【解几】圆锥曲线硬解定理(减少计算量)

圆锥曲线硬解定理及应用

1、本质：硬解定理即圆锥曲线联立方程之后，得到的通解。

注意事项：利用A、B、a、b联立后按照固定格式消元的方程，尽量不要化简。因为硬解定理得到的联立方程是固定的，如果化简(如同等号两边除以2)。

2、好处：有时候时间不够，可以直接算出|x1-x2|之类的数据。

计算速度慢，计算容易出错的同学可以尝试这个方法。

3、若曲线1

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x与直线Aχ+By+C=0相交于E、F两点,则:

(1)其中; ∆'为一与∆同号的值.

(2)应用该定理于椭圆1

2

2

2

2

=

+

b

y

a

x时,应将代入.

(3)应用于双曲线1

2

2

2

2

=

-

b

y

a

x时,应将代入,同时不应为零,即ε不为零.

(4)求解y1+y2与y1*y2只须将A与B的值互换且m与n的值互换.可知ε与∆'的值不会因此而改变.

【个人方法(以及推导)】

1

1

3、对于一个常见方程联立，如椭圆12222=+b

y a x 与直线方程0=++C Bx Ax ，常有以下过程：

22

222222222222242222222224224222242224222

2

2

2

2

22

22()2()01'''0=(')4''44()()

4[]

4[]4[A C

y x kx m B B

x y a k b x a kmx a m a b a

b a x b x

c y kx m

b a

c a k m a m a b a k b a k m a k m a b m a b k a b A a b k a b m a b a B =-

-=+⎧⎧+++-=+=⎪⎪⇒⎨⎨++=⎪⎩⎪=+⎩∴-=--+=--++=+-=∆令

视作222222221222

222222222222222221]

(1=4[])

(=4[])

1

4[]1|'||a b A a B b C B

C b B B a b A a B b C a b k a b m x x B

a a k

b y +-=∆+-∆+-+-⋅-=-===+一般而言系数一般为，所以视为

一般即把式子化成消元式，2121222

2|||

|||''''''y k x x AB x x a b B

a a -=⋅--+=

≠∆∆≠∴截弦长有时候由于同除公因数等原因，算出的，若要算弦长，|分母分子A a B b 要么全部将、、、老实代入公式，要么老实用算得的结果进行计算。

【使用小结】1、如果是“求截弦长”问题，直接利用公式即可。(但是联立方程，列出两个和两根乘积的过程是算分的，所以可以计算靠公式，得基本分则靠老实联立)

2、其他统一化成y kx m =+或者x mx n =+的形式。如果题目给的是43y x m =+，则要转化成344m y x =

+的形式。这样虽然不够“系数全为整数”直观，但是避免了“1B

”带来的干扰。如果觉得容易出错的话，直接全部题型都按照2进行计算即可。 3、对于双曲线，把所有2

2

22

A a

B b +改为2

2

22

A a

B b -即可。

旗开得胜

1

例如：

22222222

22

2

2222121

4[]4259[259]1||259112591|

a b A a B b C k m B

x x B x y k m AB y k m

x ∆+-⋅

=⋅⋅⋅+-⎧-⎧+

=⎪-===

⇒⎨⎨⎩⎪=+⎩∴=∴截|弦长

注意:如果题目给的是43y x m =+，则要转化成344

m

y x =+的形式。 不然12||x x -结果可能会忘记乘以

4

1

。