不定积分积分中值定理极限成贤
诚毅高数不定积分课件
目录
• 不定积分的概念 • 不定积分的计算方法 • 不定积分的性质和定理 • 不定积分的综合应用 • 习题解答与解析
01
不定积分的概念
不定积分的定义
积分上限函数
不定积分定义为积分上限函数，即一 个函数的不定积分是其原函数在某个 区间上的最大值和最小值之间的差值 。
原函数
不定积分的结果称为原函数，它表示 被积函数的一个可导函数。
要点二
详细描述
积分中值定理的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连 续，则至少存在一点ξ∈[a, b]，使得f(ξ) = ∫(a→b) f(x) dx 。这个定理在解决一些积分问题时非常有用，因为它可以 将一个复杂的积分问题转化为一个简单的求值问题。
牛顿-莱布尼茨定理
总结词
牛顿-莱布尼茨定理是微积分学中一个重要 的基本定理，它给出了定积分的计算方法。
详细描述
积分第二中值定理的表述为：如果函数f(x)和g(x)在闭区间[a, b]上连续，且同号，那么 存在一个点ξ∈[a, b]，使得∫(a→b) f(x)g(x) dx = f(ξ)∫(a→b) g(x) dx = g(ξ)∫(a→b)
f(x) dx。这个定理在解决一些涉及两个函数的积分的复杂问题时非常有用。
不定积分在物理学中的应用
总结词
阐述不定积分在物理学中的重要性和实际效果
详细描述
不定积分在物理学中扮演着关键的角色，特别是在解决 与速度和加速度相关的问题时。通过不定积分，我们可 以找到物体的速度和加速度的表达式，进而解决物理问 题。此外，不定积分在电磁学、光学和量子力学等领域 也有广泛的应用。
不定积分在经济学中的应用
04
不定积分的综合应用
不定积分的积分中值定理
不定积分的积分中值定理
在微积分学中，不定积分的积分中值定理是关于积分的重要定理之一。
该定理断言，对于任意闭区间[a, b]上的连续函数f(x)，存在至少一个点ξ∈[a, b]，使得在[a, b]上，f(x)的积分等于f(ξ)乘以区间[a, b]的长度。
这个定理的证明依赖于微积分的基本性质，特别是积分的基本性质和微积分中值定理。
让我们详细叙述这个定理：
假设f(x)是在闭区间[a, b]上的连续函数。
那么，存在至少一个点ξ∈[a, b]，使得∫(f(x))dx = f(ξ)(b-a)。
这个定理可以看作是微积分中值定理的一种推广。
微积分中值定理告诉我们，对于区间[a, b]上的连续函数f(x)，存在至少一个点ξ∈[a, b]，使得f(ξ) = 0。
而对于任意满足f(a) = f(b) = 0的连续函数f(x)，我们可以将这个定理应用于f(x) - f(a)或f(x) - f(b)，从而得到一个在[a, b]上满足微积分中值定理的函数。
然而，即使
对于不满足f(a) = f(b) = 0的连续函数f(x)，积分中值定理仍然成立。
积分中值定理的应用非常广泛，它使我们能够理解并证明许多重要的微积分性质和公式。
例如，它可以帮助我们证明一些不等式，比如利用泰勒公式展开函数时，我们可以证明在[a, b]上，总有至少一个点使得函数的一阶导数等于零，这也就是等式成立的条件。
此外，积分中值定理也是解决许多实际问题的关键工具，例如在物理学、工程学和其他应用领域。
积分中值定理公式
积分中值定理公式积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它提供了两个函数之间平均值与积分之间的关系。
在本文中，我们将探讨积分中值定理的公式及其应用。
首先，让我们来讨论一下积分中值定理的基本概念。
根据定理的表述，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，而且F(x)是它的一个原函数，则存在一个数c ∈ (a, b)，使得∫[a, b] f(x)dx = (b - a) · F(c)其中，∫[a, b] f(x)dx表示函数f(x)在闭区间[a, b]上的积分。
这个定理的直观意义是，积分等于函数在区间内的平均值乘以区间长度。
根据积分中值定理的公式，我们可以推导出其他一些有用的结果。
例如，如果f(x)在闭区间[a, b]上连续且非负，且∫[a, b] f(x)dx=0，那么在该区间内f(x)必须恒为0。
另一个重要的应用是通过积分中值定理证明不等式。
例如，我们知道当x ∈ [0, 1]时，sin(x)函数是有界的，即存在常数M > 0，使得|sin(x)| ≤ M对于所有x成立。
我们可以通过积分中值定理来证明这一点。
考虑函数f(x) = sin(x)在闭区间[0, 1]上的积分：∫[0, 1] sin(x)dx由于sin(x)在该区间上连续，则存在一个数c ∈ (0, 1)，使得∫[0, 1] sin(x)dx = (1 - 0) · cos(c)由于cos(c)是有界的，我们可以得出结论∫[0, 1] sin(x)dx是有界的。
另一个相关的应用是平均值定理。
根据积分中值定理，我们可以得出函数在某个区间上的平均值与积分之间的关系。
设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，其平均值为M = (1 / (b - a)) ∫[a, b] f(x)dx则存在一个数c ∈ (a, b)，使得f(c) = M，即函数在某个点上的值等于其平均值。
除了基本的积分中值定理公式之外，还存在一些相关的推广定理。
牛顿莱布尼茨公式与积分中值定理
牛顿莱布尼茨公式与积分中值定理牛顿-莱布尼茨公式与积分中值定理牛顿-莱布尼茨公式和积分中值定理是微积分中两个重要且基本的定理，它们为我们理解和应用积分提供了重要的工具。
本文将先介绍牛顿-莱布尼茨公式的概念和推导过程，接着详细阐述积分中值定理及其应用。
牛顿-莱布尼茨公式，也被称为基本定理，是微积分中极为重要的定理之一。
它是针对定积分和不定积分之间的关系提出的，表达了定积分和不定积分之间的联系。
其公式可表示为：∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)其中，f(x)是定义在区间[a,b]上的连续函数，F(x)是其在[a,b]上的一个原函数。
牛顿-莱布尼茨公式的意义在于，它将定积分与不定积分联系了起来，通过求函数的原函数可以得到函数的不定积分，而定积分则可以通过对不定积分在[a,b]上的两个端点求差得到。
牛顿-莱布尼茨公式的推导过程并不复杂，我们可以通过牛顿-莱布尼茨公式的符号表达式进行推导。
以∫[a,b]f(x)dx为例，我们可以通过对其求导得到：d/dx ∫[a,b]f(x)dx = d/dx (F(b) - F(a))根据导数的定义和求导法则，上式可以展开为：f(x) = dF(x)/dx其中，f(x)表示函数f(x)的导数，dF(x)/dx表示函数F(x)对x的导数。
从上式可以看出，函数f(x)等于函数F(x)对x的导数，即f(x)是F(x)的导函数。
这就是牛顿-莱布尼茨公式的基本思想。
接下来，我们将介绍积分中值定理。
积分中值定理，也被称为微积分的基本定理之一，是由罗尔定理推导而来的。
积分中值定理的基本思想是将一个函数在某个区间上的平均值与其在该区间上的某一点处的函数值相等。
其表达式形式如下：f(c) = 1/(b-a) ∫[a,b]f(x)dx其中，f(x)是定义在区间[a,b]上的连续函数，c是[a,b]上的某一点，∫[a,b]f(x)dx表示f(x)在[a,b]上的定积分。
积分中值定理是通过对函数在[a,b]上进行积分平均值的计算，得到函数在某一点c处的函数值。
不定积分知识点总结
不定积分知识点总结引导语：不定积分一直是很多人都掌握不好的一个知识点，那么不定积分要怎么学好呢？接下来是小编为你带来收集整理的不定积分知识点总结，欢迎阅读！不定积分1、原函数存在定理定理如果函数f(x)在区间I上连续，那么在区间I上存在可导函数F (x),使对任一x∈l都有F' (x) =f(x);简单的说连续函数一定有原函数。
分部积分法如果被积函数是幂函数和正余弦或幂函数和指数函数的乘积，就可以考虑用分部积分法，并设幂函数和指数函数为u,这样用一次分部积分法就可以使幂函数的幂降低一次。
如果被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就可设对数和反三角函数为u。
2、对于初等函数来说，在其定义区间上，它的原函数一定存在，但原函数不一定都是初等函数。
定积分1、定积分解决的典型问题(1)曲边梯形的面积（2 )变速直线运动的`路程2、函数可积的充分条件定理设f(x)在区间[a上]上连续，则f(x)在区间[a,b]上可积，即连续=>可积。
定理设f(x)在区间[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在区间[a,b]上可积3、定积分的若干重要性质性质如果在区间[a,b]上f(x)≥0则∫abf(x)dx≥0。
推论如果在区间[a,b]上f(x)≤g(x)则∫abf(x)dx≤∫abg(x)dx推论| ∫abf(x)dx|≤∫ab|f(x)|dx性质设M及m分别是函数f(x)在区间[a,b]上的最大值和最小值，则m ( b-a ) ≤∫abf(x)≤dx≤M ( b-a ),该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的大致范围。
性质（定积分中值定理）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，则在积分区间[a,b]上至少存在点ξ。
使下式成立：∫abf(x)dx=f（ξ）( b-a )。
4、关于广义积分设函数f(x)在区刚[a,b]上除点c ( a<c<b )外连续，而在点c的邻域内无界，如果两个广义积分∫acf(x)dx与∫cbf(x)dx 都收敛，则定义∫acf(x)dx=∫cbf(x)dx ,否则(只要其中一个发散）就称广义积分∫abf(x)dx发散。
积分中值定理求极限公式
积分中值定理求极限公式
极限中值定理（The Mean Value Theorem）是数学中一个重要的定理，它可以用来求极限
结果。
极限中值定理指出，在特定的条件下，在某一段曲线位置上下文存在一个唯一的中
值点，即极限值。
理解极限中值定理需要先熟悉它的基本定义。
极限中值定理的基本定义是：若一个函数f的定义域上的每个部分段断定义，并且该函数
在这段曲线上有定义，则存在一个中值x0，使得f'（x0）与从a到b的定义域的极限值
等同。
极限中值定理可以用来求极限值。
方法是使用中值定理来找到极限中值点，然后利用这个
中值点计算出相应的极限值。
例如求f（x）=3x－2在x=2处的极限，首先可以算出f'（x）=3，然后可以确定极限中值x0为2，因此极限值f（2）=f（x0）=3x0-2=2。
极限中值定理是一个重要的定理，它可以被用来验证函数被定义在某一区间内的性质。
如
果函数在一个区间内满足极限中值定理，则该区间上的函数是连续的，且f（x）在该区间的极限存在。
此外，极限中值定理还可以用来求极限值。
极限中值定理是数学中一个重要的定理，它可以用来求出极限结果，也可以用来验证和求
函数某一区间的连续性。
它的使用也几乎涵盖对函数的所有分析。
极限中值定理因其易
理解、实用性强而广受欢迎。
不定积分求极限公式
不定积分求极限公式不定积分求极限公式，这可是数学学习中的一个重要知识点呀！咱们先来说说不定积分。
不定积分呢，就像是在数学的迷宫里寻找那些隐藏的宝藏。
有时候你觉得自己找对了路，可一转弯，又发现好像走进了死胡同。
但别着急，咱们慢慢捋清楚。
比如说，有一次我在给学生们讲解不定积分的时候，有个同学一脸迷茫地看着我，就像掉进了云雾里。
我就问他：“怎么啦？”他皱着眉头说：“老师，我感觉这不定积分就像一团乱麻，怎么都理不顺。
”我笑了笑，拿起笔给他举了个例子。
假设我们要计算函数 f(x) = 2x 的不定积分。
那么，根据不定积分的定义和公式，我们知道它的不定积分应该是 F(x) = x^2 + C（C 为常数）。
我跟那同学说：“你看，这就像是我们要找到能生成 2x 这个小怪兽的源头，而 x^2 + C 就是那个神秘的源头。
”那同学眨眨眼，好像有点明白了。
接下来咱们聊聊求极限。
求极限就像是一场刺激的冒险，你得小心翼翼地靠近那个未知的边界，看看会发生什么。
我记得有一次在课堂上，我出了一道求极限的题目：当 x 趋近于 0 时，(sin x) / x 的极限是多少？同学们纷纷拿起笔开始计算。
有的同学一开始就被难住了，不知道从哪里下手。
这时候，我就提醒他们可以利用等价无穷小的替换，sin x 在 x 趋近于 0 时等价于 x。
经过一番思考和计算，大部分同学都算出了正确答案是 1。
那不定积分和求极限结合起来会怎样呢？这就像是把两个高手放在一起过招，场面更加精彩。
比如说，我们要求这样一个极限：lim(x→∞) ∫(0 到 x) e^(-t^2) dt 。
这可不好对付呢！我们得先求出被积函数 e^(-t^2) 的不定积分，但是这个不定积分可没有一个简单的初等函数表达式。
这时候就得用上一些巧妙的方法，比如利用正态分布的性质或者一些特殊的积分技巧。
在学习不定积分求极限公式的过程中，大家可别害怕犯错。
就像学走路的孩子，摔几个跟头才能走得更稳。
不定积分总结范文
不定积分总结范文不定积分是微积分中的重要概念之一，它是定积分的逆运算。
在这篇文章中，我们将对不定积分进行详细总结，包括不定积分的定义、性质、基本公式和常用方法等内容。
一、不定积分的定义不定积分是函数积分的一种形式，也被称为原函数。
设函数f(x)在区间[a,b]上连续，函数F(x)在[a,b]上可导，如果对于[a,b]上任意一点x，都有F'(x) = f(x)，则称F(x)为f(x)在[a,b]上的一个原函数。
记作F(x) = ∫f(x)dx + C，其中C为常数，称为不定积分常数。
不定积分的定义表达了函数F(x)是函数f(x)在[a,b]上的一个原函数的概念，可以理解为对函数f(x)所做的积分运算到一些常数C值时结束。
二、不定积分的性质1. 线性性：对于任意常数a和b，以及两个函数f(x)和g(x)，有∫[a,b](af(x) + bg(x))dx = a∫[a,b]f(x)dx + b∫[a,b]g(x)dx。
2. 积分与极限运算的交换性：如果函数f(x)在[a,b]上连续，F(x)是f(x)在[a,b]上的一个原函数，则∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
3. 换元积分法：设u = g(x)是一个可导函数，且f(g(x))g'(x)是连续函数，将∫f(g(x))g'(x)dx进行换元，可以得到∫f(g(x))g'(x)dx =∫f(u)du。
三、基本公式1. 幂函数的不定积分：∫x^a dx = (x^(a+1))/(a+1) + C，其中a不等于-12. 三角函数的不定积分：∫sin(x) dx = -cos(x) + C，∫cos(x) dx = sin(x) + C，∫sec^2(x) dx = tan(x) + C。
3. 指数函数的不定积分：∫e^x dx = e^x + C。
4. 对数函数的不定积分：∫(1/x) dx = ln，x， + C。
不定积分,积分中值定理,极限(成贤)
(1).设f (x)在1,3上连续，在1,3上可导,
且f (1) 3 x2 f (x)dx。证明 1,3，使 2 2 f ( ) f ( ) 0
(2).设f (x)在2,4上可导,且
f (2)
4
(x
1)2
f
( x)dx。
3
证明 2,4，使2 f ( ) (1 ) f ( )
若 对的a ,b有 ab f ( t )dt与a无 关,求f ( x ) a
例.
例 .设f ( x )在0,1上连续，在0,1上可导
且f ( 0 ) 0, 0 f ( x ) 1
求
证
:
1 0
f(
x
)dx
2
1 f 3( x )dx
0
例.
1
0 f ( x )dx 0 f ( x )dx,
x dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
或 arccot x C
(5)
dx arcsin x C 1 x2
或 arccos x C
(6) cos xdx sin x C
(7) sin xdx cos x C
1
提 示 ： 去 证 明
0
f ( x )dx
0
f ( x )dx ,
1
x
即证 0
f ( x )dx 递减
不定积分、定积分与反常积分及定积分的应用
不定积分、定积分与反常积分及定积分的应⽤不定积分、定积分与反常积分不定积分⼀、不定积分概念1.定义\begin{align} &原函数：设对于区间I上的任意⼀点x均有F'(x)=f(x),则称F(x)为f(x)在区间I上的⼀个原函数\\ &不定积分：设函数f(x)于区间I上有原函数,则其余原函数的全体称为f(x)于区间I上的不定积分,记为\int{f(x)dx}\\ &线性：\int[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x)dx\\ \end{align}2.计算\begin{align} &计算⽅法\begin{cases}&1.基本公式\\&2.线性\\&3.积分法\begin{cases}&1.换元法\\&2.分部积分法\\\end{cases}\\\end{cases}\\ \end{align}(1)第⼀换元法(凑微分)\begin{align} &设F'(u)=f(u),则\int{f(\Phi(x))\Phi'(x)}dx=\int{f(\Phi(x))d(\Phi(x))}=F(\Phi(x))+C\\ &注解：找到合适的凑微分\Phi'(x)dx=d(\Phi(x)) \end{align}常见凑微分：\begin{align} &1.\int{f(ax+b)dx=\frac{1}{a}\int{f(ax+b)d(ax+b)}}(a\neq0)\\ &eg1.\int{\sin (2x+3)}dx=\frac{1}{2}\int\sin (2x+3)d(2x+3)=\frac{1}{2}\cos{(2x+3)}+C\\\ &2.\int{f(ax^n+b)x^{n-1}dx}=\frac{1}{na}\int{f(ax^n+b)d(ax^n+b)}\\ &eg2.\int{\cos(2x^4+3)x^3dx}=\frac{1}{4*2}\int{\cos(2x^4+3)d(2x^4+3)}=\frac{1}{8}\cos{(2x^4+3)}+C\\ &3.\int{f(a^x+c)a^xdx}=\frac{1}{\ln{a}}\int{f(a^x+c)}d(a^x+c)\\ &eg3.\int{\sin(2^x+3)2^xdx}=\frac{1}{\ln2}\int{\sin{(2^x+3)}d(2^x+3)}=\frac{1}{\ln 2}\cos{(2^x+3)}\\ &4.\int{f(\frac{1}{x})\frac{1}{x^2}}dx=-\int{f(\frac{1} {x})}d(\frac{1}{x})\\ &eg4.\int{\ln(\frac{1}{x})}\frac{1}{x^2}dx=-\int\ln (\frac{1}{x})d({\frac{1}{x}})+C\\ &5.\int{f(\ln |x|})\frac{1}{x}d(x)=\int{f(\ln{|x|)}}{d(\ln|x|)}\\ &eg5.\int{\sin ({\ln{|x|}}})\frac{1} {x}dx=\int{\sin(\ln(|x|)d(\ln{|x|})}=\cos(\ln x)+C\\ &6.\int{f(\sqrt x)\frac{1}{\sqrt x}}dx=2\int{f(\sqrt x)}d(\sqrt x)\\ &7.\int f(\sin x)\cos xdx=-\int{(\sin x)}d(\sin x)\\ &8.\int{f(\cos x)\sin dx}=\int{f(\cos x)d(\cos x)}\\ &9.\int{f(\tan x)\sec^2 xdx}=\int{f(\tan x)d(\tan x)}\\ &10.\int{f(\cot x)\csc^2xdx}=-\int{f(\cot x)d{(\cot x)}}\\ &11.\int{f{(\arcsin x)\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}}dx=\int{f(\arcsin x)d({\arcsin x})}\\ &12.\int{f(\arccos x)(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}})dx=\int{f(\arccos x)d(\arccos x)}\\ &13.\int{f(\arctan x)\frac{1}{1+x^2}dx}=\int{f(\arctan x)d(\arctan x)}\\ &14.\int{f(\sqrt{x^2+a})}\frac{x} {\sqrt{x^2+a}}dx=\int{f(\sqrt{x^2+a})}d(\sqrt{x^2+a})\\ &注解：(\sqrt{x^2\pm a})'=\frac{x}{\sqrt{x^2+a}},(\sqrt{a^2-x^2})'=\frac{-x}{\sqrt{a^2-x^2}}\\ \end{align}(2)第⼆换元法\begin{align} &设F'(u)=f(\Phi(u))\Phi'(u),则\\ &\int{f(x)dx}\overset{x=\Phi(u)}{=}\int{f(\Phi(u))\Phi'(u)du}=F(u)+C=F(\Phi^{-1}(x))+C\\ &注解：找到合适的x=\Phi(u)\\ \end{align}1)三⾓换元\begin{align} &x=a\sin u,x=a\tan u,x=a \sec u\\ &\sqrt{a^2-x^2}\overset{x=a\sin u}{=}a\cos u,u\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}],x\in[-a,a]\\ &\sqrt{a^2+x^2}\overset{x=a\tan u}{=}a\sec u,u\in{(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2})},x\in{(-\infty,\infty)}\\ &\sqrt{x^2-a^2}\overset{x=a\sec u}{=}a\tan u,u\in(\frac{\pi}{2},\pi]\cup(0,\frac{\pi}{2}]\\ \end{align}2)倒变换\begin{align} &x=\frac{1}{u}常⽤于含\frac{1}{x}的函数\\ \end{align}3）指数(或对数)变换\begin{align} &a^x=u或x=\frac{\ln u}{\ln a}常⽤于含a^x的函数\\ \end{align}4）⽤于有理化的变换\begin{align} &\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt[3]{x}}⽤x=u^6\\ &\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}⽤u=\sqrt[n]{\frac{ax+b}{cx+d}}或x=-\frac{du^n-b}{cu^n-a}\\ \end{align}(3)分部积分法\begin{align} &\int{u(x)v'(x)dx}=\int{u(x)d(v(x))}=u(x)v(x)-\int{v(x)u'(x)dx}\\ &注解：找到合适的u(x),v(x)\\ \end{align}1)降幂法\begin{align} &\int{x^ne^{ax}dx},\int{x^n\sin axdx},\int{x^n\cos ax dx}\\ &取u(x)=x^n\\ \end{align}2)升幂法\begin{align} &\int{x^a\ln xdx},\int{x^a\arcsin xdx},\int{x^a\arccos x dx},\int{x^a\arctan x dx}\\ &取u(x)=\ln x\\ \end{align}3)循环法\begin{align} &\int{e^{ax}\sin ax dx},\int{e^{ax}\cos {ax} dx}\\ &取u(x)=e^{ax}或\sin{ax} \end{align}4)递推公式法\begin{align} &与n有关的结果I_n，建⽴递推关系I_n=f(I_{n-1})或f(I_{n-2})\\ \end{align}定积分⼀、定积分概念1.定义\begin{align} &定义:设函数f(x)在区间[a,b]上有定义且有界\\ &(1)分割：将[a,b]分成n个[x_{i-1},x_{i}]⼩区间\\ &(2)求和：[x_{i-1},x_{i}]上取⼀点\xi_{i},\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_{i})\Deltax_i},\lambda=\max{\Delta x_{1},\Delta x_{2},...,\Delta x_{n}}\\ &(3)取极限：若\lim_{\lambda \rightarrow 0}{\sum_{i=1}^{n}f(\xi_{i})\Delta x}\exist,且极值不依赖区间[a,b]分发以及点\xi_{i}的取法,则称f(x)在区间[a,b]上可积,\\ &\int^{b}_{a}{f(x)dx}=\lim_{\lambda \rightarrow 0}{f(\xi)\Delta x_{i}} &\\ &注解：\\ &(1)\lambda \rightarrow0 \rightarrow \nleftarrow n\rightarrow \infty\\ & (2)定积分表⽰⼀个值,与积分区间[a,b]有关,与积分变化量x⽆关\\ &\int_{a}^{b}{f(x)dx}=\int_{a}^{b}{f(t)dt}\\ &(3)如果积分\int_{0}^{1}{f(x)dx}\exist,将[0,1]n等分，此时\Delta{x_{i}}=\frac{1}{n},取\xi_{i}=\frac{i}{n},\\ &\int_{0}^{1}f(x)dx=\lim_{\lambda \rightarrow 0}{\sum_{i=1}{n}{f(\xi_{i})\Delta x_{i}}}=\lim_{n\rightarrow \infty}\sum_{i=1}^{n}f(\frac{i}{n})\\ \end{align}\begin{align} &\int^{b}_{a}{f(x)dx}=\lim_{\lambda \rightarrow 0}\sum^{n}_{i=1}f(\xi_i)\Delta_i=\begin{cases}&\lim_{n\rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(a+(i-1)\frac{b-a}{n})\frac{b-a}{n}}},左侧\\&\lim_{n\rightarrow \infty}{\sum_{i=1}^{n}{f(a+i\frac{b-a}{n})\frac{b-a}{n}}},右侧\\\end{cases}\\ &中点：\Phi_i=a+(i-1)\frac{b-a}{n}+\frac{b-a}{2n}\\ \end{align}Processing math: 0%定理：(线性)\begin{align} &\int[\alpha f(x)+\beta g(x)]dx=\alpha\int f(x)dx+\beta\int g(x)dx\\ \end{align}注解：积分⽆⼩事\begin{align} &\int{e^{\pm x^2}dx,\int{\frac{\sin x}{x}}}积不出来\\ &F'(x)=f(x),x\in I,连续函数⼀定存在原函数，⽆穷多个\\ &[F(x)+C]'=f(x) \end{align}2.定积分存在的充分条件\begin{align} &若f(x)在[a,b]上连续,则\int^{b}_{a}{f(x)dx}必定存在\\ &若f(x)在[a,b]上有上界,且只有有限个间断点,则\int^{b}_{a}{f(x)dx}必定存在\\ &若f(x)在[a,b]上只有有限个第⼀类间断点,则\int^{b}_{a}{f(x)dx}必定存在\\ \end{align}3.定积分的⼏何意义\begin{align} &(1)f(x)\geqslant{0},\int_{a}^{b}{f(x)dx}=S\\ \end{align}\begin{align} &(2)f(x)\leqslant{0},\int_{a}^{b}{f(x)dx}=-S\\ \end{align}\begin{align} &(3)f(x)\geqslant{0}\cup f(x)\leqslant{0},\int_{a}^{b}{f(x)dx}=S_1+S_3-S_2\\ \end{align}注解：\begin{align} &（1）当f(x)\geq0时,定积分的⼏何意义是,以区间[a,b]为底,y=f(x)为曲边的曲边梯形⾯积\\ &（2）定积分是⼀个常数，只与f和区间[a,b]有关,与积分变量⽤什么字母⽆关\\ &\int_a^b{f(x)}dx=\int_a^b{f(t)dt}\\ &（3）\int_a^bdx=b-a\\ &（4）\int_{a}^{a}f(x)=0,\int_a^bf(x)dx=-\int_b^a{f(t)}dt \end{align}⼆、定积分的性质1.不等式性质\begin{align} &(1)保序性：若在区间[a,b]上f(x)\leqslant{g(x)},则\int_a^{b}{f(x)dx}\leqslant{\int_a^{b}{g(x)dx}}\\ &推论：\\ &(1)f(x)\geq0,\forall x\in[a,b],则\int_a^b{f(x)dx}\geq0\\ & (2)f(x)\geq0,\forall x\in[a,b],且[c,d]\subset[a,b],则\int_a^b{f(x)dx}\geq\int_c^d{f(x)dx}\\ &(3)|\int_a^bf(x)dx|\leq\int_a^b{|f(x)|dx}\\ &-|f|\leq f\leq |f|\Rightarrow \int_a^b-|f|\leq \int_a^bf\leq \int_a^b|f|\Rightarrow |\int_a^bf|\leq\int_a^b|f|\\ &如：x^2\leq x^3,x\in[0,1],则\int_0^1{x^3dx}\leq\int_0^1{x^2dx}\\ \end{align}\begin{align} &(4)(估值不等式)若M及m分别是f(x)在[a,b]上的最⼤值和最⼩值,\\ &则m(b-a)\leqslant{\int_a^{b}{f(x)dx}\leqslant{M(b-a)}}\\ \end{align}\begin{align} &证明：M(b-a)=S_{AFDC}=S_1+S_2+S_3\\ &m(b-a)=S_{EBDC}=S_3\\ &\int_a^{b}{f(x)dx}=S_{ADBC}=S_2+S_3\\ &S_3\leqslant{S_2+S_3\leqslant{S_1+S_2+S_3}}\\&\Leftrightarrow{m(b-a)\leqslant{\int_a^{b}{f(x)dx}\leqslant{M(b-a)}}}\\ \end{align}\begin{align} &(3)|\int_a^{b}{f(x)dx}|\leqslant{\int_a^{b}{|f(x)|dx}}\\ \end{align}2.中值定理\begin{align} &(1)若f(x)在[a,b]上连续,则\int_a^{b}{f(x)dx}=f(\xi)(b-a),(a<\xi<b)\\ &称\frac{1}{b-a}{\int_{a}^{b}{f(x)dx}为函数y=f(x)在区间[a,b]上的平均值}\\ &注解：F'(x)=f(x),F(b)-F(a)=\int_a^b{f(x)dx},f(\xi)(b-a)=F'(\xi)(b-a)\\ &(2)若f(x),g(x)在[a,b]上连续，g(x)不变号,则\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}=f(\xi)\int_a^b{g(x)dx}\\ \end{align}注解：\begin{align} &\int_0^1{\frac{x}{\sin x}}dx\\ &f(x)=\begin{cases}&\frac{x}{\sin x},x\in[0,1]\\&1,x=0\\\end{cases}\\ &结论：有限处点的函数不影响定积分\\ &f(x)={\begin{cases}&x+1,[1,2]\\&x, [0,1]\\\end{cases}}\\ &\int_0^2{f(x)dx}=\int_0^1{xdx}+\int_1^2{(x+1)dx}\\ \end{align}\begin{align} &证明：\frac{1}{2}\leq\int_0^{\frac{1}{2}}\frac{1}{\sqrt{1-x^n}}dx\leq\frac{\pi}{6}\\ &估值积分：x\in[0,\frac{1}{2}]\\ &\\ \end{align}例题：\begin{align} &1.求极限\lim_{n\rightarrow \infty}\int_0^1{\frac{x^ne^x}{1+e^x}dx}\\ &根据积分容易知道0\leq\frac{x^ne^x}{1+e^x}\leq x^n,x\in[0,1],n\in N^*\\ &⽤积分的保号性\\&0\leq\int_0^1{\frac{x^ne^x}{1+e^x}dx}\leq \int_0^1{x^n}dx=\frac{1}{n+1}\\ &⽤夹逼定理\\ &\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{1}{n+1}=0\\ &\lim_{n\rightarrow \infty}\int_0^1{\frac{x^ne^x}{1+e^x}dx}=0\\ \end{align}\begin{align} &2.设I_1=\int_0^{\frac{4}{\pi}}\frac{\tan x}{x}dx,I_2=\int_0^{\frac{4}{\pi}}\frac{x}{\tan x}dx则\\ &(A)I_1>I_2>1(B)1>I_1>I_2(C)I_2>I_1>1(D)1>I_2>I_1\\ &解：⽤保序性a<b,f(x)\leq g(x),\int_a^b f(x)\leq \int_a^b g(x)\\ &\tan x>x,x\in[0,\frac{\pi}{2}]\\ &\frac{\tan x}{x}>1>\frac{x}{\tan x},x\in[0,\frac{\pi}{4}]\\ &根据保序性\\ &\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan x}{x}dx>\int_0^{\frac{\pi}{4}}1dx=\frac{\pi}{4}>\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{x}{\tan x},x\in[0,\frac{\pi}{4}]\\ &证：\int_0^{\frac{\pi}{4}}\frac{\tan x}{x}与1的关系\\ &积分中值定理\\ &\int_0^{\frac{\pi} {4}}\frac{\tan x}{x}=f(\xi)(\frac{\pi}{4}-0)=\frac{\tan \xi}{\xi}*\frac{\pi}{4},\xi\in{[0,\frac{\pi}{4}]}\\ &根据\frac{\tan x}{x}在x\in[0,\frac{\pi}{4}]上单调递增\\ &0<f(\xi)<\frac{4}{\pi},0<\int_0^{\frac{\pi} {4}}\frac{\tan x}{x}<1\\ &选(B)\\ \end{align}三、积分上限函数\begin{align} &如果f(x)在区间[a,b]上连续,则\Phi(x)=\int_a^b{f(t)dt}在[a,b]上可导,且\int_a^b{f(t)dt})\\ &(\int_a^xf(t)dt)'=f(x),(\int_a^{x^2}f(t)dt)'=f(x^2)*2x\\ &如果f(x)在区间[a,b]上连续,\phi_1(x),\phi_2(x)为可导函数,则\Phi(x)=\int_a^b{f(t)dt}在[a,b]上可导,且(\int_{\phi_1(x)}^{\phi_2(x)}{f(t)dt})'\\ &=f[\phi_2(x)]*\phi_2'(x)-f[\phi_1(x)]*\phi_1'(x)=(\int_{\phi_1(x)}^0{f(t)dt}+\int_{\phi_2(x)}^0{f(t)dt})'\\ &设函数f(x)在[-l,l]上连续,则\\ &如果f(x)为奇函数,那么\int_0^xf(t)dt必为偶函数\\ &如果f(x)为偶函数,那么\int_0^xf(t)dt必为奇函数\\\end{align}\begin{align} &任取x\in[a,b),取\Delta x>0,使x+\Delta x\in[a,b)\\ &\frac{\Delta F}{\Delta x}=\frac{F(x+\Delta x)-F(x)}{\Delta x}=\frac{1}{\Delta x}[\int_a^{x+\Delta x}f(t)dt-\int_a^xf(t)dt]=\frac{1} {\Delta x}\int_x^{x+\Delta x}f(t)dt=f(x+\sigma\Delta x)\rightarrow f(x)(\Delta x\rightarrow 0^+)\\ \end{align}推论：\begin{align} &若f(x)、\phi'(x)、\psi(x)于[a,b]上连续,则\\ &(1)(\int_a^{\phi(x)}f(t)dt)'=f(\phi(x))\phi'(x)\\ &(2)(\int_b^{\psi(x)}f(t)dt)'=-f(\psi(x))\psi'(x)\\ &(3)(\int_{\psi(x)}^{\phi(x)}f(t)dt)'=f(\phi(x))\phi'(x)-f(\psi(x))\psi'(x)\\ \end{align}例题\begin{align} &1.设函数f(x)在R上连续,且是奇函数,则其原函数均是偶函数.当f(x)是偶函数时？是周期函数？\\ &证：\\ &令F_0(x)\int_0^xf(t)dt,x\in R\\ &F_0(-x)=\int_0^{-x}f(t)dt\overset{t=-u} {=}\int_0^xf(-u)d(u)=\int_0^xf(u)du=F_0(x)\Rightarrow F_0(x)为偶函数\\ \end{align}\begin{align} &求变现积分导数\\ &(1)F(x)=\int_x^{e^{-x}}f(t)dt\\ &(2)F(x)=\int_0^{x^2}(x^2-t)f(t)dt\\ &(3)F(x)=\int_0^{x}f(x^2-t)dt\\ &(4)设函数y=y(x)由参数⽅程\begin{cases}&x=1+2t^2\\&y=\int_1^{1+2\ln t}\frac{e^u}{u}du\\\end{cases}(t>1),求\frac{d^2y}{dx^2}|_{x=9}\\ &解:\\ &(1)F(x)'=(\int_x^{e^{-x}}f(t)dt)'=f(e^{-x})(-e^{-x})-f(x)\\ &(2)F(x)'=(\int_0^{x^2}(x^2-t)f(t)dt)'=(\int_0^{x^2}x^2f(t)dt-\int_0^{x^2}tf(t)dt)'\\ &=2x\int_0^{x^2}f(t)dt+x^2f(x^2)2x-x^2f(x^2)2x=2x\int_0^{x^2}f(t)dt\\ &(3)F(x)=\int_0^{x}f(x^2-t)dt=-\frac{1}{2}\int_0^xf(x^2-t^2)d(x^2-t^2)\overset{u=x^2-t^2}{=}-\frac{1}{2}\int_0^xf(u)du\\ &F(x)'=\frac{1}{2}f(x^2)2x=xf(x^2)\\ &(4)\frac{dy}{dx}=\frac{\frac{e^{1+2\ln t}}{1+2\ln t}\frac{2}{t}}{4t^2}=\frac{e}{2(1+2\ln t)}\\ &\frac{d^2y}{dx^2}=\frac{d(\frac{dy}{dx})}{dx}=\frac{e}{2}(-\frac{\frac{2}{t}}{(1+2\ln t)^2})\frac{1}{4t}\\ \end{align}\begin{align} &2.求变现积分的积分:\\ &(1)设f(x)=\int_0^x{\frac{\sin t}{\pi -t}dt},求\int_0^\pi{f(x)}dx\\ &解:\\ &\int_0^\pi{f(x)}dx=\int_0^{\pi}\int_0^x\frac{\sin t}{\pi -t}dt\space dx\\&=x\int_0^x\frac{\sin t}{\pi t}|_0^{\pi}-\int_0^{\pi}x\frac{\sin x}{\pi -x}dx\\ &=\pi\int_0^{\pi}\frac{\sin x}{\pi t}+\int_0^{\pi}\frac{[(\pi-x)-\pi]\sin x}{\pi-x}dx=\int_0^{\pi}\sin xdx=2\\ &(2)\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{(\int_0^x{e^{t^2}}dt)^2}{\int_0^xe^{2t^2}dt}}=\lim_{x\rightarrow\infty}{\frac{(2\int_0^{x}e^{t^2}dt)e^{x^2}}{e^{2x^2}}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{2\int_0^{x}e^{t^2}}{e^{x^2}}=\lim_{x\rightarrow\infty}\frac{1}{2x}=0\\ \end{align}\begin{align} &(3)设f(x)连续,\phi(x)=\int_0^1{f(tx)dt},且\lim_{x\rightarrow0}\frac{f(x)}{x}=A(常数),求\phi'(x)并讨论\phi'(x)在x=0处的连续性\\ &当x\neq0时\\ &令u=tx,t\in[0,1],u=tx\in[0,x],\phi(x)=\int_0^1f(tx)dt\overset{tx=u}{=}\int_0^x{f(u)d(\frac{u}{x})}=\frac{\int_0^xf(u)du}{x}\\ &\phi'(x)=\frac{xf(x)-\int_0^xf(u)du}{x^2}\\ &当x=0时,f(0)=0,\phi(0)=f(0)=0,\phi'(0)=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\phi(x)\phi(0)}{x-0}=\lim_{x\rightarrow0}\frac{\int_0^xf(u)du}{x^2}=\lim_{x\rightarrow 0}\frac{f(x)}{2x}=\frac{1}{2}A\\&\lim_{x\rightarrow0}\phi'(x)=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{xf(x)-\int_0^xf(u)du}{x^2}}=A-\frac{1}{2}A=\frac{1}{2}A=\phi'(0)\Leftrightarrow\phi'(x)在x=0处连续\\ \end{align}注解：\begin{align} &注意变限积分进⾏正逆运算时上下限的映射\\ &例如F(x)=\int_0^x{f(t)dt}\overset{t=-u}{=}\int_{-a}^{x}f(-u)d(-u)\\ \end{align}四、定积分的计算1.⽜顿莱布尼茨公式\int_a^bf(x)dx=F(x)|_a^b=F(b)-F(a)2.换元积分法\int_a^bf(x)dx=\int_\alpha^\beta{f(\Phi(t))\Phi'(t)dt}3.分部积分法\int_a^budv=uv|_a^b-\int_a^bvdu4.奇偶性和周期性\begin{align} &直接使⽤奇偶性周期性定义证明\\ &(1)设f(x)为[-a,a]上的连续函数(a>0),则\\ &\int_{-a}{a}f(x)dx=\begin{cases}0,&f(x)奇函数\\2\int_0^af(x)dx,&f(x)偶函数\end{cases}\\ &证：\int_{-a}^0{f(x)dx}\overset{x=-t}{=}\int_0^a{f(-t)d(-t)}=-\int_{0}^{a}f(t)d(t)=-\int_0^a{f(x)dx}\\ \end{align}\begin{align} &(2)设f(x)是以T为周期的连续函数,则对\forall A，有\int_a^{a+T}f(x)=\int_0^T{f(x)dx}\\ &\int_a^{a+T}f(x)dx\overset{x=a+t}{=}\int_0^T{f(a+t)d(a+t)}=\int_0^{a+t}f(a+t)dt\\\end{align}\begin{align} &\Phi:x\in[a,b]\rightarrow y\in[c,d],令\frac{x-a}{b-a}=\frac{y-c}{d-c},y=c+\frac{d-c}{b-a}(x-a)\\ \end{align}\\5.奇偶函数积分后的奇偶性(奇偶函数求导后的奇偶性)1.奇偶函数求导后的奇偶性\begin{align} &(1)f(x)为奇函数:\\ &f(-x)=-f(x)\\ &\Leftrightarrow f'(-x)(-1)=-f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(-x)=f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(x)为偶函数\\ &(2)f(x)为偶函数:\\ &f(-x)=f(x)\\ &\Leftrightarrowf'(-x)=f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(-x)(-1)=f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(-x)=-f'(x)\\ &\Leftrightarrow f'(x)为奇函数\\ \end{align}2.奇偶函数求积分后的奇偶性\begin{align} &设F(x)为f(x)的原函数\\ &(1)f(x)为奇函数:\\ &f(-x)=-f(x)\\ &\Leftrightarrow \int f(-x)dx=-\int f(x)dx\\ &\Leftrightarrow -\int f(-x)d(-x)=-\int f(x)dx\\ &\Leftrightarrow F(-x)=F(x)\\&\Leftrightarrow F(x)为偶函数\\ &(2)f(x)为偶函数:\\ &f(-x)=f(x)\\ &\Leftrightarrow \int f(-x)dx=\int f(x)dx\\ &\Leftrightarrow -\int f(-x)d(-x)=\int f(x)dx\\ &\Leftrightarrow F(-x)=-F(x)\\&\Leftrightarrow F(x)为奇函数\\ \end{align}3.奇偶函数复合后的奇偶性\begin{align} &\exist f(x),g(x),F(x)=f(g(x))\\ &设f(x)为奇函数\\ &(1)g(x)为偶函数\\ &F(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=F(x),F(x)为偶函数\\ &(2)g(x)为奇函数\\ &F(-x)=f(g(-x))=f(-g(x))=-f(g(x))=-F(x),F(x)为奇函数\\ &设f(x)为偶函数\\ &(1)g(x)为奇函数\\ &F(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=F(x),F(x)为偶函数\\ &(2)g(x)为偶函数\\ &F(-x)=f(g(-x))=f(g(x))=F(x),F(x)为偶函数\\ &注解:外偶全偶,外奇奇偶\\\end{align}例题：\begin{align} &1.设M=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{\frac{\sin x}{1+x^2}\cos^4xdx},N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(\sin x^3+\cos^4x)dx},P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^2\sin^3x-\cos^4x)dx,则\\ &(A)N<P<M(B)M<P<N(C)N<M<P(D)P<M<N\\ &根据对称性判断\\ &M:f_M(x)为奇函数，F_M(x)为偶函数\\ &N:N=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}{(\sinx^3+\cos^4x)dx}=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^3xdx+\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos ^4xdx\\ &\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\sin ^3xdx=0,\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi} {2}}\cos ^4xdx\geq 0,\Rightarrow N\geq 0\\ &P:P=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}(x^2\sin^3x-\cos^4x)dx=\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^3xdx-\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi} {2}}\cos^4xdx\\ &\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}x^2\sin^3xdx=0,\int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}}\cos^4xdx\geq0,\Rightarrow P\leq0\\ &\Leftrightarrow P<M<N,\space\space选(D)\\\end{align}\begin{align} &2.设f(x)=\begin{cases}&kx,0\leq x\leq \frac{1}{2}a\\&c,\frac{1}{2}a<x\leq a\\\end{cases},求F(x)=\int_0^xf(t)dt,x\in[0,a]\\ &F(x)=\begin{cases}&\int_0^xktdt=\frac{1}{2}kt^2|_0^x=\frac{1}{2}kx^2,0\leq x\leq \frac{1}{2}a\\&\int_0^{\frac{1}{2}a}ktdt+\int_{\frac{1}{2}a}^c cdt=\frac{1}{8}ka^2+c^2-\frac{1}{2}ac,\frac{1}{2}a<x\leq a\\\end{cases}\\ \end{align} \begin{align} &3.证明：\int_0^{2\pi}f(|\cos x|)dx=4\int_0^{\frac{\pi}{2}}f(|\cos x|)dx\\ \end{align}6.已有公式\begin{align} &(1)\int_0^{\frac{\pi}{2}}{\sin^nxdx=\int_0^{\frac{\pi}{2}}\cos^n xdx=\begin{cases}\frac{n-1}{n}*\frac{n-3}{n-2}*...*\frac{1}{2}*\frac{\pi}{2},&n为偶数\\\frac{n-1}{n}*\frac{n-3}{n-2}*...*\frac{2}{3},&n为⼤于1的奇数\\\end{cases}}\\ &(2)\int_0^{\pi}xf(\sin x)dx=\frac{\pi}{2}\int_0^{\pi}f(\sin x)dx(f(x)为连续函数)\\ \end{align}7.与定积分有关的证明8.经典例题：例题1:\begin{align} &\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n})}\\ &法1：夹逼定理+基本不等式\\ &\frac{1}{1+x}<\ln(x+1)<x\\ &令x=\frac{1}{n}\\ &得\frac{1}{n+1}=\frac{\frac{1}{n}}{\frac{1}{n}+1}<\ln(\frac{1}{n}+1)=\ln(n+1)-\ln(n)<\frac{1}{n}\\ &得\frac{1}{n+2}<ln(n+2)-ln(n+1)<\frac{1}{n+1}\\ &得\frac{1}{n+n}<\ln(n+n)-\ln(n+n-1)<\frac{1}{n+n-1}\\ &得\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n}<ln(2n)-ln(n)=ln2\\ &法2：\lim_{n\rightarrow \infty}{(\frac{1}{n+1}+\frac{1}{n+2}+...+\frac{1}{n+n})}中\\ &\frac{1}{n+1}中n为主体，1为变体\\ &\frac{变体}{主体}\rightarrow^{n \rightarrow{\infty}}\begin{cases}0,次(夹逼定理)\\A\neq 0,同(定积分)\end{cases}\\ &\lim_{\lambda \rightarrow 0}{\sum_{i=1}^{n}{f(\xi_i)\Deltax_i}=\lim_{n\rightarrow \infty}\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n}f(\xi_i)(b-a)}=\int_0^1\frac{1}{1+x}=\ln(1+x)|_{0}^{1}=\ln2\\ \end{align}例题2\begin{align} &设f(x)=\int_0^{\pi}{\frac{\sin x}{\pi-t}dt},计算\int_0^{\pi}f(x)dx.\\ &法1：分部积分+换元法\\ &原式=xf(x)|_0^{\pi}-\int_0^{\pi}{\frac{x\sin x}{\pi-x}dx}\\ &=\pi{\int_0^{\pi}{\frac{\sin{t}}{\pi-t}dt}-\int_0^{\pi}{\frac{x\sin x}{\pi-x}}dx}\\ &=\int_0^{\pi}{\frac{(\pi-x)\sin x}{\pi-x}dx}=2\\ &法2：\\ &原式=\int_0^\pi{f(x)d(x-{\pi})}=(x-\pi)f(x)|_0^{\pi}-\int_0^{\pi}{\frac{(x-\pi)\sin x}{\pi-x}dx}=2\\ &法3：⼆重积分转化为累次积分\\ &原式=\int_0^{\pi}{\int_0^{\pi}\frac{x\sin t}{\pi-t}dt}dx\\ \end{align}例题3\begin{align} &法1：构造辅助函数\\ &根据题意f(1)=f(-1)=1,f(0)=-1\Rightarrow f(x)为偶函数,f最低点函数值为-1\\ &可以构造符合题意的辅助函数f(x)=2x^2-1\\ &法2：根据函数的性质直接判断 \end{align}例题4\begin{align} &因为\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{ax-\sin x}{\int_b^x{\frac{\ln{1+t^3}}{t}dt}}}=c(c\neq 0)\\ &所以\lim_{x\rightarrow 0}{ax-\sin x}=0并且\lim_{x \rightarrow 0}{\int_b^x{\frac{\ln{1+t^3}}{t}dt}}=0\\ &化简,使⽤洛必达法则上下求导\\ &\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{ax-\sin x}{\int_b^x{\frac{\ln{1+t^3}}{t}dt}}}=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{a-\cos x}{\frac{\ln{1+x^3}}{x}}}=\lim_{x\rightarrow 0}{\frac{a-\cos x}{x^2}}\\ &\Rightarrow a=1,c=\frac{1}{2},b=0\\ \end{align}反常积分⼀、⽆穷区间上的反常积分\begin{align} &(1)\int_a^{+\infty}{f(x)}dx=\lim_{t\rightarrow +\infty}{\int_{a}^{t}f(x)dx}\\ &(2)\int_{-\infty}^{b}{f(x)}dx=\lim_{t\rightarrow -\infty}{\int_{t}^{b}f(x)dx}\\ &(3)\int_{-\infty}^{0}{f(x)}dx和{\int_{0}^{+\infty}f(x)dx}都收敛,则{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx}收敛\\ &且{\int_{-\infty}^{+\infty}f(x)dx}=\int_{-\infty}^{0}{f(x)}dx+{\int_{0}^{+\infty}f(x)dx}\\ &如果其中⼀个发散,结果也发散\\ &常⽤结论：\int_a^{+\infty}{\frac{1}{x^p}dx}\begin{cases}&p>1,收敛\\&p\leq1 ,发散\\\end{cases},(a>0)\\ \end{align}⼆、⽆界函数的反常积分\begin{align} &如果函数f(x)在点a的任⼀领域内都⽆界,那么点a为函数f(x)的瑕点(也称为⽆界点).⽆界函数的反常积分也成为瑕积分\\ &(1)设函数f(x)在(a,b]上连续,点a为f(x)的瑕点.如果极限\lim_{t\rightarrow a^+}{\int_{t}^{b}{f(x)dx}}\exist,\\ &则称此极限为函数f(x)在区间[a,b]上的反常区间,记作\int_{a}^{b}f(x)dx,即\int_{a}^{b}f(x)dx=\lim_{t\rightarrow a^+}{\int_{t}^{b}{f(x)dx}}\\ &这时也称反常积分\int_a^b{f(x)dx}收敛,如果上述极限不存在，则反常积分\int_a^b{f(x)dx}发散\\ &(2)设函数f(x)在[a,b)上连续,点b为函数f(x)的瑕点,则可以类似定义函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分\int_a^bf(x)dx=\lim_{t\rightarrow b^-}{\int_a^tf(x)dx}\\ &设函数f(x)在[a,b]上除点c(a<c<b)外连续,点c为函数f(x)的瑕点,如果反常积分\int_a^c{f(x)dx}和\int_c^b{f(x)dx}都收敛\\ &则称反常积分\int_a^b{f(x)dx}收敛,且\int_a^b{f(x)dx}=\int_a^c{f(x)dx}+\int_c^b{f(x)dx}\\ &如果⾄少⼀个发散,则称\int_a^b{f(x)dx}发散\\ &常⽤结论：\\ &\int_a^b{\frac{1}{(x-a)^p}}\begin{cases}&p<1,收敛\\&p\geq 1,发散\\\end{cases}\\ &\int_a^b{\frac{1}{(x-a)^p}}\begin{cases}&p<1,收敛\\&p\geq 1,发散\\\end{cases}\\ \end{align}三、例题例题1\begin{align} &\int\frac{1}{\ln^{\alpha}x}d(\ln x)\rightarrow^{\ln x=u}\int{\frac{du}{u^{\alpha+1}}}\begin{cases}&{\alpha-1< 1}\\&{\alpha+1>1}\\\end{cases}\Rightarrow 0<\alpha<2\\\end{align}定积分的应⽤⼀、⼏何应⽤1.平⾯图形的⾯积\begin{align} &(1)若平⾯域D由曲线y=f(x),y=g(x)(f(x)\geq g(x)),x=a,x=b(a<b)所围成,则平⾯域D的⾯积为\\ &S=\int_a^b{[f(x)-g(x)]dx}\\ &(2)若平⾯域D由曲线由\rho=\rho(\theta),\theta=\alpha,\theta=\beta(\alpha<\beta)所围成,则其⾯积为S=\frac{1}{2}\int_{\alpha}^{\beta}{\rho^2(\theta)d\theta} \end{align}2.旋转体的体积\begin{align} &若区域D由曲线y=f(x)(f(x)\geq 0)和直线x=a,x=b(0\leq a<b)及x轴所围成,则\\ &(1)区域D绕x轴旋转⼀周所得到的旋转体体积为V_x=\pi\int_a^b{f^2(x)dx}\\ &(2)区域D绕y轴旋转⼀周所得到的旋转体体积为V_y=2\pi\int_a^b{xf(x)dx}\\ &(3)区域D绕y=kx+b轴旋转⼀周所得到的旋转体体积为V=2\pi\int_D\int{r(x,y)d\sigma}\\ &例如：求y=x,y=x^2在第⼀象限的封闭图形绕转轴的体积\\ \end{align}\begin{align} &V_x=2\pi\int_D\int yd\sigma=2\pi\int_0^1{dx}\int_{x^2}^{x}ydy\\ &V_y=2\pi\int_D\int xd\sigma=2\pi\int_0^1{dx}\int_{x^2}^{x}xdy\\ &V_{x=1}=2\pi\int_D\int (1-x)d\sigma\\ &V_{y=2}=2\pi\int_D\int (2-y)d\sigma\\ \end{align}3.曲线弧长\begin{align} &(1)C:y=y(x),a\leq x\leq b,s=\int_a^b{\sqrt{1+y'^2}dx}\\ &(2)C:\begin{cases}&x=x(t)\\&y=y(t)\\\end{cases},\alpha \leq t\leq \beta,s=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{x'^2+y'^2}dx}\\ &(3)C:\rho=\rho(\theta),\alpha \leq \theta\leq \beta,s=\int_{\alpha}^{\beta}{\sqrt{\rho^2+\rho'^2}dx}\\ \end{align}4.旋转体侧⾯积\begin{align} &曲线y=f(x)(f(x)\geq 0)和直线x=a,x=b(0\leq a<b)及x轴所围成的区域绕x轴旋转所得到的旋转体的侧⾯积为\\ &S=2\pi\int_a^b{f(x)\sqrt{1+f'^2(x)}dx}\\ \end{align}⼆、物理应⽤1.压⼒2.变⼒做功3.引⼒（较少考）例题1\begin{align} &分析题意可知,该容器由x^2+y^2=1的圆和x^2+(y-1)^2=1的偏⼼圆组成\\ &根据图像的对称性可以避免不同表达式带来的困难\\ &对圆的⼩带⼦进⾏积分，带⼦长度为x，积分区间为-1到\frac{1}{2}，\int_{-1}^{\frac{1}{2}}{\pi x^2dy}\\ &由于图像的对称性，将积分结果乘⼆\\ &(1)V=2\pi\int_{-1}^{\frac{1}{2}}{x^2}dy=2\pi\int_{-1}^{\frac{1}{2}}{(1-y^2)dy}=\frac{9\pi} {4}\\ \end{align}\begin{align} &(2)W=F*S=G*S=mg*S=\rho VSg\\ &上部为W_1=\int_{\frac{1}{2}}^{2}(2y-y^2)(2-y)dy*\rho g\\ &下部为W_2=\int^{\frac{1}{2}}_{-1}(1-y^2)(2-y)dy*\rho g\\ &W=W_1+W_2\\ \end{align}例题2\begin{align} &F_p=P*A=\rho gh*A\\ &将图像分为上部和下部，上部为矩形区域和下部的抛物线围成的⾯积区域，对其进⾏依次求解\\ &P_1=2\rho gh\int_1^{h+1}{h+1-y}dy=\rho gh^2\\ &P_2=2\rho gh\int_0^1{(h+1-y)\sqrt{y}dy=4\rho g(\frac{1}{3}h+\frac{2}{15})}\\ &\frac{P_1}{P_2}=\frac{4}{5}\Rightarrow h=2,h=-\frac{1}{3}(舍去) \end{align}。
应用积分中值定理求极限应注意的问题
辅导篇应用积分中值定理求极限应注意的问题任晓红 李国兴 (西北轻工业学院,陕西咸阳,712081)利用积分中值定理可以求某些特定类型数列的极限,但是在解这类极限时,普遍容易出现两个方面的错误.以下面两例来说明.例1 求极限lim n →∞∫40sin nx d x 解 先考虑积分∫40sin nx d x ,由于sin nx 在[0, 4]上连续,所以由积分中值定理可知,在[0,4]上至少存在一点 ,使得∫4sin n x d x =sin n 4因此有lim n →∞∫ 4sin nx d x =lim n →∞(sin n・ 4)=0・4=0.例2 求极限lim n →∞∫4tan nx d x 解:由于tan n x 在[0, 4]上连续,所以由积分中值定理可知,在[0, 4]上至少存在一点 ,使得∫4tan n x d x =tan n4因此有lim n →∞∫40tan n x d x =lim n →∞(tan n4)=04=0 我们来分析一下上面两例的解法.例1的解法看似正确,其实是错误的.错误原因在于积分中值定理是肯定了 的存在性,并没有指出 在区间的具体确切位置.一般地说, 依赖于被积函数和积分区间.当n 不同时,被积函数也就不同,从而 在[0,4]上的位置也就不同.因此,应记为 n ,这是应用积分中值定理求极限应注意的第一个问题.例1的正确解法应为:lim n →∞∫4sin n x d x =lim n →∞(sin n )n4=0例2的解法除了犯有例1同样一种错误之外,还犯了第二种错误,错误在于应用积分中值定理所得到的 属于闭区间,而不是开区间.∵ n ∈[0, 4],∴ 0≤tan n n ≤1由于不能排除 n = 4,即tan n n =1的情况,因此lim n →∞tan nn =0是不正确的.(下转42页)33V ol.3No.4Dec.2000 高等数学研究ST UDIES IN COLLE GE M AT HEM AT ICS 收稿日期:2000-04-11若P i ,P j ∈S ,求出M ,N 所有解,设有一组,以P i 为原点建立新坐标系,需要旋转的角度为( - i 1,( - i 2)(i =1,2,…,l )用定理1判定其余n -2个点是否满足条件,若满足则n 口旧井均可利用,否则n 口旧井不能全部利用.六、模型的推广在地质勘探、地质测量及各种观测点的设置中,都会碰到如何利用旧观测点,以减少新观测点的问题.本文问题(1)的算法时间复杂度为n 2,可以认为是简便有效的算法,因此具有广泛的应用.七、模型算法评价本文所采用的算法最大的优点是对问题(1)、(2),均能证明求出的解为最优解.1.在求解问题1时,提出并证明了一个重要的定理1.利用定理1,不使用穷举法,就可找出满足题目要求T 的最大值,从而大大简化了求解过程.2.对于问题(2)的求解与证明,对于其它问题,不一定适用,具有一定的局限性.参考书目[1]陆守一,唐小明.地理信息系统实用教程.北京:中国技术出版社.1998年[2]姜启源.数学模型.北京高等教育出版社.1993年(上接33页)这是应用积分中值定理求极限时应注意的第二个问题.事实上,例2虽然与例1形式相同,但不能用积分中值定理求解.正确的解法是利用定积分的比较性质以及夹逼准则,求解如下:令u =tan x 则当x =0时u =0;当x = 4时,u =1,d u =sec 2x d x ,∴ d x =d u 1+tan 2x =d u1+u 2故有 ∫40tan nx d x =∫10u n1+u2d u由于un2≤u n 1+u 2≤u n u 2+u2=u n -22当n >1时,0≤u ≤1∫1u n2d u ≤∫10u n1+u2d u ≤∫1un -22d u即12(n +1)≤∫10u n1+u2d u ≤12(n -1)由于 lim n →∞12(n +1)=0,lim n →∞12(n -1)=0,所以lim n →∞∫4tan nx d x =lim n →∞∫1u n1+u 2d u =0 与例2类似的题目,如:lim n →∞∫1x n1+xd x ,lim n →∞∫1x n ex1+e d x 等,虽然都是以定积分的形式出现,但已不能用积分中值定理求解.42 高等数学研究 2000年12月。
积分中值定理求极限的条件(一)
积分中值定理求极限的条件(一)积分中值定理求极限的条件引言在微积分中，积分中值定理是非常重要的概念之一。
它提供了一种方法来求解函数在一定区间内的平均值与极限之间的关系。
在本文中，我们将重点讨论使用积分中值定理求极限的条件。
积分中值定理积分中值定理是基于函数连续与可导的性质而推导出来的。
根据定理的表述，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续，且在开区间(a, b)上可导，则存在至少一个点c ∈ (a, b)，使得函数在该点的导数等于函数在整个区间[a, b]上的平均斜率。
极限的定义首先，我们需要明确什么是极限。
在数学中，函数f(x)在x趋于某个值a时的极限定义为：当x无限接近于a时，f(x)趋于一个常数L。
我们用符号表示为：lim(x → a) f(x) = L使用积分中值定理求极限的条件在使用积分中值定理求极限时，我们需要满足以下条件： 1. 函数f(x)在闭区间[a, b]上是连续的。
2. 函数f(x)在开区间(a, b)上是可导的。
3. 函数f(x)在闭区间[a, b]上没有奇点或间断点。
推论与应用根据积分中值定理，我们可以推导出一些重要的结论和应用： - 若函数f(x)在闭区间[a, b]上恒为常数，则函数在该区间上的平均值等于该常数。
- 若函数f(x)在闭区间[a, b]上单调递增/递减，则函数在该区间上的平均值等于函数在该区间上的极限。
结论积分中值定理是微积分中的重要工具之一，它可以帮助我们求得函数在一个区间上的平均斜率与极限之间的关系。
为了使用积分中值定理求极限，我们需要确保函数连续、可导，并排除奇点或间断点的影响。
希望本文能够帮助读者理解积分中值定理求极限的条件，并应用于相关问题的解决。
通过深入学习积分中值定理，我们可以更好地理解函数的性质和行为。
不定积分的级数极限
不定积分的级数极限不定积分是高等数学中最基础的概念之一，它是微积分学的核心内容。
在微积分学中，我们必须精通许多概念和技巧，其中包括积分概念和求解积分的方法。
在这篇文章中，我将详细介绍不定积分的级数极限问题，帮助读者更好地理解微积分学中这一重要的概念。
1. 不定积分的概念不定积分，又称原函数或反函数，是微积分中一个非常重要的概念。
在数学中，我们称函数f(x)的原函数为一个函数F(x)，如果它满足F'(x) = f(x)。
通常，我们用符号∫f(x)dx来表示f(x)的不定积分，而F(x)可以表示为∫f(x)dx+C，其中C是常数。
不定积分具有许多重要的性质，比如线性性、区间可加性等等。
同时，不定积分也是许多微积分方法的基础，比如部分分式分解、换元积分等等。
2. 不定积分的级数极限在微积分学中，我们经常需要对一些函数进行积分。
通常情况下，我们可以求出它的不定积分来解决问题。
但是，在某些特殊情况下，我们只能通过级数极限来求解不定积分。
具体来说，如果一个函数f(x)能够展开成为一个幂级数的形式，那么我们可以通过求出这个幂级数的极限值来得到f(x)的不定积分。
举个例子来说，假设我们要求解函数f(x) = e^x的不定积分∫e^xdx。
直接求解这个积分可能会比较困难，但我们可以把e^x展开成一个级数e^x = 1 + x + x^2/2! + x^3/3! +...，然后求出这个幂级数的极限值，进而得出f(x)的不定积分。
3. 幂级数的极限值现在我们回到级数的极限值这个问题上来。
在微积分学中，我们通常通过级数极限来求解不定积分。
具体来说，如果一个函数f(x)能够展开成为一个幂级数的形式，那么我们可以通过求出这个幂级数的极限值来得到f(x)的不定积分。
对于幂级数∑a_n(x-a)^n，其收敛半径为R = 1/limsup_n√(|a_n|)，而当|x-a|<R时，此幂级数一定收敛。
因此，如果我们能够展开函数f(x)成为幂级数的形式并且求出该级数的极限值，那么就可以求得函数f(x)的不定积分了。
积分中值定理
积分第二中值定理
形式
证明
设在上可积，考虑下列两种情况： （1）在上单调递减且在时，， 那么存在使得. （2）在上单调递增且在时，， 那么存在使得.
只需证明第一种情况，第二种情况与此类似.设.是一个连续函数,故在上有最小值和最大值 设由单调性知道,. 设.因为在上是单调的,故可积,所以对任意,存在分割 ,其中为在上的振幅.因在上黎曼可积,故有界,记为则 这里用到阿贝尔变换, 同理有原式 由上述证明知道 得,从而 所以从而.
例题3
积分不等式是指不等式中含有两个以上积分的不等式,当积分区间相同时,先合并同一积分区间上的不同积分, 根据被积函数所满足的条件,灵灵活运用积分中值定理,以达到证明不等式成立的目的。
在证明定积分不等式时,常常考虑运用积分中值定理,以便去掉积分符号,如果被积函数是两个函数之积时,可 考虑用积分第一或者第二中值定理。对于某些不等式的证明,运用原积分中值定理只能得到“≥”的结论,或者不 等式根本不能得到证明。而运用改进了的积分中值定理之后,则可以得到“”的结论,或者成功的解决问题。
定理应用
求极限 问题运用
运用估计 不等式证明
在函数极限的计算中,如果含有定积分式,常常可以运用定积分的相关知识,比如积分中值定理等,把积分号去 掉。
例题1
某些带积分式的函数,常常会有要求判定某些性质的点的存在的问题,有时运用积分中值定理能使问题迎刃而 解。
例题2
在大多数的积分式中,能找到其被积函数的原函数再进行求值的积分简直是凤毛麟角,当被积函数“积不出” 或者原函数很复杂时,可用各种方法来估计积分。对于乘积型的被积函数,将变化缓慢的部分或积分困难的部分进 行估计,可积的部分积分之。积分中值定理和各种不等式就是其中常用的方法, Nhomakorabea积分中值定理
§4.3积分的极限定理
lim
n →∞
f n dµ
≥
lim
n→∞
f ndµ.
证明 对函数列{ f n − g}应用定理 4 即得 (i). 再对函数列{− f n }应用 (i) 的结果并注意
到 lim(−
n→∞
fn)
=
− lim n→∞
f n 即得 (ii).
■
定理 6 (控制收敛定理 ) 设 f , f n (n ≥ 1) 是可测 函数, 并且 存在可积函 数 g 使得
妨设设 f n ≤ f n+1 (n ≥ 1), f n → f 处处成立. 由积分的单调性得到
∫ ∫ ∫ fndµ ≤ fn+1dµ ≤ fdµ, n ≥ 1.
∫ 因此 lim n→∞
f n dµ 存在并且
∫ ∫ lim
n →∞
f ndµ ≤
fdµ .
(2)
下面证明相反的不等式. 对每个 n ≥ 1, 由§3.1 定理.9, 存在非负简单函数列{g n,k }k≥1 使得 gn,k ↑ f n , (k → ∞). 令
由§4.1.定理 6 知道 f n 和 f 都可积. 由 Fatou 引理, 我们有
∫ ∫ ∫ ∫ ∫ fdµ =
lim
n →∞
f ndµ
≤
lim
n→∞
f ndµ
≤
lim
n→∞
fn dµ ≤
fdµ .
∫ 因此 lim n→∞
f n dµ 存在并且(7)成立. 再证 f n µ→ f 的情形. 由§3.2 定理.6, 对{ f n }的任一
测函数, 使得 lim f (x, t) = f (x) a.e.. 若存在 X 上的可积函数 g 使得 t →t0
《经济数学》第五章：不定积分
解 由于 (x3 )' 3x2 ，所以 3x2dx x3 C.
经济数学★★★
第一节 不定积分
二、不定积分的几何意义
由于不定积分 f (x)dx F(x) C 含有任意常数 C，对于每一个给定的 C，
都有一个确定的原函数，在几何上，相应地就有一条确定的曲线，这条曲
22
a2 x2 dx a cost a costdt a2 cos
sin 2t 4
C
＝ a2 t a2 2sin t cos t C. 24
图 5-2
经济数学★★★
第二节 换元积分法
由于 x asint ， t , 所以 t arcsin x ,
2
2
2
积分更不容易求出，由此可见，如果 u 和 dv 选取不当，就求不出结果，所以应用分部 积分法时，恰当选取 u 和 dv 是一个关键.选取 u 和 dv 一般要考虑下面两点：①v 容易求得
② vdu 比 udv 容易积出.
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第四节 有理函数的积分
有理函数是指由两个多项式的商所表示的函数，即
性质 1 设函数 f (x) 及 g(x)的原函数存在，则
[ f (x) g(x)]dx f (x)dx g(x)dx .(2)
性质 1 对于有限个函数的和都是成立的.
性质 2 设函数 f (x) 的原函数存在，k 为非零常数，则
kf (x)dx k f (x)dx (k 是常数，k≠0).
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第一节 不定积分
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例 4 求 (1 2x 3sin x)dx . x
解
(
1 x
2x
3sin)dx
积分中值定理使用条件(一)
积分中值定理使用条件(一)积分中值定理使用条件学习积分中值定理前的基础知识在学习积分中值定理之前，我们首先需要掌握一些基础知识。
这包括了对导数和不定积分的理解，以及对连续函数和可微函数的概念的熟悉。
1. 导数的概念导数描述的是函数在某一点的变化率，我们可以将其定义为函数的斜率。
具体而言，对于函数f(x)，它在某一点x0的导数表示为f′(x0) f(x0)。
或ddx2. 不定积分的概念不定积分反映的是函数的原函数。
如果函数F(x)是$ f(x)$ 的原函数，那么我们可以将其表示为F(x)=∫f(x)dx+C，其中C为常数。
3. 连续函数与可微函数连续函数是指在定义域内的每一点都存在极限，并且这些极限在函数值上保持一致。
而可微函数则更为严格，除了连续之外，它还要求在定义域内的每一点都存在导数。
积分中值定理的概念积分中值定理是微积分中的重要定理之一，它与导数和不定积分的概念密切相关。
积分中值定理告诉我们，一个连续函数在一个闭区间内的平均值必然等于其在该区间内某点的函数值。
使用积分中值定理的条件在使用积分中值定理时，我们需要满足一定的条件。
下面是常见的几个条件：1.连续性对于一个函数f(x)，它必须在闭区间[a,b]上连续，这是积分中值定理的基本要求。
2.可导性如果要使用费马引理等候选，函数还需要在开区间(a,b)内可导。
3.无间断点函数在闭区间[a,b]上不能有间断点或奇点。
这是因为积分中值定理要求函数在整个区间上是连续的。
4.单调性如果要使用拉格朗日定理，函数还需要在整个闭区间[a,b]上单调。
综上所述，积分中值定理的使用条件主要包括连续性、可导性、无间断点和单调性。
只有在满足这些条件的情况下，我们才能正确地应用积分中值定理来解决问题。
总结起来，理解积分中值定理的概念以及应用条件对于我们学习和应用微积分知识具有重要意义。
只有在掌握了这些基础知识的基础上，我们才能更好地理解和运用积分中值定理来解决实际问题。
不定积分求极限
不定积分求极限
1概述
求不定积分极限是研究求不定积分极限的一种方法，它是指在计算机和分析数学中，通过分析函数的矢量和积分方程式确定极限的性质和不定积分的极限。
它的最终单位为函数的极限，是获得函数的可限性的基本方法。
2不定积分
不定积分是有限定积分的一种，它是指在求解函数积分时，引入一个比定积分更大的变量。
用这个变量来决定函数的积分范围，这种做法使得积分范围可变，从而更加灵活。
在不定积分中，这种控制变量被称为无穷参量。
3不定积分极限
不定积分极限是一种求解极限的数学方法，也是一种运用不定积分解决极限问题的数学方法。
求解这种极限的基本思路是将无穷参量作为收敛参量，从而分析系统的解析解，确定系统的可限性和边缘条件，从而获得系统的极限值。
4求不定积分极限的方法
1、求解不定积分：首先，要根据能够被积分的函数和相应的无穷参量，确定需要积分的函数，即函数f(x)和无穷参量t；
2、求解不定积分极限：求取不定积分极限，要从两个方面出发分析，一是考虑函数f(x)的函数块性质，对函数块极限做出分析；另一个方面，要考虑不定积分的积分结果，即函数f(x)的积分值，然后以t为自变量求取函数f(x)的积分结果极限。
5结论
不定积分极限是用来获取函数的变限性的基本方法。
通过分析无穷参量的变化，分析函数极限的结果，就能得到函数极限的性质，从而获得函数极限的可限性。
积分中值定理中的极限
积分中值定理中n ξ的极限杨勇洪（楚雄师范学院数学系2005级2班）指导老师 郎开禄摘要：本文讨论了改进后的积分中值定理中n ξ的极限,获得几个有意义的结果. 关键词：积分；中值定理；极限The limit of n ξ in integral theorem of meanYan zilanAbstract ：In this paper, we discussed the limit of n ξ in the improvement integral theorem ofmean ， several meaningful results are obtained. Key words ：Integral ；Theorem of mean ；limit导师评语：在文[1] ([1].郎开禄.积分中值定理注记[J ].楚雄师范学院学报，2008，23（6）：7-15.)中讨论了改进后的广义积分中值定理中n ξ的极限，并获得了两个基本结果,并讨论了其应用.在文[2] ([2].裘兆泰，王承国，章仰文编.数学分析学习指导[M ].2004：223-226，272.)中讨论了积分中值定理中n ξ的极限,获得了几个基本结果.受文[1]- [2]的启发，在文[1]- [2]的基础上，杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理 中n ξ的极限》进一步研究改进后的广义积分中值定理中n ξ的极限,获得了的三个结论(定理 8至定理10),并讨论了其应用.杨勇洪同学的毕业论文《积分中值定理中n ξ的极限》选题具有理论与实际意义,通过深入研究,该论文获得了关于积分中值定理中n ξ的极限的三个结论,并讨论其应用.该论文完成有 一定的技巧性和难度,其结果在理论与实际上都有重要意义.论文语言流畅,打印行文规范 ,是一篇创新型的毕业论文.该同学在作论文过程中，悟性好，爱钻研，能吃苦，独立性强.积分中值定理中n ξ的极限前 言改进后的积分中值定理指出，若)(x F n 在[,]a b 连续，则至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()(1,2)b n n n aF x dx F b a n ξ=-=⎰.此时n ξ取值于),(b a 内，但随n 的变化而变化，若lim n n ξ→∞存在，则lim n n ξ→∞有可能等于a ，或b .若这种情况出现，在应用积分中值定理求极限时应特别小心（见文[1]）.改进后的广义积分中值定理指出，若)(x F n 在[,]a b 连续，则至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()()(1,2)b bn n n aaF x g x dx F g x dx n ξ==⎰⎰ . 此时n ξ取值于),(b a 内，但随n 的变化而变化，若lim n n ξ→∞存在，则lim n n ξ→∞有可能等于a ，或b .若这种情况出现，在应用积分中值定理求极限时也应特别小心. 在文[2]中，讨论了改进后的积分中值定理中n ξ的极限并获得了几个基本结果，文[1]受文[2]的启发，讨论了改进后的广义积分中值定理中n ξ的极限，获得了两个基本结果.在本文中，我们改进了文[1]中的一个结果的条件，获得了文[1]中同样的结果，并讨论了其应用.1 积分中值定理定理1[]3（积分中值定理）若函数)(x f 在闭区间[,]a b 连续，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得()()()b af x dx f b a ξ=-⎰.定理2[]3（广义积分中值定理）若函数)(x f 与)(x g 在闭区间[,]a b 连续，且)(x g 在[,]a b 不改变符号，则至少存在一点],[b a ∈ξ，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.定理1和定理2表明，ξ在闭区间[,]a b 中取到，故就有可能取左端点a ，或取右端点b ，也有可能在开区间),(b a 中取到.2 改进后的积分中值定理定理3[][]4,5（积分中值定理）若函数)(x f 在闭区间[,]a b 连续，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得()()()b af x dx f b a ξ=-⎰.定理4[][]4,5（广义积分中值定理）若函数)(x f 与)(x g 在闭区间[,]a b 连续，且)(x g 在[,]a b 不改变符号，则至少存在一点),(b a ∈ξ，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰.定理3和定理4表明，ξ一定能在开区间),(b a 中取到.3 积分中值定理中n ξ的极限关于积分中值定理中n ξ的极限，在文[2]中，有下列结果： 定理5[]2 (1) 设)(x f 在[,]a b 是非负、严格递增连续函数，记)()(x f x F n n =，由改进后的积分中值定理，即由定理3，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()b n n n aF x dx F b a ξ=-⎰，则b n n =∞→ξlim .(2) 设)(x f 在[,]a b 是非负、严格递减连续函数，记)()(x f x F n n =，由改进后的积分中值定理，即由定理3，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()b n n n aF x dx F b a ξ=-⎰，则a n n =∞→ξlim .推论[]2 设)(x f 在[,]a b 是非负、连续函数，且在[,]a b 有唯一的最大值点0x ，)()(x f x F n n =，由改进后的积分中值定理，即由定理3，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()b n n n aF x dx F b a ξ=-⎰，则0lim x n n =∞→ξ.关于积分中值定理中n ξ的极限，在文[1]中，有下列结果： 定理6[]1 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、严格递减连续函数，则(1) )0(0)()(lim a b dxx g dx x g ban ba nn -<<=⎰⎰+∞→εε；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()()b bnn n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，则)()(lim a f f n n =∞→ξ.定理7[]1 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、严格递增连续函数，若存在[,]a b 上的非负、严格递减连续函数)(x h ，使得)0)(()(a b a h b g -<<+=-εεε，()()bbnn aag x dx h x dx =⎰⎰，则(1) ()lim0(0)()b n a b n nag x dxb a g x dxεε-→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()()b bn n n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，则)()(lim b f f n n =∞→ξ.关于积分中值定理中n ξ的极限，在本文中，我们去掉了定理7中“若存在[,]a b 上 的非负、严格递减连续函数)(x h ，使得)0)(()(a b a h b g -<<+=-εεε，()()b bn n aag x dx h x dx =⎰⎰”的条件，获得了定理7同样的结论.定理8 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、严格递增连续函数，则 (1) ()lim0(0)()b n a b n nag x dxb a g x dxεε-→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(b a n ∈ξ，使得()()()()b bnn n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim b f f n n =∞→ξ.证明：(1) 因为2()()0()()b b n n a ab b nnab g x dxg b dxg x dxg x dxεεεε----<≤⎰⎰⎰⎰2()()()()()()222n n b n nb b a g b b a g b g b dx g b εεεεεεεε-------≤=--⋅⎰ 2()()()2nb a g b g b εεεε⎛⎫⎪---= ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭，又 1)2()(0<⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛--<εεb g b g ，故0)2()(lim =⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∞→nn b g b g εε， 于是()lim0()b n a b n nag x dxg x dxε-→∞=⎰⎰.(2) 由于)(x f 在b 连续，则)(x f 在b 左连续，故0>∀ε，存在)0(0a b -<<>δδ，使得2)()(ε<-b f x f ，],[b b x δ-∈.又由广义积分中值定理，至少存在点),(b a n ∈ξ，),(δξ-∈'b a n ，),(b b n δξ-∈"， 使得()()()()b bnn n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，()()()()b b n n n a a f x g x dx f g x dx δδξ--'=⎰⎰，()()()()bbn n n b b f x g x dx f g x dx δδξ--''=⎰⎰.而 ⎰⎰⎰--+=b b n b an b an dx x g x f dx x g x f dx x g x f δδ)()()()()()(.故()()()()()()()()()()()()()()b b b n n n n n n aab b b n n n n a b b b nn n n aaf g x dx f g x dx f g x dxf g x dx f g x dx f g x dx f g x dxδδδδδδξξξξξξξ------'''=+'''=+''''+-⎰⎰⎰⎰⎰⎰⎰()()(()())()bb n n n n n aaf g x dx f f g x dx δξξξ-'''''=+-⎰⎰，所以()()()(()())()b n a nnnnb n ag x dxf f f fg x dxδξξξξ-'''''=+-⎰⎰，令 ()()b n a n b nag x dxk g x dxδ-=⎰⎰，则)(n f ξ=+")(n f ξ))()(("-'n n f f ξξn k ，故)(n f ξ)(b f -=+-")()(b f f n ξ))()(("-'n n f f ξξn k .从而n n n n n k f f b f f b f f ))()(()()()()("-'+-"≤-ξξξξ.因为)(x f 在[,]a b 上连续，故存在0>M ，使得M x f ≤)(，[,]x a b ∈.又因为由(1)知0lim =∞→n n k ，故N ∃>∀，0ε，当N n >∀时，有Mk n 4ε<，于是当N n >∀时，有εεεεεξ=+=⋅+<-22422)()(MM b f f n .因此)()(lim b f f n n =∞→ξ.推论1 设)(x f 在]2,0[π是连续函数，则(1) 2020sin lim0(0)2sin n n n xdxxdxπεππε-→∞=<<⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2,0(πξ∈n ，使得⎰⎰=2020sin )(sin )(ππξxdx f xdx x f n n n，且)2()(lim πξf f n n =∞→.推论2 设)(x f 在]0,2[π-是连续函数，则(1) 202cos lim0(0)2cos n n nxdx xdxεπππε--→∞-=<<⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)0,2(πξ-∈n ，使得0022()cos ()cos nn n f x xdx f xdx ππξ--=⎰⎰，且)0()(lim f f n n =∞→ξ.定理9 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、连续函数，且在[,]a b 有唯一的最大值点0x ，则 （I ）(1) 000()lim 0(0)()bn x b n nx g x dxb x g x dxεε+→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0b x n ∈ξ，使得()()()()b bn n n x x f x g x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim 0x f f n n =∞→ξ.（II ）(1) 000()lim 0(0)()x n a x n nag x dxx a g x dxεε-→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0x a n ∈ξ，使得00()()()()x x nn n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim 0x f f n n =∞→ξ.证明：因0x 是()f x 在[,]a b 唯一的最大值点，故()f x 在0[,]x b 严格递减，在0[,]a x 严格递增，于是由定理6和定理8分别有 （I ）(1) )0(0)()(lim 00εεε-<<=⎰⎰+∞→b dxx g dxx g b x nbx n n ；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0b x n ∈ξ，使得()()()()b bn n n x x f x g x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim 0x f f n n =∞→ξ.（II ）(1) 000()lim 0(0)()x n a x n nag x dxx a g x dxεε-→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0x a n ∈ξ，使得00()()()()x x n n n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim 0x f f n n =∞→ξ.推论1 设)(x f 在],0[π是连续函数，则 （I ）(1) 22sin lim0(0)2sinn n nxdxxdxππεπππε+→∞=<<⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),2(ππξ∈n ，使得⎰⎰=ππππξ22sin )(sin )(xdx f xdx x f n n n ，且)2()(lim πξf f n n =∞→.（II ）(1) 2020sin lim0(0)2sin n n n xdxxdxπεππε-→∞=<<⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2,0(πξ∈n ，使得220()sin ()sin nn n f x xdx f xdx ππξ=⎰⎰，且)2()(lim πξf f n n =∞→.推论2 设)(x f 在]2,2[ππ-是连续函数，则 （I ）(1) 220cos lim0(0)2cos n n n xdx xdxπεππε→∞=<<⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2,0(πξ∈n ，使得220()cos ()cos nn n f x xdx f xdx ππξ=⎰⎰，且)0()(lim f f n n =∞→ξ.（II ）(1) 222cos lim0(0)2cos n n n xdxxdxεππππε--→∞-=<<⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)0,2(πξ-∈n ，使得0022()cos ()cos nn n f x xdx f xdx ππξ--=⎰⎰，且)0()(lim f f n n =∞→ξ.定理10 设)(x f 在[,]a b 是连续函数，)(x g 在[,]a b 是非负、连续函数，且在[,]a b 有唯一最小值点0x ，则(I) (1) 000()lim0(0)()x n a x n nag x dx x a g x dxεε+→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0x a n ∈ξ，使得00()()()()x x n n n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim a f f n n =∞→ξ.(II) (1) 000()lim0(0)()b n x b n nx g x dxb x g x dxεε-→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0b x n ∈ξ，使得()()()()b bnn n x x f x g x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim b f f n n =∞→ξ.证明：因0x 是()f x 在[,]a b 唯一的最小值点，故()f x 在0[,]a x 严格递减，在0[,]x b 严格递增，于是由定理6和定理8分别有 (I)(1) 000()lim0(0)()x n a x n nag x dx x a g x dxεε+→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0x a n ∈ξ，使得00()()()()x x nn n aaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim a f f n n =∞→ξ.(II) (1) 000()lim0(0)()b n x b n nx g x dxb x g x dxεε-→∞=<<-⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点),(0b x n ∈ξ，使得()()()()b bnn n x x f x g x dx f g x dx ξ=⎰⎰，且)()(lim b f f n n =∞→ξ.推论1 设)(x f 在]2,1[是连续函数，则(1) 21211(1)lim 0(01)1(1)nx n nx dx x dxx εε-→∞+=<<+⎰⎰； (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2,1(∈n ξ，使得221111()(1)()(1)nx nx n f x dx f dx x xξ+=+⎰⎰，且)2()(lim f f n n =∞→ξ.证明：令xxx g )11()(+=，]2,1[∈x ，则 ⎪⎭⎫⎝⎛+-++='x x x x g x 11)11ln()11()(，]2,1[∈x .令xx x h +-+=11)11ln()(，]2,1[∈x ，则0)1(1)(2<+-='x x x h ，]2,1[∈x于是)(x h 在]2,1[严格递减，故)(x h 03123ln )1(>-=>h ，因此]2,1[,011)11ln()11()(∈>⎪⎭⎫⎝⎛+-++='x x x x x g x .故)(x g 在]2,1[严格递增，且02)1()(>=>g x g .所以我们有(1) 21211(1)lim 0(01)1(1)nx n nx dx x dxx εε-→∞+=<<+⎰⎰； (2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2,1(∈n ξ，使得221111()(1)()(1)nx nx n f x dx f dx x xξ+=+⎰⎰， 且)2()(lim f f n n =∞→ξ.同样我们有推论2 设)(x f 在]2,3[--是连续函数，则(1) 23231(1)lim 0(01)1(1)nx n nx dx x dxx εε----→∞-+=<<+⎰⎰；(2) 由广义积分中值定理，至少存在一点)2,3(--∈n ξ，使得223311()(1)()(1)nx nxn f x dx f dx x xξ----+=+⎰⎰， 且)2()(lim -=∞→f f n n ξ.参考文献[1] 郎开禄.积分中值定理注记[J].楚雄师范学院学报，2008，23（6）：7—15.[2] 裘兆泰，王承国，章仰文编.数学分析学习指导[M].北京：科学出版社，2004：223—226，272.[3] 华东师范大学数学系编.数学分析（上）[M].北京：高等教育出版社，2002：217—218. [4] 毛羽辉编著.数学分析选论[M].北京：科学出版社，2003：101—102.[5] 吴良森，毛羽辉，韩士安，吴畏编著.数学分析学习指导（上）[M].北京：高等教育出版社，2004:272.致 谢感谢郎开禄老师在我的论文选题及写作过程中给予悉心指导.。
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且f (1) 3 x2 f (x)dx。证明 1,3，使 2 2 f ( ) f ( ) 0
(2).设f (x)在2,4上可导,且
f (2) 4 (x 1)2 f (x)dx。 3
证明 2,4，使2 f ( ) (1 ) f ( )
1
3
cos2
dx x
3.
cos
1 x
dx 2
4.
sin x 1 sin
dx x
5.
sin cos x
x
dx 2
1
6.
sin
x
cos3
dx x
三、积分问题（三）
x4
1. 1 x2dx
1
2.
x(
1
x4
dx )
1
3.
x(
xn
dx 1)
1 x7
4.
x(
x7
1
dx )
f
(t) d t
d dx
a
f (t) d t
(x)
( x)
a
f
(t) d t
f [(x)](x) f [ (x)] (x)
例. 求 d x2 1 t 2 dt
dx 0
例.
求 d x3 1 dt
dx x2 1 t 4
例.
求 d cos x 1 t 2 dt
ln a
一、积分问题（一）
4.
1
x cos
2x
dx
5. x tan2 xdx
5
ln(1 x) dx (2 x)2
6.
arctan x x2 dx
7.
ex
sin 2
xdx 2
二、积分问题（二）
1 sin2 x
1.
dx
1 cos 2x
1
2.
dx sinx
例. 求
0 0
例. 确定常数 a , b , c 的值, 使
1
例.
t ln tdt cos x
lim
x0
x(arctan
x)3
例.
x (et2 1 t 2 )2 dt
lim 0
x0 t(arctan t)4
例.
例 设隐函数y y( x )由
x3 y2 et2 dt y 0确定, 求y( x ) 0
例
设f ( x )是 以T为 周 期 的 连 续 函 数 ， 证明 ：
对的x有
xT
T
f ( t )dt f ( t )dt
x
0
例 设f ( x )是 a,a内的连续函数，
证 明 若f ( x )为 奇 （ 偶 ） 函 数,则 x f ( t )dt 0 偶（奇）函数
例 设f ( x )是连续函数，f (1) 1
(8)
dx cos 2
x
sec2
xdx
tan x C
(9)
d sin
x
2
x
csc2
xdx
cot
xC
(10) sec x tan xdx sec x C (11) csc x cot xdx csc x C (12) ex dx ex C (13) a xdx a x C
1
5.
(x2
1)( x
dx 1)
四.积分问题(四)
1
1.
dx
x3 x
Байду номын сангаас
2.
dx (2 x) 1 x
x2 1
3.
dx
x
4.
dx
(2x2 1) x2 1
5. 1 ex dx
6. e 1x dx
7. cos xdx
积分中值定理与罗尔定理的应用
证明下列各题:
变上限积分问题
1.变上限积分问题
x
(x) a f (t) d t
x
(x) (a f (t) d t) f (x)
(被积函数中不含自变量x)
2.变限积分求导:
d (x)
dx a
f (t) d t
f
[ ( x)] ( x)
d
dx
( x) (x)
1
提 示 ： 去 证 明
0
f ( x )dx
0
f ( x )dx ,
1
x
即证 0
f ( x )dx 递减
x
不定积分问题
一，不定积分性质
(1)
d dx
f (x)d x
f (x)
或 d
f (x)dx
f (x)dx
(2) F(x) dx F(x) C 或 d F(x) F(x) C
二、 基本积分表
利用逆向思维
(1) kdx kx C
( k 为常数)
(2)
若 对的a ,b有 ab f ( t )dt与a无 关,求f ( x ) a
例.
例 .设f ( x )在0,1上连续，在0,1上可导
且f ( 0 ) 0, 0 f ( x ) 1
求
证
:
1 0
f(
x
)dx
2
1 f 3( x )dx
0
例.
1
0 f ( x )dx 0 f ( x )dx,
x dx
1
1
x
1
C
( 1)
(3)
dx x
ln
x
C
(4)
1
dx x
2
arctan
x
C
或 arccot x C
(5)
dx arcsin x C 1 x2
或 arccos x C
(6) cos xdx sin x C
(7) sin xdx cos x C