组合数学课程介绍

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• 斯坦福数学系的教授研究了这个问题， 设立了一个小小的奖项来征集答案， 100美金.
• 数学家和计算机学者都来参与了 • 谁赢了呢？
– 伊利诺大学计算机系的比尔.卡特勒借助计算机 得出的答案是17152种拼法
– 数学家用纸和笔对排列进行分类，共24个基本 族，基本解法是536种，考虑旋转32种，答案 也是17152种。
大禹(2205BC -2105BC)
492 357 816
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• 组合数学中有许多象幻方这样精巧的结构。
• 1977年美国旅行者1号、2号宇宙飞船就带 上了幻方以作为人类智慧的信号。
2200BC
4 9 2神 3 5 7农
幻
8 1 6方
15世纪
1 15 14 4 ４ 12 6 7 9 阶
幻 8 10 11 5 方
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• “6度分离” —对每个人来说，平均大约只需要通过６ 个人就能将信寄到目的地。
• 研究无尺度网络，对于防备黑客攻击、防治流行病、和 开发新药等，都具有重要的意义。
• 在1999年，Barab´asi et al.发现在因特网上，任意两个 网页间的链接即网页之间的“距离”平均为18.59 。从 任意一个网页出发， 原则上可以通过不超过19次链接到 达互联网中的任何网页。 (Nature 401, 1999)
/zh-cn/%E7%BB%84%E5%90%88%E6%95%B0%E5%AD%A6
Combinatorics: Combinatorics is a branch of pure mathematics concerning the study of discrete (and usually finite) objects. It is related to many other areas of mathematics, such as algebra, probability theory, ergodic theory and geometry, as well as to applied subjects in computer science and statistical physics.
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• 组合数学研究的是事物按照某种规则的安排，主 要有：存在性问题、计数性问题和对已知安排的 研究 —— Richard A. BrualDi 所著 《Introductory Combinatorics》
• 组合数学就是对给定描述的事物有多少种或者某 种事物发生的途径有多少种的研究 ——Daniel I. A. Cohen 所著《Basic Techniques of Combinatorial Theory》
• 此后数学家 Heawood 花费了毕生的精力致力于四色研 究，于1890年证明了五色定理（每个平面图都是5顶点 可着色的）。
• 直到1976年6月，美国数学家 K. Appel与 W. Haken， 在3台不同的电子计算机上，用了1200小时，才终于完 成了“四色猜想”的证明，从而使“四色猜想”成为了四 色定理。
• 1967年一家航空公司申请要求贝尔公司增加一些 服务点，而这些服务点恰恰位于构造该公司各分 部的斯坦纳最小树需增加的斯坦纳顶点上。
–不仅要拉新线，增加服务网点， –而且还要减少收费。 –这一意外事件迫使贝尔公司自此以后便采用了斯坦纳
最小树原则 。
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• “<数学年刊>就是发表了，也不能说就是正确的 ，1991年堵丁柱与黄光明证明斯坦纳比猜想，获 得国内外大奖，被美国列为十大科学进展，1996 年发现是错误的。”
/wiki/Combinatorics
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• 狭义的组合数学主要研究满足一定条件的组态（ 也称组合模型）的存在、计数以及构造等方面的 问题。
– 组合数学的主要内容有组合计数、组合设计、组合矩 阵、组合优化等。
• 离散数学(Discrete mathematics)是数学的几个分支 的总称，以研究离散量的结构和相互间的关系为 主要目标，其研究对象一般是有限个或可数无穷 个元素；因此它充分描述了计算机科学离散性的 特点。一切推理和发现，不管是否
亚里士多德。和牛顿先后独立 发明了微积分。
用语言描述，都能归结为如数，
字，声，色这些元素经过某种组
合的有序集合。
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• 组合数学不仅在基础数学研究中具有极其重要的 地位，在其它的学科如计算机科学、编码和密码 学、物理、化学、生物等学科中，甚至在企业管 理，交通规划，战争指挥，金融分析，城市物流 等领域均有重要应用。
• 如果不允许增加任何额外的点作为网络的 顶点，这种最短网络称为最小生成树。
• 在前面的例子中Steiner最小树的长为 3 而最小生成树的长为2。
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3 2
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• Pollak－Gilbert猜想起源于在美国贝尔电话公司 发生的一个富有戏剧性的事件。
• 1967年前，贝尔公司按照连结各分部的最小生成 树的长度来收费。
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4 组合数学
Combinatorics
组合数学:有人认为广义的组合数学就是离散数学，也有人认 为离散数学是狭义的组合数学和图论、代数结构、数理逻辑 等的总称。但这只是不同学者在叫法上的区别。 总之，组合数学是一门研究离散对象的科学。 随着计算机科学的日益发展，组合数学的重要性也日渐凸显 ，因为计算机科学的核心内容是使用算法处理离散数据。
• 埃尔德什数：保罗·埃尔德什就是随机图理论的开创者之 一。与他一起发表过论文的学者的“埃尔德什数”是1， 与这些学者合作发表过论文的学者的“埃尔德什数”是2， 以此类推。美国数学会的数据库中记录的超过40万名数 学家们的“埃尔德什数”平均是4.65，最大的是13。
• “1996年，堵丁柱的老师越民义在《运筹学杂志 》发表论文，否定了堵丁柱和黄光明的工作。”
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• 20世纪20年代，由Karinthy提出。 • 1950年， Pool 和 Kochen提出这样一个问题：
“两个毫无关系的人，要让他们互相认识，至少 要经过多少人？” • 美国哈佛大学社会心理学家S. Milgram在1967年 做过一项有趣的实验，据说他从内布拉斯加州的 奥马哈随机选了300人，然后请他们每个人尝试 寄一封信到波士顿的一位证券业务员。寄信的规 则很简单，就是任何收信者只能把信寄给自己熟 识的人。 • 平均只需要5次转发，就能够到达目标。也就是说， 在社会网络中，任意两个人之间的“距离”是6
P
B
C
|PA|+|PB|+|PC| = 3
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• 由于最短网络在运输、通讯和计算机等现 代经济与科技领域中都有重要的应用，对 这个问题的研究也越来越深入。问题的对 象已由三个点扩展到任意有限个点集。
• 斯坦纳（Steiner）最小树是可以在给定的 点之外再增加若干个点(称为斯坦纳点)， 然后将所有这些点连起来。
8.1 加法法则和乘法法则 8.2 基本排列组合的计数方法 8.3 递推方程的求解与应用 8.4 题例分析
第9章 代数系统简介 第10章 形式语言和自动机初步
第1章 第2章 第3章 第4章 第5章 第6章 第7章 第8章
排列与组合 递推关系与母函数 容斥原理与鸽巢原理 Burnside引理与Polya定理 区组设计 线性规划 编码简介 组合算法简介
13 3 2 16
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• 阿基米德
– 公元前287年-公元前212年
• 希腊文写在羊皮纸上的阿基米德手稿 副本，距今约1000年
• 2003年，科学家借助现代科技手段 初步破译了这篇论文, 结论是这篇论 文解决的是组合数学问题《十四巧板》 (stomachion)。
• 在论文中阿基米德是在计算把14条 不规则的纸带拼成正方形一共能有多 少种不同的拼法。这在现在被称为 tiling问题。
的路线（称为网络）。这种网络有许多个，其中最短路线 者显然是二边之和（如AB∪AC）。
A
B
C
|AB|+|AC| = 2
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• 但若增加一个周转站（新点P），连接4点的新网络的最 短路线为PA＋PB＋PC。最短新路径之长N比原来只连三 点的最短路径O要短。
• 这样得到的网络不仅比原来节省材料，而且稳定性也更 好。 A
•
四色定理是第一个主要由电脑证明的著名数学定理。
• 1979年，逻辑哲学和数学哲学家托马斯·蒂莫兹佐在《四色定理 及其哲学意义》一文中提出，四色定理与其证明能否称之为“ 定理”和“证明”，尚有疑问。
• 1986年，哈肯和阿佩尔应《数学情报》杂志的邀请写了一篇短 文，用清晰易懂的语言总结了他们的证明工作。1989年，最终 的定稿以单行本的形式出版，超过400页。
• 在美国有一家公司用组合数学的方法来提高企业 管理的效益，这家公司办得非常成功。
• 在美国已有专门的公司用组合设计的方法开发软 件，来解决工业界中的试验设计问题。
• 德国一位著名组合数学家利用组合数学方法研究 药物结构，为制药公司节省了大量的费用，引起 了制药业的关注。
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• 著名的组合数学家 Thomas Tutte(1917-2002) 在组合数学界 是泰斗级的大师。直到最近人们 才知道，原来他对提前结束“二 战”有着突出贡献。
2004年9月，数学家乔治·龚提尔使用Coq对四 色定理的机器证明进行了机器验证。
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网络可靠性问题
• 一个通讯网络怎样布局稳定性最好，而且 费用最节省？
• 美国的贝尔实验室和IBM公司都有世界一流 的组合数学家在研究这个问题，这个问题 直接关系到巨大的经济利益。
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最短网络问题
• 如何用最短的线路将三部电话连起来？ • 此问题可抽象为设△ABC为等边三角形，，连接三顶点
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组合数学的历史
1666年莱布尼兹所著《论
组合的艺术》一书问世， 这是组合数学的第一部专
戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 Gottfried Wilhelm Leibniz
著。书中首次使用了组合
(1646年－1716年），德国哲学 家、数学家。涉及的领域及法
论（Combinatorics）一词。学多、个力范学畴、，光被学誉、为语十言七学世等纪的40
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• 在日常生活中我们常常可以遇到组合数学的问题。
–著名的世界难题“四色猜想” –一张地图，用一种颜色对一个地区着色，那么一共只需要四
种颜色就能保证每两个相邻的地区颜色不同。
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• 1852年，刚从伦敦大学毕业的Francis Guthrie提出了
四色猜想。
• 1878年著名的英国数学家Cayley向数学界征求解答。
• Tutte 从德军的两条情报密码出 发，用组合数学的方法，重建了 敌人的密码机，确定了德军密码 的内部结构，从而获得了极为重 要的情报。
• 加拿大政府2011年成立The Tutte Institute for Mathematics and Computing (TIMC)以纪念他。
/wiki/W._T._Tutte
• 研究离散结构的存在、计数、分析和优化等问题 的一门学科 ——高洁 《浅谈组合数学的应用与 教学》
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组合数学是一个古老而又年 轻的数学分支。
据传说，大禹在4000多年 前(2200B.C.)就观察到神 龟背上的幻方…...
A magic square: a square array of numbers in which the sum of all rows, all columns and both diagonals is the same.
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• 中国最早的组合数学理 论可追溯到宋朝时期的” 贾宪三角”, 后来被杨 辉引用, 所以普遍称之 为”杨辉三角”, 这在 西方是1654年由帕斯卡 提出，但比中国晚了 400多年。
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戈特弗里德·威廉·莱布尼茨 Gottfried Wilhelm Leibniz (1646年－1716年），德国哲学 家、数学家。涉及的领域及法 学、力学、光学、语言学等40 多个范畴，被誉为十七世纪的 亚里士多德。和牛顿先后独立 发明了微积分。
– 离散数学通常研究的领域包括：数理逻辑、集合论、 关系论、函数论、组合学、代数系统与图论。 。
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离散数学（第五版）
作者： 耿素云，张立昂 编著 第1章 命题逻辑 第2章 一阶逻辑 第3章 集合的基本概念和运算 第4章 二元关系和函数 第5章 图的基本概念 第6章 特殊的图 第7章 树 第8章 组合分析初步