积分中值定理应用

计算 lim n sin x d x （ 为常数）．
n n
x
解答：
当 n 充分大后， n 0 ， sin x 在 n 和 n
x
为端点的区间上连续．由积分中值定理得
n sin x d x sin ，
n
x
由于 n 时， ，因此
lim n sin x d x 0 ．
n n
x
2
x ．
解题步骤2
由于 lim ln xn lim ln xn
x x 2
x x 2
lim nln x n1
x
x
lim n! 0 ．
x x
故 lim x ln t n lim ln n
x x
t2
xபைடு நூலகம்
2
lim ln xn 0 ．
x x 2
常见错误
不会利用积分中值定理去掉积分号，从而 无从下手．
求 lim n1 x2 ex2 d x ． n n
解答：
应用积分中值定理得
n1 x2 ex2 d x 2 e 2 n n 1 ， n
当 n 时， ，且由于
lim x2
x
ex2
lim
x
x2 e x2
2x lim
x 2x e x2
0，
故 lim n1 x2 ex2 d x lim 2 e 2 0 ．
n n
相关例题3
计算 lim n
1 0
xn 1 x4
d
x
．
解答：
由 0 x n x n 和定积分的单调性可得 1 x4
0
1 xn 0 1 x4 d x
1 xn d x 1 ．
0
n 1
由于 lim 1 0，故由夹逼准则可得 n n 1
lim
n
1 0
xn 1 x4
d
x
0．
相关例题4
题目
设常数 0 ，求
lim x ln tn d t n 1, 2, ．
x x t 2
解题方法1
先应用积分中值定理去掉积分号，进而用洛 必达法则求得极限．
解题步骤1
对任一 0 ，在区间 x, x 上，
f x ln xn 连续，故由积分中值定理知
x2
x
x
ln tn
dt t2
ln n ， x,
x
2x
2
位于 x 与 x a 之间，当 x 时， ．
相关例题1
由于
11
11
lim ax ln(1 sin ) a lim x( sin )
x
2x
x 2 x
a lim x 1 a ， x 2x 2
故 lim a ln(1 1 sin 1 ) a ，从而原式 a ．
2 2
2
相关例题2
方法总结
先利用积分中值定理除去积分号得一未定 式，再利用洛必达法则求出未定式的极限．
相关例题1
设 a 为常数，求
lim xa x ln(1 1 sin 1) d x ．
x x
2x
解答：
由于对任意的 x 0，函数 x ln(1 1 sin 1) 连 2x
续，故由积分中值定理
xa x ln(1 1 sin 1) d x a ln(1 1 sin 1 ) ，