微分与积分中值定理及其应用

第二讲 微分与积分中值定理及其应用

1 微积分中值定理ﻩ错误!未定义书签。

1.１ 微分中值定理ﻩ错误!未定义书签。 １．2 积分中值定理ﻩ错误!未定义书签。

２ 微积分中值定理的应用 ...................... 错误!未定义书签。

４.1 证明方程根(零点)的存在性ﻩ错误!未定义书签。 4．2 进行估值运算ﻩ错误!未定义书签。 ４.3 证明函数的单调性ﻩ错误!未定义书签。 ４.4 求极限ﻩ8

4．５ 证明不等式ﻩ错误!未定义书签。

引言ﻩ

Ｒo ｌle 定理,La ｇｒange 中值定理，Cauch ｙ中值定理统称为微分中值定理。微

分中值定理是数学分析中最为重要的内容之一，它是利用导数来研究函数在区间上整体性质的基础，是联系闭区间上实函数与其导函数的桥梁与纽带,具有重要的理论价值与使用价值。

1 微积分中值定理

微分中值定理

罗尔(R ｏll ｅ)定理: 若函数f 满足如下条件 （ⅰ)f 在闭区间[a ，b]上连续; (ⅱ）f 在开区间（a,b ）内可导； (ⅲ))()(b f a f =,

则在（a,b ）内至少存在一点ξ，使得

0)(='ξf . 朗格朗日（Lagr ａn ｇe)中值定理： 设函数f 满足如下条件: (ⅰ)f 在闭区间[ａ,ｂ］上连续; （ⅱ)f 在开区间(a,b)上可导；

则在(a,ｂ）内至少存在一点ξ，使得

a

b a f b f f --=')

()()(ξ．

柯西中值定理: 设函数f 和g 满足 (ⅰ)在［a,b]上都连续； (ⅱ)在(ａ，ｂ)内都可导； (ⅲ))('x f 和)('x g 不同时为零; (ⅳ))()(b g x g ≠, 则存在),(b a ∈ξ，使得

)()()

()()()(a g b g a f b f g f --=

''ξξ．

微分中值定理的推广

罗尔定理的推广

定理１: 设函数)(x f 在(ａ,b)内可导,且有

)()(lim )0()0()(lim ∞-∞+==-=+=-+

→→或为有限值或A A x f b f a f x f b

x a x ,则存在点

),(b a ∈ξ，使得0)(='ξf . 证明：首先对A 为有限值进行论证:

令⎩

⎨

⎧==∈=b x a x A b a x x f x F 或,),(),()( 则易知函数)(x f 在[a,ｂ]上连续，在(a,b ）内可导且)()(b F a F =．由Ro ｌle 定理可知,在（a,b)内至少存在一点ξ，使得0)(='ξF ,而在(a,b)内有)()(x f x F '=',所以0)(='ξf ． 其次对A=∞+(∞-）进行论证：

由引理1，)(x f 在（a,b ）内能取得最小值(最大值）.不妨设:函数)(x f 在),(b a ∈ξ处取得最小值(最大值）.此时函数)(x f 在),(b a ∈ξ处也就取得极小值(极大值)．又因为)(x f 在),(b a ∈ξ处可导，由Fer ｍａt 引理，可得0)(='ξf ． 综上所述,从而定理得证.

定理2: 设函数)(x f 在(ａ,∞+)，内可导，且)(lim )(lim x f x f x a

x +∞

→→=+，证明:在（a ，∞+）

中存在一点ξ,使得0)(='ξf ．

定理3: 设函数)(x f 在(∞-,ｂ),内可导，且)(lim )(lim x f x f b

x x -→-∞

→=，证明：在（∞-,ｂ)

中存在一点ξ，使得0)(='ξf ．

定理4: 设函数)(x f 在(∞-，∞+),内可导，且)(lim )(lim x f x f x x +∞

→-∞

→=,证明：在（∞-，

∞+）中存在一点ξ，使得0)(='ξf ．

朗格朗日中值定理的推广

定理5： 如果函数)(x f 满足条件：在开区间（a,ｂ）上可导且

)0()(lim ),()0()(lim -==+=-+

→→b f x f a f a f x f b

x a x 存在，则在（a,ｂ)内至少存在一点ξ，使

得a

b a f b f f --=

')

()()(ξ.

柯西中值定理的推广

定理6: 如果函数f(ｘ)和Ｆ(x ）满足条件： ①都在有限区间（a ，b)内可导；

②;)(lim ,)(lim ,)(lim ,)(lim 2211M x F m x F M x f m x f b

x a

x b

x a

x ====-+-+→→→→

③;0)(),,('≠∈∀x F b a x 有 则在(a,b)内至少有一点ξ，使得

221

1'')()(m M m M F f --=

ξξ 证明：作辅助函数A （x ）,Ｂ(ｘ),并且令

时，时时，时时，时b x M ，

b x M a x m x B ，a x m x A b a x x F ，b a x x f ====

==

∈∈2

1

21)()(),()(),()

(

则A （x),B(x)在闭区间［a,b]上连续，开区间（a ，b)内可导，

且对,0)(),,('≠∈∀x B b a x 由Ｃau ｃｈｙ中值定理可知，至少有一点),(b a ∈ξ使得

)()()

()()()(''a B b B a A b A B A --=

ξξ 又当),(b a x ∈时，)()(),()(x F x B x f x A ==

∴2

211'''')()()()()()()()(m M m M a B b B a A b A F f B A --=

--==ξξξξ