不定积分的定义和性质

x 31x ex C C
11ln 3
对被积函数稍加变形，化为指
数函数形式。据公式（13）
(13) axdx ax C; ln a
三、不定积分的性质
(1) [ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx;
(2) kf (x)dx k f (x)dx.（k 是常数，k 0)
dx
1 arctan x C. x
例8 求积分 1说c1o明s 2：x以要dx上进. 几行例恒中等的变被形积，函才数能都使需用
解
1 dx 1 cos 2x
1基2本co1积s2分x 表1.dx
11
1

2 cos2 x dx

tan x C. 2
四、不定积分的几何意义
x
x


dx x

ln( x)

C,


dx x

ln
|
x
|
C.
(4)

1
1 x2
dx

arctan
x

C;
(10) sec x tan xdx sec x C;
(5)

1 dx arcsin x C; (11) 1 x2
csc x cot xdx csc x C;
不定积分的概念： f (x)dx F(x) C
基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质
F(x)dx F(x) C,
dF(x) F(x) C.
结论能：否微根分据运求算导与公求式不得定出积积分分的公运式算？是互逆的.
实例:

x 1




1

x

xdx x1 C. ( 1) 1
结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，
当 C时，0 向下移动。
y f (x)
（ 每2条）积由分于曲[线F(上x)相 C应o]'点 的F '切(x)线斜f (率x)相，等即x，横都坐等标于相同点，f x(从x处)而，
使相应点的切线平行。
例9：设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的切线斜率 等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解:

x6 6


x5,
x5dx x6 C. 6
例2
求
1 1 x2 dx.
解:
arctan
x

1 1 x2
,


1 1 x2
dx

arctan
x

C.
二、不Байду номын сангаас积分的基本性质
由不定积分的定义，可知
d dx

f
(x)dx

f
(x),
d[ f (x)dx] f (x)dx,
第一节 不定积分的定义和性质
一、原函数与不定积分的概念 二、基本积分表 三、不定积分的性质 四、小结
一、原函数与不定积分的概念
定义1 设函数 f (x)在某区间上有定义，如果存在函数F(x) ，
对于该区间上任一点 x ，使
F'(x) f (x)或dF(x) f (x)dx
则称函数 F(x) 是已知函数 f (x) 在该区间上的一个原函数。
1 1 x2

1 x
dx


1 1 x2
dx


1dx x
arctan x ln x C.
例7
求积分
1 x2 (1
2x2 x2
dx. )
解
1 2x2
x
2
(1

x
2
dx )

1 x2 x2 x2 (1 x2 ) dx


1 x2
dx


1
1 x2


cot
x

C;
有一个导数公式就 相应地有一个不定
积分公式。
例3 求积分 x2 xdx.
解
x2
xdx
5
x 2 dx
5 1
x2 C 5 1

2
7
x2

C.
7
例4 求积分 3x exdx.
2 根据积分公式（2）
解
3x exdx
(3e)xdx

l(n3(e3x)ex)dxC
(6) cos xdx sin x C;
(12) exdx ex C;
(7) sin xdx cos x C;
(13) axdx ax C; ln a
(8)

dx cos2
x

sec2
xdx

tan
x

C;
(9)

dx sin 2
x


csc2
xdx

现证(1) f (x)dx g(x)dx f (x)dx g(x)dx f (x) g(x).
等式成立.
（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）
例5
求积分
3
( 1

x2

2 )dx.
1 x2
解:
3
( 1

x2

简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x（C为任意常数）
sin x C,sin x都是cos x的原函数。
关于原函数的说明：
（1）若 F(x) f (x)，则对于任意常数C ，
解：设曲线方程为 y f (x),
根据题意知 dy 2x, dx
即 f (x) 是2x 的一个原函数。
2xdx x2 C,
f (x) x2 C,
由曲线通过点（1，2） C 1,
所求曲线方程为 y x2 1.
四、 小结
原函数的概念：F(x) f (x)
若 y F(x)是 f (x) 的一个原函数，则称 y F(x)的图形是
f (x) 的积分曲线。y
y f (x) C
它对应的图形是一族积分曲线，称为积分曲线族。
积分曲线族 y F (x) C的特点是：
（1）积分曲线族中任意一条曲线，可由其中某一条，例如，
曲线 y F(x)沿y轴平行移 C 位而得到。当 C 0 时向上移动；
F(x) C 都是 f (x) 的原函数。 （2）若 F (x)和 G(x)都是 f (x) 的原函数，则
F(x) G(x) C （C 为任意常数）
证： F(x) G(x) F(x) G(x) f (x) f (x) 0
F(x) G(x) C（C为任意常数）
例 sin x cos x
sin x是cos x的原函数.
ln x 1 (x 0)
x
ln x是 1 在区间(0,)内的原函数. x
原函数存在定理：
如果函数 f (x)在区间 I 内连续，那么在区间 I 内存在可导 函数 F(x) ， 使x I 都有F(x) f (x).
不定积分的定义：
在区间 I 内，函数 f (x) 的带有任意常数项的原函数
称为 f (x)在区间 I 内的不定积分，记为 f (x)dx 。
即： f (x)dx F(x) C
积分号
被积 函数
积分 变量
积分常数
求不定积分的中心问题是
寻求被积函数f (x) 的一个
原函数。
例1 求 x5dx.
因此可以根据求导公式得出积分公式.
基本积分表
(1) kdx kx C (k是常数）
(2) xdx x1 C ( 1);
1
(3)

dx x

ln
|
x
|
C;
说明： x 0


dx x
ln x C,
x 0, [ln(x)]
1 (x) 1
2 )dx 3 1 x2
1 1 x2
dx

2
1 dx
1 x2
3arctan x2arcsin x C 1 x x2
例6 求积分 x(1 x2 ) dx.
解： 1 x x2 dx x(1 x2 )
x (1 x2 )dx x(1 x2 )