第一节二重积分的概念与性质
11高数第十一章
将薄片分割成若干小块， y 取典型小块，将其近似
(i ,i )
看作均匀薄片， 所有小块质量之和 近似等于薄片总质量
i
o
n
x
M lim 0
(i ,i ) i .
i 1
一、二重积分的概念
定义 设 f ( x, y) 是有界闭区域D 上的有界 函
数，将闭区域D 任意分成n 个小闭区域 1 ，
2 , ， n ，其中 i 表示第i 个小闭区域，
记为 f ( x, y)d ，
D
n
即
D
f
( x,
y)d
lim
0 i1
f
(i ,i ) i.
积被 积 分积 分 区函 变 域数 量
被面 积积 积 表元 分 达素 和 式
在直角坐标系下，用平行于坐标轴的直线族把 D分成一些小区域，这些小区域中除去靠D的边界 的一些不规则小区域外，绝大部分都是小矩形，
z f (x, y)
A(x0 )
y 2(x)
x
b
x0 a
得
f ( x, y)d
b
dx
2 ( x) f ( x, y)dy. y 1(x)
D
a
1( x)
如果积分区域为： c y d , 1( y) x 2( y).
［Y－型］
d
x 1( y) D x 2( y)
c
d
x 1( y)
也 表 示 它 的 面 积 ， 在 每 个 i 上 任 取 一 点
(i ,i )，
作乘积 f (i ,i ) i ，
(i 1,2,, n)，
n
并作和 f (i ,i ) i ，
i 1
如果当各小闭区域的直径中的最大值 趋近于零
二重积分的概念及性质
积分对变量的可加性
定义
如果f(x,y)在平面上是可积的，那么对于任 意的a和b，有 ∫∫Df(x,y)dσ=∫a→bf(x,y)dσ+∫∫Df(x,y)dσ， 其中D是包含在区间[a,b]内的可积区域。
应用
该性质可以用于计算二重积分，特别是当被 积函数与某个变量的关系较为简单时。
04 二重积分的物理应用
个小弧段进行积分，然后将结果相加得到总长度。
平面曲线的曲率与挠率
曲率
曲率是描述曲线弯曲程度的量，可以 通过二重积分计算出曲线的曲率。
挠率
挠率是描述曲线在垂直方向上的弯曲 程度的量，也可以通过二重积分计算 出曲线的挠率。
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积分区域的可加性
定义
如果D1和D2是平面上互不相交的可积区域，则它们分别上的二重积分之和等于它们并集上的二重积分。 即，如果D=D1∪D2，则∫∫Df(x,y)dσ=∫∫D1f(x,y)dσ+∫∫D2f(x,y)dσ。
应用
该性质可以用于简化复杂的积分区域，将复杂区域分解为简单区域进行计算。
积分对区域的可加性
转换坐标
将被积函数从直角坐标转换为极坐标形式，即$x = rhocostheta$，$y = rhosintheta$。
分层积分
将极坐标下的二重积分拆分成两个累次积分，即先对角度积分再对极径积分。
逐个计算
对每个角度范围，计算其在极径上的积分值，并求和。
得出结果
将所有角度范围的积分结果相加，得到整个极坐标区域上的二重积分值。
二重积分的概念及性质
目录
• 二重积分的定义 • 二重积分的计算方法 • 二重积分的性质和定理 • 二重积分的物理应用 • 二重积分的数学应用
二重积分极坐标与直角坐标系转换
二重积分极坐标与直角坐标系转换二重积分是微积分中的重要概念，它在数学和物理等领域中有广泛的应用。
在求解二重积分时，可以选择使用直角坐标系或极坐标系进行计算。
本文将介绍二重积分的概念和性质，并对直角坐标系和极坐标系下的二重积分进行转换和计算。
第一部分：二重积分的概念和性质二重积分是对二元函数在某个区域上的积分。
可以将二重积分看作是在平面上对函数进行求和的过程。
在直角坐标系下，二重积分的计算可以通过分割区域为小矩形，并对每个小矩形的面积乘以函数值进行求和来实现。
而在极坐标系下，二重积分的计算可以通过分割区域为小扇形，并对每个小扇形的面积乘以函数值进行求和来实现。
二重积分具有以下性质：1. 线性性质：二重积分具有线性性质，即对于常数a和b，有∬(af(x, y) + bg(x, y))dxdy = a∬f(x, y)dxdy + b∬g(x, y)dxdy。
2. 区域可加性：如果将一个区域分割成两个不相交的子区域，则二重积分可以分别在这两个子区域上进行计算，然后将结果相加。
3. 积分交换性：如果被积函数f(x, y)在闭区域D上连续，那么可以交换积分次序，即∬f(x, y)dxdy = ∫[a,b]∫[c,d]f(x, y)dydx = ∫[c,d]∫[a,b]f(x, y)dxdy。
第二部分：直角坐标系和极坐标系下的二重积分转换在实际计算中，有时候在直角坐标系下计算二重积分比较复杂，而在极坐标系下计算则相对简单。
因此，我们可以将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分来简化计算。
对于直角坐标系和极坐标系下的二重积分转换，有如下关系：1. 直角坐标系到极坐标系的转换：x = rcosθy = rsinθdxdy = rdrdθ2. 极坐标系到直角坐标系的转换：r = √(x^2 + y^2)θ = arctan(y/x)dxdy = r dr dθ通过以上转换，我们可以将直角坐标系下的二重积分转换为极坐标系下的二重积分，从而简化计算。
第一节二重积分的概念与性质
第⼀节⼆重积分的概念与性质第⼀节⼆重积分的概念与性质学习指导１．教学⽬的：使读者理解⼆重积分的概念与性质。
２．基本练习：熟悉⼆重积分的⼏何、物理背景。
熟悉⼆重积分的性质。
3．应注意的事项：⼆重积分是⼆元函数乘积和式的极限，是定积分的推⼴，因此从引例到研究⽅法，从定义到性质都是类似的，读者要善于⽐较，触类旁通，温故⽽知新。
第⼀节⼆重积分的概念与性质⼀、⼆重积分的概念1. 曲顶柱体的体积（1）曲顶柱体（2）曲顶柱体的体积现在我们来讨论如何定义并计算上述曲顶柱体的体积V。
平顶柱体的体积2. 平⾯薄⽚的质量(1) 问题的提出(2) 均匀薄⽚的质量(3) ⾮均匀薄⽚质量的计算⽅法(4) ⼆重积分的定义上⾯两个问题的实际意义虽然不同，但所求量都归结为同⼀形式的和的极限。
在物理、⼒学、⼏何和⼯程技术中，有许多物理量或⼏何量都可以归结为这⼀形式的和的极限。
因此我们要⼀般的研究这种和的极限，并抽象出下述⼆重积分的定义。
定义设是有界闭区域上的有界函数.将闭区域任意分成个⼩闭区域其中表⽰第个⼩闭区域，也表⽰它的⾯积。
再每个上任取⼀点，作乘积，并作和。
如果当个⼩闭区域的直径中最⼤值趋于零时，这和的极限总存在。
则称此极限为函数在闭区域上的⼆重积分，记作，即。
（1）叫做被积函数，叫做被积表达式，叫做⾯积元素，与叫其中积分变量，叫做积分区域，叫做积分和。
(5) 直⾓坐标系中的⾯积元素在⼆重积分的定义中对闭区域的划分是任意的，如果在直⾓坐标系中⽤平⾏于坐标轴的直线⽹来划分，那么除了包含边界点的⼀些⼩闭区域外，其余的⼩闭区域都是矩形闭区域。
设矩形闭区域的边长为和，则。
因此在直⾓坐标系中，有时也把⾯积元素记作。
⽽把⼆重积分记作其中叫做直⾓坐标系中的⾯积元素。
(6) ⼆重积分的存在性这⾥我们要指出，当在闭区域上连续时，式右端的和的极限必定存在，也就是说，函数在上的⼆重积分必定存在。
我们总假定函数在闭区域上连续，所以在上的⼆重积分都是存在的，以后就不在每次加以说明了。
二重积分知识点
二重积分知识点一、引言二重积分是高等数学中的重要内容，是对二元函数在有限区域上的积分运算。
二重积分的概念与求解技巧是深入理解、掌握多元函数的必备工具，也为解决实际问题提供了数学方法。
本文将从二重积分的概念、性质、计算方法和应用等方面，全面详细地介绍二重积分的知识点。
二、概念1. 二重积分的定义设f (x,y )在闭区域D 上有定义，D 由有向闭曲线C 围成，且f (x,y )在D 上有界。
若存在数I ，对于任意给定的正数ε，都存在正数δ，使得对于D 内任意满足Δσ<δ的任意分割σ，对应的任意代点ξij ，总有|∑∑f mj=1n i=1(ξij )Δσij −I|<ε则称I 为函数f (x,y )在闭区域D 上的二重积分，记作I =∬f D(x,y )dσ其中，Δσij 表示第(i,j )个小区域的面积，Δσ表示整个区域D 的面积。
2. 二重积分的几何意义二重积分的几何意义是对二元函数在闭区域上的面积进行逐点求和，即将闭区域D 分割成无穷多个小面积区域，并对每个小面积区域上的函数值进行乘积再求和，最终得到二重积分。
三、性质1. 线性性质设闭区域D上有二重积分∬fD(x,y)dσ，若c为常数，则有∬(cf(x,y)) D dσ=c∬fD(x,y)dσ∬(f(x,y)±g(x,y)) D dσ=∬fD(x,y)dσ±∬gD(x,y)dσ2. 区域可加性设闭区域D可分为非重叠的两部分D1和D2，则有∬fD (x,y)dσ=∬fD1(x,y)dσ+∬fD2(x,y)dσ3. Fubini定理（累次积分）设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则有∬f D (x,y)dσ=∫(∫fβ(x)α(x)(x,y)dy)badx=∫(∫fδ(y)γ(y)(x,y)dx)dcdy其中，(x,y)∈D,α(x)≤y≤β(x),γ(y)≤x≤δ(y)。
4. 值定理设函数f(x,y)在闭区域D上一致连续，则存在(ξ,η)∈D，使得∬fD (x,y)dσ=f(ξ,η)∬dDσ=f(ξ,η)σ(D)其中，σ(D)表示闭区域D的面积。
高数-二重积分的概念与性质
D
D
D
所以又有不等式
| f ( x , y )d | | f ( x , y )| d
D
D
例 1：比较积分 ln( x y)d 与[ln( x y)]2 d 的大小,
D
D
其中 D 是三角形闭区域, 三顶点各为(1,0),(1,1), (2,0).
y
解 三角形斜边方程 x y 2
1
在 D 内有 1 x y 2 e ,
•
i
1：用一组曲线网将 D 任意分成 n 个小闭区域：
1 , 2 , , n .
将曲顶柱体分成 n 个小曲顶柱体
以 V i 表示以 i 为底的第 i 个小曲顶柱体的体积
y
V V 1 V 2 V n
n
i
Vi
i1
0
x
2：近似计算 V i 和 V 的体积
Vi f ( i , i ) i
D
D
性质3：二重积分的可加性：如果积分区域 D 被
一曲线分成两部分 D1 和 D 2 ，则
f (x, y) d
y
D
D D1 D2
f (x, y) d f (x, y) d
D1
D2
0
x
性质4：如果在区域 D 上总有，f ( x , y ) 1 ,
是 D 的面积，则
1 d d
设有一平面薄片，占有 xoy面上的闭区域 D ，
在点( x, y)处的面密度为 ( x, y)，
假定 ( x, y)在 D 上连续，平面薄片的质量为多少？
将薄片分割成若干小块（ n），
取典型小块，将其近似看作均匀薄片，
每个小块的质量近似为
y
Mi (i ,i ) i
0901二重积分的概念与性质
三、二重积分的性质 ◆二重积分与定积分有类似的性质:
性质１ 当k为常数时，
kf ( x , y )d k f ( x , y )d .
D D
性质２
[ f ( x , y ) g( x , y )]d
D
f ( x , y )d g( x , y )d .
提示 : 利用积分中值定理 .
四、小结与教学基本要求:
◆理解： ◆二重积分的定义 （和式的极限）
◆二重积分的几何意义（曲顶柱体的体积） ◆二重积分的性质
习题 9-1 // P78:
2, 4(1), 5(4)
(2) 近似:
Vi f ( i ,i ) i .
o
D
(3) 求和:
y
i
x
n n i 1 i 1
( i ,i )
V Vi f ( i ,i ) i .
n
(4) 取极限: V lim f ( i ,i ) i . V f ( x , y )d . 0
D D
思考题
◆ 设函数z f ( x , y )在Dr {( x , y ) | x 2 y 2 r 2 }上连续,
1 证明 : (1) lim f ( x , y )dxdy 0; r 0 r Dr 1 ( 2) lim 2 f ( x , y )dxdy f (0,0). r 0 r Dr
1 e e
0 x2 y2
e
a2
பைடு நூலகம்
,
a2
1 e
D
x2 y2
d e
,
a2
ab e
D
( x2 y2 )
高数 第六章-重积分-二重积分(第1-2节)
∫∫ 3．积分 3 1 − x 2 − y 2 dxdy 有怎样的符号, 其中 D : x 2 + y 2 ≤ 4. D
4.利用二重积分的性质估计下列积分的值:
∫∫ (1) I = (x2 + 4 y2 + 9) dσ , 其中=D {(x, y) x2 + y2 ≤ 4} ； D
闭区域;
(4)
∫∫
D
sin x
x
dxdy
,
其中 D 是由 y =
x,
y= x, 2
x = 2 所围成的闭区域；
(2) ∫∫| y − x2 | dxdy, 其中 D 为 −1 ≤ x ≤ 1, 0 ≤ y ≤ 1； D
3
(5) ∫∫ (x2 + y2 − x)dxdy , 其中 D 是由 y = 2 , y = x , y = 2x 所围成 D
π
dx
0
sin x −sin x
f (x, y)dy ;
2
4
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
∫ ∫ (4)
1
dy
y f (x, y)dx ;
0
y
2
2y
∫ ∫ (5) dy f (x, y)dx ;
0
y2
3. 将下列积分表示为极坐标形式下的二次积分:
{ } ∫∫ (1) f (x, y)dσ , 其= 中 D (x, y) | x2 + y2 ≤ 4x ; D
x − 3y = 0, y − 3x = 0 所围成的平面闭区域.
(3)
∫∫D
1+
1 x2 +
y2
dxdy
,
高等数学：第一讲 二重积分的定义与性质
o
x
D
•
y
(i ,i )
则称 f ( x, y) 可积 , 称 I 为 f ( x, y) 在D上的二重积分.
i
积分和
二重积分的定义
被积函数 积分区域
积分表达式
x , y 称为积分变量
面积元素
二重积分的定义
注1： 若用平行坐标轴的直线来划分区域 D ，则有 y
因此，面积元素 常记作 d x d y, 二重积分记作
D f ( x, y)dxd y.
O
注2： 对比曲顶柱体体积的求法和二重积分的定义可知
V D f ( x, y)d D f ( x, y)d x d y
D i
x
二、二重积分的性质
性质1
k f (x, y)d k f (x, y) d ( k 为常数)．
D
D
性质2
[ f (x, y) g(x, y)]d
例1
利用二重积分的性质，比较下列二重积分的大小：
I1 x y2 d x d y, I2 x y3 d x d y
D
D
其中D是由 x 轴，y 轴以及直线 x y 1 围成，
则 I1 _____ I2 . y 1 x y 1
D
O
1x
二重积分的保号性
0 x y1
( x y)2 ( x y)3
二重积分的 定义与性质
一、二重积分的定义
定义: z f ( x, y)是定义在有界闭区域 D上的有界函数 ，将区域 D 任意
z
分成 n 个小闭区域
f (i ,i ) •
z f (x, y)
任取一点 (i ,i ) i
记
ห้องสมุดไป่ตู้
二重积分的概念-与性质
D
中值定理的几何意义：当 f (x ，y) 0 时，曲顶柱体的体积等于以 D 为底，以 D 上某点 ( ，) 处的值 f ( ，) 为高的平顶柱体的体积．
1.3 二重积分的性质
性质 8（偶倍奇零）
（1）设 f (x ，y) 在有界闭区域 D 上连续，区域 D 关于 x 轴对称．那么，当 f (x ，y)
f (x ，y)d f (x ，y)dxdy ．
D
D
其中， dxdy 称为直角坐标系中的面积元素．
结论 在 xOy 平面有界闭区域上定义的二元连续函数是可积的．
1.2 二重积分的几何意义
在 xOy 平 面 的 有 界 闭 区 域 D 上 ， 如 果 有 界 函 数 f (x ，y) 0 ， 则 二 重 积 分
对于平顶柱体，其体积等于底面积乘以高．对于曲顶柱体， 其高度 f (x ，y) 是 x，y 的函数，即曲顶柱体的高度不是常数，所 以不能用计算平顶柱体体积的公式来计算曲顶柱体的体积．那么 如何解决这个问题呢？我们可以用之前求曲边梯形面积的方法来 试试，具体过程如下．
1.1 二重积分的概念
（1）分割：用任意一组曲线网把区域 D 分割为 n 个小闭区域 i (i 1，2， ，n) ， 小闭区域的面积记作 i (i 1，2， ，n) ，小闭区域 i 上任意两点间距离的最大值称为 该小闭区域的直径，记为 di (i 1，2， ，n) ，每个小闭区域对应着一个小的曲顶柱体， 它们的体积记作 Vi (i 1，2， ，n) ．
（3）如果 D 关于原点对称， (x ，y) D ，则有
0 ，
f (x ， y) f (x ，y) ，
f (x ，y)d
D
2
二重积分的概念与性质
m
1 e0
ex2 y2 ea2
M
e d ( x2 y2 ) ea2
D
ab e d ( x2 y2 ) abea2
D
22
第23页/共32页
二重积分的概念与性质
性质6(二重积分中值定理) 设f ( x, y)在闭区域
D上连续,σ为D的面积, 则在D上至少存在一点
( ,), 使得
存在.
f ( x, y)d
D
连续函数一定可积
注 今后的讨论中, 都假定被积函数在相应的 积分区域内总是连续的.
14
第15页/共32页
二重积分的概念与性质
3. 二重积分的几何意义
(1) 当 f ( x, y) 0时,二重积分是柱体体积; (2) 当 f ( x, y) 0时,二重积分是柱体体积的负值; (3) 当f ( x, y)在D上的若干部分区域上是正的, 而在其它的部分区域上是负的. 那末, f ( x, y) 在D上的二重积分就等于 这些部分区域上的 柱体体积的代数和.
( A) I1 I2 .
(B) I1 I2.
(C ) I1 I2.
(D) 无法比较.
y x y1
1•
(2,1)
•
• •
o 12
( x, y) D, x y 1,
( x y)2 ( x y)3.
x
20
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二重积分的概念与性质
性质5(估值性质) σ为D的面积, 则
设f (x, y) g(x, y) ( x, y) D,
三、二重积分的性质
(二重积分与定积分有类似的性质)
性质１ 设、 为常数, 则
[f ( x, y) g( x, y)]d
第一讲二重积分三重积分
(5)如果积分区域D关于原点对称，关于原点 对称的两部分为 D1和 D 2
D
0, f ( x , y ) f ( x , y ) f ( x , y ) d 2 f ( x , y ) d ， f ( x , y ) f ( x， y ) D 1
1. k f ( x, y )d k f ( x, y ) d ( k 为常数) D
D
3. f ( x, y )d
D
D1
f ( x, y ) d
D2
f ( x, y ) d
为D 的面积, 则
1 d d
D1
( B ) 4 ( x y c o s x s in y ) d x d y
D1
(C ) 2
D1
xydxdy
(D )
0
第二节
第九章
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分
二、利用极坐标计算二重积分
*三、二重积分的换元法
机动
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结束
一、利用直角坐标计算二重积 分
若D为 X – 型区域
22
13 18 30 27
4
12 12
2004
4
4
12
20
第九章
重 积 分
一元函数积分学 重积分 多元函数积分学 曲线积分 曲面积分
第一节 二重积分的概念与性质
一、二重积分的定义与可积性 二、二重积分的性质
第九章
三、二重积分的应用
机动
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结束
一定义 如果 f ( x, y ) 在D上可积,
第一节 二重积分的概念与性质
第九章 重积分大纲要求1．理解二重积分、三重积分的概念，了解重积分的性质，了解二重积分的中值定理2．掌握二重积分（直角坐标、极坐标）的计算方法，会计算三重积分（直角坐标、柱面坐标、球面坐标）3．会用重积分求一些几何量与物理量（平面图形的面积、体积、质量、重心、转动惯量等）第一节 二重积分的概念与性质㈠ 本课的基本要求掌握二重积分的定义和性质㈡ 本课的重点、难点二重积分的定义本课的重点，二重积分的几何意义为本课的难点㈢ 教学内容一．两个实际问题1．曲顶柱体的体积曲顶柱体是指底为xoy 平面上的有界闭区域D ，侧面是以D 的边界曲线为准线而母线平行于z 轴的柱面，顶是由二元连续函数）（假定0),(),(≥=y x f y x f z 表示的曲面围成的立体。
问题：求曲顶柱体的体积V ？ 图① 分割 将区域D 任意分成n 个小区域n i i ,2,1}{=∆σ，i σ∆表示第i 个小区域的面积，以每个小区域i σ∆为底，以它的边界线为准线作母线平行于z 轴的小曲顶柱体。
这样整个曲顶柱体就相应地分割成n 个小曲顶柱体，它们的体积分别证为1σ∆，2σ∆，…，n σ∆。
② 近似代替 取),(),(i i i i i f ηξσηξ，以∆∈为高，i σ∆为底的平顶柱体的体积i i i f σηξ∆),(近似i V ∆),(y x f),,2,1(),(n i f V i i i i =∆≈∆σηξ③ 求和 ∑∑==∆≈∆=n i i ii n i i f V V 11),(σηξ④ 取极限 ∑=→∆=n i i i i f V 10),(lim σηξλ，λ表示n 个小区域中的最大直径2．平面薄片的质量设有一质量非均匀分布的薄片，在xoy 平面上占有区域D ，面密度ρ(x,y)是D 上的ct 函数，且ρ(x,y)>0，求M 。
),,2,1(),(n i M i i i =∆≈∆σηξρ 图∑=∆≈n i i ii M 1),(σηξρ ∑=→∆=ni i i i M 10),(lim σηξρλ (n →∞，λ→0，小区域的最大直径)二．二重积分的概念引入定义：设),(y x f z =是定义在有界区域D 上的有界函数，将D 任意地分成n 个小区域 1σ∆，2σ∆，…，n σ∆，小区域i σ∆的面积仍记为i σ∆，在i σ∆内任取一点),(i i ηξ，作和式∑=∆=n i i ii n f S 1),(σηξ，若当),,2,1(n i i =∆σ的最大直径n S 时，0→λ极限存在，则称此极限值为函数),(y x f z =在区域D 上的二重积分，记为⎰⎰Dd y x f σ),(，即\ ⎰⎰D d y x f σ),(=∑=→∆n i i i i f 10),(lim σηξλ 其中),(y x f 称为被积函数，σd y x f ),(称为被积表达式，D 叫做积分区域，σd 称为面积元素，⎰⎰为重积分号，x ，y 为积分变量，∑=∆=n i i ii n f S 1),(σηξ称为积分和。
二重积分的概念与性质
在直角坐标系下用平行 于坐标轴的直线网来划分 区域D，
D
o x
则面积元素为
d xy dxdy
故二重积分可写为
f ( x , y )d f ( x , y )dxdy D D
注2
二重积分的几何意义：
当函数z=ƒ(x,y)在区域D上连续且ƒ(x,y) ≥0时,二重积分
f ( , , ) V
( 三重积分中值定理 )
例1. 不作计算 , 估计积分 I
e
D
( x2 y2 )
d 的值 .
x2 y2 其中 D 是椭圆闭区域 : 2 2 1( 0 b a ) a b
解: 区域 D 的面积 a b ,
b
2
在 D上, 0 x y a ,
性质２
[ f ( x , y ) g ( x , y ) ] d D f ( x , y ) d g ( x , y ) d
D D
.
性质 3: 对区域具有可加性
( D D1 D2 )
f ( x, y )d f ( x, y )d f ( x, y )d .
D
f ( , ) d f ( , ) s
D
( 二重积分中值定理 )
( 性质 7 ) 设函数 f ( x , y , z ) 在闭区域 上连续 , V 为 的体积 , 则在 上至少存在一点 ( , , ) 使得
f ( x , y , z ) d v
D
f ( x , y )d
D
z f ( x, y)
表示以曲面z=ƒ(x,y)为顶,以区域D 为底的 曲顶柱体之体积.
第一节二重积分的概念及性质教案
第九章 重积分第一节 二重积分的概念及性质一．二重积分的概念 1．引例引例1 曲顶柱体的体积设有一立体的底是xy 面上的有界闭区域D ，侧面是以D 的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，顶是有二元非负连续函数),(y x f z =所表示的曲面，如图9—1所示，这个立体称为D 上的曲顶柱体，试求该曲顶柱体的体积。
图9—1 图9—2 图9—3解 对于平柱体的体积底面积高⨯=V ，然而，曲顶柱体不是平顶柱体，那么具体作法如下(1)分割把区域D 任意划分成n 个小闭区域nσσσ∆∆∆,,,21Λ，其中iσ∆表示第i 个小闭区域，也表示它的面积。
在每个小闭区域内，以它的边界曲线为准线、母线平行于z 轴的柱面，如图9—2所示。
这些柱面就那原来的曲顶柱体分割成n 个小曲顶柱体。
(2)近似在每一个小闭区域iσ∆上任取一点),(i i ηξ，以),(i i f ηξ为高，iσ∆为底的平顶柱体的体积i i i f σηξ∆),(近似代替第i 个小曲顶柱体的体积。
i i i f V σηξ∆≈∆),((3)求和这n 个小平顶柱体的体积之和即为曲顶柱体体积的近似值∑=∆≈∆=ni i i i f V V 1),(σηξ(4)取极限将区域D 无限细分，且每个小闭区域趋向于或说缩成一点，这个近似值趋近于曲顶柱体的体积。
即∑=→∆=ni i i i f V 10),(lim σηξλ其中λ表示这n 个小闭区域iσ∆直径中最大值的直径（有界闭区域的直径是指区域中任意两点间的距离）。
引例2 平面薄片的质量设有一平面薄片占有xy 面上的有界闭区域D ，它的密度为D 上的连续函数),(y x z ρ=，试求平面薄片的质量。
解 对于均匀平面薄片的质量薄片面积密度⨯=m ，然而，平面薄片并非均匀，那么具体作法如下(1)分割将薄片（即区域D ）任意划分成n 个小薄片nσσσ∆∆∆,,,21Λ，其中iσ∆表示第i 个小小薄片，也表示它的面积，如图9—3所示。
微积分11 二重积分
m
1 S(D)
D
f
(x,
y)d
M
成立.再由有界闭区域上连续函数的介值定理知，
存在 ( ,)，使D
f
( ,)
1 S(D)
D
f
(x,
y)d
.
(5)
14
(5)式的等号右边的式子称为函数f(x,y)在D上平均 值.因而，积分中值定理又可以这样说：“对有界闭区
域D上连续函数f(x,y)，必在D上存在一个点 ( ,),使 f ( ,)取f(x,y)在D上的平均值”.故积分中值定理也是连
续函数的平均值定理.
15
例1 设D是圆域：1 x2 y2 ，4 证明
3πe ex2 y2d 3πe4.
D
解 在D上，f (x, y) ex2 y2 的最小值m=e，最大值 M=e4，而D的面积S(D)=4π–π=3π.由估值公 式(3)得
3πe ex2 y2d 3πe4.
D
16
)
0
dx
03121
x 3
2
61
x 3
2
dx
6031
x 3
2
dx
6.
30
解法2 也可先对x积分，作平行于x轴的直线与区域D
相交，沿x轴正向看，入口曲线为x=0，作为积
分下限，出口曲线为
x
31
2y， 作为积分上
限.积分区域D在y轴上投影区间为[0,2]，
31
(6 2x
3y)d
第一节 二重积分的概念及性质
一、引例 二、二重积分的定义 三、二重积分的性质
1
一、引例
引例1 质量问题. 已知平面薄板D的面密度(即单位面积的质量)
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第一节二重积分的概念与性质第一篇：第一节二重积分的概念与性质第九章重积分第一节二重积分的概念与性质与定积分类似，二重积分的概念也是从实践中抽象出来的，它是定积分的推广，其中的数学思想与定积分一样，也是一种“和式的极限”.所不同的是：定积分的被积函数是一元函数，积分范围是一个区间；而二重积分的被积函数是二元函数，积分范围是平面上的一个区域.它们之间存在着密切的联系，二重积分可以通过定积分来计算.内容分布图示★ 曲顶柱体的体积★ 非均匀平面薄片的质量★ 二重积分的概念★ 二重积分的性质★ 例1★ 例4★ 内容小结★习题9-1★ 返回★ 二重积分的中值定理★ 例2★ 例3 ★ 例5 ★ 课堂练习内容要点：一、二重积分的概念引例1 求曲顶柱体的体积；引例2 求非均匀平面薄片的质量二重积分的定义二、二重积分的性质性质1—性质6二重积分与定积分有类似的性质.性质 1 ⎰⎰[αf(x,y)±βg(x,y)]dσ=α⎰⎰f(x,y)dσ±β⎰⎰g(x,y)dσ.DDD性质2 如果闭区域D可被曲线分为两个没有公共内点的闭子区域D1和D2, 则⎰⎰f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dσ+⎰⎰f(x,y)dσ.DD1D2这个性质表明二重积分对积分区域具有可加性.性质3 如果在闭区域D上, f(x,y)=1,σ为D的面积, 则⎰⎰1⋅dσ=⎰⎰dσ=σ.DD这个性质的几何意义是: 以D为底、高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积.性质4 如果在闭区域D上, 有f(x,y)≤g(x,y),则⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰g(x,y)dσ.DD特别地, 有⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰|f(x,y)|dσ.DD性质5 设M,m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值, σ为D的面积, 则mσ≤⎰⎰f(x,y)dσ≤Mσ.D这个不等式称为二重积分的估值不等式.例题选讲：二重积分的性质(x例1不作计算，估计I=⎰⎰eD2+y2)dσ的值，其中D是椭圆闭区域：x2a2+y2b2≤1(0<b<a).例2（讲义例1）估计二重积分I=⎰⎰Ddσx+y+2xy+1622的值, 其中积分区域D为矩形闭区域{(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2}.例3判断r≤x+y≤1ln(x2+y2)dxdy的符号.例4积分⎰⎰D-x2-y2dxdy有怎样的符号, 其中D:x2+y2≤4.例5（讲义例2）比较积分⎰⎰ln(x+y)dσ与⎰⎰[ln(x+y)]2dσ的大小，其中区域D是三DD角形闭区域，三顶点各为(1,0),(1,1),(2,0).课堂练习1.将二重积分定义与定积分定义进行比较, 找出它们的相同之处与不同之处.2.试用二重积分表示极限lim∑∑en→+∞n2i=1j=11nni2+j2n2.第二篇：第一节二重积分的概念与性质09-3-30第九章重积分第一节二重积分的概念与性质教学目的:理解并掌握二重积分的概念;几何意义;二重积分存在的条件.熟练掌握二重积分的性质;能正确运用性质进行判断、计算与证明.重点: 二重积分的性质的运用.难点: 运用性质判断与计算.教学方法:直观教学,讲练结合.教学过程:一、二重积分的概念与几何意义1、【定义】: 设f(x,y)是有界闭区域D上的有界函数，将闭区域其中∆σi表示D D任意分成n个小闭区域∆σ1，∆σ2,Λ，∆σn，第i个小闭区域，也表示它的面积，在每个∆σi上任取一点(ξi,ηi)，作乘积f(ξi,ηi)⋅∆σi，(i=1,2,Λ,n)，并作和n∑f(ξ,η)∆σiii=1i，如果当各小闭区域的直径di中的最大值λ=max{di}→0时，这和 1≤i≤n式limλ→0∑f(ξ,η)∆σ的极限存在，且此极限与小区间∆σiiii=1ni的分法以及点(ξi,ηi)的取法无关，则称此极限为函数f(x,y)在闭区域D 上的二重积分，记为f(x,y)dσ，即D∑f(ξ,η)∆σ.⎰⎰f(x,y)dσ=limλD→0iiii=1n其中：① f(x,y)称为被积函数, ② f(x,y)dσ称为被积表达式,③ x,y称为积分变量, ④ dσ称为面积元素, ⑤ D称为积分区域,⑥n∑f(ξ,η)∆σ称为积分和.iiii=12、面积元素dσ在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D,则面积元素为 dσ=dxdy故二重积分可写为DD⎰⎰f(x,y)dσ3、【二重积分存在定理】设f(x,y)是有界闭区域D上的连续函数,则二重积分⎰⎰f(x,y)dσ存在.D4、二重积分的几何意义≥0时,二重积分(1)当被积函数f(x,y)⎰⎰f(x,y)dσD表示以f(x,y)为顶,以D为底面的曲顶柱体的体积．(2)当被积函数f(x,y)≤0时,二重积分表示曲顶柱体体积的相反数．二、二重积分的性质假设被积函数在有界闭区域D上连续.1．2．⎰⎰kf(x,y)dσ=k⎰⎰f(x,y)dσ,k为常数.DD⎰⎰[f(x,y)±g(x,y)]dσ=⎰⎰f(x,y)dσ±⎰⎰g(x,y)dσ.DDD二重积分的线性性：设α,β为常数则上述两式合并为⎰⎰[αf(x,y)+βg(x,y)]dσD=α⎰⎰f(x,y)dσ+β⎰⎰g(x,y)dσ.DD3．(二重积分对区域可加性)⎰⎰f(x,y)dσ=⎰⎰f(x,y)dσ+⎰⎰f(x,y)dσ,(D=D+DDD1D2).4．⎰⎰dσ=σ, σ为D的面积.D．(积分不等式)若f(x,y)≤g(x,y),则⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰g(x,y)dσ.DD注意：若在D上f(x,y)≤g(x,y)但等号不是恒成立，则有⎰⎰f(x,y)dσ<⎰⎰g(x,y)dσ.DD推论:⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰DDf(x,y)dσ.6.【积分估值定理】设M、m分别是f(x,y)在闭区域D上的最大值和最小值，则 mσ≤⎰⎰f(x,y)dσ≤Mσ.其中σ为D的面积.D7.【积分中值定理】设函数f(x,y)在闭区域D上连续，则在D上至少存在一点(ξ,η)使得d=⎰⎰f(x,y)σD.σ为D的面积.fξ(η,⋅)σ8．设区域D=D1+D2，且D1与D2关于x轴对称；（1）当f(x,y)关于y是偶函数即 f(x,－y)＝f(x,y)时，有⎰⎰f(x,y)dσ=2⎰⎰f(x,y)dσ.DD1当f(x,y)关于y是奇函数时即f(x,－y)＝-f(x,y)时，有⎰⎰f(x,y)dσ=0.D(2)类似有设区域D=D1+D2，且D1与D2关于y轴对称；当f(x,y)关于x是偶函数时即f(-x,y)＝f(x,y)时，有⎰⎰f(x,y)dσ=2⎰⎰f(x,y)dσ.DD1当f(x,y)关于x是奇函数时即f(-x,y)＝-f(x,y)时，有⎰⎰f(x,y)dσ=0.D三、应用举例例1 比较3与(x+y)dσ(x+y)dσ⎰⎰⎰⎰DD的大小,其中D={(x,y)|(x-2)+(y-1)≤2}.22解：如图,由于点A(1,0)在(x-2)+(y-1)≤2上,过点A的切线为x+y=1,那么在D上有 1≤x+y≤(x+y)≤(x+y),23(x+y)dσ<(x+y)dσ.⎰⎰⎰⎰DD2222cosx+ydσ,I=cos(x+y)dσ, 2⎰⎰⎰⎰D例2(05.4)设I1=I3=⎰⎰cos(x2+y2)2dσ,其中D={(x,y)|x+y2≤1},则DD(A)I3>I2>I1(B)I1>I2>I3(C)I2>I1>I3(D)I3>I1>I2答(A).因为在区域D上，0≤x+y≤1<所以π,且cosz∈[0,π]为减函数，π>1≥x2+y2≥x2+y2≥(x2+y2)2≥0,2222222从而cos(x+y)≤cos(x+y)≤cos(x+y),故I3>I2>I1.例3设D:x2+y2≤a2,当a=()时,(a)1(b)3⎰⎰Da2-x2-y2dxdy=π.331(c)3(d)3 242答(b).根据二重积分的几何意义,此积分表示半径为a的上半球体1433的体积.由⋅aπ=π得a=3⇒选(b).232例4当D是由()围成的区域时,⎰⎰dxdy=1.D(a)x轴,y轴及2x+y-2=0(b)x=1,x=2及y=3,y=1,y=(d)x+y=1,x-y=1 22答(a,b,c).因为⎰⎰dxdy=1表示积分区域的面积为1,故只需考察哪(c)x=D些选项积分区域的面积为1.例5 判断x+y≤1ln(x2+y2)dσ的正负.解：在区域D={(x,y)|x+y≤1 }上有x+y≤1且等号不恒成立，所以ln(x+y)≤ln1=0且等号不能恒成立，故x+y≤1ln(x2+y2)dσ<x+y1(ln1)dσ=0.例6估计积分值I=⎰⎰xy(x+y)dσ,D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤2}.D解：0≤xy(x2+y2)≤6⇒0≤I≤12.（注意：积分区域为矩形SD=2）例7D1={(x,y)|x+y≤1,x,y≥0}D2={(x,y)|(x-2)+(y-1)≤2}I1=⎰⎰(x+y)2dσ,I2=⎰⎰(x+y)3dσ,D1D1I3=⎰⎰(x+y)2dσ,I4=⎰⎰(x+y)3dσD2D2试用适当符号连接I1,I2,I3,I4.解：在D1上有I1>I2(0≤x+y≤1),在D2上I4>I3(x+y≥1).又由(x+y)2≤1⇒I1≤由(x+y)2≥1⇒I3≥故I4>I3>I1>I2.22例8 设D={(x,y)|1≤x+y≤4}，证明 3πe≤xe⎰⎰D⎰⎰dσ=D1，2>I1，2+y2⎰⎰dσ=2π>D2dσ≤3πe4.证明因为SD=σ=4π-π=3π，又因为e≤e由积分的估值性质得 3πe≤xe⎰⎰Dx+y2≤e4，+y2dσ≤3πe4.例9设D={(x,y)|x+y≤R}（1）若f(x,y)在D上有界且可积，则limR→0⎰⎰f(x,y)dσ=0.Df(x,y)dσ=πf(0,0).R→0R2⎰⎰D（1）证明：设m,M分别为函数f(x,y)在D上的最小值与最大值，则（2）若f(x,y)在D上连续，则limm≤f(x,y)≤M，由积分估值定理知⎰⎰mdσ≤⎰⎰f(x,y)dσ≤⎰⎰Mdσ又D={(x,y)|x+y≤R}所以πmR≤D2D⎰⎰f(x,y)dσ≤πMRDD2，limR→0⎰⎰f(x,y)dσ=0.DD（2）解：由积分中值定理知f(x,y)在D上连续⇒∃(ξ,η)∈D,s..t⎰⎰f(x,y)dσ=πR2⋅f(ξ,η)，所以lim112f(x,y)dσ=lim⋅πRf(ξ,η)R→0R2⎰⎰R→0R2D=πlimf(ξ,η)=πlimf(ξ,η)=πf(0,0).R→0(ξ,η)→(0,0)小结：1.定义∑f(ξ,η)∆σ为二重积分.⎰⎰f(x,y)dσ=limλD→0iiii=1n2.二重积分几何意义:表示曲顶柱体的体积.3.正确运用各条性质进行判断、计算、证明.课后记：比较大小与证明问题下手较困难.第三篇：6.7 二重积分的概念与性质第6章多元函数微积分6.7二重积分的概念与性质习题解1．利用二重积分定义证明：⎰⎰kf(x,y)dσ=k⎰⎰f(x,y)dσ。