对数与对数函数教案

3.2 对数与对数函数

解读对数概念及运算

对数是中学数学中重要的内容之一，理解对数的定义，掌握对数的运算性质是学习对数的重点内容．现梳理这部分知识，供同学们参考．

一、对数的概念

对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即a b ＝N ⇔log a N ＝b (a >0，且a ≠1)，据此可得两个常用恒等式：(1)log a a b ＝b ；

(2)a log a N ＝N .

例1 计算：log 22＋log 51＋log 3127＋9log 32.

分析 根据定义，再结合对数两个恒等式即可求值．

解 原式＝1＋0＋log 33－3＋(3log 32)2＝1－3＋4＝2.

点评 解决此类问题关键在于根据幂的运算法则将指数式和对数式化为同底数．

二、对数的运算法则

常用的对数运算法则有：对于M >0，N >0.

(1)log a (MN )＝log a M ＋log a N ；

(2)log a M N ＝log a M －log a N ；(3)log a M n ＝n log a M .

例2 计算：lg 14－2lg 73＋lg 7－lg 18.

分析 运用对数的运算法则求解．

解 由已知，得

原式＝lg(2×7)－2(lg 7－lg 3)＋lg 7－lg(32×2)

＝lg 2＋lg 7－2lg 7＋2lg 3＋lg 7－2lg 3－lg 2＝0.

点评 对数运算法则是进行对数运算的根本保证，同学们必须能从正反两方面熟练应用．

三、对数换底公式

根据对数的定义和运算法则 可以得到对数换底公式：

log a b ＝log c b log c a (a >0且a ≠1，c >0且c ≠1，b >0)． 由对数换底公式又可得到两个重要结论：

(1)log a b ·log b a ＝1；

(2)log an b m ＝m n log a b .

例3 计算：(log 25＋log 4125)×log 32log 35

. 分析 在利用换底公式进行化简求值时，一般是根据题中对数式的特点选择适当的底数进行换底，也可选择以10为底进行换底． 解 原式＝(log 25＋32log 25)×log 322log 3

5 ＝52log 25×12log 52＝54.

点评 对数的换底公式是“同底化”的有力工具，同学们要牢记．

通过上面讲解，同学们可以知道对数的定义是对数式和指数式互化的依据，正确进行它们之间的相互转换是解题的有效途径．对数的运算性质，同学们要熟练掌握，在应用过程中避免错误，将公式由“正用”“逆用”逐步达到“活用”的境界．

数换底公式的证明及应用

设a >0，c >0且a ≠1，c ≠1，N >0，则有log a N ＝log c N log c

a ，这个公式称为对数的换底公式，它在对数的运算中有着重要的应用，课本中没有给出证明，现证明如下：

证明 记p ＝log a N ，则a p ＝N .*

*式两边同时取以c 为底的对数(c >0且c ≠1)得

log c a p ＝log c N ，即p log c a ＝log c N . 所以p ＝log c N log c a ，即log a N ＝log c N log c

a . 推论1：log a

b ·log b a ＝1.

推论2：log an b m ＝m n log a b (a >0且a ≠1，b >0)．

例4 (1)已知log 189＝a,18b ＝5，求log 3645的值；

(2)求log 23·log 34·log 45·…·log 6364的值．

解 (1)因为log 189＝a,18b

＝5，所以lg 9lg 18＝a . 所以lg 9＝a lg 18，lg 5＝b lg 18.

所以log 3645＝lg (5×9)lg 1829

＝lg 5＋lg 92lg 18－lg 9 ＝b lg 18＋a lg 182lg 18－a lg 18＝b ＋a 2－a

. (2)log 23·log 34·log 45·…·log 6364

＝lg 3lg 2·lg 4lg 3·lg 5lg 4·…·lg 64lg 63

＝lg 64lg 2＝6lg 2lg 2＝6.

点评 对数运算法则中，对数式都是同底的，凡不同底的对数运算，都需要用换底公式将底统一，一般统一成常用对数．

例5 已知12log 8a ＋log 4b ＝52，log 8b ＋log 4a 2＝7，求ab 的值．

解 由已知可得⎩⎪⎨⎪⎧

16log 2a ＋12log 2b ＝52，

13log 2b ＋log 2a ＝7， 即⎩⎨⎧ log 2a ＋3log 2b ＝15，3log 2a ＋log 2b ＝21.解得⎩⎨⎧ log 2a ＝6，log 2b ＝3.

所以a ＝26，b ＝23.故ab ＝26·23＝512.

点评 发现底数“4”，“8”与“2”的关系，将底数统一成“2”，解决问题比较简单．

此外还有下面的关系式：log N M ＝log a M log a N ＝log b M log b N ； log a M ·log b N ＝log a N ·log b M ；

log a M log b M ＝log a N

log b N ＝log a b ；

N log a M ＝M log a N .

数函数图象及性质的简单应用

对数函数图象是对数函数的一种表达形式，形象显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性．它是探求解题思路、获得问题结果的重要途径．能准确地作出对数函数的图象是利用平移、对称的变换来研究复杂函数的性质的前提，而数形结合是研究与对数函数的有关问题的常用思想．

一、求函数的单调区间

例6 画出函数y ＝log 2x 2的图象，并根据图象指出它的单调区间． 解 当x ≠0时，函数y ＝log 2x 2满足

f (－x )＝lo

g 2(－x )2＝log 2x 2＝f (x )，

所以y ＝log 2x 2是偶函数，它的图象关于y 轴对称．

当x >0时，y ＝log 2x 2＝2log 2x ，

因此先画出y ＝2log 2x (x >0)的图象为C 1，再作出C 1关于y 轴对称的图象C 2，C 1与C 2构成函数y ＝log 2x 2的图象，如图所示．

由图象可以知道函数y ＝log 2x 2的单调减区间是(－∞，0)，单调增区间是(0，＋∞)．

点评 作图象时一定要考虑定义域，否则会导致求出错误的单调区间，同时在确定单调区间时，要注意增减区间的分界点，特别要注意区间的开与闭问题．

二、利用图象求参数的值

例7 若函数f (x )＝log a (x ＋1)(a >0，a ≠1)的定义域和值域都是

[0,1]，则a 等于( ) A.13 B. 2 C.22 D ．2

解析 当a >1时，f (x )＝log a (x ＋1)的图象如图所示．

f (x )在[0,1]上是单调增函数，且值域为[0,1]，

所以f (1)＝1，即log a (1＋1)＝1，