dx =gx +C;X= a +C;J Ina经济数学一議积分经济数学一微积分例4求积分5解 ^x^yfxAx — J x^dr飞+12经济数学一議积分四、不定积分的性质(1) Jl/(x)±g(x)jdx = J/(x)dx ± Jg(x)dx; r 证•・・J/(x)dx ± Jg(x)dxtt=J/(x)dx ± Jg(x)dx =/(x)±g(x).・・・等式成立.(此性质可推广到有限多个函数之和的情况)+ C=-x^+C.7经济数学一議积分J kf{x}Ax =町/(x )dx.(A:是常数,A: H0)求积分=3arctanx —2arcsinx + C经济数学一微积分r 1 + X + 工2•」X (1 + X*)「1+…L =厂(1+% J 兀(1 +工2) J 兀(1 +云)= arctanx + lnA +C.例6求积分WF—^dx +经济数学一微积分解KrS 訂甯斗 」Ar(l + jr) J 兀・(1 +兀・)J 刖 JE"----- arctanx + C< X经济数学一微积分例8求积分1 ------------- —dx.J 1 + cos 2x 解J 1 + ;心4 = j 1 + 2丄—严£土吨g + G说明:以上几例中的被积函数都需要进行 恒等变形,才能使用基本积分表.I 化积分为代做和的积分\ 例9 已知一曲线y = f(x)在点(x,/(x))处的 切线斜率为sec^x+sinx,且此曲线与 轴的交 点为(0,5),求此曲线的方程.例7求积分r 1+2兀2J 兀2(] + 尤2)1 + 2*2解•/— = sec2 X十sin x,dr二y = J^sec' X + sinx)dx=tanx —cosx H-C,j(0) = 5, /. C = 6、所求曲线方程为y = tan x — cosx + 6.经济数学一微积分五、小结原函数的概念:F\x) = f(x)不定积分的概念:J/U)dx = F(x) + C 基本积分表(1)〜(13) 求微分与求积分的互逆关系不定积分的性质经济数学一微积分经济数学——积分思考题1, X > 0 符号函数 /(x) = sgnx = 0, X =0—1, X < 0在(-co,+ 00)内是否存在原函数?为什么?经济数学——积分X + C, X >0X =0[―x+C,x <0 但F (兀)在工=0处不可微, 故假设错误所以/(X )在(-00, + 8)内不存在原函数.思考题解答不存在.假设有原函数F (x ) F (x ) = -ic,经济数学一微积分练习题、 填空题;1. 一个已知的连续函数,有个原函数,其中 任意两个的差是一个 2. 3・ /(•V )的______ 称为/(X)的不定积分! 把/(“)的一个原函数F(x)的图形叫做函数/(X )的 ______ ,它的方程是y = F(x),这样不定积 ,它的方程是 4.5. J f(x)dx 在几何上就表示 j = F(x) + C ; 由F (x) = /(x)可知,在积分曲线族j=F(x) + C (C 是任意常数)上横坐标相同的点处作切线,这 些切线彼此 的;若/(X )在某区间上 ____ ,则在该区间上/(X )的 原函数一定存在:经济数学一微积分 6. J xsfxdx = ___________ 7 f - .J 皿- -------------- 8. J (宀 3工 + 2)dx= _ 9. J(>/7 + l)(7P'-l)dv = 10. J-—dx =求下列不定积分:3x经济数学一微积分3. f cos* —drJ 25. J (1-占)厶石血a fF+SlirX.6.----- ; ---- sec* xQxJ x" + l, f cos 2x ■ 』J cos-X sin-s 一曲线通过点且在任一点处的切线的斜率等于该点横坐标的倒数,求该曲线的方程•经济数学一微积分 练习题答案一、1.无穷多,常数:2.全体原函数; 积分曲线,积分曲线族;4.平行;5.连续 2 色 2 ---x'+C ; 7, -------- x '+C ;53 3 -- +2x + C ; 3 22 - 2 -- + -x2--x2-x + C ; 3 5 3 —4 - 2 - 2\・x —一—3 53. 6. 9.10.3.5.X—arctanx + C;X + sin X _2 24(*+7)717 +6三s , = lnx+C・经济数学一微积分2. 2’” + C;In 2-In 34e-(cotx +tanx) + C ;6. tan* —arccatx + C.o。