概述拉格朗日中值定理的证明及应用.ppt
Lagrange中值定理PPT演示课件
罗尔定理回顾：
若函数 y f (x) 满足:
y
C
y f (x)
(1) 在闭区间a,b上连续；
(2) 在开区间a,b 内可导； A
(3) f (a) f (b).
o a 1
B D
2 b
x
在 a,b 内至少存在一点 , 使 f ( ) 0.
几何意义：在一段每点都有切线的连续曲线上，若两端 点的高度相同，则在此曲线上至少存在一条水平切线.
连续点,或者是f '( x)的第二类间断点.
证明：假设x0是f
(
x
)的第一类间断点，则
lim
x x0
f
'( x)
f ( x0 0)和
lim
x x0
f
'( x)
f ( x0 0)存在,由拉格朗日中值定理:
f '( x0 )
f(
x0
)
lim
h0
f ( x0 h) h
f ( x0 )
lim h0 0ch h
(
x
a)
(1) F ( x)在[a, b]上连续； y
(2) F ( x)在(a, b)内可导；
(3) F (a) F (b) 0.
A
由罗尔定理，存在 (a, b),使
F ( ) f '( ) f (b) f (a) 0. o a
ba
f ( ) f (b) f (a) .
ba
F(x)
一点 C ,在该点处的切
线平行于弦 AB.
A
D
o a 1
2 b
x
5
拉格朗日中值定理的应用
拉格朗日中值定理的等价形式: f ( ) f (b) f (a) .
拉格朗日中值定理课件
说明 本例中，若令y=ln t，a=1，b=1+x，亦可利
用拉格朗日中值定理证明所给不等式.这表明证明 不等式时，f(x)与[a,b]的选取不是唯一的.
谢谢大家
放映结束 感谢各位的批评指导！
谢 谢！
让我们共同进步
二、拉格朗日中值定理的应用
例1 函数 f (x) 2x2 x 1在区间[－1,3]上满足拉格
朗日中值定理的 =( ).
A. 3; B. 0; C. 3; D. 1 . 4
分析 由于 f (x) 2x2 x 1在[－1,3]上连续，在(－1,3)
内可导，因此f(x拉格朗日中值定理条件. )在[－
拉格朗日中值定理及其应用
一、拉格朗日中值定理
定理1. 设函数f(x)满足 (1) 在闭区间[a,b]上连续； (2) 在开区间(a,b)内可导；
则至少存在一点 (a,b)，使f ( ) f (b) f (a) .
ba 分析 与罗尔定理相比，拉格朗日中值定理中缺
少条件是f(a)=f(b).如果能由f(x)构造一个新函数 ( x),
f (x0 x) f (x0 ) f ( )x,
其中为x0与x0 x 为之间的点.也可以记为
f (x0 x) f (x0 ) f (x0 x)x, 0 1
或
y f (x0 x)x, 0 1,
因此又称拉格朗日中值定理为有限增量定理.
使(x) 在[a,b]上满足罗尔定理条件，且由'( ) 0 能导出 f ( ) f (b) f (a) ，则问题可解决.
ba
证 令 (x) f (x) f (a) f (b) f (a) (x a).
拉格朗日中值定理证明及其应用
拉格朗日中值定理证明及其应用1. 引言1.1 拉格朗日中值定理的引入拉格朗日中值定理是微积分中一个非常重要的定理，它由法国数学家约瑟夫·拉格朗日在18世纪提出并证明。
这个定理在微积分的发展中具有重要的地位，被广泛应用于函数的性质研究和最值问题的求解中。
拉格朗日中值定理可以理解为函数在某个区间上的平均变化率等于某个点的瞬时变化率。
具体地说，如果一个函数在闭区间[a, b]上连续且可导，那么在开区间(a, b)内一定存在一个点c，使得函数在点c处的导数等于函数在区间[a, b]上的平均变化率。
这个定理的引入可以帮助我们更好地理解函数的变化规律。
在实际问题中，我们经常需要研究函数在某个区间上的性质，比如函数的波动情况、增减性、极值等。
拉格朗日中值定理提供了一个有效的工具，可以帮助我们准确地描述函数在某个区间上的特征，进而推导函数的性质并解决相关问题。
拉格朗日中值定理的引入为我们理解函数的变化规律提供了一种新的视角，为函数求值、曲线求导和最值问题等提供了重要的理论支撑。
在接下来的文章中，我们将深入探讨拉格朗日中值定理的数学表述、证明过程以及在不同领域中的应用。
1.2 拉格朗日中值定理的重要性拉格朗日中值定理作为微积分中的重要定理，具有非常重要的数学意义和实际应用价值。
在数学分析领域，拉格朗日中值定理是连接微积分中的微分和积分两个重要概念的桥梁，它可以帮助我们更深入地理解函数的性质和求值方法。
拉格朗日中值定理的重要性在于它提供了一种有效的方法来处理函数的平均变化率和瞬时变化率之间的关系。
通过该定理，我们可以准确地计算函数在某一区间上的平均斜率，并将其与函数在该区间某一点的瞬时斜率联系起来。
这对于研究函数的变化规律，求解函数的最值以及解决相关实际问题都具有重要作用。
拉格朗日中值定理还为我们提供了一种重要的数学工具，可以帮助我们证明一些关于函数的重要性质和定理。
通过应用拉格朗日中值定理，我们可以简化复杂的数学问题，减少证明的难度，提高证明的效率。
《中值定理应用》课件
物理学
在物理学中，中值定理被用于解释和预测流体动力学、 电磁学等领域的现象，为物理学家提供了重要的工具。
中值定理的未来研究方向
深化理解
未来研究中，需要进一步深化对中值定理的理解，探索其在数学和其他领域中的更多应用。
交叉学科应用
鼓励跨学科的研究，将中值定理与其他数学分支或其他领域的知识相结合，开拓新的应用领域。
拉格朗日中值定理
如果一个函数在闭区间上连续，开区 间上可导，则存在至少一个点，使得 在该点的导数等于函数在该区间内平 均变化率的乘积。
在微分学中的应用
泰勒中值定理
任何在闭区间上连续的函数都可以用多项式 函数来近似，多项式的阶数取决于所要求的 精度。
柯西中值定理
如果两个函数在闭区间上连续，开区间上可 导，且在区间两端取值相等，则至少存在一 个点，使得两个函数在该点的导数之比等于 它们在该区间内平均变化率的比值。
中值定理应用
目录
CONTENTS
• 中值定理简介 • 中值定理的应用场景 • 中值定理在数学分析中的应用 • 中值定理在其他领域的应用 • 中值定理的最新研究进展
01 中值定理简介
中值定理的定义
罗尔定理
拉格朗日中值定理
柯西中值定理
如果函数$f(x)$在闭区间$[a,b]$上连 续，在开区间(a,b)上可导，且 $f(a)=f(b)$，那么在开区间(a,b)内至 少存在一点$xi$，使得$f'(xi)=0$。
中值定理在数学研究中的新进展
新的证明方法
近年来，数学家们不断探索中值定理的新证明方法， 使得定理的证明更加简洁明了，有助于加深对中值定 理的理解。
扩展到高维空间
随着数学的发展，中值定理的应用范围逐渐扩展到高 维空间，为解决高维数学问题提供了新的思路和方法 。
拉格朗日中值定理的证明及应用PPT课件
f
(b) b
f (a) a
ab (b a)
ba
设辅助函数
F(x) f (x)
x
由于F (x) 在 [a ,b] 上满足拉氏中值定理条件, 且
F ( x)
x
f
(x) x2
f
(x)
即存在一个 使
f
f ( ) 2
f(b a)
∴原式成立
例2：设函数 f x 在 a,b内可导，且 f x M
那么可以令则有sincos时至少存在一个数sincos三拉格朗日中值定理的应用1证明等式2证明不等式3研究导数和函数的性质4证明有关中值问题的结论5判定方程根的存在性和唯一性6利用中值定理求极限证明等式所证结论左边为例2
拉格朗日(拉式)中值定 理的证明方法及应用
一、定义：如果函数 f x 满足：
1、在闭区间a,b 上连续
则有Fa Fb
∴ 由罗尔定理得：当 F a F b 时，至少存在
一个数
最后得出
使 F
f tan
0，即 f cos
0 ,即f f
sin
b f
0
a
ba
三、拉格朗日中值定理的应用
1、证明等式 2、证明不等式 3、研究导数和函数的性质 4、证明有关中值问题的结论 5、判定方程根的存在性和唯一性 6、利用中值定理求极限
证明 f x在 a,b 内有界。
证：取点 x0 a,b，再取异于x0 的点 x a,b ， 对 f x 在以 x ，x0 为端点的区间上用拉式中值定
理得：f x f x0 f x x0 （ 界于 x0与 x之间）
则有：f x f x0 f x x0
f x0 f x x0
2、在开区间a, b 内可导
拉格朗日中值定理证明及其应用
拉格朗日中值定理证明及其应用拉格朗日中值定理是微积分中的一个重要定理，它在数学分析和物理学中具有广泛应用。
拉格朗日中值定理的证明可以分为两个步骤：首先是证明存在性，然后是证明唯一性。
下面我们来分别介绍这两个步骤。
首先是存在性的证明。
假设函数f(x)在区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)上可微。
我们定义一个函数g(x)=f(x)-mx，其中m是一个常数。
我们可以验证，在定义域[a,b]上，函数g(x)满足罗尔定理的条件：g(a)=g(b)。
根据罗尔定理，存在一个点c∈(a,b)，使得g'(c)=0。
由于g'(c)=f'(c)-m，那么f'(c)=m。
也就是说，存在一个点c∈(a,b)，使得f'(c)等于一个常数m。
这就证明了存在性。
H(x)的值为H(a)=f(a)-g(a)。
根据条件，我们知道f(a)=g(a)，所以H(a)=0。
同理，我们可以得到H(b)=0。
由于H(x)恒等于0，在[a,b]上，函数f(x)必然等于函数g(x)。
这就证明了唯一性。
拉格朗日中值定理有许多应用。
其中一个重要的应用是判断函数在某个区间上的单调性。
根据拉格朗日中值定理，如果一个函数在某个区间上的导数恒大于零或者恒小于零，那么这个函数在该区间上是单调递增或者单调递减的。
拉格朗日中值定理还可以用于估计函数在某个区间上的变化情况。
通过计算函数在该区间上的导数，并根据拉格朗日中值定理得到的结果，可以估计函数在该区间上的变化趋势。
拉格朗日中值定理不仅是微积分中的一个重要定理，而且在数学分析和物理学中有着广泛的应用。
它可以用来判断函数的单调性和凹凸性，也可以用于估计函数在某个区间上的变化情况。
拉格朗日中值定理科普
拉格朗日中值定理科普嘿，朋友！你知道拉格朗日中值定理吗？这可是数学里相当厉害的一个家伙！咱先来说说，为啥要有这个定理。
就好比你要从 A 地去 B 地，不管你是快跑、慢跑，还是一会儿快一会儿慢，在这中间的某一个时刻，你的速度总会等于整个路程的平均速度。
拉格朗日中值定理差不多就是这个意思。
它说的是，如果一个函数在闭区间上连续，在开区间内可导，那么在这个区间内至少存在一点，使得函数在这一点的导数等于函数在这个区间上的平均变化率。
这定理有啥用呢？比如说，你想知道一辆车在一段时间内的速度变化情况，拉格朗日中值定理就能帮上忙啦。
再比如，你要研究一个经济指标的增长趋势，它也能给你提供有力的工具。
想象一下，一个函数的图像就像是一座连绵起伏的山峰。
那拉格朗日中值定理就像是在这山峰中找到了一条神奇的小路，能让你更好地理解这座山的走势。
你看，数学里的这些定理啊，就像我们生活中的小窍门。
比如我们炒菜，得掌握火候和调料的比例，这和运用定理来解决问题是不是有点像？都是在找那个最合适的“度”。
咱们再深入点说，拉格朗日中值定理的证明可不简单，但咱们先不纠结那些复杂的过程。
就记住它能帮我们在看似杂乱无章的函数变化中找到规律，这多神奇啊！好比你在黑暗中摸索，突然有了一束光，能让你看清前方的路。
拉格朗日中值定理就是那束光，能让我们在函数的世界里不再迷茫。
你可能会想，这定理听起来有点抽象，离我们的日常生活很远。
其实不是这样的！比如你规划旅行的费用，计算每天的平均花费和某个特定时间的花费之间的关系，这不就和拉格朗日中值定理有关系嘛。
所以说，数学的世界很奇妙，拉格朗日中值定理就是其中一颗璀璨的明珠。
它虽然看起来高深莫测，但只要我们用心去理解，就能发现它在很多地方都能发挥大作用。
总之，拉格朗日中值定理是数学里的好宝贝，学会它，能让我们在解决问题时更加得心应手，你说是不是？。
第二讲 拉格朗日定理及推论
从而 f= +′( x0 ) f= −′( x0 ) k, 即 f= ′( x0 ) k.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
那么在开区间 (a ,b)内 ( 至少 ) 存在一点ξ , 使得 f ′(ξ ) = f (b) − f (a) .
b−a
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§1 拉格朗日定理和函数的单调性
罗尔定理与拉格朗日定理
函数单调性的判别
注 当 f (a) = f (b) 时,拉格朗日定理就是罗尔定理,
这就是说, f ( x) 在区间I上的任何两个值都相等, 所以为常值函数.
f (b) − f= (a) f ′(ξ )(b − a), a < ξ < b.
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
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§1 拉格朗日定理和函数的单调性
罗尔定理与拉格朗日定理
函数单调性的判别
推论2
若函数 f 和 g均在区间I上可导,且 f ′( x) ≡ g′( x), x ∈ I ,
推论1
设 f ( x)在区间 I上的导函数 f ′( x) ≡ 0 , 则 f ( x) 在 I上是一个常值函数.
证 对于区间 I上的任何两点 x1与 x2 , x1 < x2 , f ( x) 在[x1, x2]上满足拉格朗日定理的条件, 则有
f ( x2 ) − f ( x1=) f ′(ξ )( x2 − x1 )= 0 , ξ ∈ ( x1 , x2 ).
数学分析 第六章 微分中值定理及其应用
高等教育出版社
§1 拉格朗日定理和函数的单调性
罗尔定理与拉格朗日定理
函数单调性的判别
拉格朗日中值定理PPT课件
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定律定义
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验证推导
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定理推广
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三、定理意义
几何意义
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拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理20191230拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理又称拉氏定理是微分学中的拉格朗日中值定理又称拉氏定理是微分学中的基本定理之一它反映了可导函数在闭区间上的基本定理之一它反映了可导函数在闭区间上的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的关系
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谢谢
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14
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拉格朗日中值定理
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1
• 一、拉格朗日中值定理的发展历程
拉格朗日中值定理 拉格朗日中值定理又称拉氏定理，是微分学中的 基本定理之一，它反映了可导函数在闭区间上的 整体的平均变化率与区间内某点的局部变化率的 关系。拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广， 同时也是柯西中值定理的特殊情形，是泰勒公式 的弱形式（一阶展开）。
• 运动学意义
• 对于曲线运动在任意 一个运动过程中至少 存在一个位置（或一 个时刻）的瞬时速率 等于这个过程中的平 均速率。 拉格朗日中值定理在 柯西的微积分理论系 统中占有重要的地位。 可利用拉格朗日中值12
参考资料：
[1] 同济大学数学系．高等数学．高等教育出 版社，2014年：126至129页 [2] 北京大学数学力学系．高等代数．北京： 人民教育出版社，1978：124-135 [3] 华东师范大学数学系．数学分析(上 册)(第二版)[M]．北京：高等教育出版社， 1991：153-161
拉格朗日中值定理证明及其应用
拉格朗日中值定理证明及其应用拉格朗日中值定理是微积分中一个重要的定理，它是由法国数学家拉格朗日在18世纪中期提出的。
这个定理是微积分中的基本定理之一，在求函数的近似值和证明其他定理中经常被使用。
拉格朗日中值定理的表述是：设函数f(x)在闭区间[a,b]上连续，在开区间(a,b)内可导。
则必存在一个点c，使得a＜c＜b，并且f'(c)=(f(b)−f(a))/(b−a)。
其中f'(c)表示函数f(x)在点c处的导数。
设函数f(x)满足上述条件，我们构造另一个函数F(x)=f(x)−((f(b)−f(a))/(b−a))x，这是一个连续函数，在[a,b]上可导。
因为F(x)是连续的，且在(a,b)内可导，根据罗尔定理，存在一个点c∈(a,b)，使得F'(c)=0。
由于F'(c)=f'(c)−(f(b)−f(a))/(b−a)=0，即得f'(c)=(f(b)−f(a))/(b−a)，定理得证。
拉格朗日中值定理有很多重要的应用，下面简要介绍两个常见的应用：1. 函数极值点的存在性证明：如果一个函数在区间[a,b]上连续，并且在开区间(a,b)内可导，即满足拉格朗日中值定理的条件，那么必然存在至少一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=0。
这个结论可以用来证明函数的极大值和极小值的存在性。
2. 求函数值的近似值：假设我们需要求一个函数f(x)在闭区间[a,b]上的某个特定点x∗的函数值f(x∗)，但是函数表达式很复杂，难以直接求解。
如果我们能够找到一个点c∈(a,b)，使得f'(c)=(f(b)−f(a))/(b−a)，那么根据拉格朗日中值定理，函数f(x)在闭区间[a,b]上至少存在一个点c，使得f(x)在点c的导数等于f(x∗)的斜率。
于是我们可以用f(x∗)≈f(c)+f'(c)(x∗−c)来近似求解f(x∗)的值。
拉格朗日中值定理的证明及应用
精选
1
一、定义：如果函数 f x 满足：
1、在闭区间a, b 上连续
2、在开区间a,b 内可导
则至少存在一点 a,b ，使得
ffbfa
ba
精选
2
二、证明方法
做辅助函数
可以利用弦倾角法做辅助函数
精选
3
y
f x
由图得：
< <
22
oa
tan c sio n sfb b a fa
皮
薄
科学一班五组
成员： 郭浩 刘均 王浚臣
李莎莎 许琴 王旭洪
刘兴隆 董大鹏 昝精航选
10
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理得：fx fx 0 fx x 0 （ 界于 x 0 与 x之间）
则有：fx fx 0 fx x 0
fx 0 fx x 0
fx0M ba
精选
8
令Kfx0M ba，则对任意 xa,b
有 fx K ，即 f x在 a,b 内有界。
精选
9
哥
1+1=？
脸
让我看看 几点了
So easy
精选
5
例1：设 f (x)在 [a , b] 上连续, 在 (a ,b) 内可导,
且 0ab, 证明存在 (a,b), 使
证明
等式
af(b)bf(a) f()f()
ab(ba)
2
证:∵ 所证结论左边为 F b
Fa
af(b)bf(a) fb(b)f(aa)
ab(ba)
ba
设辅助函数
拉格朗日中值定理-资料大全
多维空间中的拉格朗日中值定 理的应用
在解决多维空间中的几何、代数和微分方程问题时，可 以利用多维空间中的拉格朗日中值定理来研究函数的性 质和行为。
与其他数学定理的联系
拉格朗日中值定理与泰勒定理的联系
泰勒定理是研究函数在某一点附近的性质的定理，而拉格朗日中值定理则是研究函数在某一点的斜率的定理，两 者之间存在密切的联系。
推论三：泰勒公式
总结词
泰勒公式是拉格朗日中值定理的一个重要推论，它可 以用来近似表达一个函数的值。
详细描述
泰勒公式是由英国数学家泰勒在18世纪末提出的。这个 公式可以用来近似表达一个函数在一个点的值，精度取 决于所选取的项数。一般来说，项数越多，近似精度越 高。泰勒公式的一般形式为f(x) = f(a) + f'(a)(x - a) + f''(a)(x - a)^2/2! + f'''(a)(x - a)^3/3! + ...，其中f'(a)、 f''(a)、f'''(a)等表示函数在点a的导数。
04 拉格朗日中值定理的应用 实例
应用实例一：证明不等式
要点一
总结词
利用拉格朗日中值定理证明不等式，需要找到与不等式相 关的函数和区间，并利用定理推导出所需的不等式关系。
要点二
详细描述
在证明不等式时，我们通常选择两个函数，一个在区间上 单调递增，另一个在区间上单调递减。然后，利用拉格朗 日中值定理在这两个函数之间建立一个联系，从而证明不 等式。
拉格朗日中值定理与微积分基本定理的联系
微积分基本定理是微积分学中的基本定理之一，它建立了积分与微分之间的联系，而拉格朗日中值定理则是微分 学中的基本定理之一，两者之间存在密切的联系。
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2
2
tan sin f b f a
oa
cos
ba
bx
则有： f bcos b sin f acos a sin
那么可以令 F x f xcos xsin
则有Fa Fb
∴ 由罗尔定理得：当 Fa Fb 时，至少存在
一个数
最后得出
使 F 0，即 f cos
f tan.精品课0件. ,即f f拉格朗源自(拉式)中值定 理的证明方法及应用
.精品课件.
1
一、定义：如果函数 f x 满足：
1、在闭区间a,b 上连续
2、在开区间a,b 内可导
则至少存在一点 a,b ，使得
f f b f a
ba
.精品课件.
2
二、证明方法
做辅助函数
可以利用弦倾角法做辅助函数
.精品课件.
3
y
f x
由图得：
等式 ab (b a) 证:∵ 所证结论左边为
2 Fb
内可导,
F a
设辅助函数
F(x) f (x)
x 由于F (x) 在 [a ,b]上满足拉氏中值定理条件, 且
F ( x)
x f (x) x .精品课件. 2
f
(x)
6
即存在一个 使
f
f ( ) 2
f
( )
a
f (b) b f (a) ab(b a)
则有：f x f x0 f x x0
f x0 f x x0
f x0 M b a
.精品课件.
8
令K f x0 Mb a，则对任意x a,b
有 f x K ，即 f x在 a,b 内有界。
.精品课件.
9
哥
1+1=？
脸
让我看看 几点了
So easy
皮
薄
科学一班五组
∴原式成立
.精品课件.
7
例2：设函数 f x 在 a,b内可导，且 f x M 证明 f x在 a,b 内有界。
证：取点 x0 a, b，再取异于x0 的点 x a, b ，
对 f x 在以 x ，x0 为端点的区间上用拉式中值定 理得：f x f x0 f x x0 （ 界于 x0与 x之间）
成员： 郭浩 刘均 王浚臣
李莎莎 许琴 王旭洪
刘兴隆 董大鹏 昝.精品航课件.
10
sin
b
f
0
a4
ba
三、拉格朗日中值定理的应用
1、证明等式 2、证明不等式 3、研究导数和函数的性质 4、证明有关中值问题的结论 5、判定方程根的存在性和唯一性 6、利用中值定理求极限
.精品课件.
5
例1：设 在
上连续, 在
且
证明存在
使
证明 a f (b) b f (a) f ( ) f ( )