圆 几何综合中考真题汇编[解析版]

由（2）可得：OD= 3 ，圆 D 的半径为 1
∴AD= 3 1
在 RBiblioteka Baidu△AFO 和 Rt△DOF 中，
OA2 AF 2 OD2 DF 2
即 22 x2 3 x
2
3 1
解得： x 3 3 1 4
∴AE= 2AF 3 3 1 2
【点睛】
本题主要考查圆的相关知识：垂径定理，圆与圆相切的条件，关键是能灵活运用垂径定理 和勾股定理相结合思考问题，另外需注意圆相切要分内切与外切两种情况.
(1)如图，连接 AC、OD，设∠OAC=α，请用 α 表示∠AOD；
(2)如图，当点 B 为 AC 的中点时，求点 A、D 之间的距离：
(3)如果 AD 的延长线与圆 O 交于点 E，以 O 为圆心，AD 为半径的圆与以 BC 为直径的圆相 切，求弦 AE 的长．
【答案】（1） AOD 150 2 ；（2） AD 7 ；（3） 3 3 1 or 3 3 1
∴ AC AD DC x 1 ， AF AC CF 2x 2
∴AF＝2AC＝4x，FC＝2DC， ∵AD＝x， ∴DF＝4x﹣x＝3x， 在 Rt△DCF 中，（3x）2＝DC2+（2DC）2，
解得：DC＝ 3 5 x， 5
∵OA＝OB，AC＝BC， ∴∠AOC＝∠BOC，
∴ DC EC ，
【答案】（1）见解析；（2） 5 5
【解析】 【分析】 （1）根据等腰三角形性质得出 OC⊥AB，根据切线的判定得出即可； （2）连接 OC、DC，证△ADC∽△ACF，求出 AF=4x，CF=2DC，根据勾股定理求出
DC= 3 5 x，DF=3x，解直角三角形求出 sin∠AFC，即可求出答案． 5
∴∠CFE＝∠AFC，
∴sin∠CFE＝sin∠AFC＝
DC DF
＝
35 5
x
5．
3x 5
【点睛】
本题考查了等腰三角形的性质，切线的判定，解直角三角形，圆心角、弧、弦之间的关
系，相似三角形的性质和判定的应用，能综合运用知识点进行推理和计算是解此题的关
键，难度偏大．
2．已知圆 O 的半径长为 2，点 A、B、C 为圆 O 上三点，弦 BC=AO，点 D 为 BC 的中点，
2
2
【解析】
【分析】
（1）连接 OB、OC，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOC 等于 30°，
OA=OC 可得∠ACO=∠CAO=α，利用三角形的内角和定理即可表示出∠AOD 的值.
（2）连接 OB、OC，可证△OBC 是等边三角形，根据垂径定理可得∠DOB 等于 30°，因为
点 D 为 BC 的中点，则∠AOB=∠BOC=60°，所以∠AOD 等于 90°，根据 OA=OB=2,在直角三
圆 几何综合中考真题汇编[解析版]
一、初三数学 圆易错题压轴题（难）
1．如图，已知直线 AB 经过⊙O 上的点 C，并且 OA＝OB，CA＝CB， （1）求证：直线 AB 是⊙O 的切线； （2）OA，OB 分别交⊙O 于点 D，E，AO 的延长线交⊙O 于点 F，若 AB＝4AD，求 sin∠CFE 的值．
【答案】（1）12；（2）判断△ OCD 是直角三角形，证明见解析；（3）连接 OC，交半圆
角形中用三角函数及勾股定理即可求得 OD、AD 的长.
（3）分两种情况讨论：两圆外切，两圆内切.先根据两圆相切时圆心距与两圆半径的关
系，求出 AD 的长，再过 O 点作 AE 的垂线，利用勾股定理列出方程即可求解.
【详解】
(1)如图 1：连接 OB、OC.
∵BC=AO
∴OB=OC=BC
∴△OBC 是等边三角形
3．在平面直角坐标系 xOy 中，已知 A(-2，0)，B(2，0)，AC⊥AB 于点 A，AC=2，BD⊥AB 于 点 B，BD=6，以 AB 为直径的半圆 O 上有一动点 P（不与 A、B 两点重合），连接 PD、 PC，我们把由五条线段 AB、BD、DP、PC、CA 所组成的封闭图形 ABDPC 叫做点 P 的关联图 形，如图 1 所示. （1）如图 2，当 P 运动到半圆 O 与 y 轴的交点位置时，求点 P 的关联图形的面积. （2）如图 3，连接 CD、OC、OD,判断△ OCD 的形状，并加以证明. （3）当点 P 运动到什么位置时，点 P 的关联图形的面积最大，简要说明理由，并求面积 的最大值.
∴∠AOB=∠BOC=60° ∴∠AOD=90°
根据勾股定理得：AD= AO2 OD2 7
（3）①如图 3.圆 O 与圆 D 相内切时： 连接 OB、OC，过 O 点作 OF⊥AE ∵BC 是直径，D 是 BC 的中点 ∴以 BC 为直径的圆的圆心为 D 点
由（2）可得：OD= 3 ，圆 D 的半径为 1
【详解】 （1）证明：连接 OC，如图 1，
∵OA＝OB，AC＝BC， ∴OC⊥AB， ∵OC 过 O， ∴直线 AB 是⊙O 的切线； （2）解：连接 OC、DC，如图 2，
∵AB＝4AD， ∴设 AD＝x，则 AB＝4x，AC＝BC＝2x， ∵DF 为直径， ∴∠DCF＝90°， ∵OC⊥AB， ∴∠ACO＝∠DCF＝90°， ∴∠OCF＝∠ACD＝90°﹣∠DCO， ∵OF＝OC， ∴∠AFC＝∠OCF， ∴∠ACD＝∠AFC， ∵∠A＝∠A， ∴△ADC∽△ACF，
∴AD= 3 1
设 AF=x 在 Rt△AFO 和 Rt△DOF 中，
OA2 AF 2 OD2 DF 2
即 22 x2 3
2
3 1 x
解得： x 3 3 1 4
∴AE= 2AF 3 3 1 2
②如图 4.圆 O 与圆 D 相外切时： 连接 OB、OC，过 O 点作 OF⊥AE ∵BC 是直径，D 是 BC 的中点 ∴以 BC 为直径的圆的圆心为 D 点
∴∠BOC=60°
∵点 D 是 BC 的中点
∴∠BOD= 1 BOC 30 2
∵OA=OC
∴ OAC OCA=α
∴∠AOD=180°-α-α- 30 =150°-2α
(2)如图 2：连接 OB、OC、OD.
由（1）可得：△OBC 是等边三角形，∠BOD= 1 BOC 30 2
∵OB=2，
∴OD=OB∙cos 30 = 3 ∵B 为 AC 的中点，