二重积分及三重积分的计算

第一部分 定积分的计算
一、定积分的计算
例1 用定积分定义求极限.
)0(21lim 1>++++∞→a n
n a a a a n . 解 原式=⎰∑=⋅⎪⎭⎫ ⎝⎛=∞→1011lim a
a
n
i n x n n i dx =a a x a +=++1111
1.
例2 求极限 ⎰
+∞→10
2
1lim x
x n n dx . 解法1 由10≤≤x ，知n
n x x x ≤+≤
2
10，于是⎰
+≤1
2
10x x n ⎰≤1
n x dx dx .
而⎰1
0n
x ()∞→→+=+=+n n n x dx n 01111
01，由夹逼准则得⎰+∞→1021lim x
x n n dx =0.
解法2 利用广义积分中值定理
()()x g x f b
a
⎰
()()⎰=b
a
x g f dx ξdx （其中()x g 在区间[]b a ,上不变号），
().101111
2
1
2
≤≤+=
+⎰
⎰
n n n
n dx x dx x
x ξξ
由于11102≤+≤
n
ξ
，即
211n
ξ
+有界，
()∞→→+=⎰n n dx x n
0111
0，故⎰+∞→1021lim x x n
n dx =0. 注 （1）当被积函数为(
)22,x a x R +或()
22,a x x R -型可作相应变换.
如对积分()⎰++3
1
2
2
112x
x
dx
，可设t x tan =；
对积分
()0220
2>-⎰
a dx x ax x a
，由于()
2
222a x a x a x --=-，可设
t a a x s i n =-.
对积分dx e x ⎰
--2ln 0
21，可设.sin t e x =-
（2）()0,cos sin cos sin 2
≠++=⎰d c dt t
d t c t
b t a I π
的积分一般方法如下：
将被积函数的分子拆项，[分子]=A[分母]+B[分母]'，可求出2
2d c bd
ac A ++=
，
2
2d
c ad
bc B +-=
. 则积分 ()2
20
cos sin ln 2
cos sin cos sin π
π
πt
d t c B A dt t
d t c t d t c B A I ++=
+'
++=⎰
.ln
2
d
c B A +=
π
例3 求定积分()
dx x x x ⎰-1
2
1
1arcsin
分析 以上积分的被积函数中都含有根式，这是求原函数的障碍.可作适当变换，去掉根式. 解法1 ()
dx
x x x ⎰-1
2
1
1arcsin 2
t x x
t ==12
1212
11
2
1
2
arcsin arcsin arcsin 21arcsin 2t
t d t dt t
t ==-⎰⎰
.16
32
π= 解法2 ()dx x x x
⎰-1
2
1
1arcsin .16
3cos sin cos sin 2sin 2
24
22
4
2
πππ
ππ==⋅=⎰u du u u u
u u u x 小结 （定积分的换元法）定积分与不定积分的换元原则是类似的，但在作定积分换元()t x ϕ=时还应注意：
（1）()t x ϕ=应为区间[]βα,上的单值且有连续导数的函数； （2）换限要伴随换元同时进行；
（3）求出新的被尽函数的原函数后，无需再回代成原来变量，只要把相应的积分限代入计算即可.
例4 计算下列定积分
（1）⎰+=2031cos sin sin πx x xdx I ， dx x
x x I ⎰+=2032cos sin cos π
； （2）.
1cos 22
6
dx e x
x ⎰--+π
π
解 （1）⎰
+=20
31cos sin sin π
x
x xdx
I
)(sin cos cos 20
23du u
u u
u x -+-=⎰ππ
=.sin cos cos 2
23⎰=+π
I dx x
x x
故dx x
x x
x I I ⎰++==203321cos sin cos sin 21π
=()
4
1cos cos sin sin 21202
2-=+-⎰ππ
dx x x x x . （2）=I .1cos 22
6
dx e x
x ⎰--+π
π
()dx
e x
du e u
u x x u ⎰⎰--+=-+-=22
6
22
61cos 1cos π
π
π
π
⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+++=⎰⎰--2222661cos 1cos 21ππππdx e x dx e x e I x x
x
.32
5
2214365cos cos 21
206226πππ
ππ=⨯⨯⨯=
==⎰⎰-xdx
xdx
这里用到了偶函数在对称取间上的积分公式以及公式：
dx xdx n n
⎰
⎰=20
20
cos sin π
π
()()()()()()⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=⋅⨯-⨯--=⨯-⨯--=偶数奇数n n n n n n n n n n ,22
421331,
1322
431π
小结 （1）常利用线性变换把原积分化为可抵消或可合并的易于积分的形式。

积分区间为[0，a]时，设x a u =-;积分区间为[-a,a]时，设x u =-。

可使新的积分区间与原积分区间相同，以利于合并或产生原积分。

（2）利用例10.6(2)中同样的方法易得
()()()()()()
⎰
⎰+=+20
20cos sin cos cos sin sin π
π
dx x f x f x g dx x f x f x g
例5 设()x f 在[]π,0上具有二阶连续导数，()3='πf ，
且()()[]2cos 0
=''+⎰xdx x f x f π
，求().0f '
解 ()()[]xdx x f x f cos 0
⎰''+π
()()
()()()()()()2
0sin cos sin sin cos sin 0
00
00
='-'-='⋅+'+'⋅-='+=⎰⎰⎰⎰f f dx x f x x f x dx x f x x xf x f xd x d x f ππ
π
ππ
π
π
故 ()().53220-=--='--='πf f
小结 （1）定积分与不定积分的分部积分法有同样的选择dv u ,的原则； （2）当被积函数中含有抽象函数的导数形式时，常用分部积分法求解.
例6 计算定积分xdx n ⎰
π20
6sin （n 为自然数）.
解 x 6sin 是以π为周期的偶函数.
.85
22143654sin 4sin 2sin 220622
6
06
ππππ
πππ
n xdx n xdx n xdx n =⨯⨯⨯⋅====⎰⎰⎰-原式
例7 证明积分(
)()
⎰+∞
++=0
211α
x
x dx
I 与α无关，并求值. 解 (
)()
⎰
+∞
++=0
211α
x
x dx
I (
)()()()
⎰⎰∞+∞
+++=++=
020
211111ααααx
x dx
x t t dt t x t
，于是 ()()()()⎥⎦⎤⎢⎣⎡+++++=⎰⎰∞+022111121αααx x dx
x x x dx I .4arctan 21121002π==+=
∞
++∞⎰x x
dx ┃ 小结 收敛的广义积分的计算和证明依据与定积分完全类似的换元积分法和分部积分法.
二、含定积分的不等式的证明
例8 证明（1）2221
2
12
12
≤≤⎰
-
--dx e e x ；()*20sin 2sin >⎰
+tdt e x x
t π
.
证 （1）()2
x e
x f -=在⎥⎦⎤⎢⎣
⎡-21,21上连续，令()()022
=-='-x e x f x ，得0=x .
比较21
2121-=⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-e f f 与()10=f 的大小，知在⎥⎦⎤
⎢⎣⎡-21,21上的最大值为
()10==f M ，最小值为21
21-=⎪⎭
⎫
⎝⎛=e f m ，故
.221212121221
2
1
2
1
2
=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--≤≤⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=⎰---M dx e m e
x （2）由于t e t sin sin 以π2为周期， ()tdt e tdt e
x F t x x
t
sin sin 20sin 2sin ⎰⎰
=∆+π
π
.sin sin 2sin 0
sin tdt e tdt e t t ⎰⎰+=π
π
π
而 udu e t u tdt e u t sin 2sin 0
sin 2sin ⎰⎰---=π
ππ
π令
tdt e t sin 0
sin ⎰--=π
，
因为 ()0sin sin sin >--t e e t t ，().,0π∈t
所以 ()()0sin 0
sin sin >-=⎰-tdt e e x F t t π ┃
事实上，（2）中所给变上（下）限定积分与x 无关，仅为取正值的常数. 例9 设()x f 是[]1,0上单调减少的正值连续函数，证明 ()()dx x f dx x f ⎰⎰>β
α
ααβ0
().10<<<βα
证 利用积分中值定理，
()()dx x f dx x f ⎰⎰-β
α
ααβ0
()()()21ηαβαηαβf f --⋅= ()1,021<≤≤≤≤βηααη
()()[]()02221>+-=ηαηηαβf f f （因为()x f 递减取正值）.
即 ()()dx x f dx x f ⎰⎰>β
α
ααβ0
().10<<<βα ┃
例10 设()x f 在[]b ,0上连续且单调递增，证明：当b a ≤<0时，有 ()()().2
200dx x f a dx x f b dx x xf a
b b
a ⎰⎰⎰-≥
（10．1） 分析 将定积分不等式（10．1）视为数值不等式，可利用相应的函数不等式的证明方法证明。

将要证的不等式两端做差，并将b 换成u ，作辅助函数()u F ，即需证().0≥b F
证 作()()()()dx x f a dx x f u dx x xf u F u a
u
a ⎰⎰⎰+-
=002
2 ()b u a ≤≤， 则 ()()()()dx x f u uf u uf u F u
⎰--='0
2121
()()[]02
10≥-=
⎰u
dx x f u f （因为()x f 递增，()()0≥-x f u f ） 于是，由拉格朗日中值公式，有
()()()()()().0≥-'=-'+=a b F a b F a F b F ζζ ().b a <<ζ
即式（10．1）成立.
例11 设()x f '在[]b a ,上连续，且()0=a f ，证明
()()().max ,2
2
x f M a b M dx x f b x a b
a
'=-≤≤≤⎰
分析 利用条件，生成改变量，借助于拉格朗日中值公式估计().x f
证 因为()x f '在[]b a ,上连续，故有界，即存在0>M ，使()M x f ≤'，[]b a x ,∈ ()()()()()(),a x M f a x a f x f x f -≤'-=-=ξ 故
()()dx x f dx x f b
a
b a
⎰⎰≤
()().2
2a b M dx a x M b
a
-⋅
=-≤⎰ ┃ 例12 设()x f 在[]a ,0上二阶可导，且()0≥''x f ，证明
().20
⎪⎭
⎫
⎝⎛≥⎰a af dx x f a
分析 已知()x f 二阶可导，可考虑利用()x f 的一阶泰勒公式估计()x f ；又所证
的不等式中出现了点2a ，故考虑使用2
0a
x =处的泰勒公式. 证 ()x f 在
2
a
处的一阶泰勒公式为 ()()2
22222⎪⎭⎫ ⎝⎛-''+⎪⎭⎫ ⎝⎛
-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛=a x f a x a f a f x f ！ξ，
其中，ξ在x 与
2
a
之间.利用条件()0≥''x f ，可得 ()⎪⎭⎫ ⎝
⎛
-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥222a x a f a f x f ，
两边从0到a 取积分，得
().222200
⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛'+⎪⎭⎫ ⎝⎛≥⎰⎰
a af dx a x a f a af dx x f a a
┃
小结 关于含定积分的不等式的证明，常用的有两种方法： （1） 利用定积分的保序性； （2） 利用积分上限函数的单调性.
三、定积分的应用
例13 求由曲线()0>=a a xy 与直线a x a x 2,==及0=y 所围成的图形分别绕x 轴、y 轴及1=y 旋转一周所成的旋转体的体积.
xy=a
图11—8
y
x
O
F G B
A
C(2a,0.5)D(a,1)
解 （1）绕x 轴旋转，积分变量为[]a a x x 2,,∈ .2122
a dx x a V a
a
ππ=⎪⎭
⎫
⎝⎛=⎰
（2）绕y 轴旋转 （3）绕y ＝1旋转
解法1 取y 为积分变量，[]1,0∈y ，直线a x =及a x 2=和双曲线a xy =的交点D 及C 的纵坐标分别为1=y 和2
1
=
y .设平面图形CDFG ，BCGO 及ADFO （见图11—8）绕y 轴旋转而成的立体的体积分别为21,V V 和3V ，则所求旋转体的体积为 321V V V V -+=
().2222
221
212
a a a dy y a ππππ=-+⎪⎪⎭⎫ ⎝
⎛=⎰ 解法2 取y 为积分变量，[]1,0∈y ，将[]1,0分成两部分区间：⎥⎦⎤⎢⎣⎡21,0和⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1,21.
在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡21,0上，体积元素为 ()()[]
.3222
2
1dy a dy a a dV ππ=-=
在⎥⎦
⎤
⎢⎣⎡1,21上，体积元素为 .11222
22dy y a dy a a dV ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡-⎪⎭⎫ ⎝⎛=πππ 故所求体积为
dy y a dy a V ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛-+=⎰⎰1132121221
2ππ
.22
1
23222a a a πππ=+=
解法3 选x 为积分变量，[]a a x 2,∈.将旋转体分割成以y 轴为中心的圆柱形薄壳，以薄壳的体积作为体积元素，这一方法称为柱壳法.对应于区间[]x x x ∆+,的窄曲边梯形可近似地看做高为x
a
y =，宽为dx 的举矩形，它绕y 轴旋转而成的圆柱形薄壳的体积，即体积元素为
.2dx x
a
x dV ⋅=π
因此有 .222222a adx dx x
a
x V a a a a πππ==⋅=⎰⎰
（3）绕1=y 旋转
选x 为积分变量，[]a a x 2,∈.
体积元素为 dx x a dV ⎥⎥⎦⎤
⎢⎢⎣
⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=2211π
所求体积为 ⎰⎰
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛-=⎥⎥⎦
⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎭⎫ ⎝⎛--=a a a
a
dx x a x a dx x V 2222222911ππ .212ln 21ln 222⎥⎦⎤⎢⎣
⎡
-=⎥⎦⎤⎢⎣⎡⋅+=a x a x a a
a π
小结 （1）在直角坐标系中求旋转体体积时，被积函数总是正的，定限时要注意积分下限一定小于上限.
（2）选取哪个变量作为积分变量，才能使运算更为简便，要根据具体问题，灵活选取.一般地若xOy 平面中的平面图形D 是由曲线()()x y x y 21,ϕϕ==
()()()x x 12ϕϕ>与直线b x a x ==,所围成，则分别绕x 轴、y 轴旋转所得旋转体体积
为
()()[
]
()()[]⎰⎰-=-=b
a
y b
a
x xdx x x V dx
x x V .
2122
12
2ϕϕπϕϕπ
第二部分 二重（三重）积分
一、重积分的计算及技巧总结
计算二重积分的基本方法是化为二次积分，其关键是确定积分次序和确定积分限.所遵循的原则是：
1． 直角坐标系下确定积分次序的原则
（1）函数原则
内层积分能够求出的原则.
例如()()2
,y e x g y x f =一定应先对x 积分，后对y 积分.
例如()()y g x
y
y x f cos ,=一定应先对y 积分，后对x 积分.
（2）区域原则
若积分区域为Y 型（即用平行于x 轴的直线穿过区域D ，它与D 的边界曲线相交最多为两个点），应先对x 积分，后对y 积分.
若积分区域为X 型（即用平行于y 轴的直线穿过区域D ，它与D 的边界曲线相交最多为两个点），应先对y 积分，后对x 积分.
若积分区域既为X 型区域，又为Y 型区域，这时在函数原则满足的前提下，先对x 积分或先对y 积分均可以；在这种情况下，先对哪个变量积分简单，就先采用该积分顺序.
（3）少分块原则
在满足函数原则的前提下，要使分块最少，从而计算简单. 2．直角坐标系下化二重积分为二次积分时，确定积分限的原则 （1）每层积分的下限都应小于上限.
（2）一般而言，内层积分限可以是外层积分变量的函数，也可以是常数. （3）外层积分限必须为常数.
3．当二重积分的积分域D 为圆域、扇形域或圆环域，被积函数具有22y x +的函数形式，即()()22,y x f y x g +=时，可考虑用极坐标计算该二重积分.用极坐标计算二重积分一般均采用先r 后θ的积分次序. 4．极坐标下积分限的确定 当极点在积分域D 之外时 ()()()
()
⎰
⎰⎰⎰=θθβ
α
θθθσ21.sin ,cos ,r r D
rdr r r f d d y x f
当极点在积分域D 的边界曲线上时 ()()()
⎰
⎰⎰⎰=θβ
αθθθσr D
rdr r r f d d y x f 0
.sin ,cos ,
当极点在积分域D 内时 ()()()⎰
⎰⎰⎰=θπ
θθθσr D
rdr r r f d d y x f 0
20.sin ,cos ,
()()()
()
⎰
⎰⎰⎰=θθπ
θθθσ21.sin ,cos ,20
r r D
rdr r r f d d y x f
小结化二重积分为二次积分的关键在于确定二次积分的上、下限.
确定积分限采用穿线法，若先对y后对x积分，则将积分区域投影在x轴上，可得x的变化范围.再过固定的x点作一平行于y轴的直线从下向上穿过区域D，则可得到y的变化范围.从而可将积分域D用不等式组表示出来，这种确定上、下限的方法比较直观.二重积分化为二次积分，一般而言，内层积分的上、下限是外层积分变量的函数或者常数，而外层积分的上、下限一定为常数.
小结极坐标系下化二重积分为二次积分一般选择的积分次序是先r后θ，定限时仍采用“穿线法”。

为确定θ的变化范围，从极点出发作射线穿过区域D，并使射线沿逆时针方向转动，射线与积分域D开始接触时的θ角即为θ的下限，离去时的θ角即为上限；又由于极径0
r，穿入时碰到的D的边界曲线()θ1r为下限，穿
≥
出时离开的D的边界曲线()θ2r为上限.
小结计算二重积分时，选择坐标系和积分次序是非常重要的，它不但影响到计算的繁简，甚至还会影响到计算能否进行下去.选择坐标系要从积分域D的形状和被积函数的特点两个方面来考虑，为便于记忆，现列表18—1表示.
表18—1
小结利用被积函数的奇偶性及积分区域的对称性，常常使二重积分的计算简化许多，避免容易出错的繁琐计算，而且使一些无法直接积分的问题得以解决.但必须注意：利用这种方法，计算时一定要同时兼顾被积函数的奇偶性和积分区域的对称性两个方面，否则就会导致错误.
小结 计算绝对值函数的积分，一般应先将积分区域分块，将被积函数分段表示，以去掉绝对值符号，然后利用二重积分关于积分区域的可加性，进行分块计算，最后把计算结果相加.
5．计算三重积分时，有一种称为“先二后”一的算法，什么样的情况适合选用这种算法？
“先二后一”法是计算三重积分的一个很有效的方法，该方法通过计算一个二重积分和一个定积分来得到结果.在有些场合下，其中的二重积分是不需要计算的，因此大大简化了计算三重积分的计算量和难度. “先二后一”方法是这样的：
如果域Ω界于平面1c z =和2c z =()21c c <之间，用任一平行于xOy 面的平面z z =去截域
Ω)(21c z c ≤≤得平面区域()z D ，则有()()()
⎰⎰⎰⎰⎰⎰Ω=z D c c d z y x f dz dV z y x f σ,,,,2
1.当被积函数()z y x f ,,仅是z 的函数，而截得的区域()z D 的面积很容易求得时，特别合用“先二后一”方法.
小结 用不等式组表示空间区域Ω的“穿线法”是这样进行的：假设空间区域Ω向xOy 面投影得到的投影区域是xy D ，过xy D 中任一点由下向上作平行于z 轴的直线穿过空间区域Ω时可以碰到两个曲面：穿入时碰到的曲面()y x f z ,1=和穿出时离开的曲面()y x f z ,2=，于是变量z 的变化范围是()()y x f z y x f ,,21≤≤，()xy D y x ∈,，然后再根据区域Ω在xOy 面上的投影区域xy D 确定变量y 与x 的变化范围.当然，用“穿线法”时，也可以将空间区域Ω向yOz 面或zOx 面投影，分析方法类似.由于计算三重积分时首先要将三重积分化为三次积分，而化三重积分为三次积分的第一步就是用不等式组表示空间区域，因此，学会用不等式组表示空间区域是非常重要的。

小结 三重积分的计算，可化为先计算一个定积分再计算一个二重积分（或先计算一个二重积分再计算一个定积分），从而也化为计算三个定积分的问题，因此，其计算步骤与二重积分相似：
（１）作出积分区域的草图，根据其特点和被积函数的特点，选择适当的坐
标系极适当的积分次序；
（２）确定积分区域在某一坐标面上的投影区域，找出投影区域的边界曲线方程；
（３）确定积分限，化为三次积分；
（４）计算积分．
可见，三重积分计算，其关键仍是正确确定积分分限，而画好积分区域的图形则有助于正确地确定积分限．。