数学建模之传染病模型

第五章微分方程模型如果实际对象的某特性是随时间（或空间）变化的，那么分析它的变化规律，预测它的未来性态时，通常要建立此实际对象的动态模型，这就是微分方程模型.

§1 传染病模型

建立传染病的数学模型来描述传染病的传播过程，分析受感染人数的变化规律，预报传染病高潮的到来等，一直是各国有关专家和官员关注的课题.

考虑某地区的传染病的传染情况，设该地区人口总数为N，既不考虑生死，也不考虑迁移，时间以天为计量单位.

一. SI 模型

假设条件：

1.人群分为易感染者(Susceptible)和已感染者(Infective)两

类人，简称为健康人和病人，在时刻t这两类人在总人数中所占比例分别记作()t s和()t i.

2.每个病人每天有效接触的平均人数是λ(常数)，λ称为日接

触率，当病人与健康人有效接触时，使健康者受感染变为病人.

试建立描述()t i变化的数学模型.

解： ()()1=+t i t s Θ ()()N N t i N t s =+∴

由假设2知，每个病人每天可使()t s λ个健康者变为病人，又由于病人数为()t i N ，∴每天共有()()t i N t s λ个健康人被感染.

于是i s N λ就是病人数i N 的增加率，即有

i s N dt

di N λ= (1)

i s dt

di λ=∴ 而1=+i s . 又记初始时刻(0=t )病人的比例为0i ，则

()()⎪⎩⎪⎨⎧=-=0

01i i i i dt di λ 这就是Logistic 模型，其解为 ()t e i t i λ-⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+=1111

［结果分析］

di

1. 当21=i 时，dt di 取到最大值m

dt di ⎪⎭⎫ ⎝⎛，此时刻为 ⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛-=-11ln 01i t m λ 2. 当∞→t 时，1→i 即所有人终将被传染，全变为病人（这是不

实际的）.

二. SIS 模 型

在前面假设1、2之下，再考虑病人可以医治，并且有些传染病如伤风、痢疾等愈后免疫力很低，可以假定无免疫性，于是病人被治愈后变成健康者，健康者还可以被感染再变成病人，此模型称SIS 模型.

假设1、2同SI 模型，增加假设:

3. 病人每天被治愈的人数占病人总数的比例为μ，称为日治愈

率.病人治愈后成为易感染者（健康人）.显然μ1是这种传染病的平均传染期.

解：在假设1、2、3之下，模型（1）修正为

i N i Ns dt

di N μλ-= 于是 ()()⎪⎩⎪⎨⎧=--=0

01i i i i i dt di μλ 解得

()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧⎪⎪⎭⎫ ⎝

⎛+≠⎥⎦⎤⎢⎣

⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=---　＝ －μλλμλμλλμλλμλ,1,11010i t e i t i t ［结果分析］

1. 令μλσ=.

注意到λ和μ1的含义，可知σ是一个传染期内每个病人有效接触的平均人数，称为接触数.

2. 接触数1=σ是一个阈值.

当1≤σ时，病人比例()t i

当1>σ时，()t i 的增减性取决于0i 的大小，其极限值()σ11-

=∞i . 3. SI 模型是SIS 模型中0=μ的情形.

三. SIR 模 型 大多数传染病如天花、流感、肝炎、麻疹等治愈后均有很

1-

强的免疫力，所以病愈的人既非健康者,也非病人,他们已经退出传染系统，此时模型的假设为

1.人群分为健康者、病人和病愈免疫的移出者三类，称为SIR 模型.三类人在总人数N 中占的比例分别记作()i s 、()t i 和()t r . 1. 病人的日接解率为λ，日治愈率为μ（与SIS 模型相同），传染期接触数为μλσ＝.

解：由假设1，有

()()()1=++t r t i t s 0=++∴

dt

dr dt di dt ds 由假设2，得i N dt dr N μ= N i N i s dt di N μλ-= ⎪⎪⎩

⎪⎪⎨⎧-==∴i i s dt di i dt dr μλμ 又设()()()00,0,000===r i i s s 于是

()()⎪⎪⎪⎩

⎪⎪⎪⎨⎧==-=-=00s 0s ,0i i i s dt ds i

i s dt di λμλ (2)

我们在相平面上来讨论解的性质.

相轨线的定义域为

(){

}1s ,0,0s ,s ≤+≥≥=i i i D 由(2)式消去dt ，得

⎪⎩

⎪⎨⎧=-==0s s 01s 1s i i d di σ 这里 μλσ= 解

得

()0

00s s ln 1s -i s σ++=i ………………………………………(3) 在定义域D 内，(3)式表示的曲线即为相轨线.

（学习的目的是增长知识，提高能力，相信一分耕耘一分收获，努力就一定可以获得应有的回报）