不定积分的概念与性质

(14) ∫ sh x dx = ch x+ C ,

(5) ∫ a x dx = a + C , ln a (6) ∫ cos xdx = sin x + C ,
(7) ∫ sin xdx = − cos x + C ,
(8) ∫ sec 2 xdx = tan x + C ,
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由此可见, 如果不计任意常数, 则微分运算与求不定 积分的运算是互逆的.
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二、基本积分表
(1) ∫ kdx = kx + C (k 是常数),
(2) ∫ x µ dx = 1 x µ +1 + C , µ +1 1 dx = ln | x | +C (3) ∫ , x (4) ∫ e x dx = e x + C ,
§4.1 不定积分的概念与性质
一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质
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一、原函数与不定积分的概念
原函数的概念 如果在区间I上, 可导函数F(x)的导函数为f(x), 即对 任一x∈I, 都有 F ′(x)=f(x)或dF(x)=f(x)dx, 那么函数F(x)就称为f(x)(或f(x)dx)在区间I上的原函数. •原函数举例 因为(sin x)′=cos x , 所以sin x是cos x的原函数. ′ = 1 , 所以 x 是 1 的原函数. 因为 ( x ) 2 x 2 x 提问： x 和 1 还有其它原函数吗？ cos 2 x
(9) ∫ csc 2 xdx = − cot x + C , (10) ∫ 1 2 dx = arctan x + C , 1+ x (11) ∫ 1 dx = arcsin x + C , 1− x 2 (12) ∫ sec x tan xdx = sec x + C , (13) ∫ csc x cot dx = − csc x+ C ,
1 3 x (2e + )dx = 2 ∫ e dx + 3∫ dx = 2e x + 3 ln | x | +C ∫ x x
x
(2e) x 2xex + C . x 例10 2 x e x dx = ∫ (2e) dx = +C = ∫ ln(2e) 1+ ln 2
x2 +1−1 1 x2 例11 ∫ dx = ∫ (1 − )dx = x − arctan x + C dx = ∫ 2 2 2 1+ x 1+ x 1+ x
x
(15) ∫ ch x dx = sh x+ C .
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x µ dx = 1 x µ +1 + C ∫ µ +1
例4
1 1 − 2 +1 ∫ x 2 dx = ∫ x dx = − 2 + 1 x + C = − x + C
1
−2
例5
∫x
23
x dx = ∫ x dx =
7 3
x 1 + cos x 1 ∫ cos 2 dx = ∫ 2 dx = 2 ∫ (1 + cos x)dx 1 = ( x + sin x) + C 2 cos 2 x cos 2 x − sin 2 x 例15 ∫ dx = ∫ cos x − sin x dx cos x − sin x
例14
2
1 7 +1 3
x
7 +1 3
3 33 +C = x x +C 10
例6
∫
m
x dx = ∫ x dx =
n
n m
1 n +1 m
x
n +1 m
m +C = x n+m
m+n m
+C
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三、不定积分的性质
性质1 ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx =∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx . 这是因为,
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微分与积分的关系 从不定积分的定义可知
d [ f (x)dx] = f (x) , 或 d[∫ f ( x)dx] = f ( x)dx ; ∫ dx 又由于F(x)是F ′(x)的原函数, 所以
∫ F ′(x)dx = F (x) + C ,
或记作 ∫ dF ( x) = F ( x) + C .
∫ f (x)dx = F (x) + C .
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如果F(x)是f(x)的一个原函数, 则∫ f ( x)dx = F ( x) + C . 例1 因为sin x 是cos x 的原函数, 所以
∫ cos xdx = sin x + C .
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不定积分的概念 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作
∫ f ( x)dx .
根据定义, 如果F(x)是f(x)在区间I上的一个原函数, 那么 F(x)+C就是f(x)的不定积分, 即
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不定积分的概念 在区间I上, 函数f(x)的带有任意常数项的原函数称为 f(x)(或f(x)dx )在区间I上的不定积分, 记作
∫ f ( x)dx .
不定积分中各部分的名称： ∫ ------ 称为积分号, f(x) ------ 称为被积函数, f(x)dx ------ 称为被积表达式, x ------ 称为积分变量.
[∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx]′ = [∫ f ( x)dx]′ +[∫ g ( x)dx]′ = f(x)+g(x).
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三、不定积分的性质
性质1 ∫ [ f ( x) + g ( x)]dx =∫ f ( x)dx + ∫ g ( x)dx . 性质2 ∫ kf ( x)dx = k ∫ f ( x)dx (k 是常数, k ≠0) . 例7
( x 2 − 3x + 2)dx = ∫ x 2 dx − 3∫ xdx + 2∫ dx ∫
1 3 3 2 = x − x + 2x + C 3 2 ( x −1)3 x3 − 3x 2 + 3x −1dx = ( x − 3 + 3 − 1 )dx 例8 ∫ 8 dx = ∫ ∫ 2 x x2 x x2 = ∫ xdx − 3∫ dx + 3∫ 1 dx −∫ 12 dx = 1 x 2 − 3x + 3 ln | x | + 1 + C . x 2 x x
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= ∫ (cos x + sin x)dx = sin x − cos x + C
总结 原函数的概念： F′( x) = f ( x) 不定积分的概念： 基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质
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•积分曲线 函数f(x)的原函数的图形称为f(x)的积分曲线. 函数f(x)的积分曲线也有无限 多. 函数f(x)的不定积分表示f(x)的 一簇积分曲线，而f(x)正是积分曲 线的斜率.
2x的积分曲线
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1 dx = ln | x | +C (x 0) ≠ . ∫x
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例3一曲线通过点(e2, 3), 且在任一点处的切线的斜 率等于该点横坐标的倒数, 求该曲线的方程. 解 设所求的曲线方程为y=f(x), 则曲线上任一点(x, y) 处的切线斜率为 1 y ′ = f ′( x) = x , 1 即f(x)是 的一个原函数. 因为 x 1 y = ∫ dx = ln | x | +C x 故必有某个常数C使f(x)= ln | x | +C, 即曲线方程为y=ln | x |+C. 因所求曲线通过点(e2, 3), 故 3=f(e 2)=ln|e 2|+C=2+C , C=3−2=1 . 于是所求曲线方程为y=ln|x|+1 .
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x 4 dx = x 4 −1+1dx = ( x 2 +1)( x 2 −1) +1dx 例12 ∫ ∫ 1+ x 2 ∫ 1+ x 2 1+ x 2 1 dx 1 )dx = ∫ x 2dx − ∫ dx + ∫ = ∫ (x 2 −1+ 1+ x 2 2 1+ x = 1 x3 − x + arctan x + C . 3 例13 ∫ tan 2 xdx = ∫ (sec 2 x −1)dx = ∫ sec 2 xdx − ∫ dx =tan x−x+C.