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推广的积分中值定理及其应用

推广的积分中值定理及其应用摘要:定积分是微积分的重要组成部分,而积分中值定理是定积分的重要性质之一,所以积分中值定理在微积分中占了很重要的地位,本文系统的叙述了推广的积分中值定理包括:ξ必可以在开区间中取得,导函数的积分中值定理等多个方面,我们所学知识中积分中值定理与微分中值定理的中间点的存在区间是不统一的,但推广后的积分中值定理能够与微分中值定理的存在区间从形式上统一起来,使与其相关的理论得以联系和应用.同时,在本篇论文中以实例的形式列举了推广的积分中值定理在确定零点分布、证明积分不等式、求极限等方面的应用,显然,推广的积分中值定理的优点就在于此,它可以解决原积分中值定理无法解决的问题,这表明了积分中值定理在推广后更具有应用性.关键词:积分中值定理;导函数;微分中值定理Promotion of Integral Mean ValueTheorem and Its ApplicationAbstract:Definite integral is an important component of calculus, the mean value theorem is one of the important properties of the definite integral, so integral mean value theorem in calculus plays a very important position .This paper describes the system topromote the integral mean value theorem, including: ξwill be achieved in the open interval ,of the derivatives and other integral mean value theorem, we have the knowledge of the differential mean value theorem and the Intermediate Value Theorem Existence interval is not uniform, but after the promotion of integral mean value theorem and the Mean Value Theorem to the presence of range from the formal unity, so that contact can be associated with the theory and application. Meanwhile, in this paper an example to cite a form of integral mean value theorem in determining the zeros to prove inequality, such as the application of limit, obviously, to promote the advantages of integral mean value theorem in this, it Can solve the original integral mean value theorem can not solve the problem, suggesting that the integral mean value theorem in the promotion of a more applied after.Keywords: Integral mean value theorem, derivative, mean value theorem1预备知识在本部分中具体叙述了这篇论文中所需要的相关知识,包括导函数介值性定理、拉格朗日中值定理以及变上限积分函数的定义和性质等,这些理论知识为第二部分的定理推导以及证明做了铺垫,所以起了重要的作用.1.1设()g x 在[,]a b 上非负可积,且()0abg x dx >⎰则存在[,](,)c d a b ⊂使得()0dcg x d x >⎰1.2 设()f x 在[,]a b 上连续,0x ,1x ,2x [,]a b ∈若10()()f x f x >,20()()f x f x <,则存在(,)a b ξ∈,使得0()()f f x ξ=1.3若函数()f x 在[,]a b 上可导,且''()()f a f b +-≠,k 为介于'()f a +,'()f b -之间的任意数,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得'()f k ξ=1.4若'()f x 为[,]a b 上的非负导函数,且存在0[,]x a b ∈,使'0()0f x >,则必有'()0baf x dx >⎰1.5（拉格朗日中值定理）若函数()f x 满足如下条件: （1）()f x 在闭区间[,]a b 上连续; （2）()f x 在开区间(,)a b 内可导;则在(,)a b 内至少存在一点ξ使得'()()()f b f a f b aξ-=-1.6变上限积分函数:设()f x 在[,]a b 上可积,x 为[,]a b 内任意一点,则称函数()()xax f t dt φ=⎰为变上限积分函数1.7变上限积分函数有以下若干性质（1）有界性命题1 设函数()f x 在[,]a b 上可积,则()x φ在[,]a b 上有界（2）连续性命题2 设函数()f x 在[,]a b 上可积,则()x φ在[,]a b 上连续（3）可积性命题3 设函数()f x 在[,]a b 上可积,则()x φ在[,]a b 上可积（4）可微性（原函数存在定理）()f x 在[,]a b 上连续,则()x φ在[,]a b 上处处可导.且'()()()xad x f t dt f x dx φ==⎰ [,]x a b ∈2 推广的积分中值定理积分第一中值定理在数学分析教材中为:若()f x 在[,]a b 上连续,则至少存在一点[,]a b ξ∈,使得()()()baf x dx f b a ξ=-⎰推广的积分第一中值定理在数学分析教材中为:()f x ,()g x 都在[,]a b 上连续,且()g x 在[,]a b 上不变号,则至少存在一点[,]a b ξ∈,使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰我们知道积分中值定理可用于确定数列及函数列的极限,确定零点分布,判别函数的敛散性,证明积分不等式等.但观察上述式子我们发现ξ的取值有时会在两个端点处取得,有的习题用原有的积分中值定理不能够解答出来.例如在证明积分不等式时,运用原有的积分中值定理我们只可以证明≤或≥的情况,所以带有一定的局限性.下面我们对原有的积分中值定理做一下加强,使“ξ”的范围由闭区间缩小到开区间,即得到了下面所叙述的推广的积分中值定理.2.1积分第一中值定理的推广定理 2.1(1)若()f x 在闭区间[,]a b 上连续,则在开区间(,)a b 内至少存在一点ξ使得:()()()baf x dx f b a ξ=-⎰成立证明: 作辅助函数()()x aF x f t dt =⎰ [,]x a b ∈则()F x 是[,]a b 的可微函数,且'()()F x f x =.由微积分学中值定理,至少存在一点(,)a b ξ∈,使得:'()()()()F b F a F b a ξ-=-注意到()()ba Fb f x dx =⎰,()0F a =,即有()()()baf x dx f b a ξ=-⎰(,)a b ξ∈2.2推广的第一积分中值定理的加强引理1 设()g x 在[,]a b 上非负可积,且()0ba g x dx >⎰,则存在[,](,)c d ab ⊂使得()0dcg x dx >⎰证明:用反证法作辅助函数()()b x a xG x g t dt -+=⎰[0,]2b a x -∈,则()G x 是[0,]2b a-上的非负连续函数.若命题不成立,则对任意的(0,)2b ax -∈有()G x ≡0,令x o →+,得(0)()0b a G g t dt ==⎰,产生矛盾.引理2 ()f x 在[,]a b 上连续,0x ,1x ,2x [,]a b ∈,若10()()f x f x >,20()()f x f x <,则存在(,)a b ξ∈,使得0()()f f x ξ=证明:作辅助函数0()()()H x f x f x =-,我们不妨设12x x <,因为()f x 在[,]a b 上连续,故()H x 也连续,从而在12[,]x x 上连续.1()0H x >,2()0H x <由连续函数的零点定理知存在12(,)x x ξ∈使得()0H ξ=即当然0()()f f x ξ=其中(,)a b ξ∈.引理3 若()g x 在[,]a b 上连续且不恒为零,则积分()0ba g x dx >⎰证明:倘若有某0[,]x a b ∈,使0()0g x >,由连续函数的局部保号性知存在0x 的某邻域00(,)x x δδ-+,使在其中0()()02g x g x ≥>,则 00000000()()()()()00()02bx x b x aax x x g x g x dx g x dx g x dx g x dx dx g x δδδδδδδ-++-+-=++≥++=>⎰⎰⎰⎰⎰证毕.定理 2.2 设()f x 在[,]a b 上连续,()g x 在[,]a b 上可积不变号,则至少存在一点(,)a b ξ∈使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰证法1(2)证明:1︒()0bag x dx =⎰时,此时,由推广的积分中值定理知,存在[,]a b ξ∈使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰=0于是对任意的0(,)x a b ∈有0()()()()bbaaf xg x dx f x g x dx =⎰⎰命题成立2︒当()0g x ≥，且()0bag x dx >⎰时，若命题不成立，即不存在(,)a b ξ∈，使得()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰则由推广的积分中值定理知，只能有()()()()b baaf xg x dx f a g x dx =⎰⎰ （1）或者 ()()()()b baaf xg x dx f b g x dx =⎰⎰ 成立（2）若是命题不成立而（1）成立,则在(,)a b 内()()f x f a ≠ 由引理2在(,)a b 内恒有()()f x f a >或者()()f x f a <,不妨设()()f x f a >,而对()g x 运用引理2存在[,](,)c d a b ⊂,使得()0dc g x dx >⎰于是()()()()()()()()()()bbcdbaaacdf ag x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx f x g x dx ==++⎰⎰⎰⎰⎰=123()()()()()()c d bacdf g x dx f g x dx f g x dx ξξξ++⎰⎰⎰其中1[,]a c ξ∈,2[,]c d ξ∈,3[,]d b ξ∈,这是根据推广的积分中值定理得出的,由于1()()f f a ξ≥,()0cag x dx ≥⎰,2()()f f a ξ>,()0dcg x dx >⎰,3()f ξ中的3b ξ≠时3()()f f a ξ>.当3b ξ=时,对()()f x f a >,0x b →-,由()f x 在[,]a b 上的连续性可知,()()f b f a ≥而()0dd g x dx ≥⎰,综上可得到()()()()()()()()()()b c d b baacdaf ag x dx f a g x dx f a g x dx f a g x dx f a g x dx >++>⎰⎰⎰⎰⎰这是一个矛盾,因此命题成立.若是命题不成立而（2）成立,同样可得出矛盾,因此定理得以证明3︒ 当()0g x ≤,且()0ba g x dx <⎰时此时()0g x -≥,且[()]0bag x dx ->⎰,由情形2的讨论知,存在(,)a b ξ∈,使得()[()]()[()]bb aaf xg x dx f g x dxξ-=-⎰⎰ 即有()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰ (,)a b ξ∈总之,定理2.2完全得以证明证法2(3)证明:令()()xaF x f t dt =⎰,由拉格朗日中值定理知,(,)a b ξ∃∈,使得'()()()F b F a F b aξ-=-,即()()()baf x dx f b a ξ=-⎰不妨设()0g x ≥,[,]x a b ∈,若()g x 在[,]a b 上恒为零,则结论显然成立.若()g x 在[,]a b 上连续且不恒为零,则积分()0ba g x dx >⎰令()()()x aF x f t g t dt =⎰,()()xaG x g t dt =⎰,在[,]a b 上应用柯西中值定理，(,)a b ξ∃∈,使''()()()()()()()()()()()()()babaf tg t dtF b F a F f g fG b G a G g g t dtξξξξξξ-=⇒==-⎰⎰即()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰2.3积分第二中值定理的推广在数学分析教材中积分第二中值定理是这样叙述的,设函数()f x 在[,]a b 上可积（1）若函数()g x 在[,]a b 上减,且()0g x ≥,则存在[,]a b ξ∈,使得()()()()baaf xg x dx g a f x dx ξ=⎰⎰（2）若函数()g x 在[,]a b 上增,且()0g x ≥,则存在[,]a b η∈,使得()()()()bbaf xg x dx g b f x dx η=⎰⎰其推论为:设函数()f x 在[,]a b 上可积,若()g x 为单调函数,则存在[,]a b ξ∈,使得()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰现在研究一下推论的情形:在第一积分中值定理中,我们把ξ的取值区间由闭区间缩小到开区间,但对于积分第二中值定理是否可以做这样的加强呢,看一下下面的例子:在闭区间[,]a b 上()1f x =,1[,)()2x a b g x x b ∈⎧=⎨=⎩若在(,)a b 上存在ξ使得()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dx ξξ=+⎰⎰⎰即 ()()()()2()2b a g a a g b b a b b a ξξξξξ-=-+-=-+-=--所以b ξ=,即ξ在[,]a b 的端点.这个例子告诉我们积分第一中值定理的加强结果对于积分第二中值定理不一定成立,但是这里的有限区间[,]a b 却可以换成[,)a +∞或(,]b -∞或(,)-∞+∞.此处只讨论第一种情况定理 2.3(4)设()g x 在[,)a +∞上单调有界,()f x 在[,)a +∞上可积,且()f x 没有+∞以外的瑕点,则存在[,)a ξ∈+∞使得()()()()()()aaf xg x dx g a f x dx g f x dx ξξ+∞+∞=++∞⎰⎰⎰这里()lim ()x g g x →+∞+∞=证明:不妨设()g x 在[,)a +∞上单调下降,由于()g x 有界,所以()g x 在+∞处有有限的极限,记为()g +∞,于是可记()()()G x g x g =-+∞,则()0G x ≥,而对于任意的有穷区间[,]a A ,由第二积分中值定理可知,总有[,]a A η∈使得:()()()()Aaaf x G x dx G a f x dx η=⎰⎰而()()A aF A f x dx =⎰是[,)a +∞上的关于A 的连续函数,又()f x 在[,)a +∞上可积,则()F A 在[,)a +∞上有有穷的下确界和上确界,不妨记[,)inf ()A a m F A ∈+∞=,[,)sup ()A a M F A ∈+∞=,则有()m F A M ≤≤又因为()()()()Aaaf x G x dx G a f x dx η=⎰⎰所以有()()()()AamG a G x f x dx MG a ≤≤⎰再令A →+∞,则有()()()()amG a G x f x dx MG a +∞≤≤⎰令 ()()()aG a G x f x dx μ+∞=⎰, （3）则有()()()mG a G a MG a μ≤≤如果()0G a ≠则m M μ≤≤,因为()()AaF A f x dx =⎰是[,)a +∞上的关于A 的连续函数,所以()F A 可以达到其上确界M 和下确界m 及上确界和下确界之间的任意值,即存在[,)a ξ∈+∞使得()af x dx ξμ=⎰将其带入（3）式就有()()()()aaG a f x dx G x f x dx ξ+∞=⎰⎰即(()())()(()())()aag a g f x dx g x g f x dx ξ+∞-+∞=-+∞⎰⎰所以()()()()()()aaf xg x dx g a f x dx g f x dx ξξ+∞+∞=++∞⎰⎰⎰如果()0G a =,因为()g x 在[,)a +∞上单调下降,所以()G x 在[,)a +∞上单调下降,又因为()0G x ≥即()0G x =所以()()g x g =+∞,即()g x =常数,那么对任意的[,)a ξ∈+∞,都有()()()()()()aaf xg x dx g a f x dx g f x dx ξξ+∞+∞=++∞⎰⎰⎰证毕.这个定理告诉我们:第二积分中值定理虽然在有限开区间上不一定成立,但在无穷区间上却是成立的.通过以上的推导过程我们会发现在积分中值定理的前提下,ξ必可以在开区间中取得.在微积分学中积分中值定理和微分中值定理两者在一定意义上是互逆的、对立的,这种辩证的对立统一使微积分的内容更加丰富多彩,但两者中间点ξ的存在区间是不统一的,给其相关理论和应用带来了不便,但改动之后,推广的积分中值定理与微分中值定理的取值区间得以统一,从而更能体现积分中值定理的中值性,以及两个定理之间的联系.一方面可由微分中值定理推出积分中值定理根据牛顿—莱布尼茨公式:()()()ba f x dx Fb F a =-⎰其中()F x 是()f x 在[,]a b 上的原函数即'()()F x f x =,[,]x a b ∈,显然()F x 在[,]a b 上满足拉格朗日中值定理的条件,于是至少存在一点(,)a b ξ∈使得'()()()()F b F a F b a ξ-=-()()f b a ξ=- (,)a b ξ∈即()()()baf x dx f b a ξ=-⎰(,)a b ξ∈另一方面,推广的积分中值定理推出微分中值定理:若()f x 在[,]a b 上有连续的导函数,直接计算得:'()()()baf x dx f b f a =-⎰ （4）而由推广的积分中值定理至少存在一点(,)a b ξ∈,使得''()()()baf x dx f b a ξ=-⎰（5）由（4）和（5）有'()()()()f b f a f b a ξ-=-,这正是微分中值定理.2.4 导函数的积分中值定理及其应用在微积分学中,积分中值定理与微分中值定理都有着很重要的地位,下面我们将积分中值定理条件下的连续函数推广到导函数,并用Darboux 定理给出了详尽的证明,由此我们得出了导函数积分中值定理.引理1(5)（Darboux ）若函数()f x 在[,]a b 上可导,且''()()f a f b +-≠,k 为介于'()f a +,'()f b -之间的任意数,则在(,)a b 内至少存在一点ξ,使得'()f k ξ=引理2 若'()f x 为[,]a b 上的非负导函数,且存在0[,]x a b ∈,使'0()0f x >,则必有'()0baf x dx >⎰定理 2.4(6)若'()f x 为[,]a b 上的导函数,()g x 为[,]a b 上的连续函数,且()g x 在[,]a b 上不变号,则至少存在一点ξ[,]a b ∈,使得''()()()()bbaaf xg x dx f g x dx ξ=⎰⎰证明:不妨设()0g x ≥,'()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值为别为M 与m ,其中M 可以取+∞,m 可以取-∞,在a 点取'()f a +,在b 点取'()f b -,令()0ba I g x dx =≥⎰,又'()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤,([,])x a b ∈,则有'()()()()bbbaaam g x dx f x g x dx M g x dx ≤≤⎰⎰⎰当0I =或m M =时,任意取(,)a b ξ∈均可当0I >或m M <时,令'1()()b a u f x g x dx I=⎰ ()m u M ≤≤ 当m u M ≤≤时,由Darboux 定理知,至少存在一点(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ= 当m u M =<时,利用反证法证明存在(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ=若对一切的(,)x a b ∈,有'()0f x u ->且()0baI g x dx =>⎰,则()g x 在[,]a b 上不恒为零,即存在0[,]x a b ∈,使得0()0g x >,由连续函数的保号性知存在0x 的邻域00(,)x x σσ-+（当0x a =或0x b =时,则为右邻域或左邻域）使得对于任意的00(,)x x x σσ∈-+,有0()()02g x g x ≥>,则 0000'''0()(())()(())()(())2bx x ax x g x f x u g x dx f x u g x dx f x u dx σσσσ++--->-≥-⎰⎰⎰ 由引理2可得00'(())0x x f x u dx σσ+-->⎰,从而有'(())()0b af x ug x dx ->⎰另一方面:''0(())()()()()0bbbaaaf x ug x dx f x g x dx u g x dx uI uI <-=-=-=⎰⎰⎰出现矛盾,故原命题成立,即当m u M =<时,存在(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ=当m u M <=时,同理可证必存在(,)a b ξ∈,使得'()f u ξ=成立同理可证二阶导函数,n 阶导函数对上述的导函数的积分中值定理成立,只要我们把它们看成一阶连续导函数和n-1阶连续导函数的导函数,便可用同样的方法得证.定理2.4的应用说明例1 设函数()f x 在[,]a b 上二次可微,证明存在一点(,)a b ξ∈,使得''324().[()()]()2b aa bf f x f dx b a ξ+=--⎰ 证明:记02a bx +=,将被积函数在0x x =处按泰勒公式展开,得 2'''0000()()()()()()2x x f x f x x x f x f η--=-+其中η在x 与0x 之间,因为'00()()0bax x f x dx -=⎰,即2''00()(()())()2bbaax x f x f x dx f dx η--=⎰⎰由定理知存在(,)a b ξ∈使32''''2''00()()()()()()12bba ab a x x f dx f x x dx f ηξξ--=-=⎰⎰从而''324().[()()]()2b a a bf f x f dx b a ξ+=--⎰例2 已知导函数'()f x 在[1,2]上有界,求证2'1lim ()0nx n f x e dx -→∞=⎰证明:导函数'()f x 在[1,2]上有界,所以存在正数M ,对[1,2]ξ∈,有'()f M ξ<,由定理1知,存在1(1,2)ξ∈,2(1,2)ξ∈, 使得222'''1111()()()n nnx x f x edx f edx f eξξξ---==⎰⎰从而有2'1lim ()0nx n f x e dx -→∞=⎰3 推广的积分中值定理的应用3.1用于确定零点分布例3 (7)证明:若()f x 在[,]a b 上连续,且()()0b ba af x dx xf x dx ==⎰⎰,则在(,)a b 内至少存在两点1x ,2x 使得12()()f x f x =证明:设()()xa F x f t dt =⎰那么我们有()()()0baf x dx F b F a =-=⎰,所以()()F b F a ==0又因为()()()()bbbba aaaxf x dx xdF x xF x F x dx ==-=⎰⎰⎰ ()()()()bF b aF a F b a ξ---所以可得; ()()()()b a F b F b a ξ-=-,所以()()()F b F F a ξ===0 证毕例4(8) 证明:若()f x 在[0,]π上连续,且0()()cos 0f x dx f x xdx ππ==⎰⎰,证明:存在两点1ξ,2ξ (0,)π∈,使得 12()()0f f ξξ==证明:令0()()xF x f t dt =⎰ 即'()()F x f x =,()(0)0F F π==00()cos cos ()cos ()()cos f x xdx xdF x xF x F x d xππππ==-⎰⎰⎰()sin ()sin .0F x xdx F πξξπ===⎰所以()0F ξ= (0,)ξπ∈,对()F x 在(0,)ξ,(,)ξπ上使用罗尔定理,即存在1(0,)x ξ∈,2(,)x ξπ∈满足'1()0F x =,'2()0F x =,即12()()0f x f x ==证毕例5(3)假如()f x 在[0,]π上连续,且0()sin ()cos 0f x xdx f x xdx ππ==⎰⎰,则()f x 在(0,)π内至少有两个零点.证明:由已知条件,并运用推广的积分中值定理得0()sin ()sin 2()()0f x xdx f xdx f f ππξξξ===⇒=⎰⎰,(0,)ξπ∈即()f x 在(0,)π有一个零点，假如仅有一个零点x ξ=,则()f x 在[,]a ξ与[,]b ξ上均不变号,且异号,那么()sin()f x x dx ξ-在[0,]π上保持同号,连续且不恒为零,必有()sin()0f x x dx πξ->⎰（或0<）与已知0()sin()cos ()sin sin ()cos 0f x x dx f x xdx f x xdx πππξξξ-=-=⎰⎰⎰矛盾.3.2 证明积分不等式在证明积分不等式时,常常考虑积分中值定理以便去掉积分符号,如果被积函数是两个函数之积时,可考虑用积分第一或第二中值定理,对于某些不等式的证明运用原积分中值定理只能得到“≥”的结论,或者不等式根被就不能得以证明,而运用了推广的积分中值定理后,则可以得到“>”的结论,或者成功的解决.例6(9) 假设()f x 在[0,1]上连续并且单调递减,证明对任何的(0,1)a ∈有1()()af x dx a f x dx >⎰⎰证明:将要证的不等式移项11()()()()()aa a af x dx a f x dx f x dx a f x dx a f x dx -=--⎰⎰⎰⎰⎰1(1)()()aaa f x dx a f x dx =--⎰⎰因为()f x 单调递减,所以在区间[0,]a 上()()f x f a ≥,即0()()af x dx af a ≥⎰,再对上式右边第二项运用推广的积分中值定理,即存在ξ其中1a ξ<<,使上式变成1(1)()()(1)()()(1)(1)[()()]a aa f x dx a f x dx a af a af a a a f a f ξξ--≥---=--⎰⎰因为()f x 单调递减,且1a ξ<<,,所以(1)[()()]0a a f a f ξ-->,即得证.例7(9) 设()f x 在[,]a b 上连续且单调递增,证明()()2bbaaa b xf x dx f x dx +>⎰⎰证明:将要证的不等式移项,并分部积分得()()2bbaa ab xf x dx f x dx +-⎰⎰ 22()()()()()()222a bbb a b a a a b a b a bx f x dx x f x dx x f x dx +++++=-=-+-⎰⎰⎰ 令()()2a b g x x +=-,显然()f x ,()g x 在[,]2a b a +和[,]2a b b +上可积,且()g x 在[,]2a b a +和[,]2a b b +上不变号,由推广的积分中值定理知:即存在11()2a b a ξξ+<<,22()2a bb ξξ+<<,使得221222()()()()()()()()2222a ba bb b a b a b aa ab a b a b a b x f x dx x f x dx f x dx f x dxξξ++++++++-+-=-+-⎰⎰⎰⎰整理得221()[()()]8a b f f ξξ+-,因为()f x 是单调递增函数,122a b a b ξξ+<<<<,所以221()[()()]08a b f f ξξ+->,证毕. 在上述例子中我们可以看到有的题原积分中值定理不适用,而推广的积分中值定理可以将问题解决.在例6中如果运用原积分中值定理,由1a ξ≤≤只能得到“0≥”的结论;而在例7中也只能得到12()()f f ξξ≤的结论.3.3求极限例8(10)证明10lim 01nn x dx x→∞=+⎰ 证明:0ε∀>,如果取1[0,1]2ξε∈-,则有10lim 01nn dx ξξ→∞=+⎰,即N ∃,当n N >时,有12n ξεξ<+,又因为:11120012111n n n x x x dx dx dx x x x εε--=++++⎰⎰⎰对等式右边第一个积分运用中值定理,对第二个积分的被积函数用不等式011n x x <≤+,则有当n N >时有100[2]122n x dx x εε<<-+⎰,所以有10lim 01n n x dx x→∞=+⎰ 证毕.参考文献[1] 杨延龄,邹励农,章栋恩.高等数学微积分700例题[M].中国建材工业出版社.2004年10月.123页.[2] 陈卫星,马全中.关于积分中值定理及推广的积分中值定理的改进[J]. 中国煤碳经济学院学报,1994年,第1期.54,55页.[3] 郝涌,李学志,陶有德.数学分析选讲[M].国防工业出版社.2010年4月.83页,94页.[4] 朱碧,王磊.第二积分中值定理的一些推广及其应用[J]. 考试周刊, 2008年,第30期.49页.[5] 刘玉琏,傅沛仁.数学分析讲义[M].北京.高等教育出版社.2003年.[6] 谢焕田.积分中值定理的推广及其应用[J].高师理科学刊,2009年,第5期.8,9页[7] 华东师范大学数学系. 数学分析[M]. 高等教育出版社.1991年.[8] 许洪范.考研微积分500例[M]. 国防工业出版社.2009年3月.121页.[9] 李海军.积分中值定理的应用[J].赤峰学院学报.2010年,第6期,4页.[10]荆江雁.积分中值定理得推广[J].常州工学院学报.2007年,第1期 ,53页.致谢从选择论文题目到搜集材料再到一遍又一遍的修改仿佛经历了太长的时间,论文比我想象中要难写的多,我明白想写好一篇优秀的论文就必须付出百倍的努力,在论文即将交稿之时,心里多了一些轻松,同时多了一丝伤感.自己的大学生活随着论文的结束而画上了一个句号.回想自己写论文的全过程,自己最要感谢的是论文导师许宏文老师,她为人很随和,治学严谨,对待工作认真,对待学生负责,许老师给人一种很容易接近的感觉,忘不了第一次接许老师电话的情景:她耐心的给我指点着,细心的帮我分析写这篇论文的注意事项……之所以论文会顺利的完成许老师付出了太多,太多.一遍一遍的检查,一遍又一遍的帮我指出错误,在这里我想说声:许老师:您辛苦了！真的谢谢您！最后要感谢我的学校,感谢教予我知识的老师,感谢我四年的大学生活,在这四年里自己学到了很多,也成长了很多.谢谢！。

微积分中的中值定理及其应用

微积分中的中值定理及其应用在高等数学中，微积分是一个重要的分支，它是数学的基础之一。

微积分主要研究的是极限和导数、微分和积分等数学问题。

而在微积分中，中值定理是一个非常重要的定理，它不仅是微积分的基础，而且在数学和物理等领域中也有着广泛的应用。

一、中值定理的定义中值定理是微积分中的一个基本定理，它是关于连续函数的一个定理。

中值定理包括一系列的定理，其中最基本的是魏尔斯特拉斯中值定理，也就是：定理：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则存在$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$。

意义：对于一个连续函数$f(x)$，在闭区间$[a,b]$内必然存在一个取值$\xi$，使得$f(\xi)$等于其在该区间内的均值，也就是该区间内$f(x)$在$x$上的积分与该区间长度的比值。

二、中值定理的应用中值定理在微积分中应用非常广泛，它的应用主要有以下几个方面：1.函数极值：中值定理可以用来证明函数的极值。

具体来说，当$f(x)$在某个区间上连续并且在该区间的内部取得了极值，则一定存在一个中间点$\xi$，使得$f'(\xi)=0$。

2.导数的应用：中值定理在求解导数存在的问题时也有很大的作用。

根据中值定理，如果$f(x)$在区间$[a,b]$内可导，那么存在一个点$\xi$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。

这个公式常常被称为Lagrange中值定理，它可以用来证明导数的存在性，并且可用于证明很多导数相关的定理。

3.曲线长度：中值定理还可以用于计算曲线的长度。

具体来说，我们可以将曲线分成若干个线段，然后利用Lagrange中值定理来求每个线段的长度，最后将它们加起来即可得到整条曲线的长度。

4.牛顿迭代法：在求解方程的问题中，中值定理也有着很大的应用。

例如，可以利用中值定理来实现牛顿迭代法。

中值定理及其应用

中值定理及其应用中值定理是微积分中的一项重要定理，它在数学和物理学等领域有着广泛的应用。

本文将对中值定理的概念、原理以及其在实际问题中的应用进行探讨。

一、中值定理的概念和原理中值定理是微积分中的一个基本定理，它涉及到函数的导数和函数的连续性。

中值定理包括拉格朗日中值定理和柯西中值定理两个重要的定理。

1. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是微积分中的一个基本定理，它是由法国数学家拉格朗日提出的。

该定理表明，如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则在(a, b)内至少存在一点c，使得函数在c处的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。

数学表达式为：f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)，其中a < c < b其中f'(c)表示函数f(x)在点c处的导数。

2. 柯西中值定理柯西中值定理是中值定理的另一种表达形式，由法国数学家柯西提出。

柯西中值定理表明，如果两个函数在闭区间[a, b]上连续且可导，并且其中一个函数在开区间(a, b)上不为零，则存在一点c在(a, b)内，使得函数的导数之比等于函数值之比：(f(b) - f(a))/(g(b) - g(a)) = f'(c)/g'(c)，其中a < c < b其中f'(c)和g'(c)分别表示两个函数在点c处的导数。

二、中值定理的应用中值定理在实际问题中具有广泛的应用，下面将以一些具体的例子来说明其应用。

1. 函数图像的研究通过中值定理，我们可以研究函数在区间内的性质，例如函数的单调性、极值点的位置以及图像的凹凸性等。

通过计算函数的导数和应用中值定理，可以得到函数在不同区间的性质，并进一步绘制函数的图像。

2. 物理学中的应用在物理学中，很多物理量都可以通过导数和中值定理来描述。

例如，在描述物体的运动过程中，我们可以通过速度函数的导数来计算物体的加速度，而中值定理则可以用来描述物体在某一时间段内的平均速度和瞬时速度之间的关系。

积分中值定理与定积分应用积分中值定理与定积分应用的实战技巧

积分中值定理与定积分应用积分中值定理与定积分应用的实战技巧积分中值定理与定积分应用的实战技巧积分中值定理和定积分是微积分中的重要概念，能够帮助我们解决各种实际问题。

本文将介绍积分中值定理和定积分的基本概念，以及如何应用这些概念来解决实际问题。

一、积分中值定理积分中值定理是微积分中的基本定理之一，它与导数中值定理有密切关联。

积分中值定理表明，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导，则在[a,b]上至少存在一点c，使得函数的平均值等于函数在c处的导数值。

其数学表达式如下：∫[a,b] f(x) dx = f(c) (b-a)其中，f(x)表示在[a,b]上的连续函数，c为[a,b]上的某一点，b和a 分别为积分上限和下限。

积分中值定理的应用十分广泛。

它可以用于证明其他定理，例如柯西中值定理和拉格朗日中值定理。

除了数学的理论性应用外，积分中值定理还可用于解决实际问题，如求函数在某个区间上的平均值、证明函数在某个区间上的增减性等。

下面将以一个具体例子来说明积分中值定理的应用。

例子：求函数f(x) = 2x^2 + 3x在区间[1,3]上的平均值。

解：根据积分中值定理，函数f(x)在[1,3]上的平均值等于函数在该区间上某一点的函数值。

首先，我们计算函数f(x)在[1,3]上的定积分：∫[1,3] (2x^2 + 3x) dx = (2/3)x^3 + (3/2)x^2 |[1,3] = 24然后，求出函数f(x)在[1,3]上的平均值：平均值 = (1/3 - 1/2) * 24 = 8所以，函数f(x) = 2x^2 + 3x在区间[1,3]上的平均值为8。

通过这个例子，我们可以看到积分中值定理的实际应用，它不仅使我们能够求出函数在某个区间上的平均值，还可以帮助我们判断函数在某个区间上的增减性。

二、定积分的应用定积分是对区间上函数值的累加，可以用于求解曲线下面的面积、体积、平均值等问题。

积分中值定理及应用

毕业论文题目：积分中值定理及应用学号：姓名：年级：系别：数学系专业：数学与应用数学指导教师：完成日期：年月日积分中值定理及应用摘要本论文的主要内容是积分中值定理及其应用，全文分为以下几个方面：积分中值定理及推广、积分中值定理中值点ξ的渐进性、积分中值定理的应用。

首先讨论了定积分中值定理、第一积分中值定理、第二中值定理以及它们的推广，而且还给出了这些定理的详细证明过程。

其次研究了中值定理中值点ξ的渐进性，对第一积分中值定理的ξ点做了详细讨论，给出了详细清楚的证明过程。

而第二积分中值定理的渐进性问题只证明了其中的一种情形，其他证明过程只作简要说明。

最后归纳了积分中值定理的应用，给出了一些较简单的情形如估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号、比较积分大小，证明函数单调性还有阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明。

关键词：积分中值定理；推广；应用；渐进性INTEGRAL MEAN V ALUE THEOREM AND APPLICATIONAbstractThe main content of this paper is integral mean value theorem and its application ,the letter divides into the following respects :Integral mean value theorem and promotion 、Integral mean value theorem point in the progressive 、The application of integral mean value theorem .First discuss the definite integral mean value theorem 、the first integral mean value theorem 、the first second mean value theorem and their promotion ,and it gives the theorem of the detailed process of proof .Secondly the mean value theorem point in the progressive ,the first integral mean value theorem to do a detailed discussion of the points ,gives the detailed processclear evidence .And the second integral mean-value theorem proved, the only problem with one of the case ,other identification process only briefly .Finally summarizes the integral mean value theorem of applications ,to give some simple situation such as estimated integral value ,calculation of the definite integral contains limit ,sure integral symbols ,contrast integral size ,prove functional monotonicity and the theorems proof of Abel discriminant method and DiLi klein discriminant method .Key words: integral mean-value; theorem promotion ;apply;progressive目录1 前言 (3)2积分中值定理 (4)2.1定积分中值定理及推广 (4)2.1.1定积分中值定理 (4)2.1.2定积分中值定理的推广 (6)2.2积分第一中值定理及推广 (6)2.2.1积分第一中值定理 (6)2.2.2积分第一中值定理的推广 (6)2.3积分第一中值定理及推广 (9)2.3.1积分第二中值定理 (9)2.3.2积分第二中值定理的推广 (12)2.4重积分的中值定理 (12)2.4.1二重积分的中值定理 (12)2.4.2三重积分的中值定理 (13)2.5曲线积分中值定理 (14)2.5.1第一曲线积分中值定理 (14)2.5.2第二曲线积分中值定理 (14)2.6曲面积分中值定理 (16)2.6.1第一曲面积分中值定理 (16)2.6.2第二曲面积分中值定理 (16)3 积分中值定理中值点的渐进性 (18)3.1 第一积分中值定理中值点的渐进性 (18)3.2 第二积分中值定理中值点的渐进性 (22)4 积分中值定理的应用 (24)4.1 估计积分值 (2424)4.2 求含定积分的极限 (25)4.3 确定积分号 (27)4.4 比较积分大小 (27)4.5 证明中值点的存在性 (2827)4.6 证明函数的单调性 (28)4.7 证明定理 (29)结论 (32)参考文献 (33)致谢 (34)1前言随着时代的发展，数学也跟着时代步伐大迈步前进。

(完整版)中值定理的应用方法与技巧

中值定理的应用方法与技巧中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分.微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述.积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。

积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在［a,b ］上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ。

积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a ，b ］上连续，且)(x g 在［a ，b ］上不变号，则在［a ，b]上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=ba ba dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。

一、微分中值定理的应用方法与技巧三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明,也可应用于恒等式及不等式证明。

由于三大中值定理的条件和结论各不相同,又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数,套用相应的中值定理进行证明。

这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。

例一．设)(x ϕ在［0，1]上连续可导，且1)1(,0)0(==ϕϕ。

证明:任意给定正整数b a ,，必存在（0，1）内的两个数ηξ,，使得b a ba +='+')()(ηϕξϕ成立。

证法1:任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ϕ==，则在[0，1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(ϕϕξϕ。

任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ϕ==，则在[0，1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得:存在)1,0(∈η,使得b b b =--=')0()1(0)(ϕϕηϕ。

《积分中值定理》课件

积分中值定理在实数理论中有重要应用，如证明实数的连续性、稠密性等性质。
在其他数学领域的应用实例
复变函数
积分中值定理在复变函数中有广泛的应用，如在解决柯西积分公式、留数定理等问题时起到关键作用。
概率论与数理统计
积分中值定理在概率论与数理统计中有重要应用，如在计算期望、方差等统计量时起到关键作用。
03
综上所述，积分中值定理是一个具有重要性和意义的数学定理。在未来的研究中，我们需要进一步深入探索其应用范围和条件，并尝试将其应用于更广泛的领域，以推动数学和其他学科的发展。
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利用微积分基本定理证明积分中值定理
总结词
通过利用微积分基本定理和函数的单调性，证明积分中值定理。
详细描述
首先，我们选取一个连续函数$f(x)$，并设其在区间$[a, b]$上非负且不恒为零。然后，我们证明函数$F(x) = int_{a}^{x}f(t)dt$在$[a, b]$上单调增加。由于$F(x)$单调增加，存在一个点$c in (a, b)$使得$frac{F(b) - F(a)}{b - a} = f(c)$。最后，我们得出结论
对积分中值定理未来的研究方向和展望
01
积分中值定理的研究已经取得了丰硕的成果，但仍有许多值得探索的问题。例如，对于更一般的函数空间和更复杂的积分问题，如何应用积分中值定理进行有效的处理？这需要我们进一步深入研究积分中值定理的适用范围和条件。
02
随着数学和其他学科的不断发展，积分中值定理的应用领域也在不断扩大。未来，我们可以尝试将积分中值定理应用于更广泛的领域，如金融、经济、生物等，以解决实际问题。同时，我们也可以探索积分中值定理与其他数学理论的交叉应用，以推动数学的发展。

积分中值定理的推广及应用

㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２３１积分中值定理的推广及应用积分中值定理的推广及应用Һ丁建华㊀（甘肃有色冶金职业技术学院教育系，甘肃㊀金昌㊀７３７１００）㊀㊀ʌ摘要ɔ本文首先对积分中值定理的几何特征进行详细介绍，并对该定理中ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上恒为常数㊁ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上不为常数函数做出一定的补充，并证明此结论也是成立的；其次，对第一积分中值定理和第二积分中值定理进行了推广，并进一步证明了结论的准确性；最后，通过不等式的证明㊁极限的求值进一步验证了改进结论的正确性．ʌ关键词ɔ中值定理；连续性；不等式一㊁积分中值定理的几何特征与补充积分中值定理的几何意义可以理解为：若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上非负连续时，定积分ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ在几何上可以表示为ｙ＝ｆ（ｘ），ｘ＝ａ，ｘ＝ｂ及ｘ轴所围成的曲边梯形面积（如图１，定积分ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ表示曲边梯形ＡａｂＢ的面积）．根据闭区间上连续函数的性质，ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上存在最大值Ｍ和最小值ｍ，即∀ｘɪ［ａ，ｂ］，有ｍɤｆ（ｘ）ɤＭ，从而ｍ（ｂ－ａ）ɤʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤＭ（ｂ－ａ）．它可以化为ｍɤ１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘɤＭ．由连续函数的介值定理，则至少有这样的一个点ξɪ［ａ，ｂ］，使得ｆ（ξ）＝１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，则ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）．根据上面知识点，我们可以获得数学分析中常用的重要积分学性质和定理．积分中值定理㊀若函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，则在［ａ，ｂ］上至少存在一点ξ，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）（ａɤξɤｂ）．这里要求函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续即可，对函数没有严格要求．进一步地，我们可将ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续的这一条件更改为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积，其结论仍然成立．当ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续且非负时，积分公式ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ）有着明显的几何意义，即ｙ＝ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的曲边梯形面积等于以图１所示的ｆ（ξ）为高㊁［ａ，ｂ］为底的矩形面积，即以ｆ（ξ）为高的矩形ＡａｂＤ的面积．㊀图１通过对上面图１进一步分析，我们可以发现定理中的ξɪ［ａ，ｂ］可以改为ξɪ（ａ，ｂ），事实上，若ξ仅取在［ａ，ｂ］的端点上，不妨设ξ＝ａ，则可从图２中看出，曲边梯形ＡａｂＢ的面积ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ与矩形ＡａｂＤ的面积不可能相等．㊀图２本文给出如下两种证明．证法一：若函数ｆ（ｘ）在闭区间［ａ，ｂ］上恒为常数，则ξ取（ａ，ｂ）内任意一点，结论都是成立的．若ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上为一个变量函数，设Ｍ，ｍ分别为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值与最小值，则存在ｘ０ɪ（ａ，ｂ），使得ｍɤｆ（ｘ０）ɤＭ．事实上，若这样的ｘ０不存在，则在［ａ，ｂ］上必存在一点ｘ１，使得ｆ（ｘ）在ａ，ｘ１[]上恒有ｆ（ｘ）＝ｍ或ｆ（ｘ）＝Ｍ()，在［ｘ１，ｂ］上恒有ｆ（ｘ）＝Ｍ（或ｆ（ｘ）＝ｍ）．这样一来，ｘ１是间断点，与ｆ（ｘ）在区间［ａ，ｂ］上连续矛盾．又ｆ（ｘ）在ｘ０连续，则存在δ＞０，ｘ０－δ，ｘ０＋δ()⊂［ａ，ｂ］，当ｘ－ｘ０＜δ时，有ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）＜Ｍ－ｆ（ｘ０）２和ｆ（ｘ）－ｆ（ｘ０）＜ｆ（ｘ０）－ｍ２，从而Ｍ－ｆ（ｘ０）＞Ｍ－ｆ（ｘ０）２＞０，ｆ（ｘ０）－ｍ＞ｆ（ｘ０）－ｍ２＞０，于是ʏｘ０＋δｘ０－δ［Ｍ－ｆ（ｘ）］ｄｘȡʏｘ０＋δｘ０－δＭ－ｆ（ｘ０）２éëêùûúｄｘ，即ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘɤＭ－ｆ（ｘ０）２ʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，又ｆ（ｘ０）＜Ｍ，ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，同理有ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＞ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ，于是ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ʏｘ０－δａｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｘ０＋δｘ０－δｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂｘ０＋δｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｘ０－δａｄｘ＋Ｍʏｘ０＋δｘ０－δｄｘ＋Ｍʏｂｘ０＋δｄｘ＝Ｍ（ｂ－ａ）．同理可得ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＞ｍ（ｂ－ａ），㊀㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２３１因此ｍ（ｂ－ａ）＜ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ（ｂ－ａ），即ｍ＜１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ．由介值定理，存在ξɪ（ａ，ｂ），使得ｆ（ξ）＝１ｂ－ａʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，即ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ），其中ξɪ（ａ，ｂ）．证法二：作辅助函数Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｄｔ，ｘɪ［ａ，ｂ］，则Ｆ（ｘ）是［ａ，ｂ］上的可微函数，且Ｆᶄ（ｘ）＝ｆ（ｘ），由微分中值定理，至少存在一点ξɪ（ａ，ｂ），使得Ｆ（ａ）－Ｆ（ｂ）＝Ｆᶄ（ξ）（ｂ－ａ）．注意到，Ｆ（ｂ）＝ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ，Ｆ（ａ）＝０，则有ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）（ｂ－ａ），ξɪ（ａ，ｂ）．于是，我们可以进一步将积分中值定理进行推广．设ｆ（ｘ），ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上不能等于零，同时符号不会改变，在这样特殊的情形下，可以得到如下的结论，ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，ξɪ（ａ，ｂ）．令Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｇ（ｔ）ｄｔ，Ｇ（ｘ）＝ʏｘａｇ（ｔ）ｄｔ，则由微分学的柯西中值定理知，Ｆ（ｂ）－ｆ（ａ）Ｇ（ｂ）－Ｇ（ａ）＝Ｆᶄ（ξ）Ｇ（ξ），ξɪ（ａ，ｂ），即有ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ｇ（ξ）ｇ（ξ），ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，ξɪ（ａ，ｂ）．但当ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］只是可积分，并且恒为正或恒为负时，前面我们进行推导的思路完全行不通，即不可能成立，因为可积不变号时，ｇ（ｘ）可以等于零，我们就不能使用上面的结论了．二㊁第一㊁第二积分中值定理的推广及其证明积分第一中值定理设函数ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上可积不变号，则在［ａ，ｂ］存在一点ξ，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．积分第二中值定理设（ⅰ）ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续；（ⅱ）ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上单调递增且连续；（ⅲ）ｆ（ｘ）ȡ０，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ｂ）ʏｂξｇ（ｘ）ｄｘ．推论１．若积分第二中值定理中的递增改为递减，其他条件不变的情况下，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ．２．若积分第二中值定理中的ｆ（ｘ）ȡ０去掉，则必有ξɪ［ａ，ｂ］，使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｂ）ʏｂξｇ（ｘ）ｄｘ．当ξ所在区间［ａ，ｂ］变为（ａ，ｂ），其余条件㊁结论不变，我们就可以将积分中值定理进一步推广．接下来，我们进一步证明积分中值定理的推广定理，先验证积分第一中值定理的推广．证明㊀由于ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续．设Ｍ为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最大值，ｍ为ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上的最小值，即有ｍɤｆ（ｘ）ɤＭ，又由于ｇ（ｘ）在［ａ，ｂ］上定号，不妨令ｇ（ｘ）ȡ０（ｇ（ｘ）ɤ０的情况同理），从而有ｍｆ（ｘ）ɤｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ɤＭｇ（ｘ），即ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘɤＭʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（１）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝０，由上面不等式的结论可知，ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝０，因此有ξɪ（ａ，ｂ），使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（２）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０．（ⅰ）如果ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＜ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＜Ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，即ｍ＜ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＜Ｍ时，由闭区间上连续函数的介值定理我们可以知道，有一ξɪ（ａ，ｂ），使得ｆ（ξ）＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ，即ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．（ⅱ）如果ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ，（ａ）假如有一ξɪ（ａ，ｂ），都有ｆ（ξ）＝ｍ，我们可以得到ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ结论成立．（ｂ）除此之外，对任意的ｘɪ（ａ，ｂ），都有ｆ（ｘ）＞ｍ，而由ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０，必定存在充分小的数η，使得ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘ＞０（倘若不然的话，对于任意的正数η，都有ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘɤ０，从而ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ｌｉｍηң０ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘɤ０与ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＞０矛盾）．于是得到０＝ʏｂａ［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘȡʏｂ－ηａ＋η［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘ．利用原积分中值定理，得ʏｂ－ηａ＋η［ｆ（ｘ）－ｍ］ｇ（ｘ）ｄｘ＝［ｆ（ξᶄ）－ｍ］ʏｂ－ηａ＋ηｇ（ｘ）ｄｘ＞０，ξᶄɪ［ａ＋η，ｂ－η］⊂（ａ，ｂ）．与之比较，知矛盾．（ⅲ）Ｍʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ，这个证明类似于证㊀㊀㊀㊀数学学习与研究㊀２０２２３１明（ⅱ）的过程．综上所述，存在ξɪ（ａ，ｂ），使得ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ξ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ成立．证毕！根据积分第一中值定理的推广证明，我们同样可以对积分第二中值定理的推广进行证明．接下来，我们试证积分第二中值定理的推广结果．证明㊀由ｆ（ｘ）在［ａ，ｂ］上连续，Ｆ（ｘ）＝ʏｘａｆ（ｔ）ｄｔ在［ａ，ｂ］上可导，从而有ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ʏｂａｇ（ｘ）ｄＦ（ｘ）＝ｇ（ｂ）Ｆ（ｂ）－ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ－ｇ（ａ）Ｆ（ａ）＝ｇ（ｂ）ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ－ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ．对于ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ应用推广的第一积分中值定理，得到ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ＝Ｆ（ξ）［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］，其中ξɪ（ａ，ｂ），从而有ʏｂａＦ（ｘ）ｇᶄ（ｘ）ｄｘ＝ｇ（ｂ）ʏｂａｆ（ｘ）ｄｘ－Ｆ（ξ）［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］＝ｇ（ｂ）ʏξａｆ（ｘ）ｄｘ＋ʏｂξｆ（ｘ）ｄｘ[]－ʏξａｆ（ｘ）ｄｘ［ｇ（ｂ）－ｇ（ａ）］＝ʏｂａｆ（ｘ）ｇ（ｘ）ｄｘ＝ｆ（ａ）ʏξａｇ（ｘ）ｄｘ＋ｆ（ｂ）ʏｂａｇ（ｘ）ｄｘ．证毕！三㊁积分中值定理的应用例１㊀证明下列积分不等式：（１）π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ｘｄｘ＜π２；（２）２ｅ－１４＜ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＜２ｅ２．证明㊀（１）由积分中值定理，有π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ｘｄｘ＝１１－１２ｓｉｎ２ξ㊃π２，其中ξɪ０，π２()，当ξɪ０，π２()时，有０＜ｓｉｎ２ξ＜１，从而１＜１１－１２ｓｉｎ２ξ＜２，因此有π２＜ʏπ２０１１－１２ｓｉｎ２ξｄｘ＜π２．证毕．（２）由定积分性质，有ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＝ʏ１２０ｅｘ２－ｘｄｘ＋ʏ２１２ｅｘ２－ｘｄｘ＝１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２，其中ξ１ɪ０，１２()，ξ２ɪ１２，２()，又ｅｘ在－ɕ，＋ɕ()上严格单调递增，而ｆ（ｘ）＝ｘ２－ｘ在０，１２[]上严格单调递减，在１２，２[]上严格单调递增，所以，当ξ１ɪ０，１２()时，ｅ－１４＜ｅξ２１－ξ１＜１；当ξ２ɪ１２，２()时，ｅ－１４＜ｅξ２２－ξ２＜ｅ２．从而１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２＞１２ｅ－１４＋３２ｅ－１４＝２ｅ－１４，１２ｅξ２１－ξ１＋３２ｅξ２２－ξ２＜１２＋３２ｅ２＜２ｅ２，因此２ｅ－１４＜ʏ２０ｅｘ２－ｘｄｘ＜２ｅ２．如果ξ取自任意闭区间，使得积分中值定理成立，则需要将例１的证明结果做进一步的讨论．由此可见，对积分中值定理进行改进或者推广对我们的学习很有帮助，当然，我们也要合理使用该定理，否则就会出现错误的结论．例２㊀证明：ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝０．如果利用积分中值定理，得ʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝ξｎ１＋ξ，其中ξɪ０，１()，从而ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝ｌｉｍｎңɕʏ１０ξｎ１＋ξｄｘ＝０，这是错误的，因为ξ与ｎ有关．正确的解法是：因为０ɤｘｎ１＋ｘɤｘｎ，ｘɪ０，１[]，所以０ɤʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘɤʏ１０ｘｎｄｘ，而ʏ１０ｘｎｄｘ＝１１＋ｎ，ｌｉｍｎңɕ１１＋ｎ＝０，因此ｌｉｍｎңɕʏ１０ｘｎ１＋ｘｄｘ＝０．证毕！ʌ参考文献ɔ［１］华东师范大学数学系．数学分析（第四版）［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１０．［２］黎金环，刘丽霞，朱佑彬．积分中值定理在一道极限题的应用分析［Ｊ］．高等数学研究，２０２１（２）．［３］同济大学数学教研室．高等数学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，１９９３．［４］郝玉芹，时立文，欧阳占瑞．对积分中值定理结论的一点改动［Ｊ］．河北能源职业技术学院学报，２００７（３）．［５］周冰洁．巧用积分中值定理［Ｊ］．现代职业教育，２０１９（３１）．［６］余小飞．积分中值定理在积分不等式中的应用［Ｊ］．当代教育实践与教学研究，２０１７（８）．。

考研数学积分中值定理及其推广和应用分析

2015考研数学：积分中值定理及其推广和应用分析来源：文都教育在考研数学中，积分中值定理是一个有用的分析证明工具，考试中经常会用到。

积分中值定理有3种情形：基本的积分中值定理、推广的积分中值定理、两个函数相乘时的积分中值定理。

一般高等数学教材上对第一种情形的积分中值定理都有介绍说明，但对后两种情形可能没有相应说明。

为了使各位考生对积分中值定理有一个更深刻的理解和更灵活的运用，那么，老师对积分中值定理及其推广和应用分析做一个全面的分析介绍，供各位考生参考。

基本的积分中值定理：设函数()f x 在[,]a b 上连续，则至少存在一点[,]a b ξ∈，使()()()baf x dx f b a ξ=-⎰证明：设()f x 在[,]a b 上的最大和最小值分别为,M m ，则()()bb baaam f x M mdx f x dx Mdx ≤≤⇒≤≤⇒⎰⎰⎰1()ba m f x dx Mb a≤≤-⎰，由连续函数的介值定理得，至少存在一点[,]a b ξ∈，使1()()ba f x dx fb aξ=-⎰，即()()()b a f x dx f b a ξ=-⎰ 推广的积分中值定理：设函数()f x 在[,]a b 上连续，则至少存在一点(,)a b ξ∈，使()()()baf x dx f b a ξ=-⎰证明：令()()xax f t dt ϕ=⎰，则()()x f x ϕ'=，由拉格朗日中值定理得，至少存在一点(,)a b ξ∈，使()()()()b a b a ϕϕϕξ'-=-，即()()()b af x dx f b a ξ=-⎰注：虽然由定理2知，存在(,)a b ξ∈，使()()()baf x dx f b a ξ=-⎰，但这并不排除存在[,]a b η∈，使()()()baf x dx f b a η=-⎰，即a η=或b 的可能性。

例如：(),[,]f x c x a b =∈，c 是常数，此时，对于任何[,]a b η∈，都有()()()baf x dx f b a η=-⎰成立。

5.5 关于积分中值定理应用及注意事项

关于积分中值定理应用及注意事项积分中值定理是我们学过的众多定理之一，理论上非常重要，例1. 1()()d x aF x f t t x a =-⎰证明：它有诸多应用，如：证明函数的单调性，不等式，求极限等. 现举例加以说明：若 f (x )在 [a , )上连续且严格单调递增，证明+∞在(a , )内也是严格单增的.+∞显然F (x )是[a , )上的可导函数.+∞考虑 211()()d (),()xa F x f t t f x x a x a'=-+--⎰因为 f (x )在 [a , )内连续， +∞由积分中值定理可知()d ()(),,xa f t t x a f a x ξξ=-<<⎰所以 1()(()()).F x f x f x aξ'=--又 f (x ) 单调递增，当ξ < x 时， f (ξ) < f (x ),从而 ()0,F x '>故F (x )在(a , )内是严格单增的.+∞例2. 1lim d ().n k x n n x e x k +-→∞∈⎰求极限解：由积分中值定理可知 1d ,1n k x k n xe x e n n ξξξ+--=<<+⎰当时，n →∞,ξ→+∞原极限 lim k e ξξξ-→+∞=0.=注意事项：积分中值定理点 ξ 依赖于积分区间和被积函数，不能把它看成常数，否则，在计算或证明中就会犯错误.比如： 10lim d 0.1nn x x x →∞=+⎰证明若由积分中值定理，得 10d ,01,11n n x x x ξξξ=<<++⎰故原极限 lim 0.1nn ξξ→∞==+这种解法是错误的.原因是定理中的ξ 依赖于积分区间和被积函数. 本题中，随着n 的不同，被积函数是变化的，从而ξ 在(0,1)内的位置也不同，记作 ξn .当时， 01n ξ<<lim()n n n ξ→∞未必为0，从而原极限 ()lim 1nn n n ξξ→∞=+未必为0.解法一：当时， 01x <<0,1n n x x x <<+有故 100d 1n x x x <+⎰10d n x x <⎰1,1n =+由夹逼定理， 10lim d 0.1n n x x x →∞=+⎰解法二：由推广的积分中值定理， 11001d d 11nnx x x x x ξ=++⎰⎰1,(1)(1)n ξ=++存在 01,ξ<<原极限 1lim (1)(1)n n ξ→∞=++0.=例3. 1000d 100xe x x -+⎰ 估计的值解：由推广的积分中值定理，有 100100001d =d 100100+x x e x e x x ξ--+⎰⎰1001=(1)(0100)100+e ξξ--<<111200100+100ξ<<由于所以 100100100011(1)d (1)200100100xe e x e x ----<<-+⎰注：若本题直接应用积分中值定理来估计，由于积分区间长度为100，而被积函数的最值相差也不小，则估计的范围会比较大。

中值定理_精品文档

中值定理1. 简介中值定理是微积分中的一个重要定理，它与函数的导数和函数在一个闭区间上的平均值有关。

中值定理包括了拉格朗日中值定理和柯西中值定理。

2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理中的一种形式，描述了函数导数的性质。

定理的表述如下：定理1（拉格朗日中值定理）: 设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可导。

则在(a,b)内存在一个点c，使得f(b)−f(a)=f′(c)(b−a)。

定理1的几何意义是：在闭区间[a,b]上，存在一个点c，使得函数的切线斜率等于函数在闭区间上的平均改变率。

从图像上看，这相当于函数曲线上的某一点，其切线与函数曲线与线段AB的斜率相等。

拉格朗日中值定理的一个重要推论是费马定理，其表述如下：定理2（费马定理）：设函数f(x)在点x=c处取得了极值，并且在x=c处可导，那么f′(c)= 0。

也就是说，在一个连续且可导的函数f(x)的局部极值点上，函数的导数等于零。

3. 柯西中值定理柯西中值定理也是中值定理中的一种形式，它是拉格朗日中值定理的推广形式。

柯西中值定理的表述如下：定理3（柯西中值定理）：设函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，并且在开区间(a,b)上可导，且g′(x)eq0。

那么，存在一个点c，使得$\\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = \\frac{f'(c)}{g'(c)}$。

定理3的几何意义是：在闭区间[a,b]上，存在一个点c，使得函数曲线上的切线与函数曲线的斜率的比值等于两个函数之间的平均改变率的比值。

4. 应用中值定理在微积分中有广泛的应用。

下面介绍几个常见的应用场景：4.1 判断函数在某个区间上的增减性通过中值定理，可以判断函数在某个区间上的增减性。

如果函数在某个区间上的导数恒为正，则函数在该区间上单调递增；如果导数恒为负，则函数在该区间上单调递减。

4.2 寻找函数极值点利用拉格朗日中值定理的推论——费马定理，可以寻找函数的极值点。

积分中值定理及其应用

积分中值定理及其应用
积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它描述了在一定条
件下函数的平均值与积分的关系。

这个定理在数学理论和实际应用
中都有着重要的作用。

在本文中，我们将介绍积分中值定理的基本
概念，以及它在实际问题中的应用。

首先，让我们来看一下积分中值定理的表述。

设函数f(x)在区
间[a, b]上连续，且在开区间(a, b)上可导。

那么存在一个点
c∈(a, b)，使得。

\[f(c) = \frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) dx\]
这个定理告诉我们，对于连续函数来说，在某个点上函数值等
于其在整个区间上的平均值。

这个点c被称为积分中值点。

积分中值定理的一个重要应用是在求解定积分时，可以利用这
个定理来简化计算。

通过积分中值定理，我们可以将定积分转化为
函数在某点的取值，从而简化计算过程。

这在实际问题中特别有用，比如在物理学、工程学和经济学等领域中经常会遇到需要求解定积
分的情况。

另外，积分中值定理还可以用来证明一些重要的不等式，比如均值不等式、柯西-施瓦茨不等式等。

这些不等式在数学分析和实际问题中都有着广泛的应用，而积分中值定理为它们的证明提供了重要的基础。

总之，积分中值定理是微积分中的一个重要定理，它不仅在数学理论中有着重要的地位，而且在实际问题中也有着广泛的应用。

通过对积分中值定理的理解和运用，我们可以更好地理解函数的性质，简化定积分的计算，以及证明一些重要的不等式，为数学理论和实际问题的解决提供了有力的工具。

积分中值定理应用

方法总结
先利用积分中值定理除去积分号得一未定式，再利用洛必达法则求出未定式的极限．
相关例题1
设 a 为常数，求
lim xa x ln(1 1 sin 1) d x ．
x x
2x
解答：
由于对任意的 x 0，函数 x ln(1 1 sin 1) 连 2x
续，故由积分中值定理
xa x ln(1 1 sin 1) d x a ln(1 1 sin 1 ) ，
求 lim n1 x2 ex2 d x ． n n
解答：
应用积分中值定理得
n1 x2 ex2 d x 2 e 2 n n 1 ， n
当 n 时，，且由于
lim x2
x
ex2
limபைடு நூலகம்
x
x2 e x2
2x lim
x 2x e x2
0，
故 lim n1 x2 ex2 d x lim 2 e 2 0 ．
题目
设常数 0 ，求
lim x ln tn d t n 1, 2, ．
x x t 2
解题方法1
先应用积分中值定理去掉积分号，进而用洛必达法则求得极限．
解题步骤1
对任一 0 ，在区间 x, x 上，
f x ln xn 连续，故由积分中值定理知
x2
x
x
ln tn
dt t2
ln n ， x,
x
2x
2
位于 x 与 x a 之间，当 x 时，．
相关例题1
由于
11
11
lim ax ln(1 sin ) a lim x( sin )
x
2x
x 2 x
a lim x 1 a ， x 2x 2

积分中值定理及其应用

积分中值定理及其应用学号：*************师范大学学士学位论文题目积分中值定理及其应用学生&&&&指导教师****** 副教授年级2009级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院***师范大学2013年4月学士学位论文题目积分中值定理及其应用学生******指导教师****** 副教授年级2009级专业数学与应用数学专业系别数学系学院数学科学学院***师范大学2013年4月积分中值定理及其应用摘要:本论文主要内容是积分中值定理及其应用，主要从以下几个方面论述：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点ξ的渐进性，积分中值定理的应用.关键词：积分中值定理；推广；应用一、引言随着科技时代的发展，数学也随之大步前进.其中，微积分的创立，为数学的发展奠定了不可磨灭的基础.积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质，而且在数学分析的学习过程占有很重要的地位，对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我就把积分中值定理及其应用简单清晰论述一下.通常情况下，积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理.而在此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理，即在一个区间上的情形.还讨论了在几何形体上二重、三重积分的情形的积分中值定理.并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如物理学和数学.我们将积分中值定理加以应用，把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式：数学中一些定理的证明，数学定理、命题，几何应用，含定积分的极限应用，确定积分符号，比较积分大小，证明函数单调性，估计积分值.虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们任然可以把它当作一个基础定理，解决一些现实问题.本课题的研究过程为：讨论和分析积分中值定理，然后将其加以推广，讨论各个积分中值定理中的中间点的渐进性质，最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题.课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理、推广、渐进性，将各方面的应用如：估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来.二、积分中值定理的证明 1、定积分中值定理引理：假设M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，则有()()(),()bam b a f x dx M b a a b -≤≤-<⎰成立.证明：因为M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，即()m f x M ≤≤，我们对不等式进行积分可得()bb baaamdx f x dx Mdx≤≤⎰⎰⎰，由积分性质可知()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰ （1）成立，命题得证.定理1（定积分中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在区间[,]a b 上至少存在一个点ξ，使下式()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰成立.证明：由于0b a ->，将（1）同时除以b a -可得1()ba m f x dx Mb a ≤≤-⎰.此式表明1()ba f x dxb a -⎰介于函数()f x 的最大值M 和最小值m 之间.由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间[,]a b 上至少存在一点ξ，使得函数()f x 在点ξ处的值与这个数相等，即应该有1()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，成立，将上式两端乘以b a -即可得到()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰，命题得证.备注1：很显然，积分中值定理中公式()()()baf x dx f b a ξ=-⎰（ξ在a 与b 之间）不论a b <或a b >都是成立的.2、积分第一中值定理定理2（第一积分中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()()()(),()bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=≤≤⎰⎰成立.证明：由于()g x 在[,]a b 上不变号，我们不妨假设()0g x ≥，并且记()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ，即()m f x M ≤≤，将不等式两边同乘以()g x 可知，此时对于任意的[,]x a b ∈都有()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤成立.对上式在[,]a b 上进行积分，可得()()()()b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx≤≤⎰⎰⎰.此时在,m M 之间必存在数值μ，使得m M μ≤≤，即有()()()bbaaf xg x dx g x dxμ=⎰⎰成立.由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的，则在[,]a b 上必定存在一点ξ，使()f ξμ=成立.此时即可得到()()()()bbaaf xg x dx f g x dxξ=⎰⎰，命题得证.3、积分第二中值定理定理3（积分第二中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，而()g x 在区间(,)a b 上单调，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使下式成立()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dxξξ=+⎰⎰⎰ （2）特别地，如果()g x 在区间(,)a b 上单调上升且()0g a ≥ ，那么存在ξ，使下式成立()()()()bbaf xg x dx g b f x dxξ=⎰⎰ （3）如果()g x 在区间(,)a b 上单调下降且()0g b ≥，那么存在ξ，使下式成立()()()()b aaf xg x dx g a f x dxξ=⎰⎰ （4）证明：由题设条件知(),()f x g x 在区间[,]a b 上都是可积的，由积分性质可知()()f x g x ⋅也是可积的.我们先证明（3）式，即在()g x 非负、且在区间(,)a b 上单调上升的情形下加以证明. 对于（4）式证明是类似的，最后我们再将其推导到一般情形，即可证明（2）式.在区间[,]a b 上取一系列分点使011i i n a x x x x x b -=<<<<<<=，记1i i i x x x -∆=-，其中i ω为()g x 在i x ∆上的幅度，即11[][]sup {()}inf {()}i i i i i x x x x g x g x ω----=-，再将所讨论的积分作如下改变：将积分限等分为如下n 等份，并且记11()[()()]ii nx i x i f x g x g x dx ρ-=-=∑⎰，11()()ii nx i x i g x f x dx σ-==∑⎰.则11()()()()ii nbx ax i f x g x dx f x g x dx-==∑⎰⎰1111()()()[()()]i ii i nnx x i i x x i i g x f x dx f x g x g x dx σρ--===+-≡+∑∑⎰⎰，因为()f x 在[,]a b 上可积，且区间[,]a b 是有限的，所以()f x 在[,]a b 上有界，此时我们不妨假设()f x L≤.估计ρ如下：11()[()()]ii nx i x i f x g x g x dxρ-==-∑⎰11()()()ii n x i x i f x g x g x dx-=≤-∑⎰11()()()ii nx i i x i f x g x g x dx-=≤-∑⎰111ii nnx i i ix i i L dx L x ωω-==≤=∆∑∑⎰由于()g x 可积，所以当max 0i x λ=∆→时，有1ni i i x ω=∆→∑，从而有0lim 0λρ→=，从而可知()()lim()lim lim baf xg x dx λλλσρσρ→→→=+=+⎰11lim lim ()()ii nx i x i g x f x dxλλσ-→→===∑⎰我们记()()bxF x f x dx=⎰，由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，那么函数()F x 是[,]a b 上的连续函数，并且有最大值和最小值M 和m ，记为()i m F x M ≤≤，很显然11()()()ii x i i x f x dx F x F x --=-⎰，0()()0F x F b ==，从而11()()ii nx i x i g x f x dxσ-==∑⎰[]11()()()ni i i i g x F x F x -==-∑111()()()()nni i i i i i g x F x g x F x -===-∑∑110121()()()()()()nn i i i i i i g x F x g x F x g x F x --===+-∑∑11011()()[()()]()n i i i i g x F x g x g x F x -+==+-∑因为()g x 是非负的，并且在区间(,)a b 上单调上升，即有10()()()0g x g x g a ≥=≥、1()()0i i g x g x +-≥成立，所以有下式成立()()11111111{()()()}{()()()}n n i i i i i i m g x g x g x M g x g x g x σ--++==+-≤≤+-∑∑.即有()()mg b Mg b σ≤≤成立.从而可以得到lim ()g b σμ=，其中μ满足m M μ<<.由于函数()F x 连续，则在[,]a b 之间存在一点ξ，使()()bF f x dxξμξ==⎰成立，从而有公式（2-3）成立，即()()()()bbaf xg x dx g b f x dxξ=⎰⎰成立，（3）式得证.对于()g x 单调下降且()0g b ≥的情形即公式（4）的证明过程是类似的，证明略.对于()g x 是一般单调上升情形，我们作辅助函数()()()x g x g a ψ=-，其中ψ为单调上升且()0a ψ≥，此时公式（3）对于()x ψ是成立的，即存在ξ使[][]()()()()()()bbaf xg x g a dx g b g a f x dxξ-=-⎰⎰成立，这就证明了公式（2）()()()()()()b baaf xg x dx g a f x dx g b f x dxξξ=+⎰⎰⎰.对于()g x 是一般单调下降的情形，此时应用公式（4），同样可得到（2）式，此命题得证.三、积分中值定理的推广 1、定积分中值定理的推广定理7（推广的定积分中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 连续，则在开区间(,)a b 至少存在一个点ξ，使得下式()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-<<⎰成立.证明：作辅助函数()F x 如下：()(),[,]xaF x f t dt x a b =∈⎰.由于()f x 在闭区间[,]a b 连续，则()F x 在[,]a b 上可微，且有()()F x f x '=成立.由微分中值定理可知：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-成立.并且有()()baF b f t dt=⎰，()0F a =，此时即可得到下式()()(),(,)baf t dt f b a a b ξξ=-∈⎰，命题得证.2、定积分第一中值定理的推广定理8（推广的定积分第一中值定理）：若函数()f x 是闭区间[,]a b 上可积函数，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，则在开区间(,)a b 上至少存在一点ξ，使得()()()(),(,)bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=∈⎰⎰成立.证法1：由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上是可积的，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，令()()()xaF x f t g t dt=⎰，()()xaG x g t dt=⎰，很显然(),()F x G x 在[,]a b 上连续.并且()0,()()()baF a F b f t g t dt==⎰，()0,()()b aG a G b g t dt==⎰，()()()F f g ξξξ'=，()()G g ξξ'= .由柯西中值定理即可得到()()(),(,)()()()F b F a F a b G b G a G ξξξ'-=∈'-，即()()()()()()babaf tg t dtf g g g t dtξξξ=⎰⎰，()()()(),(,)bbaaf tg t dt f g t dt a b ξξ=∈⎰⎰，命题得证.证法2：由于函数()g x 在[,]a b 上可积且不变号，我们不妨假设()0g x ≥.而函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，我们令{}inf ()|[,]m f x x a b =∈，{}sup ()|[,]M f x x a b =∈.假设()F x 是()f x 在闭区间[,]a b 上的一个原函数，即()(),[,]F x f x x a b '=∈.此时我们有下式成立()()()()bbb aaam g x dx f x g x dx M g x dx≤≤⎰⎰⎰（1）由于()0g x ≥，则有()0bag x dx ≥⎰，以下我们分两种情形来进行讨论：[1]如果()0bag x dx =⎰，由（3-1）式可知()()0baf xg x dx =⎰，则此时对于(,)a b ξ∀∈有()()0()()bbaaf xg x dx f g x dxξ==⎰⎰成立.[2]如果()0b ag x dx >⎰，将（3-1）式除以()bag x dx⎰可得()()()babaf xg x dxm Mg x dx≤≤⎰⎰，（2）我们记()()()babaf xg x dxg x dxμ=⎰⎰，（3）此时我们又分两种情形继续进行讨论：i 如果（2）式中的等号不成立，即有()()()babaf xg x dxm Mg x dx<<⎰⎰成立，则此时存在m M μ<<，使得12(),()m f x f x M μμ<≤<≤，我们不妨假设12x x <，其中12,[,]x x a b ∈.因为()()F x f x '=，[,]x a b ∈，则有1122()()()()F x f x f x F x μ''=<<=.此时至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得()()F f ξξμ'==，即有12()()()(),(,)[,]bbaaf xg x dx f g x dx x x a b ξξ=⋅∈∈⎰⎰成立，从而结论成立.ii 如果（2）式中仅有一个等号成立，不妨假设M μ=，因为()0ba g x dx >⎰，此时必存在11[,](,)a b a b ∈（其中11a b <），使得11[,]x a b ∀∈，恒有()0g x >成立，我们则可将（3）式可改写为()()()b baag x dx f x g x dxμ⋅=⎰⎰，因为M μ=，则有[()]()0baM f x g x dx -=⎰（4）又注意到[()]()0M f x g x -≥，必有110[()]()[()]0b ba aM f x g x dx M f x dx ≤-≤-=⎰⎰.于是11[()]()0b a M f x g x dx -=⎰（5）下证必存在11[,](,)a b a b ξ∈⊂，使()f M ξμ==.若不然，则在11[,]a b 上恒有()0M f x ->及()0g x >成立，从而[()]()0M f x g x ->.如果11[()]()0b a M f x g x dx -=⎰，由达布定理在11[,]a b 上有[()]()0M f x g x -，这与[()]()0M f x g x ->矛盾.如果11[()]()0b a M f x g x dx ->⎰，这与（5）式矛盾.所以存在[,]a b ξ∈，使()()()(),(,)bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=∈⎰⎰，定理证毕.3、推广定积分第二中值定理定理9（推广定积分第二中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 可积，()g x 在区间[,]a b 上可积且不变号，则在(,)a b 上必存在一点ξ，使得()()()()()(),(,)bc baacf xg x dx g a f x dx g b f x dx a b ξ=+∈⎰⎰⎰成立.证明过程详见参考文献[9].4、第一曲线积分中值定理定理10（第一型曲线积分中值定理）：如果函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使(,)(,)Cf x y ds f Sξη=⎰成立，其中S 为曲线C 的弧长.证明：因为函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，所以存在,m M R ∈，其中(,)m f x y M ≤≤，对不等式在闭曲线C 上进行第一类曲线积分可得(,)CCCm ds f x y ds M ds⋅≤≤⋅⎰⎰⎰，其中Cds⎰为曲线C 的弧长，并且Cds S=⎰，由于0S >，将上式同除以常数S ，即可得到1(,)C m f x y ds M S ≤≤⎰，由于函数(,)f x y 在曲线C 上连续，故由闭区间上连续函数的介值定理，在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使1(,)(,)C f f x y ds S ξη=⎰成立，左右两边同除以常数S ，即可得到结论，从而命题得证.5、第二曲线积分中值定理定理11（第二型曲线积分中值定理）：如果函数(,)f x y 在光滑有向曲线C 上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Cf x y dx f Iξη=±⋅⎰成立.其中I 为光滑有向曲线C 在x 轴正向上的投影，其中符号“±”是由曲线C 的方向确定的.证明：因为函数(,)f x y 在有界闭曲线C 上连续，所以存在,m M R ∈，其中(,)m f x y M ≤≤，对上式进行第二型曲线积分可得(,)cCcm dx f x y dx M dx≤≤⎰⎰⎰（6）其中cdx ⎰为有向光滑曲线C 在x 轴上的投影，此时我们不妨记cdx I =±⎰，并且分以下两种情况进行讨论：[1]假设cdx I =⎰，将（3-6）式除以I 可得1(,)C m f x y dx M I ≤≤⎰.因为(,)f x y 在C 上连续，故由介值定理，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使1(,)(,)C f x y dx f I ξη=⎰成立，即有(,)(,)Cf x y dx f Iξη=⋅⎰成立.[2]同理当cdx I =-⎰，式左右两边同时除以I -可得1(,)C M f x y dx m I -≤-≤-⎰，因为(,)f x y 在C 上连续，故由介值定理，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使1(,)(,)C f x y dx f I ξη-=⎰ 成立，即有(,)(,)Cf x y dx f Iξη=-⋅⎰成立，由上面证明过程可得(,)(,)Cf x y dx f Iξη=±⋅⎰，命题得证.6、第一曲面积分中值定理定理12（第一型曲面积分中值定理）：设D 为xoy 平面上的有界闭区域，其中(,)z z x y =为光滑曲面S ，并且函数(,,)f x y z 在S 上连续，则在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)Sf x y z d f Aσξηζ=⋅⎰⎰成立，其中A 是曲面S 的面积.证明：因为(,,)f x y z 在曲面S 上连续，所以存在,m M R ∈且使得(,,)m f x y z M ≤≤成立，我们对上式在S 上进行第一类曲面积分可得(,,)SSSm d f x y z d M d σσσ⋅≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中Sd σ⎰⎰为曲面的面积，且Sd Aσ=⎰⎰，因为0A ≠，两边同除以A 有1(,,)Sm f x y z d M A σ≤≤⎰⎰，由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续，故由介值定理，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使1(,,)(,,)Sf f x y z d A ξηζσ=⎰⎰，成立，两边同时乘以A 可得(,,)(,,)Sf x y z d f Aσξηζ=⋅⎰⎰，命题得证.7、第二曲面积分中值定理定理13（第二型曲面积分中值定理）：若有光滑曲面:(,),(,)xyS z x y x y D ∈，其中xyD 是有界闭区域，函数(,,)f x y z 在S 上连续，由此在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)Sf x y z dxdy f Aξηζ=±⋅⎰成立，其中A 是S 的投影xyD 的面积.证明：因为函数(,,)f x y z 在曲面S 上连续，所以存在,m M R ∈使得(,,)m f x y z M ≤≤，对上式在曲面S 上进行第二类曲面积分可得(,,)SSSm dxdy f x y z dxdy M dxdy⋅≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中Sdxdy⎰⎰为(,,)f x y z 投影在曲面xy D上的面积，并且我们记Sdxdy A=±⎰⎰.[1]若Sdxdy A=⎰⎰，则上式除以A 有1(,,)Sm f x y z dxdy M A ≤≤⎰⎰，由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续，故由介值定理，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使1(,,)(,,)S f f x y z dxdy A ξηζ=⎰⎰，两边同时乘以A 有(,,)(,,)Sf x y z dxdy Af ξηζ=⎰⎰，[2]同理，若Sdxdy A=-⎰⎰，则上式除以A -有1(,,)SM f x y z dxdy m A -≤-≤-⎰⎰，由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续，故由介值定理，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使1(,,)(,,)S f f x y z dxdy A ξηζ=-⎰⎰，两边同时乘以A -有(,,)(,,)SAf f x y z dxdyξηζ-=⎰⎰.由以上证明过程可得(,,)(,,)Sf x y z dxdy f Aξηζ=±⋅⎰，从而结论成立.四、第一积分中值定理中值点的渐进性定理14 ：假设函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，其中()f x 在a 点的直到1n -阶右导数为0，而n 不为0，即(1)()()()0n f a f a f a -+++'''====，()()0n f a +≠，并且有()()n f x 在a 点连续；函数()g x 在[,]a b 可积且不变号，并且对于充分小的0()a b δδ>+<， ()g x 在[,]a a δ+上连续，且()0g a ≠，则第一积分中值定理中的中值点ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.证明：对任意(,)x a b ∈，我们做一个辅助函数()F x 如下：1()()()()()()xxaan f t g t dt f a g t dtF x x a +-=-⎰⎰一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则()()()()lim ()lim(1)()nx a x a f x g x f a g x F x n x a →+→+-=+-()()()lim ()1n x a f x f a g x x a n →+-=-+001()()lim ()lim1()n x a x a f x f a g x n x a →+→+-=⋅⋅+-由积分中值定理和洛比达法则可以得到()0()()()lim ()!n n x a f a f x f a x a n +→+-=-，从而()0()()lim ()(1)!n x a g a f a F x n +→+=+. （1）且有()0()()()lim ,()()!n n x a f a f f a a x a n ξξξ+→+-=<<-成立.另一方面，由积分中值定理和洛比达法则可得1()()()()lim ()lim()x xaan x a x a f g t dt f a g t dtF x x a ξ+→+→+-=-⎰⎰=0()()()lim ()xna n x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ→+⎡⎤--⎛⎫⎢⎥⋅⋅ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰ 000()()()lim lim lim ()a na n x a x a g t dtf f a a a x a δδξξξδ+→+→+→+--⎛⎫=⋅⋅ ⎪--⎝⎭⎰由洛比达法则，则有()lim()a ag t dtg a δδδ+→+=⎰，因此可得()0()()lim ,()!nn x a f a g a a a x n x a ξξ+→+-⎛⎫=⋅<< ⎪-⎝⎭. （2）比较（4-1）式与（4-2）式可以得到lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.定理15：假设函数()f x 在[,]a b 上连续，()f a +'存在并且有()0f a +'≠，()[,]g x a b 在上有m 阶导数，有(1)()()()()0m g a g a g a g a -+++'''=====， ()()0m g a +≠成立，并且()()m g x 在a 点连续，()g x 不变号，则第一积分中值定理中的点ξ满足1lim,(,)2x a am x a b x am ξ→+-+=∈-+.证明：对任意的(,)x a b ∈，构造辅助函数()H x 如下2()()()()()()xxaam f t g t dt f a g t dtH x x a +-=-⎰⎰ .一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有10()()()()lim ()lim (2)()m x a x a f x g x f a g x H x m x a +→+→+-=+-=()()()1lim()2m x a f x f a g x x a x a m →+-⋅⋅--+由于0x a →+，则0()()lim()x a f x f a f a x a +→+-'=-，且函数()[,]g x a b 在上有m 阶导数，则上式等于()0()1()1()lim ()2()2!m m x a g x g x f a f a m x a m m +++→+''⋅⋅=⋅⋅+-+（3）另一方面，由积分中值定理()()()()xxaaf tg t dt f g t dtξ=⎰⎰.则2[()()]()lim ()lim()()xam x a x a f f a g t dtH x a x x a ξξ+→+→+-⋅=<<-⎰=10()[()()]lim ()xa m x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+--⋅⋅---⎰=1000()[()()]lim lim lim ()xam x a x a x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+→+→+--⋅⋅---⎰对()H x 使用洛比达法则可得=()0()()lim(1)!m x a g a a f a m x a ξ++→+-'⋅⋅+-（4）比较（3），（4）式我们可以得到1lim,(,)2x a am x a b x am ξ→+-+=∈-+.定理16：设函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，(1)()()()0n f a f a f a -+++'''====，()()0n f x ≠，()()n f x 在a点连续；函数()[,]g x a b 在上有m阶导数，且(1)()()()()0m g a g a g a g a -+++'''=====，()()0m g a ≠，并且()()m g x 在a 点连续，()g x 不变号，则第一积分中值定理中的ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.证明：对任意的(,)x a b ∈，我们构造辅助函数()L x 如下1()()()()()()xxaam n f t g t dt f a g t dtL x x a ++-=-⎰⎰一方面，由于0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有()()()()lim ()lim (1)()m n x a x a f x g x f a g x L x m n x a +→+→+-=++-=()()()1lim()()1n m x a f x f a g x x a x a m n →+-⋅⋅--++001()()()lim lim1()()nm x a x a f x f a g x m n x a x a →+→+-=⋅⋅++--由于函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，且函数()g x 在[,]a b 上m 阶可导，则上式等于()()()()11!!n m f a g x m n n m ++=⋅⋅++ （5）另一方面，由积分中值定理()()()()xxaaf tg t dt f g t dtξ=⎰⎰.则1[()()]()lim ()lim()()xa m n x a x a f f a g t dtL x a x x a ξξ++→+→+-⋅=<<-⎰=10()[()()]()lim ()()()xna n m m x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+--⋅⋅---⎰=1000()[()()]()lim lim lim ()()()xnan m m x a x a x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+→+→+--⋅⋅---⎰对()L x 使用洛比达法则可得()()0()()lim ,()!(1)!nn m x a f a g a a a x n x a m ξξ++→+-⎛⎫=⋅⋅<< ⎪-+⎝⎭ （6）比较（5）、（6）式我们可以得到0lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.五、第二积分中值定理中值点的渐进性定理17 ：假设函数()[,]f x a b 在上单调，并且在a 点的右导数存在，且有(0)0f a '+≠；()g x 在[,]a b 上可积，在a 点的右极限存在，且(0)0g a +≠.则第二积分中值定理中的ξ满足01lim,(,)2x a ax a b x a ξ→+-=∈-.证明：对于任意的(,)x a b ∈，构造辅助函数()F x 如下2()()()()()()xxaaf tg t dt f a g t dtF x x a -=-⎰⎰.一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则可得()()()()lim ()lim2()x a x a f x g x f a g x F x x a →+→+-=-001()()1lim lim ()(0)(0)02()2x a x a f x f a g x f a g a x a →+→+-'==++≠-（1）另一方面，由第二积分中值定理，有2()()()()()()lim ()lim()x xaax a x a f a g t dt f x g t dt f a g t dtF x x a ξξ→+→++-=-⎰⎰⎰20()()()()()()()lim()x xa a a a x a f a g t dt f x g t dt g t dt f a g t dtx a ξξ→+⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰⎰[][]2()()()()()()lim()x aax a f x f a g t dt f x f a g t dtx a ξ→+---=-⎰⎰00()()()()lim lim x aa x a x a g t dt g t dt f x f a x a x aξ→+→+⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎰⎰ 00()()()()lim lim x a a x a x a g t dt g t dt f x f a a x a x a a x a ξξξ→+→+⎡⎤--⎢⎥=-⋅⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎰⎰0(0)(0)(0)limx a a f a g a g a x a ξ→+-⎡⎤'=++-+⎢⎥-⎣⎦ 0(0)(0)1limx a a f a g a x a ξ→+-⎡⎤'=++-⎢⎥-⎣⎦（5-2）比较（5-1）、（5-2）式知011lim2x a ax aξ→+--=-，即可得到01lim 2x a a x a ξ→+-=-. 将此定理推广，即可得到以下定理定理18：假设函数()f x 在[,]a b 上单调，在[,]a b 内有直到n 阶导数，()()n f x 在a 点连续，()f x 在a 点的右导数满足(1)(0)(0)(0)0n f a f a f a -'''+=+==+=，()(0)0;n f a +≠()g x 在[,]a b 上可积，在a 点的右极限存在，且(0)0g a '+≠，则第二积分中值定理中的ξ满足lim,(,)1x a anx a b x an ξ→+-=∈-+.定理19：假设函数()f x 在[,]a b 上单调，函数()f x 在a 点的右导数存在，并且有(0)0f a '+≠；()g x 在[,]a b 上存在直到m 阶导数，且有()()m g x 在a 点连续，并且满足(1)()(0)(0)0m g a g a g a -'=+==+=，()(0)0m g a +≠，则第二积分中值定理中的点ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.定理20：假设函数()f x 在[,]a b 上单调，在[,]a b 上有直到n 阶的导数，()()n f x 在a 点连续，并且在a 点的右导数满足(1)(0)(0)(0)0n f a f a f a -'''+=+==+=，()(0)0n f a +≠；()g x 在[,]a b上存在直到m 阶导数，()()m g x 在a 点连续，且满足(1)()(0)(0)0m g a g a g a -'=+==+=，()(0)0m g a +≠，则第二积分中值定理中的点ξ满足0lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.6 积分中值定理的应用 6.1 估计积分值例1 估计2010.5sin xdxx +⎰的积分解：由于11110.510.5sin 10.5x ≤≤++-，即212310.5sin x ≤≤+.于是2044310.5sin x dx x ππ≤≤+⎰此时可得到估计的积分值为2084(1)10.5sin 33xdx x ππθθ=±≤+⎰.例2 估计2sin ,(0)bax dx a b <<⎰的积分解：设x =.则2221sin 2bb a a x dx =⎰⎰，其次，假设()sin f t t =和12()t tϕ-=，则()t ϕ单调下降，并且有()0t ϕ>.于是，2222111sin (cos cos )222b a a tdx a a a ξξ==-⎰⎰2211sin sin 22a a a a ξξθ+-==其中22a b ξ≤≤，1θ≤.因此2sin (1)bax dx aθθ=≤⎰.例3 证明等式sin lim 0n pnn xdx x +→∞=⎰.证法1：由第一积分中值定理可知sin sin lim lim 0n pn nn n n xdx p x ξξ+→∞→∞==⎰，其中n ξ位于n 和n p +之间的某个值.证法2：由第二积分中值定理可知得sin 1sin nn pnnx dx xdxx nξ'+=⎰⎰11cos cos 0()nn n n n ξ'=-≤→→∞，其中n ξ位于n 和n p +之间的某个值，于是sin lim 0n p nn xdx x +→∞=⎰.2、求含定积分的极限例4 求极限120lim 1nn x x →∞+⎰解：利用广义积分中值定理1122001lim 11n n n x dx x dxx ξ→∞=++⎰⎰1102211[],(01)11(1)(1)n x n n ξξξ+==≤≤++++则12201lim lim 01(1)(1)n n n x dx x n ξ→∞→∞==+++⎰3、确定积分号例5确定积分131x x e dx-⎰的符号解：11133333111()()xxxtx x e dx x e dx x e dxx t t e d t x e dx----=+=---+⎰⎰⎰⎰⎰1113333311()txtxx x t e dt x e dx t e dt x e dx x e e dx--=+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰由积分中值定理可知1331()0x x e dx e e ξξξ--=-≥⎰其中(01)ξ≤≤.又3xx e 在[1,1]-上不恒为0，则有1310xx e dx ->⎰，即131xx e dx -⎰的符号为正号.4、比较积分大小例6 比较积分34sin xπ⎰和240sin xπ⎰的大小解：当(0,)4x π∈时，0sin 1x <<，从而有320sin sin 1x x <<<，于是我们有32440sin sin x xππ≤⎰⎰，即340sin xπ⎰小于等于240sin xπ⎰.5、证明函数的单调性例7设函数()f x 在(0,)+∞上连续，其中0()(2)()xF x x t f t dt=-⎰，试证：在(0,)+∞内，若()f x 为非减函数，则()F x 必为非增函数.证明：利用分歩积分法，将()F x 化为()(2)()()2()x x xF x x t f t dt x f t dt tf t dt=-=-⎰⎰⎰对上式求导，可以得到：()()()2()()()x xF x f t dt xf x xf x f t dt xf x '=+-=-⎰⎰.由积分中值定理，可得：()()()(()()),(0)F x xf xf x x f f x x ξξξ'=-=-≤≤.若()f x 为非减函数，则有()()0f f x ξ-≤成立，因此可以得到()0F x '≤，故()F x 为非增函数，命题得证.6、证明定理例8 证明（阿贝尔判别法）如果()f x 在[,)a +∞上可积，()g x 单调有界，那么()()a f x g x dx+∞⎰收敛.证明：由假设条件，利用第二中值定理，在任何一个区间[,]A A '上（其中,A A a '>），存在[,]A A ξ'∈，使得()()()()()()A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dxξξ'''=+⎰⎰⎰.因为()f x 在[,)a +∞上可积，则()af x dx+∞⎰收敛，所以对于任何0ε>，存在0A a ≥，使得当0,A A A '≥时，成立(),()A Af x dx f x dx ξξεε'<<⎰⎰.又由0(),,g x L A A A '<≥所以当时，有()()()()()()A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dxξξ'''=+⎰⎰⎰()()()()2A Ag A f x dx g A f x dx L ξξε''≤+≤⎰⎰，根据柯西收敛原理可推知积分()()af xg x dx+∞⎰收敛.备注2：当讨论无界函数广义积分时，可将阿贝尔判别法可改写为：假设()f x 在x a =有奇点，()baf x dx⎰收敛，()g x 单调有界，那么积分()()baf xg x dx⎰收敛.证明：对()()a a f x g x dxηη'++⎰应用第二积分中值定理，证明过程略.备注3：当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广义积分的阿贝尔判别法可写为：假设(,)af x y dx+∞⎰关于[,]y c d ∈为一致收敛，(,)g x y 关于x 单调（即对每个固定的[,]y c d ∈，(,)g x y 作为x 的函数是单调的），并且关于y 是一致有界的，即存在正数L ，对所讨论范围内的一切,x y 成立：(,)g x y L <.那么积分(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的.证明：由于(,)af x y dx+∞⎰关于[,]y c d ∈是一致收敛的，则对于任意正数0ε>，存在0A a ≥，当0,A A A '≥时，成立(,)A Af x y dx ε'<⎰.因此，当0,A A A '≥时，将y 看成给定常数，则由积分第二中值定理中的公式(,)(,)A Af x yg x y dx '⎰()()(,)(,)(,)(,)y A Ay g A y f x y dx g A y f x y dxεε''=+⎰⎰因为对任意的,x y 都有(,)g x y L<，则(,)(,)2A Af x yg x y dx L ε'≤⎰.因此，(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的，命题得证.例9 证明（狄里克莱判别法）如果()()AaF A f x dx=⎰有界，即存在0K >，使得(),()Aaf x dx Kg x ≤⎰单调且当x →+∞时趋向于零，那么积分()()af xg x dx+∞⎰收敛.证明：因为()0()g x x →→+∞，所以对任意的0ε>，存在0A ，当0,A A A '≥时，()g A ε<，()g A ε'<.又因()Aaf x dx K≤⎰，所以()()()2AAaaf x dx f x dx f x dx Kξξ=-≤⎰⎰⎰，同样我们有()2A f x dx Kξ'≤⎰.由第二积分中值定理，只要0,A A A '≥，就有()()()()()()4A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dx K ξξε'''≤+≤⎰⎰⎰所以积分()()af xg x dx+∞⎰收敛，命题得证.备注4：当讨论无界函数广义积分时，我们可将狄立克莱判别法写为：设()f x 在x a =有奇点，()ba f x dx η+⎰是η的有界函数，()g x 单调且当x a →时趋于零，那么积分()()baf xg x dx⎰收敛.证明：对()()a a f x g x dxηη'++⎰应用第二积分中值定理，证明过程略.备注5：当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广义积分的狄立克莱判别法写为：设积分(,)A af x y dx⎰对于A a ≥和[,]y c d ∈是一致有界的，即存在正数K ，使对上述,A y 成立(,)Aaf x y dx K≤⎰又因为(,)g x y 关于x 是单调的，并且当x →+∞时，(,)g x y 关于[,]c d 上的y 一致趋于零，即对于任意给定的正数ε，有0A ，当0x A ≥时，对一切[,]y c d ∈成立(,)g x y ε<，那么积分(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的.证明：由所假设的条件可推知对任何,A A a '≥，有(,)(,)(,)A AA Aaaf x y dx f x y dx f x y dx''=-⎰⎰⎰(,)(,)2AA aaf x y dx f x y dx K'≤+≤⎰⎰而由(,)g x y ε<和上式可推知，当,A A a '≥时()(,)(,)(,)(,)A y AAf x yg x y dx g A y f x y dxε'≤⎰⎰()(,)(,)224A y g A y f x y dx K K K εεεε''+<⋅+⋅=⎰，因此，(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的，命题得证.参考文献：[1] 陈纪修、於崇华、金路.数学分析（第二版上册）.北京:高等教育出版社，2004.294-310 [2] 陈纪修、於崇华、金路.数学分析（第二版下册）.北京:高等教育出版社，2004.165-170 [3] 陈传璋、金福林等编.数学分析（下册）.北京：高等教育出版社，1983. 286-288 [4] 陈传璋、金福林等编.数学分析（上册）.北京：高等教育出版社，1983. 51-56， 252 [5] 同济大学应用数学系.高等数学（第五版上册）.北京：高等教育出版社，1996. 232THE MEAN-VALUE THEOREM AND ITS APPLICATIONAbstract:The main content of this paper are the mean-value theorem and its application, it will be mainly divided into the following respects: integral mean-value theorem, the generalation of integral mean-value theorem, the asymptotic property of the “intermediate point”of integral median point, the application of integral mean-value theorem.Key words:integral mean-value; theorem promotion ;apply指导教师评语页本科毕业论文（设计）答辩过程记录院系数学科学学院专业数学与应用数学年级2009 级答辩人姓名**** 学号**********毕业论文（设计）题目积分中值定理及其应用毕业论文（设计）答辩过程记录：答辩是否通过：通过（）未通过（）记录员答辩小组组长签字年月日年月日=本科毕业论文（设计）答辩登记表。

微积分中值定理及其应用

微积分中值定理及其应用
微积分的值定理是一个很重要的定理，它通常被用来求解复杂函数的积
分值。

值定理告诉我们，任何一个定义在实数段上的函数f在范围
（a≤x≤b）上至多只有一个不变点，并且它等于函数f在这个范围上的积
分值c=∫a﹣b f（x）dx。

值定理有多种不同的应用，广泛用于函数积分、函数极限以及定积分的
解决。

用值定理求积分的方法通常称为值定理逼近法。

首先，将一个积分表
达式分解为多个函数的积分，然后利用值定理的思想，将这些函数的积分求出，最后，将这些函数的积分求和，即可得到原积分表达式的积分结果。

值定理也可以用来求解函数极限，即当函数f(x)在x=a处取极值时，将
该函数积分以得到极限。

这实际上是应用积分来求取极限的一种方法，也称
为值定理极限法或积分极限法。

它的原理是，当函数取到极值时，把它积分，就会把该函数的参量控制，也就可以使函数的值趋近极限的值，即求解函数
的极限。

值定理也被广泛应用于定积分的解决中。

定积分是由函数和定义域定义
的定积分问题，要求该函数在这个定义域上积分的结果。

一般来说，将定积
分分解为若干函数的积分，然后运用值定理解决，即将它们的积分和加起来，得到定积分问题的答案。

以上就是关于微积分中值定理及其应用的简单介绍。

它是微积分中一个
重要的定理，在函数积分、极限以及定积分的解决中应用的非常广泛，具有
极大的实际意义。

积分中值定理的应用

略谈积分中值定理及其应用白永丽张建中 (平顶山工业职业技术学院)积分中值定理是定积分的一个重要性质，它建立了定积分与被积函数之间的关系，从而使我们可以通过被积函数的性质来研究积分的性质，有较高的理论价值和广泛的应用。

本文就其在解题中的应用进行讨论。

一、积分中值定理的内容：定理1（积分第一中值定理）若)x (f 在]b ,a [上连续，则在]b ,a [上至少存在一点ξ使得 b a ),a b ()(f dx )x (f ba ≤ξ≤-ξ=⎰ （1）定理2（推广的积分第一中值定理）若)x (g ),x (f 在闭区间]b ,a [上连续，且)x (g 在]b ,a [上不变号，则在]b ,a [至少存在一点ξ，使得b a ,dx )x (g )(f dx )x (g )x (f ba ba ≤ξ≤ξ=⎰⎰ （2）证明：（推广的积分第一中值定理）不妨设在]b ,a [上0)x (g ≥则在]b ,a [有其中m,M 分别为)x (f 在]b ,a [上的最小值与最大值，则有：若⎰=b a 0dx )x (g ，则由上式知⎰=ba 0dx )x (g )x (f ，从而对]b ,a [上任何一点ξ，定理都成立。

若⎰≠ba 0dx )x (g 则由上式得：则在]b ,a [上至少有一点ξ，使得即：.b x a ,dx )x (g )(f dx )x (g )x (f ba b a ≤≤ξ=⎰⎰ 显然，当1)x (g ≡时，（2）式即为（1）式二、积分中值定理的应用由于该定理可以使积分号去掉，从而使问题简化，对于证明包含函数积分和某个函数值之间关系的等式或不等式，常可以考虑使用积分中值定理，在应用积分中值定理时应注意以下几点：（1）在应用中要注意被积函数在区间]b ,a [上连续这一条件，否则，结论不一定成立。

例如：,4x 0,x cos 0x 4,x cos )x (f ⎪⎩⎪⎨⎧π≤≤<≤π--=显然)x (f 在0x =处间断。

微积分中的积分中值定理与应用

微积分中的积分中值定理与应用微积分是数学中非常重要的一门学科，它不仅仅有理论知识，还有强大的应用价值。

其中，积分中值定理是微积分中重要的定理之一。

本文将介绍积分中值定理的概念与定理，以及它在实际应用中的作用。

一、积分中值定理的概念与定理积分中值定理是微积分中比较重要的一个定理，其实质是将积分中的连续函数映射到了求导中的函数上。

简单来说，就是将求积分变成了求导数。

在微积分中，对于一个连续函数f(x)，如果它在区间[a,b]上积分等于区间长度(b-a)×函数在[a,b]中某一点的值，那么一定存在某一个c∈[a,b]，使得f(c)=(1/(b-a))×∫[a,b]f(x)dx。

这就是积分中值定理的数学表述。

从图形的角度来理解，积分中值定理表明了在[a,b]上积分等于积分曲线的平均值与x轴之间的面积，也就是说，存在某一个点c，函数f(x)在该点的函数值等于积分曲线通过x轴的平均值。

这个点c就是积分中值点。

积分中值定理的证明方式有很多，这里不做详细讲解。

但需要注意的是，积分中值定理的前提是函数f(x)在区间[a,b]上连续，否则定理不成立。

二、积分中值定理的应用积分中值定理是微积分中非常重要的定理，不仅有重要的理论价值，还有强大的应用价值。

下面将讨论积分中值定理在实际应用中的一些典型情况。

1、平均值问题积分中值定理可以用来解决平均值相关的问题。

例如，求一个连续函数在某一区间上的平均值。

假设f(x)在区间[a,b]连续，那么根据积分中值定理，存在某一个c∈[a,b]，使得f(c)等于积分曲线的平均值（也就是∫[a,b]f(x)dx/(b-a)）。

因此，可以通过积分中值定理求出函数在区间上的平均值。

这种方法可以适用于各种求平均值的问题，例如温度的平均值、电压的平均值、质量的平均值等。

2、最大值与最小值问题积分中值定理可以用来求解连续函数的最大值与最小值。

假设f(x)在区间[a,b]上连续，并且有极值，那么根据极值定理，存在一个点c∈[a,b]，使得f(c)等于函数f(x)在该区间上的最大值或最小值。

积分中值定理的原理和应用

积分中值定理的原理和应用1. 积分中值定理的原理积分中值定理是微积分中的重要定理之一，它描述了函数在某个区间上的平均值与该函数在同一区间上的某个点的函数值之间的关系。

具体而言，积分中值定理表述如下：定理 1（积分中值定理）:若f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数，并且F(x)是f(x)的一个原函数，则存在 $c \\in (a,b)$，使得：$$\\int_a^b f(x)dx = (b-a)F(c)$$其中，$\\int_a^b f(x)dx$ 表示函数f(x)在闭区间[a,b]上的积分，(b−a)表示区间[a,b]的长度。

从定理 1 可以看出，对于具有原函数的连续函数来说，其在某个区间上的积分值与此函数在该区间上的某个点函数值成正比。

2. 积分中值定理的应用积分中值定理是微积分中很常用的工具之一，它在数学和科学的各个领域都有重要的应用。

下面将介绍一些常见的应用场景。

2.1 函数平均值的计算根据积分中值定理，我们可以计算函数f(x)在区间[a,b]上的平均值。

根据定理 1，可以得到：$$\\frac{1}{b-a}\\int_a^b f(x)dx = F(c)$$其中F(c)为函数f(x)在区间[a,b]上某个点的函数值。

因此，可以通过求函数f(x)在区间[a,b]上的积分来计算函数的平均值。

2.2 曲线长度的计算另一个应用积分中值定理的例子是计算曲线的长度。

设有一条曲线C，其方程为y=f(x)，其中f(x)在闭区间[a,b]上连续并具有连续的导数。

我们可以将曲线划分成若干小段，然后计算每个小段的长度，再将所有小段长度相加即可得到整条曲线的长度。

如果我们设 $\\Delta x$ 为小段的长度，根据微积分的概念，可以得到：$$\\Delta L = \\sqrt{1 + [f'(x)]^2} \\Delta x$$其中f′(x)表示f(x)的导数。

由积分中值定理可知，存在 $c \\in (a,b)$，使得：$$\\int_a^b \\sqrt{1 + [f'(x)]^2} dx = (b-a)\\sqrt{1 + [f'(c)]^2}$$这样，我们就可以通过计算积分来求得整条曲线的长度。

中值定理及其应用

中值定理及其应用中值定理是微积分中的重要定理之一，它是高阶微积分的基础，被广泛应用于物理、经济、工程等领域。

在本文中，我们将介绍中值定理的概念、证明以及其在实际问题中的应用。

一、中值定理的概念中值定理是微积分中的一个基本定理，用来分析函数在某个区间上的平均变化率与瞬时变化率的关系。

它由罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理组成。

1. 罗尔定理罗尔定理是中值定理的基础，它主要用于研究函数在闭区间上连续且在开区间上可导的情况。

罗尔定理的表述为：设函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且满足f(a) = f(b)，则存在c∈(a,b)，使得f'(c) = 0。

2. 拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是中值定理的一种形式，它由罗尔定理推导而来。

拉格朗日中值定理的表述为：如果函数f(x)在闭区间[a, b]上连续，在开区间(a, b)上可导，则存在c∈(a, b)，使得f'(c) = (f(b) - f(a))/(b - a)。

3. 柯西中值定理柯西中值定理是中值定理的另一种形式，它由拉格朗日中值定理推导而来。

柯西中值定理的表述为：如果两个函数f(x)和g(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a, b)上可导，并且g'(x)≠0，则存在c∈(a, b)，使得[f(b) - f(a)]/g(b) - g(a) = f'(c)/g'(c)。

二、中值定理的证明中值定理的证明相对复杂，需要运用到微积分中的一些基本概念和定理。

在这里，我们将省略中值定理的详细证明过程。

三、中值定理的应用中值定理在实际问题中具有广泛的应用。

以下是几个常见的应用实例：1. 平均速度与瞬时速度根据拉格朗日中值定理，对于一段时间内的平均速度与某一时刻的瞬时速度，它们之间存在一个相等的关系。

这在物理学中有着重要的意义，可以通过计算平均速度来得到瞬时速度的近似值。

2. 函数求导与图像切线中值定理可以用于求解函数的导数以及函数图像的切线。

0到2分之π积分xsinx 用积分中值定理

0到2分之π积分xsinx 用积分中值定理（实用版）目录1.积分中值定理的概述2.0 到 2 分之π积分 xsinx 的求解过程3.积分中值定理在此过程中的应用正文【提纲】1.积分中值定理的概述在微积分中，积分中值定理是一个重要的工具，它可以用来求解一些复杂的积分问题。

这个定理的基本思想是，如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 上可导，那么在这个区间上一定存在一个点 c，使得 f(b) - f(a) = f"(c)(b - a)。

换句话说，就是对于一个连续可导的函数，其在一个区间内的平均变化率等于在该区间内某一点的瞬时变化率。

2.0 到 2 分之π积分 xsinx 的求解过程现在，我们用积分中值定理来求解一个具体的积分问题：0 到 2 分之π积分 xsinx。

这个问题可以表示为∫(0, 2π) xsinx dx。

首先，我们可以确认，xsinx 在区间 [0, 2π] 上连续，且在开区间 (0, 2π) 上可导。

根据积分中值定理，我们知道在区间 [0, 2π] 内存在一个点 c，使得∫(0, 2π) xsinx dx = x*sinx | (0, 2π) = sin(c)。

现在的问题是如何找到这个点 c。

3.积分中值定理在此过程中的应用为了找到点 c，我们可以利用积分中值定理的另一个重要结论：如果函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，在开区间 (a, b) 上可导，那么 f(b) - f(a) = f"(c)(b - a) 式中的 c 一定位于函数 f(x) 在区间 [a, b] 上的某个点，也就是说，c 是 f(x) 在区间 [a, b] 上的一个中值点。

回到我们的问题，我们可以将 a 设为 0，b 设为 2π，f(x) 设为xsinx。

然后，我们可以计算 f(0) 和 f(2π)，分别为 0 和 2π^2。

将这些值代入上述公式，我们可以得到 c = (0 + 2π^2) / (2π) = π。

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学号：****＊**＊＊＊***师范大学学士学位论文题目积分中值定理及其应用学生＆＆&＆指导教师**＊*＊＊副教授年级2009级专业数学与应用数学系别数学系学院数学科学学院***师范大学2013年4月学士学位论文题目积分中值定理及其应用学生＊**＊＊＊指导教师＊***＊*副教授年级2009级专业数学与应用数学专业系别数学系学院数学科学学院*＊＊师范大学2013年4月积分中值定理及其应用摘要：本论文主要内容是积分中值定理及其应用，主要从以下几个方面论述:积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点ξ的渐进性，积分中值定理的应用。

关键词：积分中值定理；推广；应用一、引言随着科技时代的发展，数学也随之大步前进。

其中，微积分的创立,为数学的发展奠定了不可磨灭的基础。

积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质，而且在数学分析的学习过程占有很重要的地位,对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我就把积分中值定理及其应用简单清晰论述一下.通常情况下，积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理。

而在此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理,即在一个区间上的情形。

还讨论了在几何形体上二重、三重积分的情形的积分中值定理。

并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如物理学和数学。

我们将积分中值定理加以应用，把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式:数学中一些定理的证明，数学定理、命题,几何应用，含定积分的极限应用，确定积分符号，比较积分大小，证明函数单调性,估计积分值.虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们任然可以把它当作一个基础定理，解决一些现实问题.本课题的研究过程为:讨论和分析积分中值定理,然后将其加以推广，讨论各个积分中值定理中的中间点的渐进性质，最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题.课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理、推广、渐进性,将各方面的应用如：估计积分值，求含有定积分的极限,确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来.二、积分中值定理的证明1、定积分中值定理引理:假设M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，则有()()(),()bam b a f x dx M b a a b -≤≤-<⎰成立.证明:因为M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值,即()m f x M≤≤，我们对不等式进行积分可得()bb baaamdx f x dx Mdx≤≤⎰⎰⎰，由积分性质可知()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰(1）成立,命题得证.定理1（定积分中值定理):如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在区间[,]a b 上至少存在一个点ξ，使下式()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰成立。

证明:由于0b a ->，将(1）同时除以b a -可得1()ba m f x dx Mb a ≤≤-⎰.此式表明1()ba f x dxb a -⎰介于函数()f x 的最大值M 和最小值m 之间.由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间[,]a b 上至少存在一点ξ，使得函数()f x 在点ξ处的值与这个数相等，即应该有1()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，成立，将上式两端乘以b a -即可得到()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰，命题得证.备注1：很显然,积分中值定理中公式()()()baf x dx f b a ξ=-⎰（ξ在a 与b 之间）不论a b <或a b >都是成立的.2、积分第一中值定理定理2(第一积分中值定理）:如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续,()g x 在(,)a b 上不变号,并且()g x 在[,]a b 上是可积的,则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()()()(),()bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=≤≤⎰⎰成立.证明：由于()g x 在[,]a b 上不变号，我们不妨假设()0g x ≥，并且记()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ，即()m f x M ≤≤，将不等式两边同乘以()g x 可知，此时对于任意的[,]x a b ∈都有()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤成立。

对上式在[,]a b 上进行积分，可得()()()()b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx≤≤⎰⎰⎰.此时在,m M 之间必存在数值μ,使得m M μ≤≤，即有()()()bbaaf xg x dx g x dxμ=⎰⎰成立.由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的,则在[,]a b 上必定存在一点ξ，使()f ξμ=成立.此时即可得到()()()()bbaaf xg x dx f g x dxξ=⎰⎰，命题得证.3、积分第二中值定理定理3(积分第二中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积,而()g x 在区间(,)a b 上单调，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使下式成立()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dxξξ=+⎰⎰⎰（2）特别地，如果()g x 在区间(,)a b 上单调上升且()0g a ≥，那么存在ξ，使下式成立()()()()bbaf xg x dx g b f x dxξ=⎰⎰（3）如果()g x 在区间(,)a b 上单调下降且()0g b ≥，那么存在ξ，使下式成立()()()()baaf xg x dx g a f x dxξ=⎰⎰(4）证明:由题设条件知(),()f x g x 在区间[,]a b 上都是可积的,由积分性质可知()()f x g x ⋅也是可积的.我们先证明(3)式，即在()g x 非负、且在区间(,)a b 上单调上升的情形下加以证明。

对于（4）式证明是类似的，最后我们再将其推导到一般情形，即可证明(2）式.在区间[,]a b 上取一系列分点使011i i n a x x x x x b-=<<<<<<=,记1i i i x x x -∆=-，其中iω为()g x 在i x ∆上的幅度，即11[][]sup {()}inf {()}i i i i i x x x x g x g x ω----=-,再将所讨论的积分作如下改变：将积分限等分为如下n 等份,并且记11()[()()]ii nx i x i f x g x g x dx ρ-=-=∑⎰，11()()ii nx i x i g x f x dx σ-==∑⎰。

则11()()()()ii nbx ax i f x g x dx f x g x dx-==∑⎰⎰1111()()()[()()]i ii i nnx x i i x x i i g x f x dx f x g x g x dx σρ--===+-≡+∑∑⎰⎰，因为()f x 在[,]a b 上可积，且区间[,]a b 是有限的，所以()f x 在[,]a b 上有界，此时我们不妨假设()f x L≤。

估计ρ如下：11()[()()]ii nx i x i f x g x g x dxρ-==-∑⎰11()()()i i nx i x i f x g x g x dx-=≤-∑⎰11()()()ii nx i i x i f x g x g x dx-=≤-∑⎰111ii nnx i i ix i i L dx L x ωω-==≤=∆∑∑⎰由于()g x 可积，所以当max 0i x λ=∆→时，有1ni i i x ω=∆→∑，从而有0lim 0λρ→=，从而可知()()lim()lim lim b af xg x dx λλλσρσρ→→→=+=+⎰11lim lim ()()ii nx i x i g x f x dxλλσ-→→===∑⎰我们记()()bxF x f x dx=⎰，由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，那么函数()F x 是[,]a b 上的连续函数，并且有最大值和最小值M 和m ，记为()i m F x M≤≤，很显然11()()()ii x i i x f x dx F x F x --=-⎰，0()()0F x F b ==，从而11()()ii nx i x i g x f x dxσ-==∑⎰[]11()()()ni i i i g x F x F x -==-∑111()()()()nni i i i i i g x F x g x F x -===-∑∑110121()()()()()()nn i i i i i i g x F x g x F x g x F x --===+-∑∑11011()()[()()]()n i i i i g x F x g x g x F x -+==+-∑因为()g x 是非负的，并且在区间(,)a b 上单调上升，即有10()()()0g x g x g a ≥=≥、1()()0i i g x g x +-≥成立，所以有下式成立()()11111111{()()()}{()()()}n n i i i i i i m g x g x g x M g x g x g x σ--++==+-≤≤+-∑∑.即有()()mg b Mg b σ≤≤成立.从而可以得到lim ()g b σμ=,其中μ满足m M μ<<.由于函数()F x 连续,则在[,]a b 之间存在一点ξ,使()()bF f x dxξμξ==⎰成立，从而有公式（2-3)成立,即()()()()bbaf xg x dx g b f x dxξ=⎰⎰成立，(3）式得证。

对于()g x 单调下降且()0g b ≥的情形即公式（4）的证明过程是类似的，证明略。

对于()g x 是一般单调上升情形，我们作辅助函数()()()x g x g a ψ=-，其中ψ为单调上升且()0a ψ≥，此时公式（3)对于()x ψ是成立的，即存在ξ使[][]()()()()()()bbaf xg x g a dx g b g a f x dxξ-=-⎰⎰成立,这就证明了公式（2）()()()()()()b baaf xg x dx g a f x dx g b f x dxξξ=+⎰⎰⎰.对于()g x 是一般单调下降的情形，此时应用公式(4),同样可得到（2）式,此命题得证。