积分中值定理的证明与应用
微积分中的中值定理及其应用
微积分中的中值定理及其应用在高等数学中，微积分是一个重要的分支，它是数学的基础之一。
微积分主要研究的是极限和导数、微分和积分等数学问题。
而在微积分中，中值定理是一个非常重要的定理，它不仅是微积分的基础，而且在数学和物理等领域中也有着广泛的应用。
一、中值定理的定义中值定理是微积分中的一个基本定理，它是关于连续函数的一个定理。
中值定理包括一系列的定理，其中最基本的是魏尔斯特拉斯中值定理，也就是：定理：设函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连续，则存在$\xi\in(a,b)$，使得$f(\xi)=\frac{1}{b-a} \int_{a}^{b} f(x) \mathrm{d} x$。
意义：对于一个连续函数$f(x)$，在闭区间$[a,b]$内必然存在一个取值$\xi$，使得$f(\xi)$等于其在该区间内的均值，也就是该区间内$f(x)$在$x$上的积分与该区间长度的比值。
二、中值定理的应用中值定理在微积分中应用非常广泛，它的应用主要有以下几个方面：1.函数极值：中值定理可以用来证明函数的极值。
具体来说，当$f(x)$在某个区间上连续并且在该区间的内部取得了极值，则一定存在一个中间点$\xi$，使得$f'(\xi)=0$。
2.导数的应用：中值定理在求解导数存在的问题时也有很大的作用。
根据中值定理，如果$f(x)$在区间$[a,b]$内可导，那么存在一个点$\xi$，使得$f(b)-f(a)=f'(\xi)(b-a)$。
这个公式常常被称为Lagrange中值定理，它可以用来证明导数的存在性，并且可用于证明很多导数相关的定理。
3.曲线长度：中值定理还可以用于计算曲线的长度。
具体来说，我们可以将曲线分成若干个线段，然后利用Lagrange中值定理来求每个线段的长度，最后将它们加起来即可得到整条曲线的长度。
4.牛顿迭代法：在求解方程的问题中，中值定理也有着很大的应用。
例如，可以利用中值定理来实现牛顿迭代法。
积分中值定理与定积分应用积分中值定理与定积分应用的实战技巧
积分中值定理与定积分应用积分中值定理与定积分应用的实战技巧积分中值定理与定积分应用的实战技巧积分中值定理和定积分是微积分中的重要概念，能够帮助我们解决各种实际问题。
本文将介绍积分中值定理和定积分的基本概念，以及如何应用这些概念来解决实际问题。
一、积分中值定理积分中值定理是微积分中的基本定理之一，它与导数中值定理有密切关联。
积分中值定理表明，若函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，且在开区间(a,b)上可导，则在[a,b]上至少存在一点c，使得函数的平均值等于函数在c处的导数值。
其数学表达式如下：∫[a,b] f(x) dx = f(c) (b-a)其中，f(x)表示在[a,b]上的连续函数，c为[a,b]上的某一点，b和a 分别为积分上限和下限。
积分中值定理的应用十分广泛。
它可以用于证明其他定理，例如柯西中值定理和拉格朗日中值定理。
除了数学的理论性应用外，积分中值定理还可用于解决实际问题，如求函数在某个区间上的平均值、证明函数在某个区间上的增减性等。
下面将以一个具体例子来说明积分中值定理的应用。
例子：求函数f(x) = 2x^2 + 3x在区间[1,3]上的平均值。
解：根据积分中值定理，函数f(x)在[1,3]上的平均值等于函数在该区间上某一点的函数值。
首先，我们计算函数f(x)在[1,3]上的定积分：∫[1,3] (2x^2 + 3x) dx = (2/3)x^3 + (3/2)x^2 |[1,3] = 24然后，求出函数f(x)在[1,3]上的平均值：平均值 = (1/3 - 1/2) * 24 = 8所以，函数f(x) = 2x^2 + 3x在区间[1,3]上的平均值为8。
通过这个例子，我们可以看到积分中值定理的实际应用，它不仅使我们能够求出函数在某个区间上的平均值，还可以帮助我们判断函数在某个区间上的增减性。
二、定积分的应用定积分是对区间上函数值的累加，可以用于求解曲线下面的面积、体积、平均值等问题。
积分中值定理的一种证法及应用
积分中值定理的一种证法及应用从19世纪末开始，积分中值定理已成为数学从业者潜心研究的一个关键性领域。
虽然这个定理已经有数千年的历史追溯，但它一直都受到很多数学家的关注和探究。
本文的目的是对积分中值定理的一种证法及其应用进行深入的研究，以说明它的实质及其重要性。
积分中值定理是一个重要的数学定理，它强调了积分在函数下面的概念，即任意函数f(x)在区间a和b之间，可以用曲线下方的面积表示，即：∫a bf(x)dx=S(b)-S(a)其中S(x)是f(x)的积分函数。
积分中值定理则告诉我们，f(x)在区间a和b之间又称为积分中值，即在[a,b]之间有：∫a bf(x)dx=2f(c (a, b))其中c (a, b)是[a,b]的积分中值点，它的选择有多种，可以是区间内任意的数字，也可以是两个端点之间的等距数。
有了积分中值定理，我们可以对某种函数的特殊性质进行探讨。
例如，f(x)如果是一个奇函数，即f(-x)=-f(x)，则可以推出：∫a bf(x)dx=[f(a)+f(b)]/2因而，积分中值定理可以用来证明一类函数的平均值性质，从而可以在数学上给出更强的结论。
同时，积分中值定理也可以用来解决许多实际问题。
例如，对于一类抛物线问题，积分中值定理可以用来计算抛物线函数下面围成的面积，从而给出更准确的解。
此外，在工程测量中，由于绝大多数的实际问题都是多项式的函数，积分中值定理可以用来准确估算某函数的实际物理量，从而给出更准确的结果。
此外，积分中值定理与另外一个重要的数学定理函数变换定理相关联。
换句话说，如果我们想求解一个特定函数的积分，那么我们可以用函数变换定理的概念来求解，并得出结果。
函数变换定理也可以结合积分中值定理，用来证明函数特性性质的精确性。
综上，积分中值定理既包含着数学的深刻内涵，又可以应用到多种实际问题中，其重要性无可陈词。
因此，本文对积分中值定理的一种证法及其应用进行了深入探讨，从而揭示了它博大精深的内涵及其丰富的应用。
(完整版)中值定理的应用方法与技巧
中值定理的应用方法与技巧中值定理包括微分中值定理和积分中值定理两部分.微分中值定理即罗尔定理、拉格朗日中值定理和柯西中值定理,一般高等数学教科书上均有介绍，这里不再累述.积分中值定理有积分第一中值定理和积分第二中值定理。
积分第一中值定理为大家熟知，即若)(x f 在［a,b ］上连续，则在[a,b]上至少存在一点ξ，使得))(()(a b f dx x f ba -=⎰ξ。
积分第二中值定理为前者的推广，即若)(),(x g x f 在[a ，b ］上连续，且)(x g 在［a ，b ］上不变号，则在［a ，b]上至少存在一点ξ，使得⎰⎰=ba ba dx x g f dx x g x f )()()()(ξ。
一、 微分中值定理的应用方法与技巧三大微分中值定理可应用于含有中值的等式证明,也可应用于恒等式及不等式证明。
由于三大中值定理的条件和结论各不相同,又存在着相互关联，因此应用中值定理的基本方法是针对所要证明的等式、不等式，分析其结构特征，结合所给的条件选定合适的闭区间上的连续函数,套用相应的中值定理进行证明。
这一过程要求我们非常熟悉三大中值定理的条件和结论，并且掌握一定的函数构造技巧。
例一．设)(x ϕ在［0，1]上连续可导，且1)1(,0)0(==ϕϕ。
证明:任意给定正整数b a ,，必存在（0，1）内的两个数ηξ,，使得b a ba +='+')()(ηϕξϕ成立。
证法1:任意给定正整数a ，令)()(,)(21x x f ax x f ϕ==，则在[0，1]上对)(),(21x f x f 应用柯西中值定理得：存在)1,0(∈ξ，使得a a a =--=')0()1(0)(ϕϕξϕ。
任意给定正整数b ，再令)()(,)(21x x g bx x g ϕ==，则在[0，1]上对)(),(21x g x g 应用柯西中值定理得:存在)1,0(∈η,使得b b b =--=')0()1(0)(ϕϕηϕ。
《积分中值定理》课件
在其他数学领域的应用实例
复变函数
积分中值定理在复变函数中有广泛的应用， 如在解决柯西积分公式、留数定理等问题时 起到关键作用。
概率论与数理统计
积分中值定理在概率论与数理统计中有重要 应用，如在计算期望、方差等统计量时起到 关键作用。
03
综上所述，积分中值定理是一个具有 重要性和意义的数学定理。在未来的 研究中，我们需要进一步深入探索其 应用范围和条件，并尝试将其应用于 更广泛的领域，以推动数学和其他学 科的发展。
THANKS
感谢观看
利用微积分基本定理证明积分中值定理
总结词
通过利用微积分基本定理和函数的单调性，证明积分中值定理。
详细描述
首先，我们选取一个连续函数$f(x)$，并设其在区间$[a, b]$上非负且不恒为零。然后 ，我们证明函数$F(x) = int_{a}^{x}f(t)dt$在$[a, b]$上单调增加。由于$F(x)$单调增加 ，存在一个点$c in (a, b)$使得$frac{F(b) - F(a)}{b - a} = f(c)$。最后，我们得出结论
对积分中值定理未来的研究方向和展望
01
积分中值定理的研究已经取得了丰硕 的成果，但仍有许多值得探索的问题 。例如，对于更一般的函数空间和更 复杂的积分问题，如何应用积分中值 定理进行有效的处理？这需要我们进 一步深入研究积分中值定理的适用范 围和条件。
02
随着数学和其他学科的不断发展，积 分中值定理的应用领域也在不断扩大 。未来，我们可以尝试将积分中值定 理应用于更广泛的领域，如金融、经 济、生物等，以解决实际问题。同时 ，我们也可以探索积分中值定理与其 他数学理论的交叉应用，以推动数学 的发展。
5.5 关于积分中值定理应用及注意事项
关于积分中值定理应用及注意事项积分中值定理是我们学过的众多定理之一，理论上非常重要， 例1. 1()()d x aF x f t t x a =-⎰证明： 它有诸多应用，如：证明函数的单调性，不等式，求极限等. 现举例加以说明：若 f (x )在 [a , )上连续且严格单调递增，证明+∞在(a , )内也是严格单增的.+∞显然F (x )是[a , )上的可导函数.+∞考虑 211()()d (),()xa F x f t t f x x a x a'=-+--⎰因为 f (x )在 [a , )内连续， +∞由积分中值定理可知()d ()(),,xa f t t x a f a x ξξ=-<<⎰所以 1()(()()).F x f x f x aξ'=--又 f (x ) 单调递增， 当ξ < x 时， f (ξ) < f (x ),从而 ()0,F x '>故F (x )在(a , )内是严格单增的.+∞例2. 1lim d ().n k x n n x e x k +-→∞∈⎰求极限 解： 由积分中值定理可知 1d ,1n k x k n xe x e n n ξξξ+--=<<+⎰当 时，n →∞,ξ→+∞原极限 lim k e ξξξ-→+∞=0.=注意事项： 积分中值定理点 ξ 依赖于积分区间和被积函数，不能把它看成 常数，否则，在计算或证明中就会犯错误.比如： 10lim d 0.1nn x x x →∞=+⎰证明 若由积分中值定理，得 10d ,01,11n n x x x ξξξ=<<++⎰故原极限 lim 0.1nn ξξ→∞==+这种解法是错误的.原因是定理中的ξ 依赖于积分区间和被积函数. 本题中，随着n 的 不同，被积函数是变化的，从而ξ 在(0,1)内的位置也不同，记作 ξn .当 时， 01n ξ<<lim()n n n ξ→∞未必为0， 从而原极限 ()lim 1nn n n ξξ→∞=+未必为0.解法一： 当 时， 01x <<0,1n n x x x <<+有 故 100d 1n x x x <+⎰10d n x x <⎰1,1n =+由夹逼定理， 10lim d 0.1n n x x x →∞=+⎰解法二： 由推广的积分中值定理， 11001d d 11nnx x x x x ξ=++⎰⎰1,(1)(1)n ξ=++存在 01,ξ<<原极限 1lim (1)(1)n n ξ→∞=++0.=例3. 1000d 100xe x x -+⎰ 估计 的值 解： 由推广的积分中值定理，有 100100001d =d 100100+x x e x e x x ξ--+⎰⎰1001=(1)(0100)100+e ξξ--<<111200100+100ξ<<由于所以 100100100011(1)d (1)200100100xe e x e x ----<<-+⎰注：若本题直接应用积分中值定理来估计，由于积分区间长度为100，而被积函数的最值相差也不小，则估计的范围会比较大。
定积分的中值定理
定积分的中值定理是一个非常重要的数学定理，它可以帮助我们更加深入地了解定积分的本质和性质，同时也为我们解决各种实际问题提供了非常有效的方法和手段。
在本文中，我们将探讨的相关知识和应用。
一、中值定理的基本概念和定义中值定理是微积分学中的一个基本定理，它描述了函数在某个区间内的平均值与函数在该区间内某一点的取值之间的关系。
具体来说，如果函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在该区间内存在一个点$c\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)\times(b-a)$，则$c$就是函数$f(x)$在区间$[a,b]$上的中值点。
这个定理的基本思想是：将函数在某个区间上的积分值与该区间的长度相乘，得到的是函数在该区间上的平均值，这个平均值可以通过中值定理求得。
中值定理的重要性在于它建立了积分与函数取值之间的联系，使得我们能够更加深入地理解和应用积分的相关知识和技巧。
二、中值定理的证明方法中值定理的证明方法有很多种，其中比较常用和直观的方法是通过构造辅助函数来进行证明。
具体来说，我们可以这样做：假设函数$f(x)$在区间$[a,b]$上连续，并且在该区间内存在一个点$c\in(a,b)$，使得$\int_a^bf(x)dx=f(c)\times(b-a)$。
我们定义一个辅助函数$F(x)=f(x)-f(c)$，则有$\int_a^bF(x)dx=\int_a^bf(x)dx-\int_a^bf(c)dx=\int_a^bf(x)dx-f(c)\times(b-a)=0$。
根据介值定理，由于$F(x)$是连续函数，所以一定存在一个点$d\in(a,b)$，使得$F(d)=0$。
即$f(d)-f(c)=0$，从而得到$c=d$。
三、中值定理的应用中值定理在实际问题中有着广泛的应用，其中比较常见和重要的应用包括：1. 求函数在某个区间上的平均值。
根据中值定理，函数在区间$[a,b]$上的平均值可以通过$\frac{\int_a^bf(x)dx}{b-a}$来计算，其中$\int_a^bf(x)dx$是函数在该区间上的积分值。
积分中值定理及其应用
积分中值定理及其应用摘要:本论文主要内容是积分中值定理及其应用，主要从以下几个方面论述：积分中值定理、积分中值定理的推广、积分中值定理中值点的渐进性，积分中值定理的应用.关键词：积分中值定理；推广；应用一、引言随着科技时代的发展，数学也随之大步前进.其中，微积分的创立，为数学的发展奠定了不可磨灭的基础.积分中值定理是作为微积分中的一个重要性质，而且在数学分析的学习过程占有很重要的地位，对于后续课程的学习也起着较大作用，在此我就把积分中值定理及其应用简单清晰论述一下.通常情况下，积分中值定理包含第一积分中值定理、第二积分中值定理.而在此我们既讨论了在特殊情况下的积分中值定理，即在一个区间上的情形.还讨论了在几何形体上二重、三重积分的情形的积分中值定理.并且这两个定理在各个方面的应用都较为广泛，比如物理学和数学.我们将积分中值定理加以应用，把微积分体系中比较基础的东西找出更为简单的解决方式：数学中一些定理的证明，数学定理、命题，几何应用，含定积分的极限应用，确定积分符号，比较积分大小，证明函数单调性，估计积分值.虽然有时第一积分中值定理在处理一些积分极限问题上显得很繁琐，但是我们任然可以把它当作一个基础定理，解决一些现实问题.本课题的研究过程为：讨论和分析积分中值定理，然后将其加以推广，讨论各个积分中值定理中的中间点的渐进性质，最后论述了积分中值定理在各方面的应用问题.课题研究的主要目标则是通过研究和分析积分中值定理、推广、渐进性，将各方面的应用如：估计积分值，求含有定积分的极限，确定积分号，比较积分大小，证明函数的单调性还有对阿贝尔判别法和狄理克莱判别法这两个定理的证明总结出积分中值定理并把其以论文的形式整理出来.二、 积分中值定理的证明 1、 定积分中值定理引理：假设M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，则有()()(),()bam b a f x dx M b a a b -≤≤-<⎰成立.证明：因为M 和m 分别为函数()f x 在区间[,]a b 上的最大值和最小值，即()m f x M ≤≤，我们对不等式进行积分可得()bb baaamdx f x dx Mdx≤≤⎰⎰⎰，由积分性质可知()()()bam b a f x dx M b a -≤≤-⎰ （1）成立，命题得证.定理1（定积分中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，则在区间[,]a b 上至少存在一个点ξ，使下式()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰成立.证明：由于0b a ->，将（1）同时除以b a -可得1()ba m f x dx Mb a ≤≤-⎰.此式表明1()baf x dx b a -⎰介于函数()f x 的最大值M 和最小值m 之间.由闭区间上连续函数的介值定理，在闭区间[,]a b 上至少存在一点ξ，使得函数()f x 在点ξ处的值与这个数相等，即应该有1()()ba f x dx fb a ξ=-⎰，成立，将上式两端乘以b a -即可得到()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-≤≤⎰，命题得证.备注1：很显然，积分中值定理中公式()()()baf x dx f b a ξ=-⎰（ξ在a 与b 之间）不论a b <或a b >都是成立的.2、 积分第一中值定理定理2（第一积分中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上连续，()g x 在(,)a b 上不变号，并且()g x 在[,]a b 上是可积的，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使得()()()(),()bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=≤≤⎰⎰成立.证明：由于()g x 在[,]a b 上不变号，我们不妨假设()0g x ≥，并且记()f x 在[,]a b 上的最大值和最小值为M 和m ，即()m f x M ≤≤，将不等式两边同乘以()g x 可知，此时对于任意的[,]x a b ∈都有()()()()mg x f x g x Mg x ≤≤成立.对上式在[,]a b 上进行积分，可得()()()()b b baaam g x dx f x g x dx M g x dx≤≤⎰⎰⎰.此时在,m M 之间必存在数值μ，使得m M μ≤≤，即有()()()bbaaf xg x dx g x dxμ=⎰⎰成立.由于()f x 在区间[,]a b 上是连续的，则在[,]a b 上必定存在一点ξ，使()f ξμ=成立.此时即可得到()()()()bbaaf xg x dx f g x dxξ=⎰⎰，命题得证.3、 积分第二中值定理定理3（积分第二中值定理）：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，而()g x 在区间(,)a b 上单调，则在[,]a b 上至少存在一点ξ，使下式成立()()()()()()bbaaf xg x dx g a f x dx g b f x dxξξ=+⎰⎰⎰ （2）特别地，如果()g x 在区间(,)a b 上单调上升且()0g a ≥ ，那么存在ξ，使下式成立()()()()bbaf xg x dx g b f x dxξ=⎰⎰ （3）如果()g x 在区间(,)a b 上单调下降且()0g b ≥，那么存在ξ，使下式成立()()()()baaf xg x dx g a f x dxξ=⎰⎰ （4）证明：由题设条件知(),()f x g x 在区间[,]a b 上都是可积的，由积分性质可知()()f x g x ⋅也是可积的.我们先证明（3）式，即在()g x 非负、且在区间(,)a b 上单调上升的情形下加以证明. 对于（4）式证明是类似的，最后我们再将其推导到一般情形，即可证明（2）式. 在区间[,]a b 上取一系列分点使011i i n a x x x x x b-=<<<<<<=，记1i i i x x x -∆=-，其中iω为()g x 在ix ∆上的幅度，即11[][]sup {()}inf {()}i i i i i x x x x g x g x ω----=-，再将所讨论的积分作如下改变：将积分限等分为如下n 等份，并且记11()[()()]ii nx i x i f x g x g x dx ρ-=-=∑⎰，11()()ii nx ix i g x f x dx σ-==∑⎰.则11()()()()ii nbx ax i f x g x dx f x g x dx-==∑⎰⎰1111()()()[()()]i ii i nnx x i i x x i i g x f x dx f x g x g x dx σρ--===+-≡+∑∑⎰⎰，因为()f x 在[,]a b 上可积，且区间[,]a b 是有限的，所以()f x 在[,]a b 上有界，此时我们不妨假设()f x L≤.估计ρ如下：11()[()()]ii nx i x i f x g x g x dxρ-==-∑⎰11()()()ii nx i x i f x g x g x dx-=≤-∑⎰11()()()ii nx i i x i f x g x g x dx-=≤-∑⎰111ii nnx i i ix i i L dx L x ωω-==≤=∆∑∑⎰由于()g x 可积，所以当max 0i x λ=∆→时，有1ni i i x ω=∆→∑，从而有0lim 0λρ→=，从而可知()()lim()lim lim b af xg x dx λλλσρσρ→→→=+=+⎰11lim lim ()()ii nx i x i g x f x dxλλσ-→→===∑⎰我们记()()bxF x f x dx=⎰，由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，那么函数()F x 是[,]a b 上的连续函数，并且有最大值和最小值M 和m ，记为()i m F x M≤≤，很显然11()()()ii x i i x f x dx F x F x --=-⎰，0()()0F x F b ==，从而11()()ii nx i x i g x f x dxσ-==∑⎰[]11()()()ni i i i g x F x F x -==-∑111()()()()nni i i i i i g x F x g x F x -===-∑∑110121()()()()()()nn i i i i i i g x F x g x F x g x F x --===+-∑∑11011()()[()()]()n i i i i g x F x g x g x F x -+==+-∑因为()g x 是非负的，并且在区间(,)a b 上单调上升，即有10()()()0g x g x g a ≥=≥、1()()0i i g x g x +-≥成立，所以有下式成立()()11111111{()()()}{()()()}n n i i i i i i m g x g x g x M g x g x g x σ--++==+-≤≤+-∑∑.即有()()mg b Mg b σ≤≤成立.从而可以得到lim ()g b σμ=，其中μ满足m M μ<<.由于函数()F x 连续，则在[,]a b 之间存在一点ξ，使()()bF f x dxξμξ==⎰成立，从而有公式（2-3）成立，即()()()()bbaf xg x dx g b f x dxξ=⎰⎰成立，（3）式得证.对于()g x 单调下降且()0g b ≥的情形即公式（4）的证明过程是类似的，证明略.对于()g x 是一般单调上升情形，我们作辅助函数()()()x g x g a ψ=-，其中ψ为单调上升且()0a ψ≥，此时公式（3）对于()x ψ是成立的，即存在ξ使[][]()()()()()()bbaf xg x g a dx g b g a f x dxξ-=-⎰⎰成立，这就证明了公式（2）()()()()()()b baaf xg x dx g a f x dx g b f x dxξξ=+⎰⎰⎰.对于()g x 是一般单调下降的情形，此时应用公式（4），同样可得到（2）式，此命题得证.三、 积分中值定理的推广 1、定积分中值定理的推广定理7（推广的定积分中值定理） ：如果函数()f x 在闭区间[,]a b 连续，则在开区间(,)a b 至少存在一个点ξ，使得下式()()(),()baf x dx f b a a b ξξ=-<<⎰成立.证明：作辅助函数()F x 如下：()(),[,]xaF x f t dt x a b =∈⎰.由于()f x 在闭区间[,]a b 连续，则()F x 在[,]a b 上可微，且有()()F x f x '=成立.由微分中值定理可知：至少存在一点(,)a b ξ∈，使得()()()()F b F a F b a ξ'-=-成立.并且有()()baF b f t dt=⎰，()0F a =，此时即可得到下式()()(),(,)baf t dt f b a a b ξξ=-∈⎰，命题得证.2、定积分第一中值定理的推广定理8（推广的定积分第一中值定理）： 若函数()f x 是闭区间[,]a b 上可积函数，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，则在开区间(,)a b 上至少存在一点ξ，使得()()()(),(,)bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=∈⎰⎰成立.证法1：由于函数()f x 在闭区间[,]a b 上是可积的，()g x 在[,]a b 上可积且不变号，令()()()xaF x f t g t dt=⎰，()()xaG x g t dt=⎰，很显然(),()F x G x 在[,]a b 上连续.并且()0,()()()baF a F b f t g t dt==⎰，()0,()()b aG a G b g t dt==⎰，()()()F f g ξξξ'=，()()G g ξξ'= .由柯西中值定理即可得到()()(),(,)()()()F b F a F a b G b G a G ξξξ'-=∈'-，即()()()()()()babaf tg t dtf g g g t dtξξξ=⎰⎰，()()()(),(,)bbaaf tg t dt f g t dt a b ξξ=∈⎰⎰，命题得证.证法2：由于函数()g x 在[,]a b 上可积且不变号，我们不妨假设()0g x ≥.而函数()f x 在闭区间[,]a b 上可积，我们令{}inf ()|[,]m f x x a b =∈，{}sup ()|[,]M f x x a b =∈.假设()F x 是()f x 在闭区间[,]a b 上的一个原函数，即()(),[,]F x f x x a b '=∈.此时我们有下式成立()()()()bbb aaam g x dx f x g x dx M g x dx≤≤⎰⎰⎰（1）由于()0g x ≥，则有()0ba g x dx ≥⎰，以下我们分两种情形来进行讨论：[1]如果()0bag x dx =⎰，由（3-1）式可知()()0baf xg x dx =⎰，则此时对于(,)a b ξ∀∈有()()0()()bbaaf xg x dx f g x dxξ==⎰⎰成立.[2]如果()0b ag x dx >⎰，将（3-1）式除以()bag x dx⎰可得()()()babaf xg x dxm Mg x dx≤≤⎰⎰，（2）我们记()()()babaf xg x dxg x dxμ=⎰⎰，（3）此时我们又分两种情形继续进行讨论：i 如果（2）式中的等号不成立，即有()()()babaf xg x dxm Mg x dx<<⎰⎰成立，则此时存在m M μ<<，使得12(),()m f x f x Mμμ<≤<≤，我们不妨假设12x x <，其中12,[,]x x a b ∈.因为()()F x f x '=，[,]x a b ∈，则有1122()()()()F x f x f x F x μ''=<<=.此时至少存在一点12(,)x x ξ∈，使得()()F f ξξμ'==，即有12()()()(),(,)[,]bbaaf xg x dx f g x dx x x a b ξξ=⋅∈∈⎰⎰成立，从而结论成立.ii 如果（2）式中仅有一个等号成立，不妨假设M μ=，因为()0bag x dx >⎰，此时必存在11[,](,)a b a b ∈（其中11a b <），使得11[,]x a b ∀∈，恒有()0g x >成立，我们则可将（3）式可改写为()()()b baag x dx f x g x dxμ⋅=⎰⎰，因为M μ=，则有[()]()0baM f x g x dx -=⎰（4）又注意到[()]()0M f x g x -≥，必有110[()]()[()]0b ba aM f x g x dx M f x dx ≤-≤-=⎰⎰.于是11[()]()0b a M f x g x dx -=⎰（5）下证必存在11[,](,)a b a b ξ∈⊂，使()f M ξμ==.若不然，则在11[,]a b 上恒有()0M f x ->及()0g x >成立，从而[()]()0M f x g x ->.如果11[()]()0b a M f x g x dx -=⎰，由达布定理在11[,]a b 上有[()]()0M f x g x -，这与[()]()0M f x g x ->矛盾.如果11[()]()0b a M f x g x dx ->⎰，这与（5）式矛盾.所以存在[,]a b ξ∈，使()()()(),(,)bbaaf xg x dx f g x dx a b ξξ=∈⎰⎰，定理证毕.3、 推广定积分第二中值定理定理9（推广定积分第二中值定理）： 如果函数()f x 在闭区间[,]a b 可积，()g x 在区间[,]a b 上可积且不变号，则在(,)a b 上必存在一点ξ，使得()()()()()(),(,)bc baacf xg x dx g a f x dx g b f x dx a b ξ=+∈⎰⎰⎰成立.证明过程详见参考文献[9].4、 第一曲线积分中值定理定理10（第一型曲线积分中值定理）： 如果函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使(,)(,)Cf x y ds f Sξη=⎰成立，其中S 为曲线C 的弧长.证明：因为函数(,)f x y 在光滑有界闭曲线C 上连续，所以存在,m M R ∈，其中(,)m f x y M ≤≤，对不等式在闭曲线C 上进行第一类曲线积分可得(,)CCCm ds f x y ds M ds⋅≤≤⋅⎰⎰⎰，其中Cds⎰为曲线C 的弧长，并且Cds S=⎰，由于0S >，将上式同除以常数S ，即可得到1(,)C m f x y ds M S ≤≤⎰，由于函数(,)f x y 在曲线C 上连续，故由闭区间上连续函数的介值定理，在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使1(,)(,)C f f x y ds S ξη=⎰成立，左右两边同除以常数S ，即可得到结论，从而命题得证.5、 第二曲线积分中值定理定理11（第二型曲线积分中值定理）：如果函数(,)f x y 在光滑有向曲线C 上连续，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使得(,)(,)Cf x y dx f Iξη=±⋅⎰成立.其中I 为光滑有向曲线C 在x 轴正向上的投影，其中符号“±”是由曲线C 的方向确定的.证明：因为函数(,)f x y 在有界闭曲线C 上连续，所以存在,m M R ∈，其中(,)m f x y M ≤≤，对上式进行第二型曲线积分可得(,)cCcm dx f x y dx M dx≤≤⎰⎰⎰（6）其中cdx ⎰为有向光滑曲线C 在x 轴上的投影，此时我们不妨记cdx I =±⎰，并且分以下两种情况进行讨论：[1]假设cdx I =⎰，将（3-6）式除以I 可得1(,)C m f x y dx M I ≤≤⎰.因为(,)f x y 在C 上连续，故由介值定理，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使1(,)(,)C f x y dx f I ξη=⎰成立，即有(,)(,)Cf x y dx f Iξη=⋅⎰成立.[2]同理当cdx I =-⎰，式左右两边同时除以I -可得1(,)C M f x y dx m I -≤-≤-⎰，因为(,)f x y 在C 上连续，故由介值定理，则在曲线C 上至少存在一点(,)ξη，使1(,)(,)C f x y dx f I ξη-=⎰成立，即有(,)(,)Cf x y dx f Iξη=-⋅⎰成立，由上面证明过程可得(,)(,)Cf x y dx f Iξη=±⋅⎰，命题得证.6、 第一曲面积分中值定理定理12（第一型曲面积分中值定理）：设D 为xoy 平面上的有界闭区域，其中(,)z z x y =为光滑曲面S ，并且函数(,,)f x y z 在S 上连续，则在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)Sf x y z d f Aσξηζ=⋅⎰⎰成立，其中A 是曲面S 的面积.证明：因为(,,)f x y z 在曲面S 上连续，所以存在,m M R ∈且使得(,,)m f x y z M ≤≤成立，我们对上式在S 上进行第一类曲面积分可得(,,)SSSm d f x y z d M d σσσ⋅≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中Sd σ⎰⎰为曲面的面积，且Sd Aσ=⎰⎰，因为0A ≠，两边同除以A 有1(,,)Sm f x y z d M A σ≤≤⎰⎰，由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续，故由介值定理，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使1(,,)(,,)Sf f x y z d A ξηζσ=⎰⎰，成立，两边同时乘以A 可得(,,)(,,)Sf x y z d f Aσξηζ=⋅⎰⎰，命题得证.7、 第二曲面积分中值定理定理13（第二型曲面积分中值定理）：若有光滑曲面:(,),(,)xyS z x y x y D ∈，其中xyD 是有界闭区域，函数(,,)f x y z 在S 上连续，由此在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使(,,)(,,)Sf x y z dxdy f Aξηζ=±⋅⎰成立，其中A 是S 的投影xyD 的面积.证明：因为函数(,,)f x y z 在曲面S 上连续，所以存在,m M R ∈使得(,,)m f x y z M ≤≤，对上式在曲面S 上进行第二类曲面积分可得(,,)SSSm dxdy f x y z dxdy M dxdy⋅≤≤⎰⎰⎰⎰⎰⎰，其中Sdxdy⎰⎰为(,,)f x y z 投影在曲面xy D上的面积，并且我们记Sdxdy A=±⎰⎰.[1]若Sdxdy A=⎰⎰，则上式除以A 有1(,,)Sm f x y z dxdy M A ≤≤⎰⎰，由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续，故由介值定理，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使1(,,)(,,)Sf f x y z dxdy A ξηζ=⎰⎰，两边同时乘以A 有(,,)(,,)Sf x y z dxdy Af ξηζ=⎰⎰，[2]同理，若Sdxdy A=-⎰⎰，则上式除以A -有1(,,)SM f x y z dxdy m A -≤-≤-⎰⎰，由于(,,)f x y z 在曲面S 上连续，故由介值定理，在曲面S 上至少存在一点(,,)ξηζ，使1(,,)(,,)Sf f x y z dxdy A ξηζ=-⎰⎰，两边同时乘以A -有(,,)(,,)SAf f x y z dxdyξηζ-=⎰⎰.由以上证明过程可得(,,)(,,)Sf x y z dxdy f Aξηζ=±⋅⎰，从而结论成立.四、 第一积分中值定理中值点的渐进性定理14 ：假设函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，其中()f x 在a 点的直到1n -阶右导数为0，而n 不为0，即(1)()()()0n f a f a f a -+++'''====，()()0n f a +≠，并且有()()n f x 在a 点连续；函数()g x 在[,]a b 可积且不变号，并且对于充分小的0()a b δδ>+<， ()g x 在[,]a a δ+上连续，且()0g a ≠，则第一积分中值定理中的中值点ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.证明：对任意(,)x a b ∈，我们做一个辅助函数()F x 如下：1()()()()()()xxaan f t g t dt f a g t dtF x x a +-=-⎰⎰一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则()()()()lim ()lim(1)()nx a x a f x g x f a g x F x n x a →+→+-=+-()()()lim ()1n x a f x f a g x x a n →+-=-+001()()lim ()lim1()n x a x a f x f a g x n x a →+→+-=⋅⋅+-由积分中值定理和洛比达法则可以得到()0()()()lim ()!n n x a f a f x f a x a n +→+-=-，从而()0()()lim ()(1)!n x a g a f a F x n +→+=+. （1）且有()0()()()lim ,()()!n n x a f a f f a a x a n ξξξ+→+-=<<-成立.另一方面，由积分中值定理和洛比达法则可得1()()()()lim ()lim()x xaan x a x a f g t dt f a g t dtF x x a ξ+→+→+-=-⎰⎰=0()()()lim ()xna n x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ→+⎡⎤--⎛⎫⎢⎥⋅⋅ ⎪⎢⎥---⎝⎭⎢⎥⎣⎦⎰ 000()()()lim lim lim ()a na n x a x a g t dtf f a a a x a δδξξξδ+→+→+→+--⎛⎫=⋅⋅ ⎪--⎝⎭⎰由洛比达法则，则有()lim()a ag t dtg a δδδ+→+=⎰，因此可得()0()()lim ,()!nn x a f a g a a a x n x a ξξ+→+-⎛⎫=⋅<< ⎪-⎝⎭. （2）比较（4-1）式与（4-2）式可以得到lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.定理15：假设函数()f x 在[,]a b 上连续，()f a +'存在并且有()0f a +'≠，()[,]g x a b 在上有m 阶导数，有(1)()()()()0m g a g a g a g a -+++'''=====， ()()0m g a +≠成立，并且()()m g x 在a 点连续，()g x 不变号，则第一积分中值定理中的点ξ满足1lim,(,)2x a am x a b x am ξ→+-+=∈-+.证明：对任意的(,)x a b ∈，构造辅助函数()H x 如下2()()()()()()xxaam f t g t dt f a g t dtH x x a +-=-⎰⎰ .一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有10()()()()lim ()lim (2)()m x a x a f x g x f a g x H x m x a +→+→+-=+-=()()()1lim()2m x a f x f a g x x a x a m →+-⋅⋅--+由于0x a →+，则0()()lim()x a f x f a f a x a +→+-'=-，且函数()[,]g x a b 在上有m 阶导数，则上式等于()0()1()1()lim ()2()2!m m x a g x g x f a f a m x a m m +++→+''⋅⋅=⋅⋅+-+（3）另一方面，由积分中值定理()()()()xxaaf tg t dt f g t dtξ=⎰⎰.则2[()()]()lim ()lim()()xam x a x a f f a g t dtH x a x x a ξξ+→+→+-⋅=<<-⎰=10()[()()]lim ()xa m x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+--⋅⋅---⎰ =1000()[()()]lim lim lim ()xam x a x a x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+→+→+--⋅⋅---⎰对()H x 使用洛比达法则可得=()0()()lim(1)!m x a g a a f a m x a ξ++→+-'⋅⋅+-（4） 比较（3），（4）式我们可以得到01lim,(,)2x a am x a b x am ξ→+-+=∈-+.定理16：设函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，(1)()()()0n f a f a f a -+++'''====，()()0n f x ≠，()()n f x 在a点连续；函数()[,]g x a b 在上有m阶导数，且(1)()()()()0m g a g a g a g a -+++'''=====，()()0m g a ≠，并且()()m g x 在a 点连续，()g x 不变号，则第一积分中值定理中的ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.证明：对任意的(,)x a b ∈，我们构造辅助函数()L x 如下1()()()()()()xxaam n f t g t dt f a g t dtL x x a ++-=-⎰⎰一方面，由于0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则，有()()()()lim ()lim (1)()m n x a x a f x g x f a g x L x m n x a +→+→+-=++-=()()()1lim()()1n m x a f x f a g x x a x a m n →+-⋅⋅--++001()()()lim lim1()()nm x a x a f x f a g x m n x a x a →+→+-=⋅⋅++--由于函数()f x 在[,]a b 上n 阶可导，且函数()g x 在[,]a b 上m 阶可导，则上式等于()()()()11!!n m f a g x m n n m ++=⋅⋅++ （5）另一方面，由积分中值定理()()()()xxaaf tg t dt f g t dtξ=⎰⎰.则1[()()]()lim ()lim()()xam n x a x a f f a g t dtL x a x x a ξξ++→+→+-⋅=<<-⎰=10()[()()]()lim ()()()xna n m m x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+--⋅⋅---⎰=1000()[()()]()lim lim lim ()()()xnan m m x a x a x a g t dt f f a a a x a x a ξξξ+→+→+→+--⋅⋅---⎰对()L x 使用洛比达法则可得()()0()()lim ,()!(1)!nn m x a f a g a a a x n x a m ξξ++→+-⎛⎫=⋅⋅<< ⎪-+⎝⎭ （6）比较（5）、（6）式我们可以得到0lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.五、 第二积分中值定理中值点的渐进性定理17 ：假设函数()[,]f x a b 在上单调，并且在a 点的右导数存在，且有(0)0f a '+≠；()g x 在[,]a b 上可积，在a 点的右极限存在，且(0)0g a +≠.则第二积分中值定理中的ξ满足01lim,(,)2x a ax a b x a ξ→+-=∈-. 证明：对于任意的(,)x a b ∈，构造辅助函数()F x 如下2()()()()()()xxaaf tg t dt f a g t dtF x x a -=-⎰⎰.一方面，当0x a →+时，分子分母同时趋于零，满足洛比达法则条件，由洛比达法则可得()()()()lim ()lim2()x a x a f x g x f a g x F x x a →+→+-=-001()()1lim lim ()(0)(0)02()2x a x a f x f a g x f a g a x a →+→+-'==++≠-（1）另一方面，由第二积分中值定理，有2()()()()()()lim ()lim()x xaax a x a f a g t dt f x g t dt f a g t dtF x x a ξξ→+→++-=-⎰⎰⎰2()()()()()()()lim()x xaa a a x a f a g t dt f x g t dt g t dt f a g t dt x a ξξ→+⎡⎤+--⎢⎥⎣⎦=-⎰⎰⎰⎰[][]2()()()()()()lim()xa a x a f x f a g t dt f x f a g t dtx a ξ→+---=-⎰⎰00()()()()lim lim x aa x a x a g t dt g t dt f x f a x a x aξ→+→+⎡⎤--⎢⎥=⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎰⎰00()()()()lim lim x a a x a x a g t dt g t dt f x f a a x a x a a x a ξξξ→+→+⎡⎤--⎢⎥=-⋅⎢⎥----⎢⎥⎣⎦⎰⎰0(0)(0)(0)limx a a f a g a g a x a ξ→+-⎡⎤'=++-+⎢⎥-⎣⎦0(0)(0)1limx a a f a g a x a ξ→+-⎡⎤'=++-⎢⎥-⎣⎦（5-2）比较（5-1）、（5-2）式知011lim2x a ax aξ→+--=-，即可得到01lim 2x a a x a ξ→+-=-.将此定理推广，即可得到以下定理定理18：假设函数()f x 在[,]a b 上单调，在[,]a b 内有直到n 阶导数，()()n f x 在a 点连续，()f x在a 点的右导数满足(1)(0)(0)(0)0n f a f a f a -'''+=+==+=，()(0)0;n f a +≠()g x 在[,]a b 上可积，在a 点的右极限存在，且(0)0g a '+≠，则第二积分中值定理中的ξ满足lim,(,)1x a anx a b x an ξ→+-=∈-+.定理19：假设函数()f x 在[,]a b 上单调，函数()f x 在a 点的右导数存在，并且有(0)0f a '+≠；()g x 在[,]a b 上存在直到m 阶导数，且有()()m g x 在a 点连续，并且满足(1)()(0)(0)0m g a g a g a -'=+==+=，()(0)0m g a +≠，则第二积分中值定理中的点ξ满足lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.定理20：假设函数()f x 在[,]a b 上单调，在[,]a b 上有直到n 阶的导数，()()n f x 在a 点连续，并且在a 点的右导数满足(1)(0)(0)(0)0n f a f a f a -'''+=+==+=，()(0)0n f a +≠；()g x 在[,]a b 上存在直到m 阶导数，()()m gx 在a 点连续，且满足(1)()(0)(0)0m g a g a g a -'=+==+=，()(0)0m g a +≠，则第二积分中值定理中的点ξ满足0lim(,)x a ax a b x aξ→+-=∈-.6 积分中值定理的应用 6.1 估计积分值例1 估计2010.5sin xdxx +⎰的积分解：由于11110.510.5sin 10.5x ≤≤++-，即212310.5sin x ≤≤+.于是2044310.5sin x dx x ππ≤≤+⎰此时可得到估计的积分值为2084(1)10.5sin 33xdx x ππθθ=±≤+⎰.例2 估计2sin ,(0)b ax dx a b <<⎰的积分解：设x =则2221sin 2bb a a x dx =⎰⎰，其次，假设()sin f t t =和12()t tϕ-=，则()t ϕ单调下降，并且有()0t ϕ>.于是，2222111sin (cos cos )222b a a tdx a a a ξξ==-⎰⎰2211sin sin 22a a a a ξξθ+-==其中22a b ξ≤≤，1θ≤.因此2sin (1)bax dx aθθ=≤⎰.例3 证明等式sin lim 0n pnn xdx x +→∞=⎰.证法1：由第一积分中值定理可知sin sin lim lim 0n pn nn n nxdx p x ξξ+→∞→∞==⎰，其中nξ位于n 和n p +之间的某个值.证法2：由第二积分中值定理可知得sin 1sin nn pnnx dx xdxx nξ'+=⎰⎰11cos cos 0()nn n n n ξ'=-≤→→∞，其中nξ位于n 和n p +之间的某个值，于是sin lim 0n p nn xdx x +→∞=⎰.2、求含定积分的极限例4 求极限120lim 1nn x x →∞+⎰解：利用广义积分中值定理1122001lim 11n n n x dx x dxx ξ→∞=++⎰⎰1102211[],(01)11(1)(1)n x n n ξξξ+==≤≤++++则12201lim lim 01(1)(1)n n n x dx x n ξ→∞→∞==+++⎰3、 确定积分号例5确定积分131x x e dx-⎰的符号解：1010133333111()()x x x t x x e dx x e dx x e dxx t t e d t x e dx----=+=---+⎰⎰⎰⎰⎰010113333311()txtxx x t e dt x e dx t e dt x e dx x e e dx--=+=-+=+⎰⎰⎰⎰⎰由积分中值定理可知1331()0x x e dx e e ξξξ--=-≥⎰其中(01)ξ≤≤.又3xx e 在[1,1]-上不恒为0，则有131x x e dx ->⎰，即131x x e dx-⎰的符号为正号.4、 比较积分大小例6 比较积分340sin xπ⎰和240sin xπ⎰的大小解：当(0,)4x π∈时，0sin 1x <<，从而有320sin sin 1x x <<<，于是我们有32440sin sin x xππ≤⎰⎰，即340sin xπ⎰小于等于240sin xπ⎰.5、 证明函数的单调性例7设函数()f x 在(0,)+∞上连续，其中0()(2)()xF x x t f t dt=-⎰，试证：在(0,)+∞内，若()f x 为非减函数，则()F x 必为非增函数.证明：利用分歩积分法，将()F x 化为()(2)()()2()x x xF x x t f t dt x f t dt tf t dt=-=-⎰⎰⎰对上式求导，可以得到：()()()2()()()x xF x f t dt xf x xf x f t dt xf x '=+-=-⎰⎰.由积分中值定理，可得：()()()(()()),(0)F x xf xf x x f f x x ξξξ'=-=-≤≤.若()f x 为非减函数，则有()()0f f x ξ-≤成立，因此可以得到()0F x '≤，故()F x 为非增函数，命题得证.6、 证明定理例8 证明（阿贝尔判别法）如果()f x 在[,)a +∞上可积，()g x 单调有界，那么()()a f x g x dx+∞⎰收敛.证明：由假设条件，利用第二中值定理，在任何一个区间[,]A A '上（其中,A A a '>），存在[,]A A ξ'∈，使得()()()()()()A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dxξξ'''=+⎰⎰⎰.因为()f x 在[,)a +∞上可积，则()af x dx+∞⎰收敛，所以对于任何0ε>，存在0A a≥，使得当,A A A '≥时，成立(),()A Af x dx f x dx ξξεε'<<⎰⎰.又由0(),,g x L A A A '<≥所以当时，有()()()()()()A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dxξξ'''=+⎰⎰⎰()()()()2A Ag A f x dx g A f x dx L ξξε''≤+≤⎰⎰，根据柯西收敛原理可推知积分()()af xg x dx+∞⎰收敛.备注2： 当讨论无界函数广义积分时，可将阿贝尔判别法可改写为： 假设()f x 在x a =有奇点，()baf x dx⎰收敛，()g x 单调有界，那么积分()()baf xg x dx⎰收敛.证明：对()()a a f x g x dxηη'++⎰应用第二积分中值定理，证明过程略.备注3：当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广义积分的阿贝尔判别法可写为： 假设(,)af x y dx+∞⎰关于[,]y c d ∈为一致收敛，(,)g x y 关于x 单调（即对每个固定的[,]y c d ∈，(,)g x y 作为x 的函数是单调的），并且关于y 是一致有界的，即存在正数L ，对所讨论范围内的一切,x y 成立：(,)g x y L <.那么积分(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的.证明：由于(,)af x y dx+∞⎰关于[,]y c d ∈是一致收敛的，则对于任意正数0ε>，存在0A a≥，当,A A A '≥时，成立(,)A Af x y dx ε'<⎰.因此，当,A A A '≥时，将y 看成给定常数，则由积分第二中值定理中的公式(,)(,)A Af x yg x y dx '⎰()()(,)(,)(,)(,)y A Ay g A y f x y dx g A y f x y dxεε''=+⎰⎰因为对任意的,x y 都有(,)g x y L<，则(,)(,)2A Af x yg x y dx L ε'≤⎰.因此，(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的，命题得证.例9 证明（狄里克莱判别法）如果()()AaF A f x dx=⎰有界，即存在0K >，使得(),()Aaf x dx Kg x ≤⎰单调且当x →+∞时趋向于零，那么积分()()af xg x dx+∞⎰收敛.证明：因为()0()g x x →→+∞，所以对任意的0ε>，存在0A ，当0,A A A '≥时，()g A ε<，()g A ε'<.又因()Aaf x dx K≤⎰，所以()()()2AAaaf x dx f x dx f x dx Kξξ=-≤⎰⎰⎰，同样我们有()2A f x dx Kξ'≤⎰.由第二积分中值定理，只要,A A A '≥，就有()()()()()()4A A AAf xg x dx g A f x dx g A f x dx K ξξε'''≤+≤⎰⎰⎰所以积分()()af xg x dx+∞⎰收敛，命题得证.备注4：当讨论无界函数广义积分时，我们可将狄立克莱判别法写为：设()f x 在x a =有奇点，()ba f x dx η+⎰是η的有界函数，()g x 单调且当x a →时趋于零，那么积分()()baf xg x dx⎰收敛.证明：对()()a a f x g x dxηη'++⎰应用第二积分中值定理，证明过程略.备注5： 当讨论二元函数的积分限为含有参变量时，则含参变量的广义积分的狄立克莱判别法写为：设积分(,)A af x y dx⎰对于A a ≥和[,]y c d ∈是一致有界的，即存在正数K ，使对上述,A y 成立(,)Aaf x y dx K≤⎰又因为(,)g x y 关于x 是单调的，并且当x →+∞时，(,)g x y 关于[,]c d 上的y 一致趋于零，即对于任意给定的正数ε，有A ，当x A ≥时，对一切[,]y c d ∈成立(,)g x y ε<，那么积分(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的.证明：由所假设的条件可推知对任何,A A a '≥，有(,)(,)(,)A AA Aaaf x y dx f x y dx f x y dx''=-⎰⎰⎰(,)(,)2AA aaf x y dx f x y dx K'≤+≤⎰⎰而由(,)g x y ε<和上式可推知，当,A A a '≥时()(,)(,)(,)(,)A y AAf x yg x y dx g A y f x y dxε'≤⎰⎰()(,)(,)224A y g A y f x y dx K K K εεεε''+<⋅+⋅=⎰，因此，(,)(,)af x yg x y dx+∞⎰关于y 在[,]c d 上是一致收敛的，命题得证.参考文献：[1]陈纪修、於崇华、金路.数学分析（第二版上册）.北京:高等教育出版社，2004.294-310[2]陈纪修、於崇华、金路.数学分析（第二版下册）.北京:高等教育出版社，2004.165-170[3]陈传璋、金福林等编.数学分析（下册）.北京：高等教育出版社，1983. 286-288[4]陈传璋、金福林等编.数学分析（上册）.北京：高等教育出版社，1983. 51-56， 252[5]同济大学应用数学系.高等数学（第五版上册）.北京：高等教育出版社，1996. 232THE MEAN-VALUE THEOREM AND ITS APPLICATIONAbstract:The main content of this paper are the mean-value theorem and its application, it will be mainly divided into the following respects: integral mean-value theorem, the generalation of integral mean-value theorem, the asymptotic property of the “intermediate point”of integral median point, the application of integral mean-value theorem.Key words:integral mean-value; theorem promotion ;apply指导教师评语页本科毕业论文（设计）答辩过程记录院系数学科学学院专业数学与应用数学年级2009 级答辩人姓名**** 学号**********毕业论文（设计）题目积分中值定理及其应用毕业论文（设计）答辩过程记录：答辩是否通过：通过（）未通过（）记录员答辩小组组长签字年月日年月日=本科毕业论文（设计）答辩登记表。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
积分中值定理的证明与应用
作者：王晶岩
作者单位：黑龙江工商职业技术学院,黑龙江,哈尔滨,150000
刊名：
中国新技术新产品
英文刊名：CHINA NEW TECHNOLOGIES AND PRODUCTS
年，卷(期)：2009，""(5)
被引用次数：0次
1.刘玉琏.傅沛仁教学分析 1988
2.马玲高等数学解题方法指导 1996
3.阎政平积分中值定理证明的一点注记 1996(04)
4.薛嘉庆高等数学题库精编 2000
1.期刊论文余桂东.YU Gui-dong积分中值定理的逆-安庆师范学院学报（自然科学版）2001,7(1)
从积分中值定理的几何意义出发,探讨出有关积分中值定理的逆,并进一步推出微分中值定理的逆.
2.期刊论文郝玉芹.时立文.欧阳占瑞.HAO Yu-qin.SHI Li-wen.OUYANG Zhan-rui对积分中值定理结论的一点改动-河北能源职业技术学院学报2007,7(3)
本文对积分中值定理中取值区间进行讨论,证明在开区间上该定理仍然成立.这样可使积分中值定理与微分中值定理中的取值区间得以统一,从而更能体现积分中值定理的中值性以及两个中值定理之间的联系.
3.期刊论文张武关于积分中值定理的正确应用与理解-太原教育学院学报2002,20(4)
积分中值定理是微积分学中最基本的定理之一,但是在实际教学与应用中常常会有误解,对它的理解也不够全面和深刻.因此,有必要对一般情况下积分中值定理进行推广和证明,并阐述它与微分中值定理的关系.
4.期刊论文唐伟国.唐仁献微分中值定理的级数表达式-湖南科技学院学报2008,29(8)
本文探寻得到了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理的级数表达式,并作为其应用,方便地得到了第一积分中值定理的两种新的形式. 5.期刊论文唐仁献微分中值定理的级数表达式-零陵学院学报2004,25(6)
探寻得到了罗尔中值定理、拉格朗日中值定理与柯西中值定理的级数表达式,并作为其应用,方便地得到了第一积分中值定理的两种新的形式.
6.期刊论文潘新对积分中值定理的推广与应用-考试周刊2008,""(26)
文章对积分中值定理进行了讨论与推广.得到了四个推论,并且对给出的积分中值定理进行了一些应用.
7.期刊论文孙翠芳.程智微积分中值定理间点的关系-高等数学研究2009,12(6)
根据微分中值定理和积分中值定理定义微分点与积分点.证明严格单调函数与凸(凹)函数中微分点与积分点间的一些关系式,指出在函数对称的情况下微分点与积分点之间也存在着对称关系,并给出一类向量函数以及多项式函数中微分点与积分点间的关系式.
8.期刊论文宁存法.陈丫丫关于积分中值定理的注记-太原大学教育学院学报2007,25(z1)
在分析教材中第一积分中值定理的条件下,证明了介值点ξ必可在开区间(a,b)内取得,进一步将这个结论推广到被积函数f以区间端点a和b为第一类间断点或瑕点以及在(a,b)内有间断点的情形,并且给出以上结果的一些应用.
9.期刊论文哈申浅谈微分中值定理与牛顿-莱布尼兹公式-内蒙古科技与经济2007,""(21)
本文介绍微分中值定理与牛顿-莱布尼兹公式的简单应用,找出微分中值定理与牛顿-莱布尼兹公式的辩证关系,从而使我们深入理解和运用微积分学的基本定理.
10.期刊论文薛国民关于一道数学竞赛题的解法探讨-考试周刊2008,""(26)
本文对江苏省普通高等学校第六届高等数学竞赛中一道试题的解法进行了探讨,分析了原有解法的不足,并且给出了另一种解法.
本文链接：/Periodical_zgxjsxcpjx200905194.aspx
授权使用：台州科技职业学院(tzkjzy)，授权号：1d0d7b6a-acd1-4f5e-850e-9e170098c7d5
下载时间：2010年10月22日。