余弦定理教案第一课时

余弦定理（第一课时）

一、教学内容：人教版必修五第一章余弦定理第一课时。

二、教学目标：

1、知识与技能：掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法，并会运用

余弦定理解决两类基本的解三角形问题。培养数学语言的表达能力以及转化能力。

2、过程与方法：通过设疑、探究、讨论的过程中，在老师的引导下，解决利用余弦定

理求解三角形的过程与方法。培养利用知识解决生活问题的能力、总结归纳能力。

3、情感与态度：在学习过程中，体现“方程的思想”以及“数形结合”的思想，感受

余弦定理在生活的应用的意义。同时，培养学生合作交流、团结的精神，激发学习兴趣。

三、教学重难点：

1.教学重点：余弦定理的证明过程及其基本应用；

2.教学难点：理解余弦定理的基本应用。

四、教学方法：引导法、演示法。

五、教学过程:

1.复习设疑导入：

正弦定理：2sin sin sin a b c R A B C

===（其中2R 为三角形外接圆的直径） 应用：1）已知任意两角及一边

2）已知任意两边及一边对角

3）判断三角形形状 设疑：在∆ABC 中，.60,4,20

===A c b 求a ？ 2.新授： 余弦定理的证明

如图，设c AB b CA a CB ===,,，那么b a c -=，则 c c c ⋅= b A

=()()b a b a -⋅- c

=b a b b a a ⋅-⋅+⋅2 C a B

b a b a ⋅-2

从而 2222cos c a b ab C =+-

同理可证 2222cos a b c bc A =+- 2222cos b a c ac B =+-

余弦定理：

三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角的余弦

的积的两倍。

即：2222cos a b c bc A =+-；

222

2cos b a c ac B =+-；

2222cos c a b ab C =+-。 （注：让学生观察公式特点并总结求谁后面没谁，只有对边的余弦值，帮助学生记 忆）

判断勾股定理222=+c a b 与余弦定理的关系

余弦定理的变式 222cos 2+-=b c a A bc 222cos 2+-=a c b B ac 222

cos 2+-=b a c C ba

学生类比正弦定理判断余弦定理的基本应用：

1)已知三角形的任意两边及其夹角可以求第三边

2）已知三角形的三条边可以求出三角

3.例题讲解

例1．(解疑)在∆ABC 中，.60,4,20===A c b 求a ？

解：∵2222cos a b c bc A =+-=1260cos 42242022=⨯⨯-+

∴ 32=a

练习：在∆ABC 中，.60,4,20===A c b 解三角形。

解： ∵2222cos a b c bc A =+-=1260cos 42242022=⨯⨯-+

∴32=a

∵222cos 2+-=a c b B ac ()2343222432222=⋅⋅-+= ∴030=B ∵ 060=A ,030=B ∴所以三角形ABC 为直角三角形，090=C

巩固练习：在ABC ∆ 中，已知030,33,3===B c b ，解三角形。（a 有两解注意

分类讨论）

（注：引导学生对比观察可根据角选择余弦定理公式）

例2.ABC ∆中，7,5,3a b c ===，求这个三角形的最大角（根据大边对大角判断所

求角）

练习：在ABC ∆ 中，AB=5，AC=3，BC=7,求BAC ∠

4.课堂小结

（1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例；

（2）余弦定理的基本应用:1)已知两边及它们的夹角，求第三边； 2）已知三边求三角。