不定积分的概念与性质
不定积分的概念与性质
式
任 意 常 数
例1 求 3x2dx 解: ( x3 ) 3x2 3x2dx x3 C
例2 求 cos xdx
解: (sin x) cos x cos xdx sin x C
例3
求
1dx x
解:
ln x 1
x
1dx x
ln
dx sin 2
x
csc2
xdx
cot
x
C
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) e xdx e x C (13) a xdx a x C
ln a
例5
求
1 x4
结论：微分运算与求不定积分的运算是互逆的。
3. 设 k1 , k2 为非零常数
k1 f1( x) k2 f2( x)dx k1 f1( x)dx k2 f2( x)dx
三、基本积分表1
(1) kdx kx C(k是常数)
(2) xdx x1 C( 1)
第四节 不定积分的概念与性质
一 不定积分的概念 二 不定积分的性质 三 基本积分表
一、不定积分的概念
定义 在区间 I 内，函数f ( x)的带有任意常
数项的原函数，称为 f ( x)在区间I 内
的不定积分，记为 f ( x)dx
f ( x)dx F( x) C
积 分 号
被积 积分 表变 达量
例9 解：
求
2x2 1 dx x2( x2 1)
x22 (xx2211)dx
不定积分的定义和性质
2 )dx 3 1 x2
1 1 x2
dx
2
1 dx
1 x2
3arctan x2arcsin x C 1 x x2
例6 求积分 x(1 x2 ) dx.
解： 1 x x2 dx x(1 x2 )
x (1 x2 )dx x(1 x2 )
F(x)dx F(x) C,
dF(x) F(x) C.
结论能：否微根分据运求算导与公求式不得定出积积分分的公运式算？是互逆的.
实例:
x 1
1
x
xdx x1 C. ( 1) 1
结论：既然积分运算和微分运算是互逆的，
不定积分的概念： f (x)dx F(x) C
基本积分表(1) 求微分与求积分的互逆关系 不定积分的性质
解:
x6 6
x5,
x5dx x6 C. 6
例2
求
1 1 x2 dx.
解:
arctan
x
1 1 x2
,
1 1 x2
dx
arctan
x
C.
二、不定积分的基本性质
由不定积分的定义，可知
d dx
f
(x)dx
f
(x),
d[ f (x)dx] f (x)dx,
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？
例 sin x cos x sin x C cos x（C为任意常数）
不定积分的概念与性质
微积分II Calculus II§6.1 不定积分的概念和性质§6.2 积分基本公式§6.3 换元积分法第六章不定积分§6.4 分部积分法6.1 不定积分的概念和性质一原函数与不定积分原函数1)()(x f x F ='dxx f x dF )()(=设定义在区间上的函数，如果存在函数，使得对区间上的任意点都有)(x f I I )(x F 定义一I )(x f )(x F 则称函数是函数在区间上的一个原函数。
或(sin )cos ,x x '=(sin )x C '+cos ,x =C 其中为任意常数。
sin x cos x 是的一个原函数。
所以因为又因为也是sin x C +cos x 的原函数。
所以例如若函数在某区间上连续，则在该区间上必存在原函数.()f x ()f x 定理一如果函数是函数在某区间上的一个原函数，则（1）对任意常数, 也是函数的原函数.（2）的任意两个原函数之间相差一个常数.C ()F x ()f x ()f x ()F x C +()f x 定理二⎰积分号()f x 被积函数()f x dx 被积表达式x 积分变量若函数在某区间上存在原函数，则原函数的全体称为在该区间上的不定积分.()f x ()f x 不定积分的定义2⎰dx x f )(记为：()f x由不定积分的定义有：()()f x dx F x C =+⎰()()F x f x '=其中，C 为任意常数.解例求⎰dx x 2321()3x x '=因为2313x dx x C =+⎰所以求1dx x ⎰1ln ,0dx x C xx =+≠⎰因为1(ln)'=x x C 为任意常数.所以解例不定积分表示的是一族函数，从几何上看，代表一族曲线，称为积分曲线族。
曲线(),(y F x C C =+为任意常数)在的切线的斜率为)(0x f '不定积分的几何意义200(,)x y 0=x x设曲线通过点（1，2），且其上任意点处的切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线的方程.()f x ()y f x =2dyx dx =()2f x x'=即，由题意知2x C=+2xdx =⎰又曲线通过点（1，2），得1C =2()1f x x =+此曲线的方程为21y x =+设所求曲线方程为：o xy 1221y x =+[()]()f x dx f x '=⎰()()d f x dx f x dx =⎰()()F x dx F x C '=+⎰()()dF x F x C =+⎰求不定积分的运算与求导数运算是互逆的.二不定积分的性质性质一[()()]()()f x g x dx f x dx g x dx±=±⎰⎰⎰两个函数代数和的不定积分等于它们各自不定积分的代数和.()()(0)kf x dx k f x dx k =≠⎰⎰求不定积分时，被积函数中的非零常数可以提到积分号外面.三小结与思考本次课学习了原函数，不定积分的定义，不定积分的性质。
ppt-0401--不定积分的概念与性质
2 x3dx 5 x2dx 4 xdx 3 dx
1 2
x4
5 3
x3
2
x2
3x
C.
注 逐项积分后，每个积分结果中均含有一个任意 常数．由于任意常数之和仍是任意常数，因此只 要写出一个任意常数即可
例7 求 (3x 2sin x)dx
即
f (x)dx F(x) C，
其中记号"称" 为积分号，f (x)称为被积函数，f (x)dx称为
被积表达式，x称为积分变量，C为积分常数.
例1 求 x4dx.
解
(
x5)'
5
x4，
x4dx
x5
5
C.
例2 求
1
1
x
2
d
x.
解
(arctan
x)'
1
1 x
2
(
x
)，
所以在 x 上有 1
例3 设曲线通过点(2.,3)，,且其上任一点的切线斜率等 于这点的横坐标，求此曲线方程 .
解 设所求的曲线方程为 y f ( x)，依题意可知
y' x ，
把(2, 3)代入上述方程，得
C 1 ，
y
xdx
1 2
x2
C
因此所求曲线的方程为 x2
y 1 2
4 不定积分与微分的关系
微分运算与积分运算互为逆运算.
x2
，3x
3
是函数
x 2在
(,)上的原函
数.(sin x)' cos x，sin x是cos x在(,) 上的原函数.
又如d(sec x)=sec x tan xdx,所以sec x是sec x tan x
不定积分的概念与性质
定义： 如果在区间I 内， 可导函数F ( x ) 的
导函数为 f ( x ) ， x I ，都有 F ( x ) f ( x ) 即
或dF ( x ) f ( x )dx ，那么函数 F ( x ) 就称为 f ( x )
I 或 f ( x )dx 在区间 内原函数.
2
xdx .
5 2
x 2 xdx x dx
根据积分公式（2） x dx
7 x 2 2 C x C. 5 7 1 2
x
1
1
C
5 1 2
例2. e x 3 x dx (3e) x dx
1 (3e) C ln 3e 1 x x 3 e C ln 3 1
简言之：连续函数一定有原函数. 问题：(1) 原函数是否唯一？ (2) 若不唯一它们之间有什么联系？ 例
sin x cos x
sin x C cos x
（C 为任意常数）
关于原函数的说明：
（1）若 F ( x ) f ( x ) ，则对于任意常数 C ，
F ( x ) C 都是 f ( x ) 的原函数.
6 x x 5 5 解 x , x dx C. 6 6
5
6
1 例2 求 dx. 2 1 x 解 arctan x
1 , 2 1 x
1 dx arctan x C . 2 1 x
例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
不定积分的定义：
在区间I 内， 函数 f ( x ) 的带有任意
不定积分的概念及性质
2 1
x
（２）
x
xdx
3
x 2 dx
2
5
x2
C
.
5
（３）
dx 2gx
1 2g
dx x
例5
1
1
1 1
x 2 C
2g 1 1
2
求下列不定积分:
2gx C ． g
（１）
x 1 x
1
x
dx；（２）
x x
2 2
1 1
dx
则称F(x)为 f (x)的一个原函数．
例 因为(ln x) 1 ，故ln x 是 1 的一个原函数；
x
x
因为(x2) 2x，所以 x2 是2x 的一个原函数，但
(x2 1) (x2 2) (x2 3) 2x ，所以 2x 的原函 数不是惟一的．
原函数说明： 第一，原函数的存在问题：如果 f (x)在某区间连续， 那么它的原函数一定存在(将在下章加以说明)．
．
解（1）
x 1 x
1 x
dx Nhomakorabeax
x x 1
1 x
dx
x
xdx xdx 1dx
1 dx x
2
5
x2
1
x2
x
1
2x2
C.
52
（２）
x2 x2
1dx 1
x
2 x2
1 1
2
dx
1
做被积表达式，C 叫做积分常数，“ ”叫做积分号．
不定积分的概念与性质
y=x3+1.
三、不定积分的几何意义
【例4】
一物体作直线运动，速度为v(t) 2t 2 1m / s,当t 1s时，物体所经过的 路程为 3m，求物体的运动方程。
解：设物体的运动方程为 s s(t).依题意有 s(t) v(t) 2t 2 1, 所以
7 sinx dx = cosx C ;
8 sec2x dx tanx C ;
9 csc2x dx cotx C ;
10
dx arcsinx C ; 1 x2
11
dx arctanx C ;
1 x2
例2：求下列函数的不定积分
01
1 dx x3
解：
1 dx x3
x 3dx
一、原函数与不定积分
一、原函数与不定积分
定义1
设f(x)是定义在区间I上的函数，若存在函数F(x)，使得对 任意x∈I均有
F′(x)=f(x)或dFx=fxdx, 则称函数Fx为fx在区间I上的一个原函数.
例如，因为(sin x)′=cos x,故sin x是cos x的一个原函数.又 如，当x>0时，(ln x)′=1/x，所以ln x是1/x在区间0,+∞上的 一个原函数. 注意：如果函数f(x)有原函数，那么原函数有无数个。
（2）
sin 2
1 x cos2
dx x
解： sin2
1 x cos2
dx x
1 cos2
dx x
1 sin 2
x
dx
sin2 x cos2 x
sin2 x cos2 x
dx
不定积分的概念与性质
运动规律 .
x
解 建立如图所示的坐标系. 设质点的
x x(t)
运动规律为 x = x(t)，设质x 点抛出时刻为
x0 x(0)
t
=
0，
t
=
0
时的位置为
x
x0
,
速x(t度) 为
v0
.
O
于是可得
dx
dt
v(t),
x
|t0
x0
,
d2x dt 2
x0 g ,
O
dx dt
t 0
v0
.
x(0) x
原函数称为 f (x) ( 或 f (x)dx ) 在区间 I 上的不定积分，
记作 f (x)dx . 其中
积分号，
f (x)
f (x)dx 被积表达式， x
被积函数， 积分变量.
若 F(x) 是 f (x) 在区间 I 上的原函数，则
f (x)dx F(x) C .
第一节 不定积分的概念与性质
f (x)dx F(x) C ,
称 F(x) + C 的图形为 f (x) 的积分曲线. 积分曲线是 一簇平行曲线，它们在横坐标相同的点的切线平行.
例如，y = cos x 的积分曲线如下：
第一节 不定积分的概念与性质
y
O
x0
x
y = cos x 的积分曲线
第一节 不定积分的概念与性质
(2) 积分运算与微分运算是互逆运算
第一节 不定积分的概
例3 求 x(x3 7)dx .
例6 求求 ccooss22 22xxddxx ..
解
x(x3
7
1
第7)一dx节不定(x积2分的7解概x 2念)d与x性co质s2
不定积分的概念与性质
0dx 0 dx.
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例5
求积分
( 1
3 x
2
2 )dx. 1 x2
解
( 1
3 x2
2 )dx 1 x2
分项积分
3
1
1 x
2
dx
2
1 dx
1 x2
3arctan x 2arcsin x C
说明： 被积函数需要进行恒等变形，才能使用基本积分表.
6
x5dx x6 C .
6
例2
求
1
1 x2
dx.
解
arctan
x
1
1 x2
,
1
1 x
2
dx
arctan
x
C
.
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例3 设曲线通过点（1，2），且其上任一点处的 切线斜率等于这点横坐标的两倍，求此曲线方程.
解 设曲线方程为 y f ( x), 根据题意知 dy 2x, dx 即 f ( x)是2x 的一个原函数.
分项积分
加项减项
利用三角公式 , 代数公式 ,
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思考与练习
1. 若
x2 f (ln x) d x
1 x2 C 2
提示:
ex
f (ln x) eln x 1 x
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2. 若
是 ex 的原函数 , 则
f
(ln x
x)
d
x
不定积分的基本概念与性质
不定积分的基本概念与性质不定积分是微积分中的重要概念之一，它具有广泛的应用领域。
本文将介绍不定积分的基本概念与性质，帮助读者更好地理解和应用不定积分。
一、不定积分的基本概念不定积分，也称为算术积分，是微积分的基本概念之一。
它是函数求导的逆运算。
给定一个函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) = f(x)，那么F(x)就是f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx。
二、不定积分的性质1. 线性性质：若f(x)和g(x)的不定积分都存在，那么它们的线性组合af(x) + bg(x)的不定积分也存在，并且是af(x)和bg(x)的不定积分的线性组合。
2. 积分的换元法：不定积分具有换元法。
即通过变量代换，将一个复杂的函数替换为另一个变量，使得不定积分的求解变得简单。
3. 积分的分部积分法：不定积分具有分部积分法。
通过对积分式中的一部分进行求导，另一部分进行不定积分，从而将一个复杂的积分式转化为一个简单的积分式。
4. 基本积分公式：不定积分的基本公式是通过观察求导与不定积分的关系得到的。
常见的基本不定积分公式包括幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分等。
5. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式是不定积分与定积分之间的重要联系。
根据该公式，若F(x)是f(x)的一个不定积分，那么定积分∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
三、不定积分的应用不定积分在多个学科领域有广泛的应用，以下介绍其中的几个方面。
1. 几何应用：不定积分可用于计算曲线的弧长、曲线与坐标轴所围成的面积以及曲线的质心等。
2. 物理应用：不定积分可用于物理学中的速度、加速度以及质量等的求解。
例如，通过计算速度函数的不定积分即可求得位移函数。
3. 统计学应用：不定积分可用于统计学中概率密度函数的求解，从而计算随机变量落在某个区间内的概率。
4. 经济学应用：不定积分在经济学中有着广泛的应用，特别是在计算边际效用、生产函数以及准线性需求曲线等方面。
不定积分的概念与基本性质
不定积分的概念与基本性质在微积分中，积分是一个重要的概念和工具。
它可以看作是微分的逆运算，用于求解函数的原函数。
在不定积分中，我们将讨论不定积分的概念以及其一些基本性质。
一、不定积分的概念不定积分，又称为反导数，表示对一个函数进行积分得到的结果。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的不定积分可以表示为∫f(x)dx。
二、基本性质1. 线性性质：对于任意常数C，以及可积函数f(x)和g(x)，有以下公式：（1）∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx（2）∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx这意味着我们可以将一个复杂的函数拆分成多个简单函数的和或差的形式进行积分计算。
2. 保号性质：若在[a,b]上，有f(x)≥0，则∫f(x)dx≥0。
这个性质告诉我们，如果函数在某个区间上始终保持非负，则其在该区间上的积分也将非负。
3. 常数项性质：若函数f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个原函数，则对于任意常数C，有∫f(x)dx=F(x)+C。
这个性质表明，不定积分的结果存在无穷多个，只相差一个常数项。
4. 换元法则：设函数f(u)在区间[a,b]上可积，且u=g(x)是可导函数，且导函数g'(x)连续，则有以下公式：∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C其中，F(u)是f(u)的一个原函数。
换元法则为我们提供了一种通过变量代换简化计算的方法。
5. 分部积分：若函数u(x)和v(x)在区间[a,b]上可导，且连续，则有以下公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx这个公式将一个积分变为了另一个积分和一个乘积的形式，通常用于解决无法直接积分的情况。
三、结论通过本文的论述，我们了解了不定积分的概念和基本性质。
不定积分是对函数进行积分的逆运算，可以求解函数的原函数。
不定积分的概念与性质
一、 原函数与不定积分定义1 如果对任一I x ∈，都有 )()(x f x F =' 或 dx x f x dF )()(= 则称)(x F 为)(x f 在区间I 上的原函数。
例如：x x cos )(sin ='，即x sin 是x cos 的原函数。
2211)1l n ([xx x +='++，即)1ln(2x x ++是211x+的原函数。
原函数存在定理：如果函数)(x f 在区间I 上连续，则)(x f 在区间I 上一定有原函数，即存在区间I 上的可导函数)(x F ，使得对任一I x ∈，有)()(x f x F ='。
注1：如果)(x f 有一个原函数，则)(x f 就有无穷多个原函数。
设)(x F 是)(x f 的原函数，则)(])([x f C x F ='+，即C x F +)(也为)(x f 的原函数，其中C 为任意常数。
注2：如果)(x F 与)(x G 都为)(x f 在区间I 上的原函数，则)(x F 与)(x G 之差为常数，即 C x G x F =-)()( （C 为常数）注3：如果)(x F 为)(x f 在区间I 上的一个原函数，则C x F +)(（C 为任意常数）可表达)(x f 的任意一个原函数。
定义2 在区间I 上，)(x f 的带有任意常数项的原函数，成为)(x f 在区间I 上的不定积分，记为⎰dx x f )(。
如果)(x F 为)(x f 的一个原函数，则C x F dx x f +=⎰)()(，（C 为任意常数） 例1． 因为 23)3(x x='， 得⎰+=C xds x332例2． 因为，0>x 时，xx 1)(ln ='；0<x 时，xx xx 1)(1])[ln(='--='-，得xx 1)||(l n ='，因此有⎰+=C x dx x||ln 1例3． 设曲线过点)2,1(，且其上任一点的斜率为该点横坐标的两倍，求曲线的方程。
第3-1不定积分的概念和性质
(8)
(9)
tan x C sec x d x
2 csc x d x cot x C
(10) (11)
(12)
(13)
sec x tan xdx sec x C csc x cot xdx csc x C dx 1 x arctan x C 或 arc cot x C
其中
— 积分号;
— 积分变量; C —积分常数
— 被积函数; — 被积表达式.
例如,
2 x dx x C cos xdx sin x C
2
例1. 设曲线通过点(1, 2), 且其上任一点处的切线
斜率等于该点横坐标的两倍, 求此曲线的方程.
解: 设此曲线方程为y f ( x ),
2
2
6. 求不定积分 解：
(e 2 x e x 1)
7. 已知 求A,B.
x
2
1 x2
dx A x 1 x B
2
dx 1 x2
解: 等式两边对 x 求导, 得
x
2
1 x2
A 1 x
2
Ax
2
2
1 x2
B 1 x2
( A B ) 2 Ax
2
dx 1 x2
arcsin x C 或 arc cos x C
例2. 求 解: 原式 = 3 2 dx 4
x
1 1 x2
dx 5 csc 2 xdx
3 x 2 4arcsin x 5cot x C ln 2
3 ( x 1 ) 例3. 求 x 2 dx . 3 2 x 3 x 3 x 1 解: 原式 = dx 2 x 3 1 ( x 3 2 )dx x x
不定积分的概念和性质
不定积分的概念和性质
也就是说，连续函数一定有原函数.下面我们进一步讨论原函数的相关知识.
由于 x2 x2 2 x2 35 2x，所以x2、x2 2、x2 35都为2x的原函数.
由此例可以看出：如果函数f x有一个原函数，则f x就有无穷多个原函数，而这些原
函数之间仅差一个常数，即
即不定积分的导数（或微分）等于被积函数（或被积表达式），一个函数的导数（或微分）的不定 积分与这个函数相差一个常数 .
不定积分的概念和性质
性质2
被积表达式中的非零常数因子，可以移到积分号前 .
kf xdx k f xd（x k 0，常数）.
性质3
两个函数代数和的不定积分，等于两个函数积分的代数和.
例3 解
设所求曲线方程为y F x，因为y F x 3x2，由不定积分定义，有
F x 3x2dx x3 C .
因所求的曲线过点1，3，代入得C 2，于是所求的曲线方程为 y x3 2.
不定积分的概念和性质
1.3 不定积分的性质 性质1
不定积分与求导数或微分互为逆运算.
（1） f xdx f x 或 d f xd x f xdx. （2） F xdx F x C 或 dF x F x C.
对于每一个给定的常数C，F x C表示坐标平面上的一条确 定的曲线，这条曲线称为f x的一条积分曲线 .由于C可以取任意
值，因此不定积分 f xdx表示f x的一族积分曲线 . 而其中任意
一条积分曲线都可以由曲线y F x沿 y 轴方向上、下平移得
到，如图4-1所示.
图4-1
不定积分的概念和性质
F x C F x f x (C为任意常数) . 所以F x C是f x的原函数.
不定积分的概念和性质
医用高等数学
三、基本积分表
1 x x 实例 C ( 1). x x d x 1 1
1
启示
能否根据求导公式得出积分公式？ 既然积分运算和微分运算是互逆的，因此可 以根据求导公式得出积分公式.
3
医用高等数学
解
( x 1) x 3x 3x 1 dx 2 x2 d x x 3 1 ( x 3 2 )d x x x 1 1 x d x 3 1 d x 3 d x 2 d x x x 2 x 1 3 x 3ln | x | C． 2 x
1 d x 2 x C． x
医用高等数学
1 解 x 0时，(ln x ) ； x 1 1 x 0时， [ln( x )] ( x ) ； x x 1 即 (ln | x |) x 1 故 x d x ln | x | C ．
1 例 2 求 d x． x
医用高等数学
例3
设曲线过点(1, 2) ，且其上任一点的斜率为该点
横坐标的两倍，求曲线的方程．
dy 2 x， 解 设曲线方程为 y f ( x ), 根据题意知： dx 2 f ( x) 2 x d x x C ． 则
而曲线过点(1, 2) 可知 C 1，
因此所求曲线方程为
分，记作 f ( x )d x ，即
x F ( x) C f ( x )d被
积 被 分 积 号 函 数 积 表 达 式
积 分 变 量
任 意 常 数
医用高等数学
由定义2，我们有
x x dx 3 C
5.3 不定积分的概念与性质
1 3 = x x + arctan x + C 3 1 + 2x2 dx . 练习: 练习: 求积分 ∫ 2 2 x (1 + x )
例9 求积分 ∫ 解
1 dx . 1 + cos 2 x
1 1 1 dx = 1 ∫ 1 + cos 2 x ∫ cos 2 x dx = 2 tan x + C . 2
n
则
∫ f (x)dx = ∑ki ∫ fi (x)dx i=1
例5. 求
[(2e)x 5 2x )dx 解: 原式 = ∫
(2e)x 2x = +C 5 ln(2e) ln 2
ex 5 x =2 +C ln 2 +1 ln 2
3 2 )dx . 练习: 练习: 求积分 ∫ ( 2 2 1+ x 1 x
= sec x + csc x
2 2
6. 求不定积分 解：
(e2x ex +1)
7. 已知 求A,B.
∫
x2 1 x2
dx = Ax 1 x + B∫
2
dx 1 x2
解: 等式两边对 x 求导, 得
x2 1 x2
= A 1 x
2
Ax2 1 x2
+
B 1 x2
1 x2 A+ B = 0 ∴ 2A =1
ex dx = ex + C ∫
x
(12)
a +C (13) ∫ a dx = ln a
x
ex ex sh x = 2 ex + ex ch x = 2
(14)
(15)
∫sh xdx = ch x+ C
不定积分知识点总结
不定积分知识点总结不定积分是高等数学中的重要内容，是定积分的逆运算，也称为反导数。
它在微积分中有着广泛的应用。
下面是不定积分的知识点总结。
一、不定积分的定义和性质：1. 不定积分的定义：设函数F(x)在区间[a,b]上有原函数f(x)，如果F'(x)=f(x)，则称F(x)是f(x)的一个原函数，记为F(x)=∫f(x)dx。
其中F(x)是不定积分号∫的上界，f(x)是被积函数，dx是自变量。
2.基本性质：（1）线性性质：∫[af(x)+bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx。
其中a、b为常数。
（2）和差性质：∫[f(x)±g(x)]dx = ∫f(x)dx ± ∫g(x)dx。
（3）分部积分公式：∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫u'(x)v(x)dx。
将f'(x)视为u'(x)，g(x)视为v(x)。
3.不定积分的四则运算：（1）常数定积分：∫kdx = kx + C。
其中，k是常数，C是任意常数。
（2）幂函数的不定积分：∫x^kdx = 1/(k+1) * x^(k+1) + C。
其中，k≠-1（3）指数函数的不定积分：∫e^xdx = e^x + C。
（4）对数函数的不定积分：∫1/xdx = ln，x， + C。
（5）三角函数的不定积分：∫sinxdx = -cosx + C，∫cosxdx = sinx + C。
（6）反三角函数的不定积分：∫1/√(1-x^2)dx = arcsinx + C，∫1/√(1+x^2)dx = arcsinhx + C。
其中，-1≤x≤14. 不定积分的换元法：设F(x)是f(x)的一个原函数，g(x)是可导函数，则∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C。
其中，F(g(x))是∫f(g(x))dx 的原函数。
二、基本初等函数的不定积分：1. e^x函数的不定积分：∫e^xdx = e^x + C。
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f (x)dx 与
f ( x)dx 是否相等?
(3) 1 dx. x
求下列不定积分 1 (1) x3dx; (2) 2 dx; x
例 3 已知曲线 y f (x) 在任一点 x 处的切线斜率为 2 x , 且曲 线通过点(1, 2), 求此曲线的方程. 直接积分法 例4 计算不定积分 (1 3 x 2 ) 2 dx . 例 5 求不定积分 例 6 求不定积分 例 7 求不定积分 例8 例9
例 11 已知 f (ln x)
1, 0 x 1 , 且 f (0) 0 ,求 f (x) . x, 1 x
教 学 后 记 *
*“教学后记”是授课完毕之后，教师对授课准备情况、授课过程及授课效果的回顾与总结， 因此，教师应及时手写补充完整本部分内容。
定义 1 如果在区间 I 上 可导函数 F(x)的导函数为 f(x) 即对任 一 xI 都有 F (x)f(x)或 dF(x)f(x)dx 那么函数 F(x)就称为 f(x)(或 f(x)dx)在区间 I 上的原函数 原函数存在定理 如果函数 f(x)在区间 I 上连续 那么在区间 I 上存在可导函数 F(x) 使对任一 x I 都有 F (x)f(x) 简单地说就是 连续函数一定有原函数 两点说明 第一 如果函数 f(x)在区间 I 上有原函数 F(x) 那么 f(x)就 有无限多个原函数 F(x)C 都是 f(x)的原函数 其中 C 是任意常数 第二 f(x)的任意两个原函数之间只差一个常数 即如果(x) 和 F(x)都是 f(x)的原函数 则(x)F(x)C (C 为某个常数) 二、 不定积分的概念 定义 2 在区间 I 上 函数 f(x)的带有任意常数项的原函数称为
x
(4) exdx ex C
x (5) a xdx a C
ln a
(6) cos xdx sinx C (7) sin xdx cos x C (8) 12 dx sec2 xdx tan x C
cos x
(9) 12 dx csc2 xdx cot x C sin x (10) 1 2 dx arctan x C
教 学 内 容 与 过 程 设 计
f(x)(或 f(x)dx )在区间 I 上的不定积分 记作 f (x)dx
其中记号 称为积分号 f(x)称为被积函数 f(x)dx 称为被积表达 式 x 称为积分变量
注: 由定义知, 求函数 f (x) 的不定积分, 就是求 f (x) 的全体原函 数, 在 f ( x)dx 中, 积分号 表示对函数 f (x) 实行求原函数的运 算, 故求不定积分的运算实质上就是求导(或求微分)运算的逆运 算； 根据定义 如果 F(x)是 f(x)在区间 I 上的一个原函数 那么 F(x)C 就是 f(x)的不定积分 即
性质 2 求不定积分时 被积函数中不为零的常数因子可以提到积
分号外面来 即 kf (x)dx k f (x)dx (k 是常数 k 0) 四、 基本积分表； (1) kdx kx C (k 是常数) (2) x dx 1 x 1 C
1
(3) 1 dx ln | x | C 2 ) dx .
1 x2
dx . 1 x4 x4 dx . 求不定积分 1 x2
求下列不定积分:
(2) sin2
(1) tan2 xdx
x dx. 2
例 10 求满足下列条件的 F (x). 1 x F ( x) , F (0) 1; 1 3 x
1 x
(11)
1 dx arcsin x C 1 x2
(12) sec x tan xdx sec x C (13) csc x cot dx csc x C (14) sh x dx ch x C (15) ch x dx sh x C 五、 直接积分法： 利用不定积分的运算性质和基本积分公式, 直 接求出不定积分的方法. 例题选讲： 不定积分的概念 例1 例2 问
时 间 安 排 章 节 名 称 教 学 目 的 教 学 重 点 与 难 点
第
23 次课
§4.1 不定积分的概念与性质
1.理解原函数概念、不定积分的概念； 2.掌握不定积分的基本公式； 3.掌握不定积分的性质
重点：1. 不定积分的概念； 2. 不定积分的性质及基本公式； 难点： 不定积分的公式的应用
一、 原函数的概念
f (x)dx F(x) C
因而不定积分 f (x)dx 可以表示 f(x)的任意一个原函数 三、 不定积分的性质； 性质 1
教 学 内 容 与 过 程 设 计
函数的和的不定积分等各个函数的不定积分的和 即
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx