数列求和及数列的综合应用

数列求和及数列的综合应用

1.特殊数列的求和公式 (1)等差数列的前n 项和公式：

S n ＝n （a 1＋a n ）2

＝na 1＋n （n －1）2

d .

(2)等比数列的前n 项和公式：

S n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧na 1，q ＝1，a 1－a n q 1－q

＝a 1（1－q n ）1－q ，q ≠1.

2.数列求和的几种常用方法 (1)分组转化法

把数列的每一项分成两项或几项，使其转化为几个等差、等比数列，再求解. (2)裂项相消法

把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和. (3)错位相减法

如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，这个数列的前n 项和可用错位相减法求解. (4)倒序相加法

如果一个数列{a n }的前n 项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那么求这个数列的前n 项和即可用倒序相加法求解. 3.数列应用题常见模型

(1)等差模型：如果后一个量比前一个量增加(或减少)的是同一个固定值，该模型是等差模型，增加(或减少)的量就是公差.

(2)等比模型：如果后一个量与前一个量的比是同一个固定的非零常数，该模型是等比模型，这个固定的数就是公比.

(3)递推数列模型：如果题目中给出的前后两项之间的关系不固定，随项的变化而变化，应考虑a n 与a n ＋

1

(或者相邻三项等)之间的递推关系，或者S n 与S n ＋1(或者相邻三项等)之间的递推关系.

【微点提醒】 1.1＋2＋3＋4＋…＋n ＝n （n ＋1）

2.

2.12

＋22

＋…＋n 2

＝

n （n ＋1）（2n ＋1）

6

.

3.裂项求和常用的三种变形 (1)

1n （n ＋1）＝1n －1

n ＋1

.

(2)1（2n －1）（2n ＋1）＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1－12n ＋1.

(3)

1

n ＋n ＋1

＝n ＋1－n .

【疑误辨析】

1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)

(1)若数列{a n }为等比数列，且公比不等于1，则其前n 项和S n ＝a 1－a n ＋1

1－q

.( ) (2)当n ≥2时，

1n 2－1＝12(1n －1－1n ＋1

).( ) (3)求S n ＝a ＋2a 2

＋3a 3

＋…＋na n

时只要把上式等号两边同时乘以a 即可根据错位相减法求得.( ) (4)若数列a 1，a 2－a 1，…，a n －a n －1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a n }的通项公式是a n ＝3n

－1

2.( )

2.(必修5P47B4改编)数列{a n }中，a n ＝

1n （n ＋1），若{a n }的前n 项和为2 019

2 020

，则项数n 为( )

A.2 018

B.2 019

C.2 020

D.2 021 3.(必修5P56例1改编)等比数列{a n }中，若a 1＝27，a 9＝1

243

，q >0，S n 是其前n 项和，则S 6＝________.

4.(2018·东北三省四校二模)已知数列{a n }满足a n ＋1－a n ＝2，a 1＝－5，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 6|＝( ) A.9 B.15 C.18 D.30

5.(2019·北京朝阳区质检)已知数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，b n －a n ＝2n

＋1，且S n ＋T n ＝2

n ＋1

＋

n 2－2，则2T n ＝________________.

6.(2019·河北“五个一”名校质检)若f (x )＋f (1－x )＝4，a n ＝f (0)＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1n ＋…＋f ⎝ ⎛⎭

⎪

⎫n －1n ＋f (1)(n ∈N *)，

则数列{a n }的通项公式为________.

考点一 分组转化法求和

【例1】 (2019·济南质检)已知在等比数列{a n }中，a 1＝1，且a 1，a 2，a 3－1成等差数列. (1)求数列{a n }的通项公式；

(2)若数列{b n }满足b n ＝2n －1＋a n (n ∈N *

)，数列{b n }的前n 项和为S n ，试比较S n 与n 2

＋2n

的大小. 【规律方法】 1.若数列{c n }的通项公式为c n ＝a n ±b n ，且{a n }，{b n }为等差或等比数列，可采用分组求和法求数列{c n }的前n 项和. 2.若数列{c n }的通项公式为c n ＝⎩⎪⎨⎪

⎧a n ，n 为奇数，b n ，n 为偶数，

其中数列{a n }，{b n }是等比数列或等差数列，可采用分组求

和法求{a n }的前n 项和.

【训练1】 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S 3＋S 4＝S 5. (1)求数列{a n }的通项公式； (2)令b n ＝(－1)n －1

a n ，求数列{

b n }的前2n 项和T 2n .

考点二 裂项相消法求和

【例2】 (2019·郑州模拟)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2＝8，S n ＝a n ＋1

2

－n －1.

(1)求数列{a n }的通项公式；

(2)求数列⎩⎨

⎧⎭

⎬⎫

2×3n a n a n ＋1的前n 项和T n .

【训练2】 设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知S 3＝a 7，a 8－2a 3＝3. (1)求a n ； (2)设b n ＝1

S n

，求数列{b n }的前n 项和T n .